专题28.3-28.4 相似多边形&位似多边形 培优讲义 （知识梳理+典例+练习） 2026-2027学年九年级数学上册（沪教版五四制）

本讲义聚焦相似多边形与位似多边形核心知识点，先梳理相似多边形的定义、对应角相等及对应边成比例的性质、相似比，再延伸到位似图形的概念、性质、作图及平面直角坐标系中的坐标变换规律，构建从一般相似到特殊位似的知识支架。 资料通过思维导图总览知识体系，结合典型例题解析与分层考点训练，融入测绘、小孔成像等实际问题，培养学生几何直观与空间观念，提升推理能力与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题28.3-28.4 相似多边形&位似多边形 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解相似多边形的定义，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例的基本性质。 · 掌握相似多边形的判定方法，能灵活运用定义和性质判定两个多边形是否相似。 · 理解位似图形的概念，掌握位似图形与相似图形的关系，能准确识别位似中心。 · 掌握位似变换的坐标变化规律：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为 k 时，对应点的坐标比为 k 或 −k。 · 能利用位似变换进行作图，会在网格中按要求放大或缩小图形。 · 能综合运用相似多边形和位似的知识解决实际问题，如面积比、周长比、坐标计算等。 模块一 · 相似多边形 ☆知识点① 两个多边形相似的定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。 两个多边形相似也可以表述为“两个多边形是相似多边形”或“一个多边形与另一个多边形相似”。 例如，如图，如果 ，，，，且 那么四边形 与四边形 相似。 这时 分别是 的对应点， 分别是 的对应边。 提醒 （1）两个多边形相似，必须同时满足： · ① 边数相同； · ② 各角分别相等； · ③ 各边对应成比例。 （2）判断两个多边形相似，要结合图形观察顶点、角、边之间的对应关系。 【典型例题1】 下列各说法，其中正确的是 ① 两个边长不等的等边三角形相似； ② 两个边长不等的正方形相似； ③ 两个边长不等的菱形相似； ④ 两个斜边长不等的等腰直角三角形相似； ⑤ 两个正多边形相似。 解析：要根据多边形相似的条件判断。两个菱形，各角不一定对应相等，不一定相似；两个正多边形，边数不一定相等，不一定相似。 答案：①②④ 温馨提示：说明两个多边形不相似，只需找到一种特殊情况即可。 ☆知识点② 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等、对应边成比例。 ☆知识点③ 相似比 两个相似多边形的对应边的比值叫作这两个多边形的相似比。 提醒：相似比与两个多边形的顺序有关。例如，若四边形 与四边形 的相似比为 3，则四边形 与四边形的相似比为。 【典型例题2】 如图，四边形 与四边形 相似，并且点 与点 、点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点。求： （1）未知边 的长度和角 的大小； （2）四边形 与四边形 的相似比。 解： （1）因为四边形 与四边形 相似，点 与 、 与 、 与 、 与 分别是对应顶点，所以 由 ，得 解得 在四边形 中， 由 ，得 （2）四边形 与四边形 的相似比为 总结 （1）运用相似多边形的性质求角、边，首先要找准对应角和对应边，然后根据相似多边形的对应角相等、对应边成比例求解； （2）求图形 与图形 的相似比时，相似比 图形 的边长 : 图形 的边长。 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】相似多边形定义 ※ 方法总结 · 判断两个图形是否相似，需同时检查对应角是否相等、对应边是否成比例。 · 常见的一定相似的图形：两个等边三角形、两个正方形、两个等腰直角三角形。 · 常见的不一定相似的图形：两个矩形、两个等腰三角形、两个直角三角形。 · 黄金分割与相似多边形的综合问题，注意黄金比 (√5−1)/2 ≈ 0.618 的应用。 1．（2025秋•闵行区期末）下列各组图形中不一定是相似形的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 2．（2025秋•闵行区期中）下列各组图形不一定相似的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．两个含有100°内角的等腰三角形 C．两个含有50°内角的等腰三角形 D．两个含有50°内角的直角三角形 3．（2025秋•浦东新区校级月考）下列说法中，正确的是（　　） A．相似三角形都是全等三角形 B．所有的矩形都相似 C．所有的等腰三角形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似 4．（2024秋•闵行区期末）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，下列条件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠D＝60° 5．（2025秋•虹口区月考）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 6．（2025秋•浦东新区校级期中）在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE），以DE为边在正方形ABCD内作正方形DEPQ．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若AB的长为10cm，则P，D两点之间的距离为　 　 cm． 7．（2025秋•嘉定区校级月考）已知四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形，并且点A与点E、点B与点F、点C与点G、点D与点H分别是对应点，其中AB＝12cm、CD＝16cm、EF＝16cm，那么GH＝　 　 cm． 8．（2026•靖远县一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的1cm代表实际距离50m．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为 AB＝4cm，BC＝5cm，CD＝7cm，DA＝4.5cm，则该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长是　 　 m． 【考点2】相似多边形性质 ※ 方法总结 · 利用对应角相等求未知角的度数，结合四边形内角和为360°计算。 · 利用对应边成比例求未知边长，注意相似比的对应关系。 · 面积比 = 相似比的平方；周长比 = 相似比。 · 相似多边形中对应线段（高、中线、角平分线等）的比等于相似比。 · 注意相似比的有序性，区分“四边形ABCD ∽ 四边形EFGH”与“四边形ABCD ∽ 四边形EFGH”中对应顶点的顺序。 9．（2026春•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应，则∠D的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 10．（2025秋•嘉定区校级月考）把一个多边形按1：3的比缩小，则下列说法正确的是（　　） A．各边都扩大到原来的3倍，各角不变 B．各边和各角都缩小到原来的 C．各边和各角都扩大到原来的3倍 D．各边都缩小到原来的，各角不变 11．（2026•新兴县一模）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝5，EF＝3，则它们的面积之比为（　　） A．5：3 B．3：5 C．25：9 D．无法确定 12．（2025秋•益阳月考）在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　） A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元 13．（2025秋•渠县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且面积比为1：9，则AE的长为（　　） A．1 B．3 C．18 D．2 14．（2025秋•金山区期中）矩形ABCD中，AB＞BC，E、F分别为AB、CD中点，如果矩形ABCD与矩形EFCB相似，那么它们相似比的比值为 　 　 ． 15．（2026•湘桥区一模）一个矩形如果满足宽和长的比等于，那么这个矩形叫做“黄金矩形”．如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到的四边形CDEF也是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 　 　 ．（结果用π表示） 16．（2025秋•东坡区期末）▱ABCD与▱A′B′C′D′相似，AB＝4，AB的对应边A′B′＝5，▱ABCD的面积为8，则▱A′B′C′D′的面积为　 　 ． 17．（2025秋•子洲县期末）已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积比为1：3，若AB的长为2，则A1B1的长为　 　 ． 18．（2025秋•嘉定区校级月考）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形作相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） （1）①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　 　 命题）②两个大小不同的正方形相似．（　 　 命题） （2）如图，在凸四边形ABCD和凸四边形A1B1C1D1中，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1＝90°，， 求证：四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似． 19．（2026春•新泰市期末）如图，已知▱ABCD∽▱EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 20．（2024秋•驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 模块二 · 位似多边形 ☆知识点1 位似图形的概念 如图，每幅图的两个多边形不仅相似，而且它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，像这样的两个图形是位似图形，这点叫作位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似。 提醒 （1）相似仅要求两个图形的形状完全相同，而位似是在相似的基础上，要求对应顶点的连线相交于一点。 （2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似图形是具有特殊位置的相似图形。 在图1中， 与 是以点 为位似中心的位似图形，且 在图2、3中，四边形 与四边形 是以点 为位似中心的位似图形， 在图5中，五边形 与五边形 是以点 为位似中心的位似图形，且 提示： （1）位似图形的位似中心只有一个。 （2）利用位似，可以将一个图形放大或缩小。 （3）位似中心可能位于位似图形的同侧（如图1）；也可能位于位似图形之间（如图5）；还可能位于图形的内部、边上或某一顶点处（如图2、3、4）。 【典型例1】 指出下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心。 解： 图1中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 图2中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 因为图3中的两个图形对应顶点的连线不相交于一点，所以它们不是位似图形。 *温馨提示：位似图形是对应顶点交于一点的相似图形。 总结：确定位似中心的方法：至少连接位似图形上的两组对应点，这两组对应点所在直线的交点即为位似中心。 【典型例题2】 如图，，试判断 与 是不是位似图形？ 解：不是位似图形。 ∵ ，且 ， ∴ 。 但对应点 的连线与对应点 的连线不交于点 ， 故 与 不是位似图形。 ☆知识点2 位似图形的性质 1. 位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质。 1. 位似图形的对应点的连线相交于一点，这个点就是位似中心。 1. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。 1. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 【典型例题3】 如图， 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的，如果 的周长与 的周长比是 ，那么 。 解析： ∵ 与 位似，且周长比为 ， ∴ 与 的相似比为 ， ∴ 。 答案： 总结：位似图形具有相似图形的所有性质，对应角相等，对应边成比例，对应高的比、中线的比、角平分线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 ☆知识点3 画位似图形 画位似图形的一般步骤： 1. 定点：确定位似中心，并找出原图形的关键点。 1. 连线：分别连接位似中心和原图形的关键点。 1. 取点：根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置。 1. 构图：顺次连接所取各点，得到放大或缩小的图形。 提醒 （1）画位似图形时，要弄清相似比，即分清是原图形与新图形的相似比，还是新图形与原图形的相似比。 （2）以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。 【典型例题4】 四边形 的一个位似图形是四边形 ，且 的对应点分别是 。图中给出了 的对应边 所在的位置，请把四边形 其余部分补画上。 解： （1）连接 ，相交于点 ，则点 为位似中心； （2）作射线 ； （3）分别过点 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ； （4）连接 ，四边形 为所要画的图形（如图所示）。 ☆知识点4 平面直角坐标系中的位似变换 1. 位似变换中的坐标变化 如图，在平面直角坐标系中有一点 。点 在射线 上，并且 ，那么根据成比例线段的知识， 的坐标为 。同理，如果点 在射线 的反向延长线上，并且 ，那么 的坐标为 。 2. 平面直角坐标系中图形的位似变换 一般地，在平面直角坐标系中有两个 边形，分别记作多边形 和多边形 。如果存在一个非零常数 ，使得对任意 （），点 的横、纵坐标都是点 的横、纵坐标的 倍，那么就称多边形 与多边形 关于原点位似，原点 为位似中心， 为位似比。这时，通常简称这两个多边形位似。 提醒 如果，那么多边形和多边形 位于原点的同侧； 如果 ，那么多边形 和多边形 位于原点 的异侧。 如果多边形 与多边形 位似，并且位似比为 ，那么多边形 与多边形 一定相似，并且相似比为 。 于是，可以利用位似放大（若 ）或缩小（若 ）一个多边形。 特别地，当位似比 时，两个位似形重合；当位似比 时，两个位似形关于原点中心对称。 例 5 如图， 的三个顶点分别是 、、，试以原点 为位似中心，构造 的位似图形，使之与 的相似比为 2。 解： 设与 位似的图形为 与 ，且 与 均与 的相似比为 2，则： 的各顶点坐标分别是 、、； 的各顶点坐标分别是、、。 在平面直角坐标系中描出这两组点，然后顺次连接点 、、 和点 、、（如图所示）。则 和 为所求。 总结：求位似变换后点的坐标或作位似图形时，当位似的两个图形与位似中心的位置不明确时，应分两个图形位于位似中心的同侧和异侧两种情况讨论，避免漏解。 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】位似多边形—位似变换 ※ 方法总结 · 位似中心是对应点连线的交点，可能在图形同侧或异侧。 · 坐标规律：以原点为位似中心，相似比为 k 时，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (−kx, −ky)。 · 位似比 = 对应点到位似中心的距离之比 = 相似比。 小孔成像问题中，像与物构成位似图形，位似中心为小孔。面积比 = 位似比的平方21．（2025秋•浦东新区期中）以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为（1，2），则对应点A′的坐标为（　　） A．（2，4）或（﹣2，﹣4） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，4） D．（﹣2，﹣4） 22．（2024春•越秀区校级月考）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4） 23．（2026春•沙坪坝区校级同步）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为它们的位似中心，且四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比为2：3，则OA：OA′为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25 24．（2026春•青羊区校级同步）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 25．（2026•泊头市校级模拟）如图是6×9的网格，其中每个小正方形的边长均为1．△ABC与△DEF是一对位似三角形，且点B和点E是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（　　） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 26．（2026•漳州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，且相似比为2，点P（4，2）在△ABC的边AC上，则点P在A′C′上的对应点P′的坐标为　 　 ． 27．（2026•前郭县校级模拟）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为16cm蜡烛火焰AB高为6cm，若像高CD为3cm，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为　 　 cm． 28．（2026春•双流区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），已知△ABC的顶点A（2，4），若点D的坐标为（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为　 　 ． 29．（2025秋•榆阳区校级期末）如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，△ABC三个顶点分别为A（﹣1，0），B（0，1），C（1，﹣1）．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，且A1（﹣1，2），B1（1，4）． （1）在P、Q、M、N四个点中，位似中心是点　 　 ； （2）在网格中将△A1B1C1补充完整，并写出点C1的坐标； （3）　 　 ． 30．（2025秋•九江校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2），求点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标． 31．（2025秋•石家庄期中）如图，△ABC与△DEF位似，EB的延长线与FC的延长线交于点O，点A和点D在线段OE上． （1）△ABC与△DEF的位似中心为点 　 　 ． （2）若△ABC与△DEF的位似比为，AC＝3，求DF的长． （3）若∠O＝20°，∠E＝40°，求∠BCF的度数． 【考点2】作图—位似变换 ※ 方法总结 · 以某点为位似中心作位似图形，需连接位似中心与各顶点，按相似比截取对应点。 · 网格中作图要充分利用格点，准确确定对应点的位置。 · 注意区分“同侧位似”和“异侧位似”，题目若限定象限则只有一种情况。 · 利用位似变换求周长、面积时，先确定相似比，再按性质计算。 32．（2025秋•福田区期末）如图，已知五边形ABCDE，以P点为位似中心画出五边形A′B′C′D′E′，使五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，相似比为2．若五边形ABCDE的周长为26，则五边形A′B′C′D′E′的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 33．（2025•古冶区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1）， 34．（2023•大连模拟）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5） 35．（2024春•同步）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB＝2cm，则A′B′＝　 　 cm，并在图中画出位似中心O． 36．（2025秋•洪洞县期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似比为2：1； （3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为　 　 ． 37．（2026春•江岸区校级月考）如图是由小正方形组成的8×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． （1）在图1中，作△ABC的高线BE； （2）在图1中，在BC上画一点F，使∠CFA＝∠CAB； （3）在图1中，在AC上画一点G，使BG＝BA； （4）在图2中，P是AC上一点，连接BP，将△BCP以点B为位似中心缩小到原来的得到△BC′P′． 38．（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 39．（2026•阜阳校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； （2）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件： ①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为； ②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧． 40．（2026春•合肥校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； （2）写出点P的坐标为　 　 ，△ABC与△A′B′C′的面积比为　 　 ，S△ABC＝　 　 ； （3）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件： ①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为； ②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•博山区期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则α的度数是　 　 °． 【练习2】（2026•成安县模拟）如图，四边形ABCD∽四边形GEFH，则x＝　 　 ． 【练习3】（2026春•长春校级期末）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝2：1，且△ABC的面积是4，则△DEF的面积是　 　 ． 【练习4】（2026•盘锦一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若DO：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积之比是　 　 ． 【练习5】（2026•泾川县校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．若点A′（2，2），C′（8，2），AC＝3，则点C的坐标为　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 1.强化相似比的有序性：在书写相似关系时，务必按对应顶点顺序书写，避免因顺序错误导致比例关系写反。 2.区分“相似”与“位似”：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似要求对应点连线交于一点且对应边平行。 3.坐标规律勿漏解：以原点为位似中心时，对应点坐标有两种情况（同向和反向），解题时注意题目是否限定象限或方向。 4.面积比与相似比的关系：面积比等于相似比的平方，计算时不要忘记平方，这是常见失分点。 5.作图规范训练：位似作图要保留连线痕迹，准确标注对应点字母，注意位似中心的位置可以在图形内部、外部或边上。 6.综合应用提升：多做相似多边形与位似变换结合的综合题，如网格作图、坐标计算、实际应用（小孔成像、测绘）等。 【作业1】（2025秋•鄞州区期末）如图，菱形ABCD∽菱形EAFC，且相似比为2，则下列说法错误的是（　　） A．B，E，F，D四点共线 B．E为△ABC的重心 C． D．AE⊥BC 【作业2】（2026•天台县二模）如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2026春•绿园区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D′＝55°，则∠C的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．135° 【作业4】（2026•浙江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A与对应点A′的坐标分别为（0，2），（0，3），则点C（2，3）的对应点C′的坐标为（　　） A．（3，4） B． C．（﹣3，﹣4） D． 【作业5】（2026•西湖区校级一模）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为（　　） A．（6，﹣2） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣6，2） D．（6，2）或（﹣6，﹣2） 【作业6】（2026•船山区校级模拟）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，0） D．（0，﹣1） 【作业7】（2026春•榆阳区校级期末）如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 【作业8】（2025秋•资阳月考）如图，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为和多边形A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°． （1）求∠F的度数； （2）如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度． 【作业9】（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，1）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，且点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1； （2）△ABC与△A1B1C1的面积比为　 　 ． 【作业10】（2026春•莱州市期末）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　 　 ． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　 　 ． 【作业11】（2026•湘桥区模拟）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以A点为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△AB1C1． （2）在线段AB上画一个点M，使． 【作业12】（2026•兴庆区校级一模）如图，平面直角坐标系的原点在格点上，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上． （1）以原点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2，且点B的对应点B1在第一象限，请在网格内画出△A1B1C1； （2）点A1的坐标为　 　 ；点C1的坐标为　 　 ． 【作业13】（2026•汝阳县一模）根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，点A，B，C都在格点上，在网格中求作△A1B1C，使得△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形； （2）根据（1）中所作图形，可得　 　 ； （3）如图2，点D，E都在格点上．在DE上求作一点P，使得EP：PD＝1：3． 【作业14】（2026•桐城市校级一模）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中．将△ABC以点C为位似中心放大2倍得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）在图2中，在线段AB上画一个点P，使． 【作业15】（2025秋•府谷县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，0），B（﹣1，1），C（2，2）．以原点O为位似中心，作△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1），△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，且点B1在第二象限． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.3-28.4 相似多边形&位似多边形 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解相似多边形的定义，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例的基本性质。 · 掌握相似多边形的判定方法，能灵活运用定义和性质判定两个多边形是否相似。 · 理解位似图形的概念，掌握位似图形与相似图形的关系，能准确识别位似中心。 · 掌握位似变换的坐标变化规律：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为 k 时，对应点的坐标比为 k 或 −k。 · 能利用位似变换进行作图，会在网格中按要求放大或缩小图形。 · 能综合运用相似多边形和位似的知识解决实际问题，如面积比、周长比、坐标计算等。 模块一 · 相似多边形 ☆知识点① 两个多边形相似的定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。 两个多边形相似也可以表述为“两个多边形是相似多边形”或“一个多边形与另一个多边形相似”。 例如，如图，如果 ，，，，且 那么四边形 与四边形 相似。 这时 分别是 的对应点， 分别是 的对应边。 提醒 （1）两个多边形相似，必须同时满足： · ① 边数相同； · ② 各角分别相等； · ③ 各边对应成比例。 （2）判断两个多边形相似，要结合图形观察顶点、角、边之间的对应关系。 【典型例题1】 下列各说法，其中正确的是 ① 两个边长不等的等边三角形相似； ② 两个边长不等的正方形相似； ③ 两个边长不等的菱形相似； ④ 两个斜边长不等的等腰直角三角形相似； ⑤ 两个正多边形相似。 解析：要根据多边形相似的条件判断。两个菱形，各角不一定对应相等，不一定相似；两个正多边形，边数不一定相等，不一定相似。 答案：①②④ 温馨提示：说明两个多边形不相似，只需找到一种特殊情况即可。 ☆知识点② 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等、对应边成比例。 ☆知识点③ 相似比 两个相似多边形的对应边的比值叫作这两个多边形的相似比。 提醒：相似比与两个多边形的顺序有关。例如，若四边形 与四边形 的相似比为 3，则四边形 与四边形的相似比为。 【典型例题2】 如图，四边形 与四边形 相似，并且点 与点 、点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点。求： （1）未知边 的长度和角 的大小； （2）四边形 与四边形 的相似比。 解： （1）因为四边形 与四边形 相似，点 与 、 与 、 与 、 与 分别是对应顶点，所以 由 ，得 解得 在四边形 中， 由 ，得 （2）四边形 与四边形 的相似比为 总结 （1）运用相似多边形的性质求角、边，首先要找准对应角和对应边，然后根据相似多边形的对应角相等、对应边成比例求解； （2）求图形 与图形 的相似比时，相似比 图形 的边长 : 图形 的边长。 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】相似多边形定义 ※ 方法总结 · 判断两个图形是否相似，需同时检查对应角是否相等、对应边是否成比例。 · 常见的一定相似的图形：两个等边三角形、两个正方形、两个等腰直角三角形。 · 常见的不一定相似的图形：两个矩形、两个等腰三角形、两个直角三角形。 · 黄金分割与相似多边形的综合问题，注意黄金比 (√5−1)/2 ≈ 0.618 的应用。 1．（2025秋•闵行区期末）下列各组图形中不一定是相似形的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【分析】根据相似图形的定义解答即可． 【解答】解：A、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，不符合题意； D、两个直角三角不一定相似，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似图形，熟知相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同是解题的关键． 2．（2025秋•闵行区期中）下列各组图形不一定相似的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．两个含有100°内角的等腰三角形 C．两个含有50°内角的等腰三角形 D．两个含有50°内角的直角三角形 【分析】利用相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、两个等腰直角三角形一定相似，本选项不符合题意； B、两个含有100°内角的等腰三角形一定相似，本选项不符合题意； C、两个含有50°内角的等腰三角形不一定相似，本选项符合题意； D、两个含有50°内角的直角三角形一定相似，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 3．（2025秋•浦东新区校级月考）下列说法中，正确的是（　　） A．相似三角形都是全等三角形 B．所有的矩形都相似 C．所有的等腰三角形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似 【分析】利用相似图形的判定进而判断得出即可． 【解答】解：A、相似三角形不是全等三角形，原说法不正确，不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有的矩形不一定相似，不符合题意； C、等腰三角形的顶角不一定相等，所以所有的等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，符合题意， 故选：D． 【点评】此题主要考查了相似图形，全等三角形的判定，掌握相似图形的判定是解题关键． 4．（2024秋•闵行区期末）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，下列条件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠D＝60° 【分析】如图，连接AC，BD交于点O．证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠ABC＝∠ADC，再证明当∠ABC＝90°时符合题意即可． 【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O． 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC＝∠ADC， 当∠ABC＝90°时，∠ADC＝90°， ∵AB＝AD，BD＝DC， ∴AC⊥BD， ∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠ACB+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠ACB， ∵∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴△AOB∽△BOC，同法可证△AOD∽△DOC， 故选项B符合题意． 当∠A＝90°或∠C＝90°或∠D＝60°时不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 5．（2025秋•虹口区月考）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【分析】利用位似图形的性质以及相似多边形的判定方法得出即可． 【解答】解：由题意可得新矩形边长为：7和10， ， 故两矩形不相似， 当新三角形的对应边间距离均为1时，则两三角形的对应边平行，且对应点连线相交于一点，故两三角形位似，即相似， 故选：D． 【点评】此题主要考查了相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键． 6．（2025秋•浦东新区校级期中）在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE），以DE为边在正方形ABCD内作正方形DEPQ．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若AB的长为10cm，则P，D两点之间的距离为　　 cm． 【分析】先由正方形的性质得AD＝AB＝10cm，再由黄金分割求出cm，再根据正方形的性质得到PE＝DE，∠PED＝90°，即可由勾股定理求解． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB的长为10cm，如图，连接PD， ∴AD＝AB＝10cm， ∵点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE）， ∴DE（cm）， ∵四边形DEPQ是正方形， ∴PE＝DE，∠PED＝90°， ∴PD（cm）． 故答案为：． 【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 7．（2025秋•嘉定区校级月考）已知四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形，并且点A与点E、点B与点F、点C与点G、点D与点H分别是对应点，其中AB＝12cm、CD＝16cm、EF＝16cm，那么GH＝　　 cm． 【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形，得，而AB＝12cm、CD＝16cm、EF＝16cm，则GHcm，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形， ∴， ∵AB＝12cm、CD＝16cm、EF＝16cm， ∴GH（cm）， 故答案为：． 【点评】此题重点考查图形的相似，根据相似多边形的对应边成比例正确地列出等式是解题的关键． 8．（2026•靖远县一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的1cm代表实际距离50m．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为 AB＝4cm，BC＝5cm，CD＝7cm，DA＝4.5cm，则该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长是　1025　 m． 【分析】根据相似多边形的性质求出该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长即可． 【解答】解：由题知， 数字模型上该住宅的周长为：4+5+7+4.5＝20.5（cm）． 因为数字模型上的1cm代表实际距离50m， 则20.5×50＝1025（m）， 所以该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长是1025m． 故答案为：1025． 【点评】本题主要考查了相似图形，熟知相同多边形的性质是解题的关键． 【考点2】相似多边形性质 ※ 方法总结 · 利用对应角相等求未知角的度数，结合四边形内角和为360°计算。 · 利用对应边成比例求未知边长，注意相似比的对应关系。 · 面积比 = 相似比的平方；周长比 = 相似比。 · 相似多边形中对应线段（高、中线、角平分线等）的比等于相似比。 · 注意相似比的有序性，区分“四边形ABCD ∽ 四边形EFGH”与“四边形ABCD ∽ 四边形EFGH”中对应顶点的顺序。 9．（2026春•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应，则∠D的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出∠A 和∠C的度数，再利用四边形内角和定理计算∠D的度数． 【解答】解：相似多边形的性质可知，∠A＝∠E＝80°，∠C＝∠G＝90°． ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°． 故选：C． 【点评】此题考查相似多边形，关键是根据相似多边形的对应角相等解答． 10．（2025秋•嘉定区校级月考）把一个多边形按1：3的比缩小，则下列说法正确的是（　　） A．各边都扩大到原来的3倍，各角不变 B．各边和各角都缩小到原来的 C．各边和各角都扩大到原来的3倍 D．各边都缩小到原来的，各角不变 【分析】根据相似多边形的性质解答即可． 【解答】解：把一个多边形按1：3的比缩小后，各边都缩小到原来的，各角是不变的，故A、B、C错误，D正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键． 11．（2026•新兴县一模）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝5，EF＝3，则它们的面积之比为（　　） A．5：3 B．3：5 C．25：9 D．无法确定 【分析】相似多边形面积的比等于相似比的平方，由此即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴四边形ABCD的面积：四边形EFGH＝AB2：EF2＝52：32＝25：9． 故选：C． 【点评】本题考查相似多边形当性质，关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方． 12．（2025秋•益阳月考）在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　） A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元 【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案． 【解答】解：∵将此展板的四边都扩大为原来的1.2倍， ∴面积扩大为原来的1.22＝1.44（倍）， ∵一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元， ∴扩大后展板的成本为1.44a（元）， 故选：C． 【点评】此题考查的是相似多边形的性质，列代数式，掌握相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 13．（2025秋•渠县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且面积比为1：9，则AE的长为（　　） A．1 B．3 C．18 D．2 【分析】根据相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝6， ∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且面积比为1：9， ∴， ∴， ∴DE＝18，AE＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键． 14．（2025秋•金山区期中）矩形ABCD中，AB＞BC，E、F分别为AB、CD中点，如果矩形ABCD与矩形EFCB相似，那么它们相似比的比值为 　　 ． 【分析】根据线段的中点可得：AE＝EBAB，然后利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： ∵E是AB的中点， ∴AE＝EBAB， ∵矩形ABCD与矩形EFCB相似， ∴， 即， ∴AB2＝BC2， ∴AB2：BC2＝2：1， ∴AB：BC：1， ∴它们相似比的比值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，准确熟练地进行计算解题的关键． 15．（2026•湘桥区一模）一个矩形如果满足宽和长的比等于，那么这个矩形叫做“黄金矩形”．如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到的四边形CDEF也是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 　（1）π　 ．（结果用π表示） 【分析】根据“黄金矩形”先计算出AB1，再利用四边形ABFE为正方形得到EA＝AB＝EF＝BF1，∠AEF＝90°，接着根据正方形的性质得到GH＝GF＝FC＝CH＝2﹣（1）＝3，∠FGH＝90°，LH＝DH1﹣（3）＝24，∠HLK＝90°，然后根据弧长公式计算三段弧的长度的和即可． 【解答】解：∵黄金矩形ABCD的边AD＝2， ∴ABAD1， ∵四边形ABFE为正方形， ∴EA＝AB＝EF＝BF1，∠AEF＝90°， ∵四边形GFCH为正方形， ∴GH＝GF＝FC＝CH＝2﹣（1）＝3，∠FGH＝90°， ∵四边形DHLK为正方形， ∴LH＝DH1﹣（3）＝24，∠HLK＝90°， ∴“黄金螺线”AFHK的长（1）π． 故答案为：（1）π． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．也考查了矩形的性质、正方形的性质和黄金分割． 16．（2025秋•东坡区期末）▱ABCD与▱A′B′C′D′相似，AB＝4，AB的对应边A′B′＝5，▱ABCD的面积为8，则▱A′B′C′D′的面积为　12.5　 ． 【分析】相似多边形面积的比等于相似比的平方，由此即可求解． 【解答】解：∵▱ABCD与▱A′B′C′D′相似，AB＝4，AB的对应边A′B′＝5， ∴▱ABCD的面积：▱A′B′C′D′的面积＝AB2：A′B′2＝42：52， ∵▱ABCD的面积为8， ∴▱A′B′C′D′的面积＝12.5． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方． 17．（2025秋•子洲县期末）已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积比为1：3，若AB的长为2，则A1B1的长为　　 ． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积比为1：3， ∴， ∵AB的长为2， ∴， ∴． ∴故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 18．（2025秋•嘉定区校级月考）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形作相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） （1）①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　假　 命题）②两个大小不同的正方形相似．（　真　 命题） （2）如图，在凸四边形ABCD和凸四边形A1B1C1D1中，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1＝90°，， 求证：四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似． 【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断； （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． 【解答】（1）解：根据相似多边形的定义可知： ①三个角分别相等的两个凸四边形不一定相似，原命题是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； （2）证明：连接AC、A1C1， ∵∠B＝∠B1，， ∴△ABC∽△A1B1C1， ∴∠BCA＝∠B1C1A1，∠BAC＝∠B1A1C1，， 又∵，∠D＝∠D1＝90°， ∴， ∴Rt△ACD∽Rt△A1C1D1， ∴∠DAC＝∠D1A1C1，∠DCA＝∠D1C1A1，， ∴∠DCB＝∠D1C1B1，∠DAB＝∠D1A1B1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1，， ∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键． 19．（2026春•新泰市期末）如图，已知▱ABCD∽▱EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 【分析】（1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴∠M＝∠B＝50°； 故答案为：50； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴ ∵AB＝4，BC＝6，ME＝3， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． 20．（2024秋•驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝1，然后求得EP的长，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE，BPAB＝1， ∴AP， ∴EP， ∴EB， ∴GD． 【点评】本题主要考查相似多边形形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等知识的综合运用． 模块二 · 位似多边形 ☆知识点1 位似图形的概念 如图，每幅图的两个多边形不仅相似，而且它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，像这样的两个图形是位似图形，这点叫作位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似。 提醒 （1）相似仅要求两个图形的形状完全相同，而位似是在相似的基础上，要求对应顶点的连线相交于一点。 （2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似图形是具有特殊位置的相似图形。 在图1中， 与 是以点 为位似中心的位似图形，且 在图2、3中，四边形 与四边形 是以点 为位似中心的位似图形， 在图5中，五边形 与五边形 是以点 为位似中心的位似图形，且 提示： （1）位似图形的位似中心只有一个。 （2）利用位似，可以将一个图形放大或缩小。 （3）位似中心可能位于位似图形的同侧（如图1）；也可能位于位似图形之间（如图5）；还可能位于图形的内部、边上或某一顶点处（如图2、3、4）。 【典型例1】 指出下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心。 解： 图1中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 图2中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 因为图3中的两个图形对应顶点的连线不相交于一点，所以它们不是位似图形。 *温馨提示：位似图形是对应顶点交于一点的相似图形。 总结：确定位似中心的方法：至少连接位似图形上的两组对应点，这两组对应点所在直线的交点即为位似中心。 【典型例题2】 如图，，试判断 与 是不是位似图形？ 解：不是位似图形。 ∵ ，且 ， ∴ 。 但对应点 的连线与对应点 的连线不交于点 ， 故 与 不是位似图形。 ☆知识点2 位似图形的性质 1. 位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质。 1. 位似图形的对应点的连线相交于一点，这个点就是位似中心。 1. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。 1. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 【典型例题3】 如图， 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的，如果 的周长与 的周长比是 ，那么 。 解析： ∵ 与 位似，且周长比为 ， ∴ 与 的相似比为 ， ∴ 。 答案： 总结：位似图形具有相似图形的所有性质，对应角相等，对应边成比例，对应高的比、中线的比、角平分线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 ☆知识点3 画位似图形 画位似图形的一般步骤： 1. 定点：确定位似中心，并找出原图形的关键点。 1. 连线：分别连接位似中心和原图形的关键点。 1. 取点：根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置。 1. 构图：顺次连接所取各点，得到放大或缩小的图形。 提醒 （1）画位似图形时，要弄清相似比，即分清是原图形与新图形的相似比，还是新图形与原图形的相似比。 （2）以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。 【典型例题4】 四边形 的一个位似图形是四边形 ，且 的对应点分别是 。图中给出了 的对应边 所在的位置，请把四边形 其余部分补画上。 解： （1）连接 ，相交于点 ，则点 为位似中心； （2）作射线 ； （3）分别过点 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ； （4）连接 ，四边形 为所要画的图形（如图所示）。 ☆知识点4 平面直角坐标系中的位似变换 1. 位似变换中的坐标变化 如图，在平面直角坐标系中有一点 。点 在射线 上，并且 ，那么根据成比例线段的知识， 的坐标为 。同理，如果点 在射线 的反向延长线上，并且 ，那么 的坐标为 。 2. 平面直角坐标系中图形的位似变换 一般地，在平面直角坐标系中有两个 边形，分别记作多边形 和多边形 。如果存在一个非零常数 ，使得对任意 （），点 的横、纵坐标都是点 的横、纵坐标的 倍，那么就称多边形 与多边形 关于原点位似，原点 为位似中心， 为位似比。这时，通常简称这两个多边形位似。 提醒 如果，那么多边形和多边形 位于原点的同侧； 如果 ，那么多边形 和多边形 位于原点 的异侧。 如果多边形 与多边形 位似，并且位似比为 ，那么多边形 与多边形 一定相似，并且相似比为 。 于是，可以利用位似放大（若 ）或缩小（若 ）一个多边形。 特别地，当位似比 时，两个位似形重合；当位似比 时，两个位似形关于原点中心对称。 例 5 如图， 的三个顶点分别是 、、，试以原点 为位似中心，构造 的位似图形，使之与 的相似比为 2。 解： 设与 位似的图形为 与 ，且 与 均与 的相似比为 2，则： 的各顶点坐标分别是 、、； 的各顶点坐标分别是、、。 在平面直角坐标系中描出这两组点，然后顺次连接点 、、 和点 、、（如图所示）。则 和 为所求。 总结：求位似变换后点的坐标或作位似图形时，当位似的两个图形与位似中心的位置不明确时，应分两个图形位于位似中心的同侧和异侧两种情况讨论，避免漏解。 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】位似多边形—位似变换 ※ 方法总结 · 位似中心是对应点连线的交点，可能在图形同侧或异侧。 · 坐标规律：以原点为位似中心，相似比为 k 时，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (−kx, −ky)。 · 位似比 = 对应点到位似中心的距离之比 = 相似比。 小孔成像问题中，像与物构成位似图形，位似中心为小孔。面积比 = 位似比的平方 21．（2025秋•浦东新区期中）以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为（1，2），则对应点A′的坐标为（　　） A．（2，4）或（﹣2，﹣4） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，4） D．（﹣2，﹣4） 【分析】位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【解答】解：∵位似中心O为原点（0，0），位似比为2， ∴点A（1，2）的对应点A′坐标满足：A′（2×1，2×2）＝（2，4）或 A′（﹣2×1，﹣2×2）＝（﹣2，﹣4）， ∴A′坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）， 故选：A． 【点评】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或﹣k． 22．（2024春•越秀区校级月考）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4） 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1， ∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2， ∵点C的坐标为（3，2）， ∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 23．（2026春•沙坪坝区校级同步）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为它们的位似中心，且四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比为2：3，则OA：OA′为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25 【分析】利用位似图形的周长比等于相似比直接求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为它们的位似中心，且四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比为2：3， ∴OA：OA′＝2：3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了位似变换，掌握其相关知识点是解题的关键． 24．（2026春•青羊区校级同步）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 【分析】根据相似比等于位似比可得：四边形ABCD的周长：四边形EFGH的周长＝1：3，据此解答即可求解． 【解答】解：∵OA：AE＝1：2， ∴OA：OE＝1：3， ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O， ∴四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为1：3， ∴四边形ABCD的周长：四边形EFGH的周长＝1：3， ∵四边形ABCD的周长为4， ∴四边形EFGH的周长为3×4＝12， 故选：C． 【点评】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 25．（2026•泊头市校级模拟）如图是6×9的网格，其中每个小正方形的边长均为1．△ABC与△DEF是一对位似三角形，且点B和点E是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（　　） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 【分析】根据题意画出图形变化，结合选项判断即可． 【解答】解：画出△ABC如图， 由图可得C选项符合题意，其他选项不符合题意， 故选：C． 【点评】根据题意画出图形变化，结合选项判断即可． 26．（2026•漳州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，且相似比为2，点P（4，2）在△ABC的边AC上，则点P在A′C′上的对应点P′的坐标为　（2，1）　 ． 【分析】△ABC与△A′B′C′位似，且位于点O同侧，根据位似图形的性质，点P的横纵坐标分别乘，即可得点P′的坐标． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，且相似比为2，点P（4，2）， ∴点P′（2，1）， 故答案为：（2，1）． 【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 27．（2026•前郭县校级模拟）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为16cm蜡烛火焰AB高为6cm，若像高CD为3cm，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为　32　 cm． 【分析】连接AB，CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，先判定△COD∽△BOA，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【解答】解：连接AB，CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F， ∵像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O， ∴△COD∽△BOA， ∵AB＝6cm，CD＝3cm， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴OE＝2OF＝2×16＝32（cm）， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为32cm， 故答案为：32． 【点评】本题考查位似，掌握相似的性质是解题的关键． 28．（2026春•双流区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），已知△ABC的顶点A（2，4），若点D的坐标为（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为　8　 ． 【分析】由题意得△ABC与△DEF的相似比为2：1，则可得△ABC与△DEF的面积比为4：1，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，A（2，4），D（1，2）， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：1， ∴△ABC与△DEF的面积比为4：1， ∵△DEF的面积为2， ∴△ABC的面积为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 29．（2025秋•榆阳区校级期末）如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，△ABC三个顶点分别为A（﹣1，0），B（0，1），C（1，﹣1）．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，且A1（﹣1，2），B1（1，4）． （1）在P、Q、M、N四个点中，位似中心是点Q ； （2）在网格中将△A1B1C1补充完整，并写出点C1的坐标； （3）　4　 ． 【分析】（1）连接A1A，B1B，并分别延长相交于点Q，则点Q为△ABC与△A1B1C1的位似中心，即可得出答案； （2）结合位似图形的性质，连接QC并延长，在QC的延长线上取点C1，使CC1＝QC，连接A1C1，B1C1即可； （3）利用位似图形的性质即可解答． 【解答】解：（1）如图1，连接A1A，B1B，并分别延长相交于点Q，则点Q为△ABC与△A1B1C1的位似中心， 故答案为：Q； （2）将△A1B1C1补充完整，如图2即为所求； 由图可知，点C1的坐标为（3，0）； （3）∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，且， ∴， 故答案为：4． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 30．（2025秋•九江校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2），求点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标． 【分析】根据点的坐标可得到位似比为1：2，再根据位似比即可求解． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∴点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标为（﹣1×2，2×2），即（﹣2，4）． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 31．（2025秋•石家庄期中）如图，△ABC与△DEF位似，EB的延长线与FC的延长线交于点O，点A和点D在线段OE上． （1）△ABC与△DEF的位似中心为点 O ． （2）若△ABC与△DEF的位似比为，AC＝3，求DF的长． （3）若∠O＝20°，∠E＝40°，求∠BCF的度数． 【分析】（1）由图形结合位似图形定义直接得出结论； （2）由△ABC与△DEF的位似比为，可得，再求DF的长即可； （3）根据位似图形的性质先求出∠ABC的度数，再根据三角形外角的性质求出结论即可． 【解答】解：（1）∵△ABC与△DEF位似，EB的延长线与FC的延长线交于点O， ∴△ABC与△DEF的位似中心为点O； （2）∵△ABC与△DEF的位似比为，AC＝3， ∴， ∴DF＝2AC＝6； （3）∵△ABC与△DEF位似，∠E＝40°， ∴∠ABC＝∠E＝40°， ∵∠O＝20°， ∴∠BCF＝∠ABC+∠O＝40°+20°＝60°． 【点评】本题考查位似变换的概念、相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【考点2】作图—位似变换 ※ 方法总结 · 以某点为位似中心作位似图形，需连接位似中心与各顶点，按相似比截取对应点。 · 网格中作图要充分利用格点，准确确定对应点的位置。 · 注意区分“同侧位似”和“异侧位似”，题目若限定象限则只有一种情况。 · 利用位似变换求周长、面积时，先确定相似比，再按性质计算。 32．（2025秋•福田区期末）如图，已知五边形ABCDE，以P点为位似中心画出五边形A′B′C′D′E′，使五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，相似比为2．若五边形ABCDE的周长为26，则五边形A′B′C′D′E′的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】结合位似的性质以及相似三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为2，五边形ABCDE的周长为26， ∴五边形A′B′C′D′E′的周长为13． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质以及相似三角形的性质是解答本题的关键． 33．（2025•古冶区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1）， 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2）， k的值为：． 故选：B． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 34．（2023•大连模拟）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5） 【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标． 【解答】解：如图，连接BF交y轴于P， ∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1）， ∴CG＝3， ∵BC∥GF， ∴， ∴GP＝1，PC＝2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 35．（2024春•同步）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB＝2cm，则A′B′＝　4　 cm，并在图中画出位似中心O． 【分析】根据位似比等于相似比建立方程就可以求出结论，连接AA′，BB′，他们的交点就是位似中心O． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形， ∴△ABC∽△A′B′C′． ∴． ∵AB＝2， ∴， ∴AB＝4cm． 故答案为：4． 如图，连接AA′，BB′，AA′与BB′的交点就是位似中心O． 【点评】本题考查了位似图形的性质的运用，位似变换作图的运用，位似图形的性质的运用，解答时根据位似图形的性质求解是关键． 36．（2025秋•洪洞县期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似比为2：1； （3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为　（﹣2a，﹣2b）　 ． 【分析】（1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为2：1作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可； 【解答】解：（1）如图，点P即为所求， ∴P（0，﹣2）； （2）画出△ABC的位似图形△A2B2C2，如图： （3）由题意得，点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为（﹣2a，﹣2b）； 故答案为：（﹣2a，﹣2b）． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 37．（2026春•江岸区校级月考）如图是由小正方形组成的8×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． （1）在图1中，作△ABC的高线BE； （2）在图1中，在BC上画一点F，使∠CFA＝∠CAB； （3）在图1中，在AC上画一点G，使BG＝BA； （4）在图2中，P是AC上一点，连接BP，将△BCP以点B为位似中心缩小到原来的得到△BC′P′． 【分析】（1）取格点P、Q，连接BP并延长与AC交于点E，可通过全等得出∠ACQ＝∠PBC，再结合∠BCQ＝90°，得出∠BEC＝90°，即BE⊥AC； （2）取格点H，连接AH与BC交于点F，先利用相似三角形的性质，得出，则，结合勾股定理进而推出，则△ACF∽△BCA，即∠CFA＝∠CAB； （3）取格点M、N，连接MN并延长与AC交于点G，则MN∥BE，得MG⊥AC，AE＝EG，即BE垂直平分AG，即可得出BG＝BA； （4）在BC上取三等分点C′，取格点K，连接C′K与BP交于点P′，由C′K∥AC可得△BC′P′与△BCP相似，且相似比比为． 【解答】解：（1）如图，线段BE即为所求； （2）如图，点F即为所求； （3）如图，点G即为所求； （4）如图即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 38．（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【分析】（1）作DM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N，如图所示，数形结合得到S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【解答】解：（1）CN⊥y轴于点N，作DM⊥y轴于点M，如图所示： ∴S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM ； （2）由题意可知，如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点， 所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【点评】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． 39．（2026•阜阳校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； （2）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件： ①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为； ②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧． 【分析】（1）连接AA′、BB′、CC′相交于点P，则点P即为所求； （2）①②根据位似的性质，分别取PA′、PB′、PC′的中点A″、B″、C″，顺次连接各点即可求解． 【解答】解：（1）连接AA′、BB′、CC′相交于点P，点P即为所求； （2）取PA′、PB′、PC′的中点A″、B″、C″，顺次连接各点得到△A″B″C″，作图如下： 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答关键． 40．（2026春•合肥校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； （2）写出点P的坐标为　（4，5）　 ，△ABC与△A′B′C′的面积比为　　 ，S△ABC＝　　 ； （3）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件： ①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为； ②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧． 【分析】（1）连接AA′，BB′，CC′，相交于点P，则点P即为所求． （2）由图可得点P坐标；由题意可知△ABC与△A′B′C′的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据位似的性质，分别取PA′，PB′，PC′的中点A″，B″，C″，再顺次连接即可． 【解答】解：（1）位似中心P如图所示； （2）由图可得，P（4，5）， ∵， ∴△ABC与△A′B′C′的位似比为， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为， ， 故答案为：（4，5）；；； （3）如图，△A″B″C″即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•博山区期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则α的度数是　100　 °． 【分析】先利用相似多边形的性质可得∠D＝∠D′＝130°，然后利用四边形内角和是360°进行计算，即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠D＝∠D′＝130°， ∵∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝100°， 故答案为：100． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，准确熟练地进进行计算是解题的关键． 【练习2】（2026•成安县模拟）如图，四边形ABCD∽四边形GEFH，则x＝　20　 ． 【分析】根据相似多边形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形GEFH， ∴， ∴， 整理得，40x＝800， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解， ∴x＝20， 则x的值为20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 【练习3】（2026春•长春校级期末）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝2：1，且△ABC的面积是4，则△DEF的面积是　9　 ． 【分析】根据位似图形的性质得到△ABC∽△DEF，由OA：AD＝2：1求出位似比OA：OD，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵OA：AD＝2：1， ∴OA：OD＝2：3， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴AB∥DE，△ABC∽△DEF， ∴△OAB∽△ODE， ∴， ∴， ∵△ABC的面积是4， ∴， ∴S△DEF＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握知识点是解题的关键． 【练习4】（2026•盘锦一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若DO：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积之比是　25：4　 ． 【分析】根据位似图形的性质得到△ABC∽△DEF，且对应点到位似中心的距离之比等于相似比．结合图形确定OA与OD的数量关系，求出相似比，进而计算面积比． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比等于OA：OD． ∵DO：AD＝2：3， ∴设OD＝2k，AD＝3k（k＞0）， ∴OA＝2k+3k＝5k． ∴△ABC与△DEF的相似比为． ∴． ∴△ABC与△DEF的面积之比是25：4， 故答案为：25：4． 【点评】本题主要考查了位似变换，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习5】（2026•泾川县校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．若点A′（2，2），C′（8，2），AC＝3，则点C的坐标为　（﹣4，﹣1）　 ． 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【解答】解：∵点A′（2，2），C′（8，2）， ∴A′C′＝8﹣2＝6， ∵在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O， ∴， ∵C′（8，2）， ∴，即：C（﹣4，﹣1）． 故答案为：（﹣4，﹣1）． 【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出△ABC与△A'B'C'的位似比是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 1.强化相似比的有序性：在书写相似关系时，务必按对应顶点顺序书写，避免因顺序错误导致比例关系写反。 2.区分“相似”与“位似”：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似要求对应点连线交于一点且对应边平行。 3.坐标规律勿漏解：以原点为位似中心时，对应点坐标有两种情况（同向和反向），解题时注意题目是否限定象限或方向。 4.面积比与相似比的关系：面积比等于相似比的平方，计算时不要忘记平方，这是常见失分点。 5.作图规范训练：位似作图要保留连线痕迹，准确标注对应点字母，注意位似中心的位置可以在图形内部、外部或边上。 6.综合应用提升：多做相似多边形与位似变换结合的综合题，如网格作图、坐标计算、实际应用（小孔成像、测绘）等。 【作业1】（2025秋•鄞州区期末）如图，菱形ABCD∽菱形EAFC，且相似比为2，则下列说法错误的是（　　） A．B，E，F，D四点共线 B．E为△ABC的重心 C． D．AE⊥BC 【分析】根据菱形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质以及重心的定义逐一分析判断即可． 【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴点B、E、F、D在线段AC的垂直平分线上， ∴B、E、F、D四点共线，故A选项不符合题意； 连接EF， ∵B、E、F、D四点共线， ∴B、D在直线EF上， ∵菱形ABCD∽菱形EAFC， ∴△AEG∽△BAG， ∴， 设EG＝a，则AG＝CG＝2a， ∴AEa，AC＝4a， ∴AB＝2a， ∴AB：AC＝2a：4a：2，故C选项不符合题意； ∵AG＝2a，AB＝2a， ∴BG＝4a， ∴BE＝BG﹣EG＝4a﹣a＝3a， ∴BE：EG＝3：1， ∴E不是△ABC的重心，故B选项符合题意； 延长AE，交BC于点H， ∵∠AEG＝∠BAG＝∠BCG，∠EAG＝∠CAH， ∴△EAG∽△CAH， ∴∠AHC＝∠AGE＝90， ∴AE⊥BC，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质以及重心的定义，解题的关键是熟练掌握相关知识． 【作业2】（2026•天台县二模）如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似， ∴， ∴AB2BC2， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 【作业3】（2026春•绿园区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D′＝55°，则∠C的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．135° 【分析】先根据AB⊥BC得出∠B＝90°，再由四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′得出∠D的度数，根据四边形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A＝80°，∠D′＝55°， ∴∠D＝∠D′＝55°， ∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣80°﹣90°﹣55°＝135°． 故选：D． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解题的关键． 【作业4】（2026•浙江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A与对应点A′的坐标分别为（0，2），（0，3），则点C（2，3）的对应点C′的坐标为（　　） A．（3，4） B． C．（﹣3，﹣4） D． 【分析】理由位似变换的性质求解． 【解答】解：∵A（0，2），A′（0，3）， ∴OA＝2，OA′＝3， ∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴， ∵C（2，3）， ∴C′（3，）． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【作业5】（2026•西湖区校级一模）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为（　　） A．（6，﹣2） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣6，2） D．（6，2）或（﹣6，﹣2） 【分析】由以原点为位似中心的位似变换性质，需分位似图形与原图形在原点同侧和异侧两种情况求解对应点坐标． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或﹣k． 已知点A坐标为（3，1），本题相似比为2． ∴当对应点与A在原点同侧时，对应点坐标为（3×2，1×2），即（6，2）． 当对应点与A在原点异侧时，对应点坐标为（﹣3×2，﹣1×2），即（﹣6，﹣2）． 因此点A的对应点坐标为（6，2）或（﹣6，﹣2）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业6】（2026•船山区校级模拟）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，0） D．（0，﹣1） 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特点是解答本题的关键． 【作业7】（2026春•榆阳区校级期末）如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 【分析】先求出通道的面积，再用通道的面积乘以单位造价即可得到答案． 【解答】解：∵某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米， ∴（2）2﹣4（1）（1） ＝50+204﹣4×（7﹣1） ＝54+2024 ＝30+20（平方米）， ∵通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖， ∴（元）． 答：需要花费元． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，二次根式的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 【作业8】（2025秋•资阳月考）如图，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为和多边形A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°． （1）求∠F的度数； （2）如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度． 【分析】（1）利用相似多边形的性质对应角相等，把已知角代入可得所求的角的度数； （2）利用相似多边形的性质对应边的比等于相似比，可得所求的线段的长度． 【解答】解：（1）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1， ∴∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，∠E＝∠E1，∠F＝∠F1， ∵∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°， ∴∠A＝135°，∠B＝120°，∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°， ∵六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠F＝720°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D﹣∠E ＝720°﹣135°﹣120°﹣95°﹣135°﹣120° ＝115°； （2）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1， ∴， ∵CD＝15cm， ∴C1D1＝1.5CD＝22.5cm． 【点评】此题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【作业9】（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，1）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，且点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1； （2）△ABC与△A1B1C1的面积比为　4：1　 ． 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）∵△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为4：1． 故答案为：4：1． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握位似变换的性质． 【作业10】（2026春•莱州市期末）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　（﹣5，﹣1）　 ． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　（2a，2b）　 ． 【分析】（1）分别延长A1A、B1B、O1O，它们的交点为P点，再写出P点坐标； （2）把A、B点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2点的坐标，然后描点即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解． 【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（﹣5，﹣1）； 故答案为：（﹣5，﹣1）； （2）如图，△OA2B2为所作； （3）点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2a，2b）． 故答案为：（2a，2b）． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【作业11】（2026•湘桥区模拟）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以A点为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△AB1C1． （2）在线段AB上画一个点M，使． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）取格点E，F，使得，连接EF交AB于点M，利用相似三角形的判定和性质可得． 【解答】解：（1）根据位似的性质作图，如图，△AB1C1，即为所求； （2）取格点E，F，使得，连接EF交AB于点M，如图，取格点E，F，连接EF交AB于点M， ∵BE∥AF， ∴△EBM∽△FAM， ∴，故点M即为所求． 【点评】本题考查作图—位似变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业12】（2026•兴庆区校级一模）如图，平面直角坐标系的原点在格点上，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上． （1）以原点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2，且点B的对应点B1在第一象限，请在网格内画出△A1B1C1； （2）点A1的坐标为　（4，﹣2）　 ；点C1的坐标为　（﹣2，4）　 ． 【分析】（1）确定各顶点的对应点即可作图； （2）由图即可求解． 【解答】解：（1）如图所示． （2）由图可知：点A1的坐标为（4，﹣2），点C1的坐标为（﹣2，4）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业13】（2026•汝阳县一模）根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题。（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，点A，B，C都在格点上，在网格中求作△A1B1C，使得△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形； （2）根据（1）中所作图形，可得　4　 ； （3）如图2，点D，E都在格点上．在DE上求作一点P，使得EP：PD＝1：3． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据题意画出图形即可． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C即为所求； （2）∵△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形， ∴△A1B1C∽△ABC，且相似比为2， ∴得（）2＝4； 故答案为：4； （3）如图2，点P即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，相似三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． 【作业14】（2026•桐城市校级一模）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中．将△ABC以点C为位似中心放大2倍得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）在图2中，在线段AB上画一个点P，使． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）结合相似三角形的判定与性质，取格点M，N，使AM：BN＝3：2，且AM∥BN，连接MN交AB于点P，则点P即为所求． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求． （2）如图2，取格点M，N，使AM：BN＝3：2，且AM∥BN，连接MN交AB于点P， 此时△APM∽△BPN， ∴， 则点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【作业15】（2025秋•府谷县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，0），B（﹣1，1），C（2，2）．以原点O为位似中心，作△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1），△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，且点B1在第二象限． 【分析】先明确点A1、B1、C1的位置，依次首尾相连可得△A1B1C1． 【解答】解，与△ABC位似（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1）且△相似比为2：1的△A1B1C1，如图即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，掌握位似的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $