专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（期中真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

**基本信息** 江苏多校期中真题汇编，聚焦集合与常用逻辑用语、不等式5大高频考点，覆盖基础运算到综合应用，适配高三期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|40+|集合交并补运算、充分必要条件判断、基本不等式应用|梯度设计，从单一集合运算（如第1题）到含参数集合关系（如第2题），贴合高考命题趋势| |填空|3|不等式解集、向量与不等式结合|结合跨知识点（如向量数量积与基本不等式），考查综合应用能力| |解答|3|二次函数不等式、恒成立问题|注重逻辑推理，如含参不等式解集与函数性质结合（如考点05第6题）|

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 5大高频考点概览 考点01 集合及其基本运算 考点02 常用逻辑用语 考点03 等式与不等式的性质 考点04 基本不等式及其应用 考点05 不等式的解法 考点01 集合及其基本运算 1．（2026·江苏徐州第一中学·二模）设集合，则集合（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知集合，那么（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）如果集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知集合， ，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）满足的集合的个数是（　　） A. 2 B. 16 C. 7 D. 8 9．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）设全集为自然数集，．那么集合可以表示成（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知，则中元素的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则（     ） A. 1 B.  C.  D.  15．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）已知集合，，则等于（       ）． A.  B.  C.  D.  17．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知全集，集合，，则（　　） A.  B.  C.  D.  18．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知集合，，若，则实数等于（       ） A. 0 B. 1 C. 0或2 D. 0或1 19．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）若集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）已知集合是质数，，则（       ） A.  B. {2} C. {3} D.  考点02 常用逻辑用语 1．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知则“且”是“”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知命题，，命题，，则（       ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 5．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）“，当时，都有”是“，都有”的（       ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知中，“”是“”成立的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）下列四个命题中，是假命题的为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（2026·江苏徐州第一中学·二模）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知平面，和直线，，且，则“”是“且”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 13．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设函数的定义域为R，对于任意的，，且，则“”是“是增函数”的（    ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）若，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）在中，“为锐角”是“”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）“”是“圆与圆相交”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 17．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）如果x，y是实数，那么“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知，则“”是“”成立的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）命题“”的否定是　　　　　　　　　　. 考点03 等式与不等式的性质 1．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）若，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）已知，则它们的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）（多选）若，则下列不等式正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若，，则 B. 若，则的最小值为4 C. 已知x，y都是正数，且，则 D. 正实数x，y满足，则有最小值为4 6．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设正数，满足，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  考点04 基本不等式及其应用 1．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）若，则的最小值为（       ） A. 2 B.  C.  D. 8 2．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）（多选）已知，则（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D. 不确定 4．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）（多选）已知，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）在各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为（       ） A.  B. 12 C. 17 D.  6．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）（多选）已知且，则下列结论正确的有（       ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 7．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）（多选）已知正实数满足，则下列说法正确的是（     ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 8．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知实数满足，则的值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）已知向量，，其中．若，则的最大值为　　　　　　． 11．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸（）．若将长方形纸对折，使得重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸的顶点折到边上，设折痕所在直线与的夹角为，当折痕最短时，　　　　　　　　　　　． 考点05 不等式的解法 1．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）一元二次不等式的解集是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）一元二次不等式的解为，那么的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·江苏徐州第一中学·二模）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·江苏泰州兴化·调研）若关于的不等式的解集是，则　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知二次函数，且关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 7．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知函数. （1）若有实数根，求实数的范围； （2）若恒成立，求实数的范围. 8．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知二次函数的图象经过原点，且的图象关于直线对称，函数的图象与直线有且只有一个交点. （1）求的解析式； （2）若，，不等式成立，求实数的最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 专题01 考点01集合及其基本运算 考点02常用逻辑用语 考点03等式与不等式的性质 考点04基本不等式及其应用 考点05不等式的解法 D考点01集合及其基本运算 1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.D 9.C 10.A 11.D 12.B 13.B 14.C 15.C 16.D 17.A 18.C 19.B 20.B 21.D 22.C 》 考点02常用逻辑用语 1.A 2.C www.zxxk.com 集合与常用逻辑用语、 1/9 让教与学更高效 不等式 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 3.B 4.B 5.D 6.A 7.c 8.D 9.C 10.B 11.B 12.B 13.B 14.B 15.A 16.C 17.B 18.A 19.【答案】“VX>1,x2-3x+2≤0” 【分析】 应用特称命题的否定求解」 【详解】 命题“x>1,x2-3x+2>0”的否定是“VX>1,x2-3X+2≤0”. 故答案为：“Vx>1,x2-3x+2<0” 》 考点03等式与不等式的性质 1.BD 2.C 3.B 4.BD 5.AB 6.A D考点4基本不等式及其应用 1.C 2.BD 219 可学科网 www zxxk.com 3.B 4.ABD 5.B 6.ABD 7.ACD 8.C 9.【答案】 【分析】 由一元二次不等式的解集得 b=-m-1 m ,应用基本不等式求得b≥ a=1 勾函数的性质求范围. 【详解】 由题设m,上是aX+bx+1=0的两个根，且a>0, m =m+ 则 m且m<是<0：所以b=-m-2>0, =m1- m m a a=1 m 而-m-二≥2加，当且仅当m=-1时取等号， m 而m=-1时不满足m<二<0，所以 >2 m =1, 因启+名b+方在be2,+四上单调递8。 Ta b 所以片受胎+君的国足月+ b 2 a b 故答案为： ,+00 3/9 让教与学更高效 进而有b+上=b+上，最后结合对 a b b 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 10. 【答案】0.125 【分析】 根据向量平行的坐标公式得到m,n的关系，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 由题意得，a=m+2n,2b=1,2 因为a/6所以1x2=2m+2n,即m+2n=1mn>0 所以2mn≤mt2-nmns日当且仅当m士n-号时等号成立 44 8 4 所以mn的最大值为 1 故答案为：8 11. 1▣ 【答案】号3 【分析】 画图，研究各种不同情形，借助于直观的判断和平均值不等式求得各种情况下的最小值，进而比较得出折 痕最小的条件，进一步求得对应的角的正弦值， 【详解】 设AD中点为E,CD,AB中点依次记为M,N,MN中点记为O,连接OE. 设AB=a,AD=b,因为A在DC上，所以AA的中点在线段OE上. 折痕为PQ过F,且PQ⊥AA,情况分三种，如图1,2,3. a_b 由题意，ba,得a=叵 2 情形1： 如图1，折痕PQ≥AB=▣. 4/9 函学科网 www.zxxk.com A' M E O o W 图1 情形2： 如图2，AF= cos∠AFE2c059,AP= AE b AF AF sin∠APF sin0 PQ=- AP=AP=」 b cos∠APQ cos02sin0cosθ sh0 cos=:*a产ojP1口 所以PQ≥ b 3 回口 D A'M C P F N OB 图2 情形3： 如图3.当F与O重合时，PQ取得最小值 如图4，此时PQ=20N。=20N 6 sin∠ONQ sin∠ONQ-▣ 可回 24<27<32得29所以2 5/9 让教与学更高效 b 2sinθcos0' 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 a 故当折痕最短时，sin6=道二 口▣ 故答案为： ▣ D P M A'C B 图3 P M C(A) FO N B 图4 考点05不等式的解法 1.B 2.C 3.D 4.C 5.【答案】1 【分析】 由题意可得，方程ax2-2bx-1=0的两个根分别为-1,1，可求出a,b的值，从而得解 【详解】 由题意可得，方程ax2-2bx-1=0的两个根分别为-1,1， 2b=0, 所以a 1=-1 ,解得Q=1,故a=1°=1 (b=0, 故答案为：1 6/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.【答案】(1)实数b,c的值分别为-5,1 (2)|-1,+0o 【分析】 (1)根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值： (2)分离参数，利用基本不等式求得实数m的取值范围. (1)小问详解： 因为关于的不等式x1≤0的解集为，1人 所以，1是方程4X+bx+C=0的两根， 47 1 b +1=- 由根与系数的关系得4 4,解得b=-5, ×1=C 1 c=1 4 4 所以实数b,c的值分别为-5,1： (2)小问详解： 由(1)可得fx=4X2-5x+1结合f3=m·3, 可得43*-53*+1=m-3,所以m=4×3*-5+ 3* 听以m=4×3x-5+≥25=口 当且仅当4×3子，即3-别取等号。 所以实数m的取值范围为-1，+o∞】 7【答案】1)2要 (2)m 、2只▣ ▣ 【分析】 (1)按照m+1=0和m+1≠0分类讨论，利用判别式法列不等式求解即可： (2)按照m+1=0和m+1≠0分类讨论，进而利用判别式法列不等式求解即可. (1)小问详解： fx=0有实数根，即方程m+1x-mx+m-1=0有解， 当m+1=0即m=-1时，方程x-2=0,得x=2,符合题意； 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当m+1≠0即m≠-1时，由题意-m-4m+1m-1=-3m+4≥0，即m2≤号 解得2mV厅，×、 ■ 综上，实数m的范国2n 口√▣： ▣ (2)小问详解： 当m+1=0即m=-1时，不等式化为x-2>0,此式显然不恒成立，不符合题意； 当m+1≠0即m≠-1时，由题意得 m+1>0 △=-m2-4m+1川m-1<0 m2>4，解得m≥20， m>-1 m> 3 综上，实数m的范围是m>2口 8.【答案】(1Dfx=x-2x (2)2. 【分析】 (1)根据已知二次函数的性质得c=0、b=-2a且方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，结合判别式 求参数值，即可得解析式： (2)应用基本不等式求已知不等式左侧的最小值，问题化为m≥s+二在s∈1,2时有解，再由求出该不 等式右侧的最小值，即可得 (1)小问详解： 设fx=aX2+bx+cla0 因为二次函数y=fx的图象经过原点，所以C=0, 因为y=fx+1的图象关于直线x=0对称，所以y=fx+1是偶函数， 所以yfx的图象关于直线x=1对称，则7。三L,即b=-2a, 819 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 因为函数y=fx的图象与直线y=-1有且只有一个交点， 所以方程ax+bx+1=0有两个相等的实数根， 所以△=b2-4a=4a2-4a=0,解得a=1(a=0舍去)， 所以fx=X2-2x (2)小问详解： fe1-lc-2e41-e+J-2Axel-1,i小则ee2e 所以fe1≥22T,当且仅当上=e时，即x=0时取等号， 所以s2-ms+1≤0在s∈1,2]时有解，即m≥s+二在s∈1,2时有解， 因为s+上≥2，当且仅当s=上时，即s=1时取等号， 所以m≥2，即实数m的最小值为2. 9/9 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 5大高频考点概览 考点01 集合及其基本运算 考点02 常用逻辑用语 考点03 等式与不等式的性质 考点04 基本不等式及其应用 考点05 不等式的解法 考点01 集合及其基本运算 1．（2026·江苏徐州第一中学·二模）设集合，则集合（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解指数不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】 由，解得，则，而， 所以. 故选：C 2．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据条件，利用集合间的关系，即可求解. 【详解】 因为，，又，则， 故选：D. 3．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知集合，那么（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用集合的交集定义计算即得. 【详解】 因， 则. 故选：C. 4．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）如果集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】 因为，则. 故选：C. 5．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知集合， ，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先解出集合的范围，利用交集定义直接求解. 【详解】 集合，， 则 故答案为： 6．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求补集，再求交集即可. 【详解】 因为，， 所以，所以， 故选：B. 7．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据对数的单调性解对数不等式，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】 ， 所以， 故选：D 8．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）满足的集合的个数是（　　） A. 2 B. 16 C. 7 D. 8 【答案】D 【分析】 根据集合的包含关系判断. 【详解】 当中只有一个元素时，； 当中只有两个元素时，或或； 当中只有三个元素时，或或； 当中只有四个元素时，， 所以满足要求的的个数为8个. 故选：D. 9．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）设全集为自然数集，．那么集合可以表示成（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据交集、并集、补集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 集合是所有偶数的集合，是所有4的倍数的集合. A选项，由于，所以A选项错误. B选项，由于，所以B选项错误. C选项，由于，所以，所以C选项正确. D选项，由于，所以D选项错误. 故选：C 10．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求集合，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】 由题意，所以， 故选：A. 11．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由集合的交集运算求解． 【详解】 ， 则， 故选：D 12．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知，则中元素的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 结合一元二次不等式解法化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】 不等式的解集为，所以， 又，所以，有2个元素. 故选：B 13．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】 依题意，，则或， 而，所以. 故选：B 14．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据集合间关系列式计算再分类讨论结合已知求参. 【详解】 因为集合，， 又因为， 当即时，，不符合题意； 当即时，，符合题意； 则. 故选：C. 15．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求解分式不等式得集合，再根据交集的定义求解. 【详解】 将解不等式，化为， 得解，即， 所以. 故选：C 16．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）已知集合，，则等于（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先解一元二次不等式求出集合M，再求对数型复合函数定义域求出集合，再根据补集和交集运算求解即可. 【详解】 ， 所以或， 又， 所以. 故选：D 17．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知全集，集合，，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由补集和交集定义直接求解即可. 【详解】 由已知，全集，集合， 则，又， 所以. 故选：A. 18．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知集合，，若，则实数等于（       ） A. 0 B. 1 C. 0或2 D. 0或1 【答案】C 【分析】 根据包含关系，讨论、，结合集合元素的互异性求参数值. 【详解】 当时，，，满足； 当，即或， 若时，，，满足； 若时，显然不满足集合元素的互异性； 综上，或. 故选：C 19．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先利用指数函数单调性解不等式得集合，结合交集的定义即可求解. 【详解】 由于集合， 则 故选: B 20．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用对数函数单调性求出集合，再求出集合，根据交集的定义运算. 【详解】 得，则， 又，则. 故选：B 21．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）若集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 考察函数的定义域和值域，以及集合的运算，直接求解即可. 【详解】 由题可知，，所以 故选：D. 22．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）已知集合是质数，，则（       ） A.  B. {2} C. {3} D.  【答案】C 【分析】 通过解不等式先求出集合，变形，分析出要使是质数，而必须是2的正因数，将和分别代入验证，即可求出集合，再求即可得解. 【详解】 由，解得，故. 因为， 要使是质数，必须是整数，而必须是2的正因数. 因为2的正因数有1和2， 所以当时，，此时，4不是质数，不符合要求，舍去； 所以当时，，此时，3是质数，符合要求，故. 所以. 故选：C 考点02 常用逻辑用语 1．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用推出关系来确定充要关系即可. 【详解】 因为，所以，即“”是“”的充分条件， 因为，所以，即“”不是“”的必要条件， 故选：A 2．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知则“且”是“”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】 利用充要条件的定义即可求解. 【详解】 由且可知一定成立，故“且”是“”的充分条件， 又由可知都为0，即且，故“且”是“”的必要条件. 综上，“且”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 结合充分条件和必要条件的定义即可分析判断． 【详解】 假设，，有，即充分性不成立； 若，则有且，即必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知命题，，命题，，则（       ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【分析】 结合存在量词和全称量词判断的真假，再判断各选项. 【详解】 ，所以方程无实数根，命题是假命题，是真命题. 因为，所以，命题是真命题，是假命题. 故选：B. 5．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】 取，满足，但是，即，充分性不成立； 取，满足，但是，即，必要性不成立． 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 6．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）“，当时，都有”是“，都有”的（       ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 结合函数的单调性的定义，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】 ，当时，都有，则在单调递增，所以； 反之，都有，不能得到在单调递增， 例如，该函数在上单调递减，在上单调递增，， 显然满足，但在上不单调递增； 所以“，当时，都有”是 “，都有”的充分且不必要条件. 故选：A 7．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知中，“”是“”成立的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果. 【详解】 由正弦定理以及三角形大边对大角可得： ， 又，在上单调递减， ，即， “”是“”成立的充分必要条件. 故选：C. 8．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）下列四个命题中，是假命题的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用存在量词命题及全称量词命题的真假判定方法，结合基本不等式判断即得. 【详解】 对于A，取，，A是真命题； 对于B，取，，B是真命题； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 因此当时，，C是真命题； 对于D，当时，，D是假命题. 故选：D 9．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案. 【详解】 对于命题，为方程的根，则，充分性成立； 对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立； 所以是的充分必要条件. 故选：C 10．（2026·江苏徐州第一中学·二模）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【详解】 解：命题“，”的否定是“，”． 11．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知平面，和直线，，且，则“”是“且”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将“”与“且”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“”时，可能在或内，不能推出“且”.当“且”时，由于，故“”.所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题. 12．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 利用焦点在轴上的双曲线的定义建立不等式组，求解参数范围，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】 若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则 ,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 故选：B 13．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设函数的定义域为R，对于任意的，，且，则“”是“是增函数”的（    ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据充分条件，必要条件的定义，结合函数单调性的定义，即可判断选项. 【详解】 若，则，则当时，，所以单调递增， 反过来，若函数单调递增，则当时，，即，但不能推出， 所以“”是“是增函数”的充分不必要条件. 故选：B 14．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）若，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 应用函数单调性及特殊值法，再结合充分条件必要条件定义判断. 【详解】 已知，若，满足“”但是不满足“； 当时，， 设函数，其定义域为， 因为函数和在上均为增函数， 则在上单调递增，又，所以； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 15．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）在中，“为锐角”是“”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据向量的运算及充分必要条件的定义即可判断； 【详解】 对于充分性，若为锐角，则\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\frac{1}{4}\left[\left(\vec {AB}+\vec {AC}\right)^{2}-\left(\vec {AB}-\vec {AC}\right)^{2}\right]> 0， 所以\left(\vec {AB}+\vec {AC}\right)^{2}> \vec {BC}^{2}，即\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| > \left| \vec {BC}\right|，故充分性正确； 对于必要性，若\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| > \left| \vec {BC}\right|，两边平方得\left(\vec {AB}+\vec {AC}\right)^{2}> \vec {BC}^{2}，即\left(\vec {AB}+\vec {AC}\right)^{2}> \left(\vec {AB}-\vec {AC}\right)^{2}， 所以\vec {AB}\cdot \vec {AC}> 0，又因为是的内角，所以为锐角，故必要性也成立. 所以 “为锐角”是“\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| > \left| \vec {BC}\right|”的充分必要条件. 故选：A 16．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）“”是“圆与圆相交”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 首先将圆的方程化为标准式，即可确定圆心坐标与半径，再由两圆相交求出参数的取值范围，最后根据集合的包含关系判断即可. 【详解】 圆，即，圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径； 则 若两圆相交，则，即，解得， 因为真包含于， 所以 “”是“圆与圆相交”的必要不充分条件. 故选：C 17．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）如果x，y是实数，那么“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】 若“”，则两边平方得，即， 所以，充分性不成立； 若“”，则、同号，故“”，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 18．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知，则“”是“”成立的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由题意上式等价于，设，求导，可得在区间上单调递增，可知，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】 因为，因为，所以，上式等价于， 设，则， 当时，有， 所以在区间上单调递增，所以等价于， 故“”是“”成立的充要条件. 故选：A. 19．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）命题“”的否定是　　　　　　　　　　. 【答案】“” 【分析】 应用特称命题的否定求解. 【详解】 命题“”的否定是“”. 故答案为：“” 考点03 等式与不等式的性质 1．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【分析】 列举反例判断A、C，由不等式的性质判断B、D. 【详解】 A：若 ，此时，错， B：由，不等式同向相加符号不变，则，对， C：若，此时，错， D：由，则，故，对. 故选：BD 2．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）若，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据对数函数、幂函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】 由， 由， 由，所以. 故选：C 3．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）已知，则它们的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 构造函数，求导，利用单调性可得到的大小；再构造，求导利用单调性可得到的大小；综合可得答案. 【详解】 令，求导得：， 故在上单调递减，所以，故， 又因为，故，故； 令，求导得：， 由得：，所以， 而，故对上恒成立， 故在上单调递增， 故，故，故； 综上： 故选：B 4．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）（多选）若，则下列不等式正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 首先由条件确定，再根据不等式的性质，结合选项，即可判断. 【详解】 由可知，，所以，即，故A错误； ，故B正确； ，所以，故C错误； ，由以上可知，，，所以，即，故D正确. 故选：BD 5．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若，，则 B. 若，则的最小值为4 C. 已知x，y都是正数，且，则 D. 正实数x，y满足，则有最小值为4 【答案】AB 【分析】 由不等式性质即可判断A；由基本不等式和指数运算性质即可求解判断B；作差即可分析比较大小判断C；常数代换结合基本不等式即可计算求解判断D. 【详解】 若，则，又，所以，故A正确； 若，则， 当且仅当即时等号成立， 若，则的最小值为4，故B正确； ， 因为x，y都是正数，且，所以， 所以，即，故C错误； 正实数x，y满足，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为3，故D错误. 故选：AB 6．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设正数，满足，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据条件，，取对数得，，从而可得取值同在区间或，再分在两个区间取值，利用对数函数的单调性，即可求解. 【详解】 由题知正数均不等于，由，得到， 由，得到，所以， 若，则，若，则， 所以取值同在区间或， 若，由，得到，由，得到，所以， 若，由，得到，由，得到，所以， 综上所述，， 故选：A. 考点04 基本不等式及其应用 1．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）若，则的最小值为（       ） A. 2 B.  C.  D. 8 【答案】C 【分析】 根据对数运算法则可得，继而利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由题意得，，且，. 因为，所以， 所以，则,当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C 2．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）（多选）已知，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 ABD选项，利用基本不等式求最值即可；C选项，利用特殊值判断. 【详解】 ，即，解得，当且仅当时等号成立，故A错； 可整理为， ，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当，时，，故C错； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 3．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D. 不确定 【答案】B 【分析】 将与相乘，展开后利用基本不等式以及绝对值的性质可得出结论. 【详解】 因为 ，即， 当且仅当且时，上述不等式中的两个等号同时成立，故. 故选：B. 4．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）（多选）已知，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 利用不等式性质判断A；利用基本不等式判断BCD. 【详解】 对于A，因为，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ABD. 5．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）在各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为（       ） A.  B. 12 C. 17 D.  【答案】B 【分析】 根据等比数列下标和的性质得到，设公比为，则，再令，利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【详解】 因为是正项等比数列，所以，又，所以， 设公比为，所以， 令，则 因为， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，即取得最小值，最小值为. 故选：B 6．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）（多选）已知且，则下列结论正确的有（       ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 根据基本不等式性质，当且仅当时取等号，结合“1的替换”“平方技巧”分析AB选项，根据“特殊值验证”分析C选项，令，变形代数式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 A选项，因为且，所以， 根据基本不等式可得，当且仅当且时取等号，所以， A 选项正确； B选项，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，则， 当且仅当时取等号，即最大值为，B选项正确； C选项，因为，所以，，，又，代入得：， 令（），表达式变为， 取特殊值（此时），计算得： , 而当时，值为，故1不是最大值，选项C错误； 选项D，令，则， 代入， 令，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：ABD. 7．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）（多选）已知正实数满足，则下列说法正确的是（     ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】ACD 【分析】 利用基本不等式即可判断AC，利用二次函数即可判断B，利用柯西不等式即可判断D. 【详解】 由有：， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 由，当时，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 由， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 由， 当且仅当 ，即时，等号成立，故D正确； 故选：ACD. 8．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知实数满足，则的值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过不等式构造两个函数，分别分析两个函数的最值情况即可得答案. 【详解】 由，变形为. 令，，.则不等式变为. 因，当，；当，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数. 又，当时，，；当，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数. 又因为成立，且，. 所以只能是，所以 ，解得 ，所以. 故选：C. 9．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由一元二次不等式的解集得 ，应用基本不等式求得，进而有，最后结合对勾函数的性质求范围. 【详解】 由题设是的两个根，且， 则 且，所以 ， 而，当且仅当时取等号， 而时不满足，所以 ， 因在上单调递增， 所以，即的范围是. 故答案为： 10．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）已知向量，，其中．若，则的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据向量平行的坐标公式得到的关系，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 由题意得，，， 因为，所以，即，． 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 11．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸（）．若将长方形纸对折，使得重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸的顶点折到边上，设折痕所在直线与的夹角为，当折痕最短时，　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 画图，研究各种不同情形，借助于直观的判断和平均值不等式求得各种情况下的最小值，进而比较得出折痕最小的条件，进一步求得对应的角的正弦值. 【详解】 设中点为,中点依次记为,中点记为,连接. 设,因为在上，所以的中点在线段上. 折痕为过,且,情况分三种，如图1，2，3. 由题意，,得. 情形1： 如图1，折痕. 情形2： 如图2，， , , 所以. 情形3： 如图3.当与重合时，取得最小值. 如图4，此时. 由,得,所以. 故当折痕最短时，. 故答案为： 考点05 不等式的解法 1．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）一元二次不等式的解集是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】解：不等式可化为 ， 解得， 不等式的解集为． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 2．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】 当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 3．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）一元二次不等式的解为，那么的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】 一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得 ，代入得 ， 故选：D. 4．（2026·江苏徐州第一中学·二模）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 方法一：由，得， 化简得，即， 等价于 ，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得 或 ， 化简得 或 （舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 5．（2026·江苏泰州兴化·调研）若关于的不等式的解集是，则　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 由题意可得，方程的两个根分别为，1，可求出的值，从而得解. 【详解】 由题意可得，方程的两个根分别为，1， 所以 ，解得 故. 故答案为：1 6．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知二次函数，且关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）实数，的值分别为     （2）      【分析】 （1）根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值； （2）分离参数，利用基本不等式求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两根， 由根与系数的关系得 ，解得 ， 所以实数，的值分别为； (2) 小问详解： 由（1）可得，结合， 可得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围为. 7．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知函数. （1）若有实数根，求实数的范围； （2）若恒成立，求实数的范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）按照和分类讨论，利用判别式法列不等式求解即可； （2）按照和分类讨论，进而利用判别式法列不等式求解即可. (1) 小问详解： 有实数根，即方程有解， 当即时，方程，得，符合题意； 当即时，由题意，即， 解得 ，且； 综上，实数的范围； (2) 小问详解： 当即时，不等式化为，此式显然不恒成立，不符合题意； 当即时，由题意得 ， 即 ，解得， 综上，实数的范围是. 8．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知二次函数的图象经过原点，且的图象关于直线对称，函数的图象与直线有且只有一个交点. （1）求的解析式； （2）若，，不等式成立，求实数的最小值. 【答案】（1）；     （2）2.      【分析】 （1）根据已知二次函数的性质得、且方程有两个相等的实数根，结合判别式求参数值，即可得解析式； （2）应用基本不等式求已知不等式左侧的最小值，问题化为在时有解，再由求出该不等式右侧的最小值，即可得. (1) 小问详解： 设， 因为二次函数的图象经过原点，所以， 因为的图象关于直线对称，所以是偶函数， 所以的图象关于直线对称，则，即， 因为函数的图象与直线有且只有一个交点， 所以方程有两个相等的实数根， 所以，解得（舍去）， 所以； (2) 小问详解： ，且，则， 所以，当且仅当时，即时取等号， 所以在时有解，即在时有解， 因为，当且仅当时，即时取等号， 所以，即实数的最小值为2. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $