专题02 函数概念与基本初等函数（期中真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

**基本信息** 高三函数专题期中试题汇编，涵盖函数表示、图象、性质等6大高频考点，精选江苏多地名校期中真题，注重基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/多选|多题|函数性质、指对幂函数|结合周期性与奇偶性综合考查，如偶函数周期2的性质应用| |填空|多题|函数图象、新定义|设计开放性问题，如写出满足奇偶性与单调性的函数| |解答|多题|函数单调性、零点|融入实际应用，如工厂废气过滤时间计算，体现数学建模|

专题02 函数概念与基本初等函数 6大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则（       ） A.  B. 当时， C.  D. 当时， 2．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知函数 ，则　　　　　. 考点02 函数的图象 1．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标（       ） A. 缩小到原来的倍（横坐标不变） B. 扩大到原来的2倍（横坐标不变） C. 向上平移1个单位（横坐标不变） D. 向下平移1个单位（横坐标不变） 3．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      考点03 函数的基本性质 1．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）函数与的图象（       ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 4．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（       ）． A. －3 B. 3 C.  D.  5．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）（多选）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（       ） A. 若，则函数不是偶函数 B. 若，则函数不是奇函数 C. 若，则函数是增函数 D. 若，则函数不是减函数 6．（2026·江苏泰州兴化·调研）（多选）已知函数，则（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 7．（2026·江苏徐州第一中学·二模）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知 是定义在上的奇函数，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知是偶函数，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（       ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C.  D. 的图象关于直线对称 11．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 的图象关于对称 C. 是以2为周期的周期函数 D.  12．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）若函数 且在上为减函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）已知定义在上的函数满足①；②．写出一个满足条件的的解析式　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　　　　　　　　　　.①；②当时，；③是奇函数. 15．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 16．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知函数是奇函数，是偶函数，且. （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形. 17．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）已知函数，若的图象关于中心对称，则　　　　　；　　　　　． 考点04 指、对、幂函数 1．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）若，则下列各式中恒等的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知函数（且），若，则不等式的解集为 （       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为：（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（       ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477） A. 31 h B. 33 h C. 35 h D. 37 h 4．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超过原来的二百分之一，则至少需要漂洗的次数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）定义在上的函数，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）若实数，，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）（       ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·江苏泰州兴化·调研）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（       ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 9．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（     ） A. 29.5h B. 29h C. 28.5h D. 28h 考点05 函数与方程 1．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知函数 则方程的解的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）若函数 恰有个零点，则正数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）（多选）已知函数 ，若有个零点，则下列结论正确的是（            ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知函数的零点分别为，则　　　　． 5．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知函数最小正周期为，当时， 则函数的零点个数为　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围为　　　　　　　　． 8．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数，则的所有零点之积为　　　　　　　　　　；方程有三个不同的解，则实数的范围为　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知函数 ，若函数有个零点，则实数的取值范围为　　　　　　　　　. 考点06 函数的新定义 1．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被高斯采用，因此得名高斯函数，例如：\left[-2.2\left\right]=-3,\right[2.1]=2.若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数 的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）（多选）设集合，，从到的函数，其中，则（       ） A. 函数的值域为 B. 是方程的解 C. 曲线是中心对称图形 D. 是函数的极小值点 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02函数概念与基本初等函数 考点01函数及其表示 考点02函数的图象 考点03函数的基本性质 考点04指、对、幂函数 考点05函数与方程 考点06函数的新定义 》 考点01函数及其表示 1.ABD 2.【答案】5 【分析】 根据解析式，将自变量代入求值即可. 【详解】 由解析式知f(-1)=-1-1=2:则ff-1=f(2)=22+2-1=5 故答案为：5 D考点02函数的图象 1.D 2.A 3.A D考点03函数的基本性质 1.C 2.D 3.C 4.C 5.AD 6.BCD 7.D 8.B 9.C 1/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.B 11.ABD 12.C 13.【答案】x 【分析】 由题可得过原点的单调递增的一次函数满足题意，即可得答案. 【详解】 因fa+b=fa+fb,可设fx=kxk≠0， 由f2>f1,可得k>0,则可取fx=x. 故答案为：X(答案不唯一，满足题意即可) 14,【答案】fx=1(答案不唯一) 【分析】 根据幂函数的性质可得所求的fx. 【详解】 iu装ff女女 X1X 所以fxx=fxfx满足①， f=克当xe0,+o时，fX0:满@. fxl的定义域为-o0,0U0,+o,又f-x=1=-=-fx, -Xx 故fx是奇函数，满足③ 敬符案为：f是答案不唯). 15.【答案】(1)a=1: (2) 曲x-21女 函数在定义域内单调递增，证明如下： w听六2 21-2 2/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由x1>x2,得2>2>0，则f(x1)>f(x2),所以函数在R上单调递增.(3)m<4口 【分析】 (1)利用奇函数性质求出Q,再利用定义验证即得； (2)利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得： (3)利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得 (1)小问详解： 电题意，定义在R上的函数x为奇函数，得f0三a十号0，解得aB 2*+12 2x+122*+1 即函数f(x)是奇函数，所以a=1. (2)小问详解： 略 3)小问详解： 依题意，对任意的x∈1,2fx2-mx)>-f(x+4)-f(x-mx>f-X-4)成立， 则x-mX--4,即m<2×+号在x∈1,2上恒度立，面2x+是2， 当且仅当x=石时取等号，因此m<4V▣， 所以实数m的取值范围是m<4V▣ 16.【答案】(1)1(2) 首先gx+1=e+ex1 一，则 2 g1x+1-g1-1-x=c1+ea.e1+e州。1+e1.1=+e=0其 次设 2 2 2 2 ex=x+n31小则 -p2--x+n是+12-x+1n-2x1 3/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =(x+1)In 21-n20因为国=gx+1**1n是1-gx*1*p h(x)-h(-2-x)=[g(x+1)+o(x)]-[g(-2-x+1)+o(-2-x)]=Vlefilgllefi(x+lright)-gVefi(-1- x\right)lleftright]+rightnvarphi Veft(xright)-Wvarphi lleft(-2-xright)]-0, 即hx=h-2-x. 因此，曲线y=hx是对称轴为x=-1的轴对称图形. 【分析】 2,glx]=e*tex C1)由函数的奇偶性构造方程组，求得fx=e-e, 2即可求解： (2）血pK=x+1n2+1和gx+1分别关于X=-1对称，即可求证： X (1)小问详解： 由fx+gx=e,得f-x+g-x=e0 因为函数fx是奇函数，gx是偶函数， 则-fx+gx=e② 2,glx=e*tex 联立①②，解得fx=e二e 2 [g(x)P-IF(x)P-Ig(x)-f(x)-g(x)+F(x)+e-e 2 e=1 (②)小问详解： 略 17.【答案】①3②0 【分析】 对fX分离常数后，可注到gx=。为中心对称图象，因此fX足由9X经过伸缩、上下平移变 换所得到的函数，进而确定了对称中心，即可求解， 【详解】 4/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 fx=2e+2-a+2-2-a+2 e'+1 e'+1 对于函数oX三1易知g-=一三'由gx+9-x=1) e"+1 ex+1 e+1 因此g(x)是关 1中心对称图形， 02 而x刘=-a++2是由g(x]经过伸缩、上下平移变换所得到的， e*+1 因此对称中心的横坐标不变，故b=0, 因此rx的对容中为0，引 有fx+fl-x=2e-a+2ea=2-a1+e=2-a=-1解得a=3 1+ex 1+ex 1+ex 故答案为：3；0. D考点04指、对、幂函数 1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D D考点05函数与方程 1.B 2.A 5/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.ABD 4.【答案】吃 【分析】 由题意可得f0)=0.所以f(x的一个零点为0，令gx=X-Xsin+子求出gx的要点，即为 f(x)零点，代入计算即可得答案. 【详解】 令fx=0,则有x2-X2sinπx+X=0,即Xx2-xsinπx+)=0,所以有f10=0. 4 4 1 令gx=X-xsinπx+4则g0≠0， 令gx=0,则有x2+1 4xsinπx,即有x4=sinax”任×0/ X 因为-1≤sinx≤1' ≤1 41 X 则有x 即当X=±2gK=0, 2 所以fX共有3个零点，分别为0，号 +-心 1 故答案为： 5.【答案】4 【分析】 根据题意，转化为y=fx与y=lnx图象的交点个数，作出函数y=fx与y=nx的图象，结合图象， 即可求解。 【详解】 令fx-|lnx=0,可得fx=lnx, 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以函数y=fx-nx的零点个数等价于y=fx与y=lnx图象的交点个数， 为函数定f儿x成小正周期为匹，当义0行时fx上m时 2 则fxnc=I'画出函数y=fx与y=lnx的图象， 如图所示，由图象可得，函数y=fx-nx的零点个数为4 故答案为：4. y=Inx yf(x) Oπ1元 3元末 42 6.【答案】|-0，-4u-2口 【分析】 令t=snx设2r2-a+1t+1=0的两根分别为t,5:结合正弦函数的图象与性质，转化为 ft=2-以+1t+1,t∈[-1,1]止的零点间题，结合二次函数的图象与性质，分三种情况讨论，列出 不等式组，即可求解 【详解】 由方程2sin'x-a+1sinx+1=0在0,2π止恰有两个不同的实数根. 令t=sinx,x∈[0,2π]，可得t∈[-1,1]， 设22-以+1L+1=0的两根分别为，女，则贴t15分所以，同号， 结合正弦函数y=sinx,x∈0,2π的图象与性质， 可得ft=2t2-入+1t+1,t∈[-1,1]上的零点有三种情况： 当t,=t,时，即+1P-8=0解得=-2石或=23口（舍去）， 北时t=七=-9即snx=-空，可得X=5或x7平，符合腿意 7/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当0<t<1,t>2时，则满足f0>0,即 1>0 (f1<0 ,。，解得>2（舍去)： -(1+1)+1<0 当-1<t<0,6<-2时，则满足f0>0,即。，1>0 ,解得，<-4 f-1<0l2+(1+1)+1<0 综上可得，实数的取值范围为-0，-4U-2口 故答案为：(-0，-4u{-2口 7.【答案】 0 1 【分析】 根据题意， 参数分离得a=2-在-0，一2上有解，再根据函数单调性求解即可。 2x 【详解】 函数fx=x·2*-ax- 在区间-0，-2止有零点， 即a=2-在-0,2止有解， 2x y=2,y=一创0，-2单调期 所以g=2在0,2学词适。 又x--∞时，9x-0,且9-2=22-。1。=1 2×-221 所以a∈0,2 故答案为： 8.【答案】①1②e,+o 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 根据题意函数gx的专点即方程flx川=2025的根，作出函数y=fx川=|aln(lxl)的图象，数形结合求 解：方程fx=儿X有三个不同的解，即y=fIx)=laInxl卢y=x的图象有三个不同的交点，求出曲线 y=alnx过原点的切线斜率，数形结合求解。 【详解】 由思，函数gx的零点即方程|fx=2025的根，作出函数y=fx川=alnx的图象，如图， y=2025与y=fx川的图象共4个交点，从右到左依次是x1,X,X,X: 当x>0时，y=fxl=alnx,则alnx=-alnx得lnX+lnx=0,故1nxx=0即xx,=1 同理，可得X3X4=1, 所以X1X2X3x4=1,即gx的所有零点之积为1. y=g(x)一 y=2025 作出函数y=fx=-lalnxl的图象如图， 方程fx=x有三个不同的解，即y=fx=lalnxl与y=x的图象有三个不同的交点， 当x>1时，y=fx=alnx,则y=g,设切点为xo,alnxo), 所以由线y=a1nX过原点的切线斜率k=g=aln,解得X,=e XoXo 所以曲线y=alnx过原点的切线斜率k= e 要使得y=fx=lalnxl与y=x的图象有三个不同的交点，则C>1,即a>e, 所以实数a的取值范围为e,+oo 9/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=lf(x) 故答案为：1，e,+ol. 9.【答案】-1<a<0 【分析】 据题意对实数a进行讨论，分Q≥0，a<0,再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】 当a≥0，X≤0时，函数fX=-X+2ax对称轴为x=a≥0 因此函数fx在-o∞，0单调递增，函数图象如下： 0/1 =) 令t=fx则由y=ffx=ft=0:结合图象可得=0或=1： 即fx=0或fx=1, 由图可知fx=0有2个解，fx=1有1个解， 此时函数y=ffx有3个零点，不符合题意： 当a<0'x≤0时，函数fx=-X+2aX对称轴为x=a<0 所以fx在a,0单调递减，在-∞，a单调递增，函数图象如下： 10/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=fx) 00 令函数t=fx则由y=ffx=ft=0:结合图象可得=2a或t=0或t=1 即f(x)=2a或fx=0或fx=1, 由图可知，fx=t=2a<0有2个解，fx=0有3个解， 又y=ffx有6个专点，则需使fx=有1个解， 即需使a<0 ,解得-1<a<0 f a=a2<1 综上，实数a的取值范围为-1<a<0. 故答案为：-1<a<0. 》】 考点06函数的新定义 1.C 2.B 3.BCD 11/11 专题02 函数概念与基本初等函数 6大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则（       ） A.  B. 当时， C.  D. 当时， 【答案】ABD 【分析】 根据所给关系及解析式求出，即可判断A，求出当的解析式即可判断B，求出时的解析式，即可判断C，归纳出的解析式，即可判断D. 【详解】 对于A：当时，，所以， 又，所以，故A正确； 对于B：当时，，， 所以， 所以，故B正确； 对于C：当时， 当时， 所以，则在上单调递增， 在上单调递减， 所以，故C错误； 对于D：由上述推导可归纳， 对任意正整数，当时，， 当，即当时，，符合题意； 假设时成立，即当时，； 则当时 ，也成立， 所以当时，， 则， 所以当时， 即当时，，故D正确. 故选：ABD 2．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知函数 ，则　　　　　. 【答案】5 【分析】 根据解析式，将自变量代入求值即可. 【详解】 由解析式知，则. 故答案为：5 考点02 函数的图象 1．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数奇偶性及零点个数排除法即可得解. 【详解】 由函数解析式及奇函数定义知，AD为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数， 由图象可知，函数为奇函数，排除BC, 又只有一解，即函数只有一个零点，故排除A， 故选：D 2．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标（       ） A. 缩小到原来的倍（横坐标不变） B. 扩大到原来的2倍（横坐标不变） C. 向上平移1个单位（横坐标不变） D. 向下平移1个单位（横坐标不变） 【答案】A 【分析】 先利用指数的运算律，把函数变形为，再根据函数图象变换的规律即可作出判断. 【详解】 因为，可以发现当取同一个值时，函数对应的函数值是中对应函数值的， 所以要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标缩小到原来的倍（横坐标不变）. 故选：A. 3．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】 的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 考点03 函数的基本性质 1．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，则， 又，则，所以C正确， 又由题设条件得不到在的单调性，所以A、B、D不一定成立， 故选：C. 2．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】 因为是定义在上且周期为2的偶函数，所以 所以. 故选：D. 3．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）函数与的图象（       ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 【答案】C 【详解】令，则，由与的图象关于原点对称即可得解. 【详解】解：令，则 与的图象关于原点对称， 与的图象关于原点对称. 故选： 【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 4．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（       ）． A. －3 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 利用函数为奇函数，将化为，结合当时，，代入求值，即可求得答案. 【详解】 由题意知函数是定义在上的奇函数，故， 而，故，则， 故选：C 5．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）（多选）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（       ） A. 若，则函数不是偶函数 B. 若，则函数不是奇函数 C. 若，则函数是增函数 D. 若，则函数不是减函数 【答案】AD 【分析】 根据函数奇偶性定义判断A；举反例判断BC，利用减函数定义判断D. 【详解】 定义在R上的函数，若，则不恒成立， 则不是偶函数，故A正确； 取，此时， 函数的定义域为R，且， 故函数是奇函数，故B错误； 若，则，，故， 但函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误； 定义在R上的函数，若， 则对任意时，不恒成立， 则函数在R上不是减函数，故D正确. 故选：AD 6．（2026·江苏泰州兴化·调研）（多选）已知函数，则（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】 根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用即可求解D. 【详解】 由可得，故的定义域为，值域为，A错误，B正确， 由于函数在单调递增，在单调递减，而为上的单调递增函数，因此在上单调递增，C正确， 由于的定义域为关于对称，且，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 7．（2026·江苏徐州第一中学·二模）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】 因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 8．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知 是定义在上的奇函数，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数是奇函数化简，再应用单调性列式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】 因为 是定义在上的奇函数，所以， 且时，，则， 所以 ，且可化为， 根据解析式及二次函数的性质知，在上单调递增，且在上是连续的奇函数， 所以在上单调递增，则，所以， 所以解集为：. 故选：B. 9．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知是偶函数，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用偶函数的性质可求得，进而计算可求得的值. 【详解】 因为是偶函数，所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以， 所以，所以，又， 所以，所以，， 所以，解得. 故选：C. 10．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（       ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C.  D. 的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】 根据已知得是周期为4的奇函数，利用对称性求得时，再应用奇函数、周期性研究函数性质求函数值并判断对称性，数形结合判断零点个数. 【详解】 由关于点对称，则关于原点对称，即为奇函数， 设，则，又时，， ∴，则，A错； ∵， ∴，且令可得 ∴函数是以4为周期的周期函数， ∴，C错； 由，即， 所以关于点对称，D错； 函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数， 当时，当时，当时， 且在上单调递减，在上单调递增， 又在一个周期内单调递增，值域为， 同一坐标系内作函数与的图象如下：    观察图象知与有3个交点，B对. 故选：B 11．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 的图象关于对称 C. 是以2为周期的周期函数 D.  【答案】ABD 【分析】 利用赋值法，结合奇函数的性质，可判断A的真假；探索与的关系，可判断B的真假；探索与的关系，可判断C的真假；根据函数的奇偶性可得，结合，可得，可判断D的真假. 【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，且. 是定义在上的偶函数，所以. 对A：因为，令得，，所以，故A正确； 对B：由. 所以， 所以，所以的图象关于成轴对称，故B正确； 对C：因为，所以2不是函数的周期，故C错误； 对D：因为可得 ， 所以， 所以. 又，所以，所以，依次类推，可得，. 所以，故D正确. 故选：ABD 12．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）若函数 且在上为减函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】 当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即 ，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 13．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）已知定义在上的函数满足①；②．写出一个满足条件的的解析式　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题可得过原点的单调递增的一次函数满足题意，即可得答案. 【详解】 因，可设， 由，可得，则可取. 故答案为：（答案不唯一，满足题意即可） 14．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　　　　　　　　　　.①；②当时，；③是奇函数. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】 取，则， 所以，满足① ， ，当时，有，满足② ， 的定义域为，又， 故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 15．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2） 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. (1) 小问详解： 由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 16．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知函数是奇函数，是偶函数，且. （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形. 【答案】（1）1     （2） 首先，则 其次设，则 因为 =\left[g\left(x+1\right)-g\left(-1-x\right)\left\right]+\right[\varphi \left(x\right)-\varphi \left(-2-x\right)]=0, 即. 因此，曲线是对称轴为的轴对称图形.      【分析】 （1）由函数的奇偶性构造方程组，求得.即可求解； （2）由和分别关于对称，即可求证； (1) 小问详解： 由，得① 因为函数是奇函数，是偶函数， 则② 联立① ② ，解得. . (2) 小问详解： 略 17．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）已知函数，若的图象关于中心对称，则　　　　　；　　　　　． 【答案】① 3    ② 0 【分析】 对分离常数后，可注意到为中心对称图象，因此是由经过伸缩、上下平移变换所得到的函数，进而确定了对称中心，即可求解. 【详解】 . 对于函数易知，由， 因此是关于中心对称图形， 而是由经过伸缩、上下平移变换所得到的， 因此对称中心的横坐标不变，故， 因此的对称中心为, 有，解得. 故答案为：3；0. 考点04 指、对、幂函数 1．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）若，则下列各式中恒等的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据对数的运算性质逐一判断四个选项的正误即可. 【详解】 对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B不正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，故选项D正确. 故选：D. 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知函数（且），若，则不等式的解集为 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据已知条件判断指数函数的单调性，然后利用单调性求解不等式即可. 【详解】 对于函数（且）， 因,由可知函数在上单调递减， 故不等式，解得. 故选：A 3．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为：（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（       ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477） A. 31 h B. 33 h C. 35 h D. 37 h 【答案】B 【分析】 先求出常数，然后再令即可解出． 【详解】 由题意知，，解得， 那么， 当时，有， 解得，即污染物减少需要花33h. 故选：B 4．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超过原来的二百分之一，则至少需要漂洗的次数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 由题意知每次清洗后所留下的污垢是原来的，由此知，剩余污垢的量是关于洗涤次数的指数函数，据此可得答案. 【详解】 经过第一次漂洗，污垢存留量为污垢总量的； 经过第二次漂洗，污垢存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的； 经过第三次漂洗，存留量为原来的，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的. 则，注意到，则至少需要漂洗的次数是4. 故选：C 5．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）定义在上的函数，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据求出函数的表达式，再分析函数性质，最后解不等式. 【详解】 已知，解得， 则，因为，所以，进而，即是定义在上的奇函数且单调递增， 令，则， 所以是偶函数，当时，，故，且在上单调递增， 因为，所以不等式等价于， 因为是偶函数且在上单调递增，所以， 解得：或， 即或，结合，最终解集为. 故选：C. 6．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）若实数，，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先利用对数函数的单调性，比较与的大小，再构造函数，，分析其单调性和最值，比较与的大小. 【详解】 因为，， 由，所以，即. 设函数，，则，. 由；由. 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 所以，即. 综上，. 故选：A 7．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题设条件可得，据此可求污染物减少到需要的时间. 【详解】 由题设有，故，故， 令，故，故， 所以， 故选：C. 8．（2026·江苏泰州兴化·调研）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（       ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 【答案】B 【分析】 结合给定的函数模型利用对数的运算性质化简求解. 【详解】 设训练及个单位的数据量所需时间分别为，， ， 所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍. 故选：B 9．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（     ） A. 29.5h B. 29h C. 28.5h D. 28h 【答案】D 【分析】 根据题意代入公式计算电池容量，当时，代入公式计算时间. 【详解】 根据题意在电池容量不变的条件下，， 当时，，代入公式得：， 当放电电流时，代入公式得， 解得 ， 故选：D. 考点05 函数与方程 1．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知函数 则方程的解的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】 函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）若函数 恰有个零点，则正数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 3．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）（多选）已知函数 ，若有个零点，则下列结论正确的是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 由指数函数和二次函数得到函数的单调区间，求出函数的极值并作出函数的大致图象，从而得到的取值范围.A选项，作关于对称的函数，观察图象可知的大小关系，从而得到，判断A选项；B选项，由对称性可知的值，根据的取值范围，求出的取值范围，从而求得，判断B选项；C选项，取特殊值，分别求出，从而判断C选项；D选项，由二次方程的韦达定理得到，由，表示出，代入即可求得，然后构造函数，利用函数的单调性求出范围，判断D选项. 【详解】 当时，单调递减； 当时，对称轴，且开口向下. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴，， 函数大致图象如下： 令，即个零点，即 ∴， A选项，作关于对称的函数，如图： 由图可知，∴，A选项正确； B选项，由对称性可知，∵，∴， ∴，B选项正确； C选项，当时，， ，则，， 此时， ∵，∴，C选项错误； D选项，， ∵是方程的两根，∴， 又∵，即， ∴， 令，显然在上单调递增， ∴，D选项正确. 故选：ABD. 4．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知函数的零点分别为，则　　　　． 【答案】.5 【分析】 由题意可得，所以的一个零点为0，令，求出的零点，即为零点，代入计算即可得答案． 【详解】 令，则有，即，所以有． 令，则， 令，则有，即有，， 因为，所以，则，即有， 则有，即当时，， 所以共有3个零点，分别为， 所以． 故答案为：. 5．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知函数最小正周期为，当时， 则函数的零点个数为　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据题意，转化为与图象的交点个数，作出函数与的图象，结合图象，即可求解. 【详解】 令，可得， 所以函数的零点个数等价于与图象的交点个数， 因为函数最小正周期为，当时， ， 则，画出函数与的图象， 如图所示，由图象可得，函数的零点个数为. 故答案为：. 6．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 令，设的两根分别为，结合正弦函数的图象与性质，转化为上的零点问题，结合二次函数的图象与性质，分三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由方程在上恰有两个不同的实数根， 令，可得， 设的两根分别为，则，所以同号， 结合正弦函数的图象与性质， 可得上的零点有三种情况： 当时，即，解得或（舍去）， 此时，即，可得或，符合题意； 当时，则满足 ，即 ，解得（舍去）； 当时，则满足 ，即 ，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，参数分离得在上有解，再根据函数单调性求解即可． 【详解】 函数在区间上有零点， 即在上有解， 又在单调递增， 所以在单调递增， 又时，，且， 所以． 故答案为：． 8．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数，则的所有零点之积为　　　　　　　　　　；方程有三个不同的解，则实数的范围为　　　　　　　　　　. 【答案】① 1    ② 【分析】 根据题意函数的零点即方程的根，作出函数的图象，数形结合求解；方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，求出曲线过原点的切线斜率，数形结合求解. 【详解】 由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是， 当时，，则，得，故，即， 同理，可得， 所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点， 当时，，则，设切点为， 所以曲线过原点的切线斜率，解得， 所以曲线过原点的切线斜率， 要使得与的图象有三个不同的交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：1，. 9．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知函数 ，若函数有个零点，则实数的取值范围为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 据题意对实数进行讨论，分，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】 当时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或， 即或， 由图可知有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图象如下： 令函数，则由，结合图象可得或或， 即或或， 由图可知，有2个解，有3个解， 又有6个零点，则需使有1个解， 即需使 ，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 考点06 函数的新定义 1．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被高斯采用，因此得名高斯函数，例如：\left[-2.2\left\right]=-3,\right[2.1]=2.若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据一元二次不等式得出解集，结合高斯函数的定义求解范围. 【详解】 因为，则， 根据高斯函数定义可得实数. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数 的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意将问题转化为与函数的图象有两个交点，即有两个根，根据图象得到答案. 【详解】 依题意，函数关于原点对称的图象与函数 的图象有两个交点，即方程有两个根， 即：，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又在出的切线方程为，如图， 由图可知，要使方程有两个根，则或. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）（多选）设集合，，从到的函数，其中，则（       ） A. 函数的值域为 B. 是方程的解 C. 曲线是中心对称图形 D. 是函数的极小值点 【答案】BCD 【分析】 根据题意，结合正余弦函数的诱导公式和性质研究或计算即可判定. 【详解】 先确认一下从到的函数，其中，符合函数的定义： 对于任意的实数,,，该等式看作关于的方程，有唯一解，故是的函数. 选项 A：当  时，，又因为，所以，故选项 A 错误. 选项 B：当时，，，解得. 满足，故  是方程的解，故选项 B 正确. 选项 C：对所有，有，设是曲线上两点， 则, 因为，所以，表明曲线关于点 对称，故选项 C 正确. 选项 D：因为 ，，所以在  上，，因此. 在时：. 当  且  时， . 当  且  时， . 所以，在  时，，且在  的附近 ， 故  在  处取得极小值. 故选项 D 正确. 故选： BCD 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $