专题04 比的应用（计算专项讲义）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学讲义围绕“求比值、比的基本性质、比例的意义”三大题型，以“概念-关联-方法-区别-易错点”的逻辑框架构建知识体系，通过对比表格清晰呈现比与除法、分数的内在联系，以及比和比例的核心区别，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层专项训练设计，如带不同单位比的比值计算（1小时:30分钟需统一单位）和比的基本性质应用（3:5前项加9求后项变化），培养运算能力与推理意识。每个题型配典例解析和易错点提醒，帮助基础学生掌握方法，优秀学生深化理解，助力教师实施精准分层教学。

专题04 比的应用（计算专项讲义） 题型01 求比值 题型02 比的基本性质 题型03 比例的意义 题型01 求比值 一、核心基础概念 定义：两个数相除又叫做两个数的比，比的前项除以后项得到的商，就叫做比值。 表达形式：比值是一个数值，通常可以用‌分数、小数、整数‌这三种形式来表示，没有单位，是无量纲的相对数值。 关键特性：比的后项绝对不能为0，否则除法运算没有意义，无法求出有效比值。 实际意义：比值能直观表示两个量之间的倍数关系，比如男生25人、女生20人，男女生人数比25:20，比值1.25，就代表男生人数是女生的1.25倍。 二、比、除法、分数的内在关联 三者本质相通，只是表达的侧重点不同，求比值的运算完全可以依托三者的关系灵活转换： 表格 对比维度 比（a:b） 除法（a÷b） 分数（a/b） 各部分名称 前项:后项 被除数÷除数 分子/分母 核心意义 表示两个量的对比关系 表示一个运算过程 表示一个具体的数 结果名称 比值 商 分数值 转换示例：3:4既可以写成3÷4，也可以写成分数3443​，三者最终得到的结果完全一致。 三、不同类型比的求比值方法 北师大版教材覆盖了所有常见的比的类型，对应不同的简便计算方法： ‌整数比求比值‌：把比直接转化为整数除法，也可以写成分数形式，约分后得到最终比值。 ‌小数比求比值‌：把比转化为小数除法，直接计算出商；也可以把小数全部转化为分数，用分数除法计算。 ‌分数比求比值‌：把比转化为分数除法，除以一个分数等于乘它的倒数，约分后得到结果。 ‌小数+分数混合比求比值‌：优先统一形式，要么把分数化成小数，要么把小数化成分数，再按对应规则计算。如果分数无法化成有限小数，必须统一转化为分数计算，避免结果出现误差。 ‌带不同单位的比求比值‌：必须先统一前后项的单位，再进行计算，否则单位不统一会导致比值完全错误。比如“1小时:30分钟”，先把1小时转化为60分钟，再计算60:30的比值为2。 四、和化简比的核心区别 这是考试中最容易混淆的高频考点，二者的核心目标完全不同： 求比值：最终结果是一个‌数值‌，可以是整数、小数、分数，没有前项后项的区分。 化简比：最终结果必须是一个‌最简整数比‌，形式上还是“前项:后项”，且前项和后项必须是互质数，不能算出具体的商。 五、高频易错点避坑 后项为0：忽略比的后项不能为0的规则，强行计算后项为0的比，得到无意义的结果。 单位遗漏：带不同单位的比，没有先统一单位就直接计算，导致比值完全错误。 概念混淆：把求比值和化简比搞混，求比值时最后还保留“比”的形式，没有算出最终的数值结果。 约分失误：整数比写成分数形式后，没有约分成最简分数，得到的比值不是最简形式。 运算顺序：分数比求比值时，错误地用前项的分子除以后项的分子、前项的分母除以后项的分母，违背分数除法的运算规则。 【典例1】求比值。 6∶30＝                                ∶3＝                8∶＝ 0.4∶＝            10∶12.5＝                        ∶5＝ 【答案】0.2；；；56； ；0.8；； 【分析】用比的前项除以比的后项可以求出比值。 【详解】 【专项训练1】求比值。 15∶27＝​    1.5∶＝      ∶＝      0.07∶4.2＝       ∶​＝​ 【答案】；2；；； 【分析】求比值的方法，用比的前项除以比的后项，得到的结果即是比值。 【详解】15∶27 ＝15÷27 ＝ 1.5∶ ＝1.5÷0.75 ＝2 ∶ ＝ ＝ 0.07∶4.2 ＝0.07÷4.2 ＝ ＝ ＝ ∶ ＝ ＝ ＝ 【专项训练2】求比值。 3.6∶            40分∶2小时 【答案】2；； 【分析】第一个用比的前项除以后项，即可求出比值； 第二个先将小时换算成分，然后用比的前项除以后项，即可求出比值。 【详解】 分小时 【专项训练3】求比值。              40∶45＝    30∶9＝ 【答案】0.5；；； 8；； 【分析】用比的前项除以比的后项求比值。 【详解】0.75∶＝0.75÷＝0.75÷1.5＝0.5 ∶＝÷＝×6＝ 2∶＝2÷＝2×＝ 4∶＝4÷＝4×2＝8 40∶45＝40÷45＝ 30∶9＝30÷9＝ 【专项训练4】求比值。 250千克∶1.5吨    34时∶15分    400米∶2.5千米 【答案】；136；； 【分析】先根据吨千克，时分，千米米，大单位化小单位乘进率，统一单位后用比的前项除以比的后项得到比值。 【详解】吨千克 千克吨 时分 时分 千米米 米千米 【专项训练5】求比值。                          【答案】；； 【分析】比的前项÷比的后项＝比值，比值是一个数，可以是整数、小数或者分数，不带单位名称。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 1L＝1000mL L＝×1000＝400mL ＝240mL∶400mL ＝240÷400 ＝ 【专项训练6】求下面各比的比值。 12∶36       ∶8       ∶       1.5吨∶500千克 【答案】；；；3 【分析】用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再求比值。 【详解】（1）12∶36 ＝12÷36 ＝ （2）∶8 ＝÷8 ＝× ＝ （3）∶ ＝÷ ＝×2 ＝ （4）1.5吨∶500千克 ＝（1.5×1000）千克∶500千克 ＝1500∶500 ＝1500÷500 ＝3 【专项训练7】求比值。 6∶24            0.3∶3 【答案】；；； 【分析】（）（4）因为比值是比的前项除以后项所得的商，所以用每个比的前项除以对应后项即可得到比值。 （）如果比的项包含小数、分数，那么先统一形式（将小数化分数或者分数化小数），再进行除法运算。 （）计算分数除法时，根据分数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法计算。 【详解】 【专项训练8】求比值。     20∶45        25∶60 【答案】；；； 【分析】求比值直接用比的前项÷后项即可。 【详解】 20∶45＝20÷45＝＝ 25∶60＝25÷60＝＝ 【专项训练9】求比值。                 18∶4.5 【答案】 ； 【分析】用前项除以后项即可求出比值。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 18∶4.5 ＝18÷4.5 ＝4 【专项训练10】求比值。          【答案】0.2；； 【分析】用比的前项除以比的后项，所得的商即为比值。 【详解】7.2∶36 ＝7.2÷36 ＝0.2 题型02 比的基本性质 一、核心定义 比的基本性质完整表述为：‌比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值保持不变‌ 。 这里的“0除外”是硬性要求：如果乘0，比的后项会变成0，而比的后项不能为0，运算失去意义。 核心特性：操作后比值完全不变，但比的前项和后项的数值会同步变化，比的形式会改变。 二、知识关联 比的基本性质不是孤立知识点，它和之前学过的两个核心规律完全同源： 商不变规律：除法里被除数和除数同时乘/除以同一个不为0的数，商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘/除以同一个不为0的数，分数值不变。 依托比和除法、分数的对应关系（前项=被除数=分子，后项=除数=分母），可以直接推导出比的基本性质，三者底层逻辑完全一致 。 三、核心应用场景 1. 化简比（最核心用途） 利用比的基本性质，把任意一个比转化为‌最简整数比‌，最简整数比必须同时满足两个条件：前项和后项都是整数，且二者是互质数（只有公因数1）。 不同类型比的标准化简方法： 整数比：前后项同时除以它们的最大公因数，直接得到最简整数比。 小数比：先把前后项同时扩大相同的倍数，转化为整数比，再按整数比的方法化简。 分数比：前后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比，再化简。 2. 保持比值不变的调整题型 这是单元测试的高频拉分题，典型考法：“3:5的前项加上9，要使比值不变，后项应加上多少？” 解题步骤： 先算调整后的前项：3+9=12，相当于前项乘4（12÷3=4）。 根据比的基本性质，后项也要同步乘4：5×4=20。 算出后项需要增加的数值：20-5=15，最终答案是15 。 3. 生成等值比 任意一个比，都可以通过前后项同时乘/除以同一个不为0的数，生成无数个和它比值完全相等的不同形式的比。 四、高频易错点避坑 操作不同步：只给前项乘/除以一个数，忘记同步给后项做相同操作，导致比值改变。 忽略0的限制：乘/除以的数没有排除0，让比的后项变成0，运算失去意义。 加减直接套用：看到前项加一个数，就直接给后项加相同的数，没有先把加法转化为乘法，违背比的基本性质的“同乘同除”规则。 化简不彻底：化简整数比后，前后项还存在除了1之外的公因数，没有得到真正的最简整数比。 概念混淆：把化简比的结果和求比值的结果搞混，化简比最后算出一个数值，忘记保留“前项:后项”的整数比形式。 【典例2】化简。 （1）32∶48                （2）                （3）1.2∶0.75 【答案】（1）2∶3；（2）7∶10；（3）8∶5 【分析】化简比时，整数比可以前后项同时除以它们的最大公因数；分数比可以前后项同时乘分母的最小公倍数；小数比可以先同时乘一个数化成整数比，再继续化简。 【详解】（1）32∶48 ＝（32÷16）∶（48÷16） ＝2∶3 （2）∶ ＝（×8）∶（×8） ＝7∶10 （3）1.2∶0.75 ＝（1.2×100）∶（0.75×100） ＝120∶75 ＝（120÷15）∶（75÷15） ＝8∶5 【专项训练1】把下面各比化成最简单的整数比。        0.6∶3                km∶200m 【答案】10∶3；1∶5；15∶8 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此化简即可。 （1）小题，比的前项和后项先同时乘45，再同时除以4即可； （2）小题，比的前项和后项同时乘5，再同时除以3即可； （3）小题，根据1km＝1000m，将km的单位换算成m，再根据比的基本性质将其化成最简整数比。 【详解】 ＝（×45）∶（×45） ＝40∶12 ＝（40÷4）∶（12÷4） ＝10∶3 0.6∶3 ＝（0.6×5）∶（3×5） ＝3∶15 ＝（3÷3）∶（15÷3） ＝1∶5                km∶200m ＝（×1000）m∶200m ＝375∶200 ＝（375÷25）∶（200÷25） ＝15∶8 【专项训练2】把下面各比化成最简单的整数比。 1.5∶0.3        75∶35                45分∶1小时 【答案】 5∶1；15∶7；8∶63；3∶4 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变。化简整数比时，同时除以它们的最大公因数；化简小数比时，先转化为整数比再化简；化简分数比时，同时乘分母的最小公倍数；化简带有单位的比时，先统一单位再化简。 【详解】1.5∶0.3 ＝（1.5×10）∶（0.3×10） ＝15∶3 ＝（15÷3）∶（3÷3） ＝5∶1 75∶35 ＝（75÷5）∶（35÷5） ＝15∶7 ＝ ＝ 45分∶1小时 ＝45分∶60分 ＝（45÷15）∶（60÷15） ＝3∶4 【专项训练3】把下面的比化成最简单的整数比。 0.5∶1.25           【答案】2∶5；5∶6 【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比即可。 【详解】0.5∶1.25 ＝（0.5×4）∶（1.25×4） ＝2∶5 ＝（8）∶（8） ＝15∶18 ＝（15÷3）∶（18÷3） ＝5∶6 【专项训练4】把下面各比化成最简整数比。 60∶32＝        0.3∶4.5＝          【答案】15∶8；2∶3；1∶15； 9∶1；21∶5；5∶9∶105 【分析】根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。）化简即可。 【详解】 【专项训练5】化简下面各比，并求比值。 0.375∶3             21∶35        1.25∶2     【答案】1∶8；；32∶21；；9∶5；；5∶6；； 3∶5；；15∶8；；5∶8；；4∶5； 【分析】化简比：先统一比的前后项形式：比的项包含小数，那么先将小数转化为分数；整数比直接化简即可；根据比的基本性质：比的前后项同时乘或除以同一个非0数，比值不变；对于分数比，找前后项分母的最小公倍数，前后项同乘最小公倍数化为整数比，然后再同时除以二者的最大公因数得到最简整数比；对于整数比直接除以前后项的最大公因数，得到最简整数比； 求比值：用最简比的前项除以后项，得到比值。 【详解】 【专项训练6】化简比并求出比值。 （1）3.5∶5       （2）∶      （3）升∶420立方厘米 【答案】（1）7∶10；；（2）3∶2；；（3）5∶6； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【详解】（1）3.5∶5 ＝（3.5×10）∶（5×10） ＝35∶50 ＝（35÷5）∶（50÷5） ＝7∶10 7∶10 ＝7÷10 ＝ （2）∶ ＝（×8）∶（×8） ＝3∶2 3∶2 ＝3÷2 ＝ （3）升∶420立方厘米 ＝（×1000）立方厘米∶420立方厘米 ＝350∶420 ＝（350÷70）∶（420÷70） ＝5∶6 5∶6 ＝5÷6 ＝ 【专项训练7】化简下面各比，并求出比值。 0.125∶                0.3∶            3吨∶360千克            48分∶小时 【答案】1∶7，；9∶20，；25∶3，；2∶1， 【分析】利用比的基本性质（比的前项和后项同时乘/除以同一个不为0的数，比值不变），把比化成前后项互质的整数比；比值是前项除以后项得到的结果，带单位的比要先统一单位再计算。 【详解】（1）0.125∶ ＝（0.125×8）∶（×8） ＝1∶7 0.125∶ ＝1∶7 ＝1÷7 ＝ （2）0.3∶ ＝（0.3×3）∶（×3） ＝0.9∶2 ＝（0.9×10）∶（2×10） ＝9∶20 0.3∶ ＝9∶20 ＝ （3）3吨∶360千克 ＝3000千克∶360千克 ＝（3000÷120）∶（360÷120） ＝25∶3 3吨∶360千克 ＝25∶3 ＝25÷3 ＝ （4）48分∶小时 ＝48分∶24分 ＝（48÷24）∶（24÷24） ＝2∶1 48分∶小时 ＝2∶1 ＝2÷1 ＝2 【专项训练8】化简下列各比并求比值。                     【答案】；；； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 化简比：根据比的基本性质化简比，化简比最终是一个互质的整数比。 求比值：用比的前项除以后项，比值是一个数，可以是分数、小数或者整数。 【详解】 【专项训练9】先化简，再求比值。                                54∶15                         0.36∶0.3 【答案】800∶1，800；5∶12，；6∶7，；18∶5，； 7∶1，7；6∶5，；3∶5，；6∶5， 【分析】利用比的基本性质“比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变”进行化简，比的前项除以后项等于比值。 【详解】＝800∶1 800∶1＝800÷1＝800 ＝5∶12 5∶12＝5÷12＝ 6∶7＝6÷7＝ 54∶15＝（54÷3）∶（15÷3）＝18∶5 18∶5＝18÷5＝ 7∶1＝7÷1＝7 6∶5＝6÷5＝ 3∶5＝3÷5＝ 0.36∶0.3＝（0.36×100）∶（0.3×100）＝36∶30＝（36÷6）∶（30÷6）＝6∶5 6∶5＝6÷5＝ 【专项训练10】把下面各比化成最简单的整数比。 48∶30    ∶    0.12∶0.3    1.5元∶4角 【答案】8∶5；1∶2；2∶5；15∶4 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 【详解】（1）48∶30 ＝（48÷6）∶（30÷6） ＝8∶5 （2）∶ ＝（×10）∶（×10） ＝3∶6 ＝（3÷3）∶（6÷3） ＝1∶2 （3）0.12∶0.3 ＝（0.12×100）∶（0.3×100） ＝12∶30 ＝（12÷6）∶（30÷6） ＝2∶5 （4）1.5元∶4角 ＝（1.5×10）角∶4角 ＝15∶4 题型03 比例的意义 一、核心基础定义 比例的完整定义：‌表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 比例的核心判定标准：两个比的比值必须完全相等，才能组成比例，这是判断两个比能否构成比例的唯一核心依据。 二、比和比例的核心区别与联系 这是考试中最容易混淆的高频考点，二者本质完全不同： 表格 对比维度 比 比例 组成结构 由两个数（前项、后项）组成，是一个单独的式子 由两个比值相等的比组成，是一个等式，包含4个项 核心意义 表示两个数相除的关系，只有两项 表示两个比相等的等式，有四项 核心性质 前项后项同时乘/除以同一个不为0的数，比值不变 两个外项的积等于两个内项的积 联系：比是比例的组成部分，比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。 三、判断两个比能否组成比例的两种方法 ‌比值比较法‌：分别算出两个比的比值，如果比值完全相等，就能组成比例。 ‌比例性质验证法‌：假设两个比能组成比例，计算外项的积和内项的积，如果两个积相等，就说明可以组成比例。 四、比例的两种书写形式 比例除了标准的“比号形式”，还可以写成分数形式，两种形式完全等价： 比号形式：a:b=c:d 分数形式： = ​，此时等号两侧的分子分母交叉相乘，乘积依然相等，符合比例的基本性质。 五、用四个数组比例的技巧 给定四个数，要把它们组成不同的比例，核心方法是先把四个数按从小到大排序，验证最大数和最小数的乘积，是否等于中间两个数的乘积。如果相等，就可以写出所有不同的比例式。 六、高频易错点避坑 概念混淆：把比和比例搞混，误以为单独一个比就是比例，忽略比例必须是“两个比相等的等式”这个核心要求。 判定失误：判断两个比能否组成比例时，只看比的前项或后项对应相等，忽略必须比值完全相等的核心条件。 项数错误：误以为比例只有3个项，忘记比例必须包含4个项，有2个外项和2个内项。 书写错误：写分数形式的比例时，搞错分子分母的对应关系，导致交叉相乘后乘积不相等。 【典例3】判断下面每组的两个比能否组成比例，把能组成比例的写出来。 1∶3和    和0.4∶0.2    3∶12和5∶20 0.8∶0.4和    15∶3和5∶1    和9∶14 【答案】能，；能，；能，3∶12＝5∶20； 不能；能，15∶3＝5∶1；能， 【分析】判断两个比能否组成比例，可分别计算两个比的比值，若比值相等则能组成比例，否则不能。 【详解】1∶3的比值：，的比值：，，能组成比例：； 的比值：，0.4∶0.2的比值：0.4÷0.2＝2，2＝2，能组成比例：； 3∶12的比值：，5∶20的比值：，，能组成比例：； 0.8∶0.4的比值：，的比值：，，不能组成比例； 15∶3的比值：，的比值：，5＝5，能组成比例：； 的比值：，9∶14的比值：，，能组成比例：。 【专项训练1】应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）和        （2）和 （3）和        （4）和 【答案】 （1）能组成比例，6∶10＝3∶5；（2）能组成比例，2.4∶6＝1.4∶3.5； （3）不能组成比例；（4）能组成比例， 【分析】比例的基本性质：在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，如果满足这个关系，两个比就能组成比例，否则不能。 【详解】（1）6∶10和3∶5 内项积：10×3＝30，外项积：6×5＝30，内项积＝外项积，可以组成比例，组成的比例是：6∶10＝3∶5； （2）2.4∶6和1.4∶3.5 内项积：6×1.4＝8.4，外项积：2.4×3.5＝8.4，内项积＝外项积，可以组成比例，组成的比例是：2.4∶6＝1.4∶3.5； （3）和 内项积：，外项积：，，不能组成比例； （4）和 内项积：，外项积：，内项积＝外项积，可以组成比例，组成的比例是：。 【专项训练2】下面各组中的两个比可以组成比例吗？若可以，把组成的比例写出来。 （1）和    （2）和 【答案】（1）可以；；（2）不可以 【分析】表示两个比相等的式子，叫做比例。用比的前项除以比的后项分别求出两个比的比值，比值相等就能组成比例。 【详解】（1） 因为，所以和可以组成比例，组成的比例为：。 （2） 因为7.2≠28.2，所以和不可以组成比例。 【专项训练3】应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）和        （2）和 （3）和        （4）和 【答案】（1） 10：6＝5：3； （2） 4：3＝1.2：0.9； （3） 不能组成比例； （4） 5.6：4＝: 【分析】根据比例的基本性质，内项积＝外项积，要判断两个比是否能组成比例，只需分别计算两个比的内项积和外项积，若内项积等于外项积，则两个比能组成比例，反之则不能。 【详解】（1）10×3＝30，6×5＝30，10∶6和5∶3能组成比例，组成的比例是10∶6＝5∶3。       （2）4×0.9＝3.6，3×1.2＝3.6，4∶3和1.2∶0.9能组成比例，组成的比例是4∶3＝1.2∶0.9。 （3），，内项积不等于外项积，和不能组成比例。        （4），，和能组成比例，组成的比例是＝。 【专项训练4】下面各组中的两个比可以组成比例吗？若可以，把组成的比例写出来。 （1）和        （2）和 【答案】（1）能组成比例，比例为；（2）不能组成比例 【分析】能否组成比例可以根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，进行判断。 【详解】（1）外项积： 内项积： 外项积＝内项积，能组成比例，比例为： （2）外项积： 内项积： 内项积≠外项积，不能组成比例。 【专项训练5】根据下面的两组乘法算式，分别写出两个不同的比例。 （1）        （2） 【答案】（1）6∶5＝b∶a 6∶b＝5∶a （2）10∶5＝3.6∶1.8 10∶3.6＝5∶1.8 【分析】根据比例的基本性质，把乘法算式中相乘的两组数，一组当外项、一组当内项，即可写出不同比例。 【详解】（1）因为6a＝5b， 所以6∶5＝b∶a 6∶b＝5∶a（答案不唯一） （2）因为 10×1.8＝5×3.6， 所以10∶5＝3.6∶1.8 10∶3.6＝5∶1.8（答案不唯一） 【专项训练6】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①6∶4和    ②和    ③0.8∶0.4和3.2∶1.6 【答案】 第①组和第③组；；0.8∶0.4＝3.2∶1.6 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，所以，判断两个比能否组成比例，关键是看它们的比值是否相等；先分别计算出每组中两个比的比值（即用前项除以后项），即可解答。 【详解】① 能组成比例； ② 不能组成比例； ③0.8÷0.4＝2 3.2÷1.6＝2 能组成比例； 所以，能组成比例的是第①组和第③组；组成的比例是：；0.8∶0.4＝3.2∶1.6。 【专项训练7】下列的比可以组成比例吗？把组成比例写出来。 0.2∶1.2和4∶24        8∶6和                和 【答案】0.2∶1.2＝4∶24；不能组成比例；＝ 【分析】判断两个比能否组成比例，可先求出比值，比值相等则能组成比例；也可利用比例的基本性质验证。 【详解】0.2∶1.2＝；4∶24＝ 比值相等，能组成比例：0.2∶1.2＝4∶24 8∶6＝；＝ ≠，不能组成比例 ＝；＝ 比值相等，能组成比例：＝ 【专项训练8】下面哪几组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）和                        （2）和 【答案】 3∶0.6和6∶1.2可以组成比例 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【详解】（1）9×5＝45 6×8.4＝50.4 45≠50.4 不可以组成比例。 （2）3×1.2＝3.6 0.6×6＝3.6 3.6＝3.6 可以组成比例，3∶0.6＝6∶1.2。 【专项训练9】下面哪几组可以组成比例？把组成的比例写出来。 0.2∶1.2和4∶24       8∶6和        和 【答案】0.2∶1.2＝4∶24；8∶6和∶不能组成比例；∶＝∶ 【分析】（1）比例指的是两个比值相等的比写成的式子，求出各组比的比值，比值相等的可以组成比例，比值不相等的不能组成比例，据此解答； （2）判断四个数能否组成比例：找出4个数中的最大数和最小数，如果最大数和最小数的乘积等于其余两个数的乘积，则能组成比例，反之不能组成比例。 【详解】0.2∶1.2＝0.2÷1.2＝ 4∶24＝4÷24＝ 因为＝，所以0.2∶1.2和4∶24比值相等，可以组成比例，组成的比例是：0.2∶1.2＝4∶24。 8∶6＝8÷6＝ ∶＝÷＝×＝ 因为≠，所以8∶6和∶比值不相等，不能组成比例。 ＝，＝，＝，＝，因为＞＞＞，所以＞＞＞， ×＝ ×＝ 因为＝，所以，，，可以组成比例，组成的比例是：∶＝∶。（答案不唯一） 【专项训练10】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）30∶25和20∶15         （2）和 （3）4.8∶1.6和9∶3          （4）和 【答案】（1）不可以；（2）可以；＝； （3）可以；4.8∶1.6＝9∶3；（4）不可以 【分析】比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能否组成比例，关键是看它们的比值是否相等。比值的计算：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 【详解】（1）30∶25和20∶15 30∶25＝30÷25＝1.2 20∶15＝20÷15＝ 比值不相等，不可以组成比例。 （2）和 ＝ ＝ 比值相等，可以组成比例，＝。 （3）4.8∶1.6和9∶3 4.8∶1.6＝4.8÷1.6＝3 9∶3＝9÷3＝3 比值相等，可以组成比例，4.8∶1.6＝9∶3。 （4）和 ＝＝4 ＝ 比值不相等，不可以组成比例。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 比的应用（计算专项讲义） 题型01 求比值 题型02 比的基本性质 题型03 比例的意义 题型01 求比值 一、核心基础概念 定义：两个数相除又叫做两个数的比，比的前项除以后项得到的商，就叫做比值。 表达形式：比值是一个数值，通常可以用‌分数、小数、整数‌这三种形式来表示，没有单位，是无量纲的相对数值。 关键特性：比的后项绝对不能为0，否则除法运算没有意义，无法求出有效比值。 实际意义：比值能直观表示两个量之间的倍数关系，比如男生25人、女生20人，男女生人数比25:20，比值1.25，就代表男生人数是女生的1.25倍。 二、比、除法、分数的内在关联 三者本质相通，只是表达的侧重点不同，求比值的运算完全可以依托三者的关系灵活转换： 表格 对比维度 比（a:b） 除法（a÷b） 分数（a/b） 各部分名称 前项:后项 被除数÷除数 分子/分母 核心意义 表示两个量的对比关系 表示一个运算过程 表示一个具体的数 结果名称 比值 商 分数值 转换示例：3:4既可以写成3÷4，也可以写成分数3443​，三者最终得到的结果完全一致。 三、不同类型比的求比值方法 北师大版教材覆盖了所有常见的比的类型，对应不同的简便计算方法： ‌整数比求比值‌：把比直接转化为整数除法，也可以写成分数形式，约分后得到最终比值。 ‌小数比求比值‌：把比转化为小数除法，直接计算出商；也可以把小数全部转化为分数，用分数除法计算。 ‌分数比求比值‌：把比转化为分数除法，除以一个分数等于乘它的倒数，约分后得到结果。 ‌小数+分数混合比求比值‌：优先统一形式，要么把分数化成小数，要么把小数化成分数，再按对应规则计算。如果分数无法化成有限小数，必须统一转化为分数计算，避免结果出现误差。 ‌带不同单位的比求比值‌：必须先统一前后项的单位，再进行计算，否则单位不统一会导致比值完全错误。比如“1小时:30分钟”，先把1小时转化为60分钟，再计算60:30的比值为2。 四、和化简比的核心区别 这是考试中最容易混淆的高频考点，二者的核心目标完全不同： 求比值：最终结果是一个‌数值‌，可以是整数、小数、分数，没有前项后项的区分。 化简比：最终结果必须是一个‌最简整数比‌，形式上还是“前项:后项”，且前项和后项必须是互质数，不能算出具体的商。 五、高频易错点避坑 后项为0：忽略比的后项不能为0的规则，强行计算后项为0的比，得到无意义的结果。 单位遗漏：带不同单位的比，没有先统一单位就直接计算，导致比值完全错误。 概念混淆：把求比值和化简比搞混，求比值时最后还保留“比”的形式，没有算出最终的数值结果。 约分失误：整数比写成分数形式后，没有约分成最简分数，得到的比值不是最简形式。 运算顺序：分数比求比值时，错误地用前项的分子除以后项的分子、前项的分母除以后项的分母，违背分数除法的运算规则。 【典例1】求比值。 6∶30＝                                ∶3＝                8∶＝ 0.4∶＝            10∶12.5＝                        ∶5＝ 【专项训练1】求比值。 15∶27＝​    1.5∶＝      ∶＝      0.07∶4.2＝       ∶​＝​ 【专项训练2】求比值。 3.6∶            40分∶2小时 【专项训练3】求比值。              40∶45＝    30∶9＝ 【专项训练4】求比值。 250千克∶1.5吨    34时∶15分    400米∶2.5千米 【专项训练5】求比值。                          【专项训练6】求下面各比的比值。 12∶36       ∶8       ∶       1.5吨∶500千克 【专项训练7】求比值。 6∶24            0.3∶3 【专项训练8】求比值。     20∶45        25∶60 【专项训练9】求比值。                 18∶4.5 【专项训练10】求比值。          题型02 比的基本性质 一、核心定义 比的基本性质完整表述为：‌比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值保持不变‌ 。 这里的“0除外”是硬性要求：如果乘0，比的后项会变成0，而比的后项不能为0，运算失去意义。 核心特性：操作后比值完全不变，但比的前项和后项的数值会同步变化，比的形式会改变。 二、知识关联 比的基本性质不是孤立知识点，它和之前学过的两个核心规律完全同源： 商不变规律：除法里被除数和除数同时乘/除以同一个不为0的数，商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘/除以同一个不为0的数，分数值不变。 依托比和除法、分数的对应关系（前项=被除数=分子，后项=除数=分母），可以直接推导出比的基本性质，三者底层逻辑完全一致 。 三、核心应用场景 1. 化简比（最核心用途） 利用比的基本性质，把任意一个比转化为‌最简整数比‌，最简整数比必须同时满足两个条件：前项和后项都是整数，且二者是互质数（只有公因数1）。 不同类型比的标准化简方法： 整数比：前后项同时除以它们的最大公因数，直接得到最简整数比。 小数比：先把前后项同时扩大相同的倍数，转化为整数比，再按整数比的方法化简。 分数比：前后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比，再化简。 2. 保持比值不变的调整题型 这是单元测试的高频拉分题，典型考法：“3:5的前项加上9，要使比值不变，后项应加上多少？” 解题步骤： 先算调整后的前项：3+9=12，相当于前项乘4（12÷3=4）。 根据比的基本性质，后项也要同步乘4：5×4=20。 算出后项需要增加的数值：20-5=15，最终答案是15 。 3. 生成等值比 任意一个比，都可以通过前后项同时乘/除以同一个不为0的数，生成无数个和它比值完全相等的不同形式的比。 四、高频易错点避坑 操作不同步：只给前项乘/除以一个数，忘记同步给后项做相同操作，导致比值改变。 忽略0的限制：乘/除以的数没有排除0，让比的后项变成0，运算失去意义。 加减直接套用：看到前项加一个数，就直接给后项加相同的数，没有先把加法转化为乘法，违背比的基本性质的“同乘同除”规则。 化简不彻底：化简整数比后，前后项还存在除了1之外的公因数，没有得到真正的最简整数比。 概念混淆：把化简比的结果和求比值的结果搞混，化简比最后算出一个数值，忘记保留“前项:后项”的整数比形式。 【典例2】化简。 （1）32∶48                （2）                （3）1.2∶0.75 【专项训练1】把下面各比化成最简单的整数比。        0.6∶3                km∶200m 【专项训练2】把下面各比化成最简单的整数比。 1.5∶0.3        75∶35                45分∶1小时 【专项训练3】把下面的比化成最简单的整数比。 0.5∶1.25           【专项训练4】把下面各比化成最简整数比。 60∶32＝        0.3∶4.5＝          【专项训练5】化简下面各比，并求比值。 0.375∶3             21∶35        1.25∶2     【专项训练6】化简比并求出比值。 （1）3.5∶5       （2）∶      （3）升∶420立方厘米 【专项训练7】化简下面各比，并求出比值。 0.125∶                0.3∶            3吨∶360千克            48分∶小时 【专项训练8】化简下列各比并求比值。                     【专项训练9】先化简，再求比值。                                54∶15                         0.36∶0.3 【专项训练10】把下面各比化成最简单的整数比。 48∶30    ∶    0.12∶0.3    1.5元∶4角 题型03 比例的意义 一、核心基础定义 比例的完整定义：‌表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 比例的核心判定标准：两个比的比值必须完全相等，才能组成比例，这是判断两个比能否构成比例的唯一核心依据。 二、比和比例的核心区别与联系 这是考试中最容易混淆的高频考点，二者本质完全不同： 表格 对比维度 比 比例 组成结构 由两个数（前项、后项）组成，是一个单独的式子 由两个比值相等的比组成，是一个等式，包含4个项 核心意义 表示两个数相除的关系，只有两项 表示两个比相等的等式，有四项 核心性质 前项后项同时乘/除以同一个不为0的数，比值不变 两个外项的积等于两个内项的积 联系：比是比例的组成部分，比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。 三、判断两个比能否组成比例的两种方法 ‌比值比较法‌：分别算出两个比的比值，如果比值完全相等，就能组成比例。 ‌比例性质验证法‌：假设两个比能组成比例，计算外项的积和内项的积，如果两个积相等，就说明可以组成比例。 四、比例的两种书写形式 比例除了标准的“比号形式”，还可以写成分数形式，两种形式完全等价： 比号形式：a:b=c:d 分数形式： = ​，此时等号两侧的分子分母交叉相乘，乘积依然相等，符合比例的基本性质。 五、用四个数组比例的技巧 给定四个数，要把它们组成不同的比例，核心方法是先把四个数按从小到大排序，验证最大数和最小数的乘积，是否等于中间两个数的乘积。如果相等，就可以写出所有不同的比例式。 六、高频易错点避坑 概念混淆：把比和比例搞混，误以为单独一个比就是比例，忽略比例必须是“两个比相等的等式”这个核心要求。 判定失误：判断两个比能否组成比例时，只看比的前项或后项对应相等，忽略必须比值完全相等的核心条件。 项数错误：误以为比例只有3个项，忘记比例必须包含4个项，有2个外项和2个内项。 书写错误：写分数形式的比例时，搞错分子分母的对应关系，导致交叉相乘后乘积不相等。 【典例3】判断下面每组的两个比能否组成比例，把能组成比例的写出来。 1∶3和    和0.4∶0.2    3∶12和5∶20 0.8∶0.4和    15∶3和5∶1    和9∶14 【专项训练1】应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）和        （2）和 （3）和        （4）和 【专项训练2】下面各组中的两个比可以组成比例吗？若可以，把组成的比例写出来。 （1）和    （2）和 【专项训练3】应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）和        （2）和 （3）和        （4）和 【专项训练4】下面各组中的两个比可以组成比例吗？若可以，把组成的比例写出来。 （1）和        （2）和 【专项训练5】根据下面的两组乘法算式，分别写出两个不同的比例。 （1）        （2） 【专项训练6】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①6∶4和    ②和    ③0.8∶0.4和3.2∶1.6 【专项训练7】下列的比可以组成比例吗？把组成比例写出来。 0.2∶1.2和4∶24        8∶6和                和 【专项训练8】下面哪几组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）和                        （2）和 【专项训练9】下面哪几组可以组成比例？把组成的比例写出来。 0.2∶1.2和4∶24       8∶6和        和 【专项训练10】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）30∶25和20∶15         （2）和 （3）4.8∶1.6和9∶3          （4）和 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $