第3章 专题6 相似三角形的常见模型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

A字型及其变形　　 (1)如图①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. (2)如图②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. 如图③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，若AD·BC＝10，DE＝2，则AB的长为5． 1题图 　　 2题图 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，0)和点B(0，6)，C是AB的中点．若有一动点P在折线AOB上运动，直线CP截△AOB所得的三角形为直角三角形，则点P的坐标为(0，3)或(4，0)或． (江苏无锡期末)如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B. (1)求证：△AED∽△ADC； (2)若AB＝2，EC＝3，求AC的长． 3题图 (1)证明：∵AD＝AB， ∴∠ADB＝∠B. ∵∠DEC＝∠B，∴∠DEC＝∠ADB. 又∵∠DEC＋∠AED＝180°，∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠AED＝∠ADC. 又∵∠EAD＝∠DAC，∴△AED∽△ADC. (2)解：由(1)可知△AED∽△ADC，∴＝. ∵AB＝AD＝2，CE＝3， ∴＝，解得AC＝4或－1(不合题意，舍去)， ∴AC的长为4. 8字型及其变形　　 (1)如图①，AD，BC相交于点O，若AB∥CD，则△ABO∽△DCO. (2)如图②，AD，BC相交于点O，若∠A＝∠C，则△ABO∽△CDO. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点O，且＝.求证：△ADE∽△ABC. 4题图 证明：∵＝，∴＝. ∵∠BOE＝∠COD，∴△BOE∽△COD， ∴∠EBO＝∠DCO. ∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE， ∴＝，∴＝. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. (1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO∶CO＝1∶3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD可以解决问题(如图①).请你帮助社团求出AB的长； (2)请参考(1)中思路，解决如下问题： 如图②，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝3，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求CD的长． 5题图①　　　　　　　5题图② 解：(1)∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°. 又∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA， ∴＝＝. ∵AO＝3，∴OD＝AO＝， ∴AD＝AO＋OD＝4. ∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°， ∴∠ABD＝180°－∠BAD－∠ADB＝75°＝∠ADB， ∴AB＝AD＝4. (2)过点B作BE∥AD交AC于点E. ∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°. ∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝. 又∵BO∶OD＝1∶3，∴＝＝. ∵AO＝3，∴EO＝，∴AE＝4. ∵∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE. 在Rt△AEB中，BE2＋AE2＝AB2， 即BE2＋(4)2＝(2BE)2， ∴BE＝4，∴AB＝AC＝8，AD＝3BE＝12. 在Rt△CAD中，AC2＋AD2＝CD2，即82＋122＝CD2， ∴CD＝4. 旋转型　　 如图，两个共顶点的相似三角形，将其中一个三角形绕着公共顶点旋转，可以得到另一组新的相似三角形． 如图，在△ABC与△ADE中，点D在BC上，∠1＝∠2＝∠3.若AB＝4，AD＝2，AC＝3，则AE的长为(B) 6题图 A． B． C．2 D． 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转到如图所示位置得到△ADE，连接BD，CE.求证：＝. 7题图 证明：由旋转的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE， 即∠CAE＝∠BAD. 设AC＝x，则由勾股定理，得AB＝AD＝x， ∴＝＝， ∴△BAD∽△CAE， ∴＝＝. 双垂直型　　 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则△ACD∽△ABC∽△CBD，可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，CD2＝AD·BD. (河南安阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的长为(A) A． B． C． D．3 8题图 　 9题图 如图，点P1，P2，P3，P4，…均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，….若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P100的坐标为(299，0)． 一线三等角型　　 (1)如图①，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且它们在同一条直线上，可得△ABP∽△PCD(又叫作“三垂图”). (2)如图②，∠1＝∠2＝∠3，且点A，B，E在同一条直线上，可得△ADE∽△BEC. (3)如图③④，∠B＝∠APD＝∠C，且点B，P，C在同一条直线上，可得①△ABP∽△PCD；②连接AD，当P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P为边BC上一动点(不与点B，C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B.当BP＝2时，CM的长为． 10题图 如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P，E，D分别在边AB，BC，AC上，连接DP，EP，且∠DPE＝60°.已知AD＝4，P为AB的中点，求BE的长． 11题图 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠ADP＋∠APD＝120°. ∵∠DPE＝60°， ∴∠BPE＋∠APD＝120°， ∴∠ADP＝∠BPE， ∴△ADP∽△BPE，∴＝. ∵P为AB的中点，AB＝6，∴AP＝BP＝3. 又∵AD＝4， ∴＝，解得BE＝. (河南洛阳期中)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使点A的对称点P落在CD上，点B的对称点为G，PG交BC于点H. (1)求证：△EDP∽△PCH； (2)若P为CD的中点，且AB＝6，BC＝9，求GH的长． 12题图 (1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°. 由题意，得∠EPG＝∠A＝90°， ∴∠DEP＝∠CPH＝90°－∠DPE， ∴△EDP∽△PCH. (2)解：∵CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，P为CD的中点， ∴PD＝PC＝CD＝3，PE＝AE＝9－ED. ∵PD2＋ED2＝PE2，∴32＋ED2＝(9－ED)2，解得ED＝4， ∴PE＝9－4＝5. ∵△EDP∽△PCH，∴＝＝，∴HP＝PE＝. ∵PG＝AB＝6，∴GH＝6－＝，∴GH的长为. 十字型　　 如图，在矩形ABCD中，若BD⊥CE，则△CDG∽△DBA∽△DEG∽△BCG∽△BDC∽△CED. (1)如图①，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，且CE⊥BD，则的值为； (2)如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE·AB＝CF·AD. 13题图①　　　　　　13题图② (2)证明：过点C作CH⊥AF，垂足为H，则四边形ABCH为矩形，∴AB＝CH.∵在△FCH和△FDG中，∠H＝∠G＝90°，∠CFH＝∠DFG，∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE. 又∵∠A＝∠H＝90°，∴△DEA∽△CFH，∴＝， ∴＝，∴DE·AB＝CF·AD. 学科网（北京）股份有限公司 $