1.1.1.1 空间向量及其线性运算（第二课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过复习回顾平面向量的大小、方向等概念，自然拓展到空间向量的零向量、单位向量等特殊向量及加减、数乘运算，构建从平面到空间的知识迁移支架。 其亮点在于结合长方体、平行六面体等几何模型，通过判断正误、题型分类及巩固练习，培养学生的几何直观与空间观念（数学眼光），提升逻辑推理能力（数学思维），以符号与图形结合的数学语言助力理解，既夯实学生基础，又为教师提供系统教学资源。

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1.1 空间向量及其线性运算 第二课时 复习回顾 知识点一 空间向量的有关概念 1.在空间,把具有____和____的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的____或__. 空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的____表示空间向量的模.向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为______或_____. 大小 方向 长度 模 长度 |a| || 复习回顾 2.几类特殊的空间向量 零向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做______,记为0 单位向量 ______的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度____而方向____的向量,叫做a的相反向量,记为____ 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线______________,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定:零向量与任意向量____,即对于任意向量a,都有0__a 模为1 相等 相反 -a 互相平行或重合 平行 ∥ 复习回顾 相同 名称 定义及表示 相等向量 方向____且模____的向量叫做相等向量.在空间,____且____的有向线段表示同一向量或相等向量 相等 同向 等长 复习回顾 (1)向量不能比较大小,两个向量相等的充要条件为长度相等,方向相同. (2)空间向量是自由向量,可以在空间中任意平移,其大小和方向不变. (3)共线向量不一定具备传递性,比如与0共线的两个向量不一定共线. 复习回顾 知识点二 空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接,首指向尾为和 图形叙述 平行四边 形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和 图形叙述 复习回顾 减法 运算 三角形 法则 语言叙述 共起点,连终点,方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 复习回顾 知识点三 空间向量的数乘运算 相同 定义 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向____ λa的长度是a的长度的______倍,即|λa|=|λ||a| λ<0 λa与向量a的方向____ λ=0 λa=0,其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 相反 |λ| 复习回顾 (1)当λ=0或a=0时,λa=0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向,λ的绝对值的大小影响着向量λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 问题引领，深入思考 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.空间中单位向量唯一.(　　) 2.向量λa与向量a的方向一定相同.(　　) 3.空间中共线的向量必在同一条直线上.(　　) 4.在四边形ABCD中,一定有+=.(　　) 5.非零空间向量的数乘运算中,向量所乘的实数既决定结果中向量的大小,又决定结果中向量的方向. (　　) × √ × × × 题型一——空间向量的有关概念 (1) 下列命题中为真命题的是 (　　) A.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.空间中,若a∥b,b∥c,则a∥c C 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 题型一——空间向量的有关概念 (2)(多选)如图所示,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中 (　 　) A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 ABC 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 总结 空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 巩固练习 (1)(多选)下列关于空间向量的命题中,错误的是 (　 　) A.空间中所有的单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C.若a,b满足|a|>|b|,且a,b同向,则a>b D.两个向量相等,则它们的起点和终点相同 ACD 巩固练习 (2)(多选)在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,与向量相等的向量有(　 　) A. B. C. D. BD 解析:如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,与相等的向量有,,.故选BD. 题型二——空间向量的加减运算 (1)在空间四边形OABC中,化简:+-=(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 【解析】　+-=-=-=.故选B. B 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 题型二——空间向量的加减运算 (2)(多选)已知平行六面体ABCD⁃A'B'C'D',则下列各式中正确的有 (　 　) A.-= B.=++ C.= D.+++= ABC 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 总结 空间向量加减运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加减运算的关键,灵活运用相反向量可使向量共起点或首尾相接. (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加减运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可平移向量来获得运算结果. 巩固练习 如图,在四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简下列式子,并在图中标出化简结果. (1)+-; 解:(1)+-=++=+=,如图中向量. 巩固练习 (2)--. 解: (2)如图,连接AG,GF,AF,--=++=+=,如图中向量. 题型三——空间向量的数乘运算 如图所示,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1); 【解】　(1)∵P是C1D1的中点,∴=++ =a++=a+c+=a+b+c. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 21 题型三——空间向量的数乘运算 (2); 【解】　(2)∵N是BC的中点,∴=++ =-a+b+=-a+b+=-a+b+c. (3). 【解】　(3)∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+=a+b+c. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 22 总结 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点等几何性质. 巩固练习 已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点,求下列各式中x,y的值. (1)=+x+y; 解:(1)如图,=-=-(+) =--=+x+y,∴x=y=-. 巩固练习 (2)=x+y+. 解: (2)∵+=2, ∴=2-. ∵+=2,∴=2-, ∴=2-(2-)=2-2+=x+y+, ∴x=2,y=-2. 当堂检测 1.下列命题中是假命题的是 (　　) A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析:容易判断A,B,C均是真命题,D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故选D. D 当堂检测 2.如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,若=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b-c B.a-b+c C.a-b-c D.a+b+c 解析:在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,由=a,=b,=c,根据空间向量的线性运算法则,可得=-=-(+)=a-b-c.故选C. C 当堂检测 3.(多选)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　 　) A.++ B.++ C.-- D.++ 解析:根据空间向量的加法法则及正方体的性质,逐一判断可知A,B,D的运算结果都为,而C中,(-)-=-=.故选ABD. ABD 当堂检测 4.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x=____,y=___. 解析:因为=+=+=+(+),且=x+y(+),所以x=1,y=. 1 用数学的眼光看世界 $