1.1.1.1 空间向量及其线性运算（第一课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过飞行员受力、蚂蚁在正方体表面位移等现实情景导入，以类比平面向量为学习支架，引导学生从平面到空间实现知识迁移，构建空间向量认知框架。 其亮点在于采用类比迁移教学法，结合数学眼光观察现实问题，通过平行六面体证明运算律、正方体向量化简等实例，培养数学思维与表达能力。资料含分层练习与解析，助力学生空间观念形成，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1.1 空间向量及其线性运算 第一课时 学习目标 1.通过类比平面向量的相关概念来学习和了解空间向量的相关概念. 2.掌握空间向量的线性运算法则和运算律，并能运用它们进行空间向量的运算. 情景导入 在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，如拉力、风力、重力. 已知F1=10N，F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的合力的大小是多少？方向呢？ 情景导入 如图，有一只蚂蚁在正方体表面游走，它先从D点运动到点A，然后从A运动到B，最后从点B运动到B1. 问(1)：蚂蚁的位移在同一个平面上吗？它与平面向量有什么区别和联系？ 问(2)：这只蚂蚁的实际位移是什么？如何表示这段位移？ 新知探究1——空间向量的基本概念 活动1: 类比学过的平面向量的概念，研究、归纳空间向量的相关概念 平面向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 空间向量的概念 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 注意：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 新知探究1——空间向量的基本概念 平面向量的表示法 (1)有向线段 a A (起点) B (终点) (2)字母 a，b，c，… 印刷体：a 手写体： 空间向量的表示法 (1)有向线段 a c b (2)字母 a，b，c，… 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 新知探究1——空间向量的基本概念 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 模为 0 的向量，记作 0 ；零向量的方向任意； 模为 1 的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b ； 模相同，方向相反的两个向量，记作 a＝－b ； 零 向 量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 敲重点 相等向量和相反向量 如图 向量为相等向量，记作 . 相反向量 相等向量 ①向量 的相反向量为，且 ； ②向量 的相反向量为，且 ； ③规定： 的相反向量为 ，记作 . 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 新知探究1——空间向量的基本概念 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 敲重点 印刷体： a 手写体： 相关概念 向量 定义 既有大小又有方向的量 表示 … 长度/模 空间向量的大小，记作 ||,||,… 零向量 规定长度为(起点与终点重合)的向量，记为 单位向量 模长为的的向量，记作 相等向量 长度相等且方向相同的向量(与起点无关) 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量是；的相反向量是 共线向量 (平行向量) 方向相同或相反的向量, 记作 ∥； 注：零向量与任意向量共线 空间向量不能比较大小， 空间向量的模可以比较大小 空间向量是平面向量的推广，其表示方法与相关概念与平面向量保持一致 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 小试牛刀 √ √ √ × × × × （1） 小试牛刀 （要求写出所有适合条件的向量） ① ② ① ② ′ 新知探究2——空间向量的线性运算 活动2: 空间向量的线性运算如何进行？ 转化 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量我们都可以通过平移使它们的起点重合. . O α （加法，减法以及数乘运算） 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 空间向量的线性运算——加法运算 三角形法则:首尾相接 平行四边形法则：共起点，连对角 推广：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量； 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 空间向量的线性运算——减法运算 减法法则：共起点，连终点，指被减 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 空间向量的线性运算——运算律 实数λ与平面向量 的积是一个向量，记作 ， 其长度和方向规定如下： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 新知探究2——空间向量的线性运算 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 运算律： 运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 运算律的类比（其中λ，μ∈R）： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 敲重点 线性运算 平面向量 空间向量 加法 减法 数乘 三角形法则 (首尾相连,连首尾) 平行四边形法则 (共起点,连对角线) 三角形法则 (共起点,连终点,指向被减) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 18 新知探究2——空间向量的线性运算 a c b 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 则 a + (b + c) ＝ (a + b ) + c ＝ 所以有：a + (b + c)＝(a + b ) + c. a， b， c . a + (b + c)＝(a + b) + c 一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体的体对角线所表示的向量。 思考：借助下图，你能证明空间向量的加法结合律吗？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 19 空间向量的线性运算 E F 同起点的两个平面向量的和向量为平行四边形的对角线所在向量； 同起点的三个空间向量的和向量为平行六面体的体对角线所在向量. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 20 典例分析 A B C D E F 如图，E，F分别是长方体ABCD-A'B'C'D的棱AB，CD的中点。化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： 典例分析 （课本P5-4 ）如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量. 当堂检测 D 2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A. a＝b B. a＋b为实数0 C. a与b方向相同 D. |a|＝3 4 3. 当堂检测 4.（课本P6-5）如图，已知正方体ABCD−A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值. 当堂检测 1、下列说法正确的是 (　　) A．向量 与 的长度相等 B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一 个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 A 课堂小结 空间向量及其线性运算 空间向量及其相关概念 线性运算 加法 减法 数乘 运算律 课后思考 (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中， 顶点连接的向量中，与向量eq \o(AA′,\s\up15(→))相等的向量有 ________；与向量eq \o(A′B′,\s\up15(→))相反的向量有________． 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为1的有___个. ①(＋)＋1； ②(1＋1)＋1； ③(＋1)＋B1C1； ④(1＋1)＋1. $