专题08 平面解析几何（期中真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

**基本信息** 平面解析几何专题汇编，覆盖直线与圆、椭圆等6大高频考点，精选江苏多地高三期中/二模试题，注重基础巩固与综合能力提升，适配期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约15题|直线与圆位置关系、椭圆离心率、双曲线渐近线|基础判断与综合分析结合，如多选考查直线过定点及距离问题| |填空|约5题|圆上点到直线距离、抛物线最值|聚焦关键能力，如圆与直线位置关系的参数计算| |解答|约10题|圆锥曲线方程推导、定点定值证明、新定义问题|注重逻辑推理，如椭圆定义推导、双曲线中动圆过定点证明，贴合高考命题趋势|

专题08 平面解析几何 6大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06 圆锥曲线中的新定义 考点01 直线与圆 1．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【分析】 根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】 由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【分析】 曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解. 【详解】 曲线C：等价于 或 或 或 . 对于 表示以和为顶点线段，其长度为， 对于 表示以和为顶点线段，其长度为， 对于 表示以和为顶点线段，其长度为， 对于 表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为. 故选：D 3．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）（多选）已知直线，圆，则（       ） A. 动直线经过定点 B. 圆心到直线的最大距离为 C. 当直线与圆相交时， D. 当时，圆上有两个不同的点到直线的距离为 【答案】CD 【分析】 根据直线过定点、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系逐项判断即可. 【详解】 对于A：将直线方程进行变换可得， 则有 ，解得 . 所以直线经过定点，所以A错误； 对于B：圆的方程变换为， 所以圆心到直线的距离为. 因为，所以，所以B错误； 对于C：当直线与圆相交时，那么， 化简得，解得，所以C正确； 对于D：当时，直线的方程为. 此时圆心到直线的距离为，所以圆上有两个不同的点到该直线的距离为，D正确； 故选：CD. 4．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 由两点间距离公式、斜率公式即可求解. 【详解】 设，点，，若，所以， 所以直线AB的斜率可能为或. 故选：AD. 5．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知实数、满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 取点、、，可得，数形结合可知当为线段与圆的交点时，取最小值，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】 因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 6．（2026·江苏徐州第一中学·二模）（多选）在直角坐标系xOy中，曲线，则下列结论正确的是（       ） A. 与轴无交点 B. 关于直线对称 C. 若点在上，则 D. 若曲线与有公共点，则 【答案】BCD 【分析】 本题可根据曲线方程的性质，逐一分析每个选项. 【详解】 选项A：令 ，则曲线的方程变为 即，结合，化简可得. 令， ，则. 根据零点的存在性定理可知，在区间 内有零点， 因此与轴有交点，故A错误； 选项B：若曲线关于直线对称，则将曲线方程中的x与y互换后方程不变， 将x与y互换，原方程，变为 需验证右边与是否相等： 利用三角恒等式, 对右边变形： ， . 因此恒成立，故曲线关于直线对称，故B正确； 选项C：设 ，则， 令，则曲线Γ的方程可化为 因为为，，所以，. 解不等式，可得 ①. 再解不等式 ，即，同理可得 或 ②. 综合① ② ，可得或，则，故C正确； 选项D：若曲线 与 有公共点，则 ， 将 代入曲线 的方程中，得到 . 因为 ， 令（当且仅当，即时取等号）. 则即解得 所以即则，故D正确. 故选：BCD. 7．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）平面直角坐标系中，圆，直线.若圆上存在3个点到直线的距离为，则　　　　　　　　　　；若直线上存在两点，圆上存在两点，使得四边形为正方形，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 先求出圆心到直线的距离，然后根据圆与直线的关系求出圆的半径即可；先设出直线的方程，然后求出平行直线间的距离即为正方形的边长，然后求出弦长，进而得到等式，令判别式大于等于0，即可求得半径的最小值. 【详解】 圆到直线的距离为， 因为圆上存在3个点到直线的距离为， 所以半径为； 设正方形边长为，则所在直线方程为， 则该直线与直线的距离为， 为圆与直线的交点，则弦长， 可得，整理得， 该方程有实数解，则判别式，解得， 故的最小值为. 故答案为：；. 8．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据弦长得到圆心到直线的距离，然后分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论即可； （2）根据面积公式得到，然后利用基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 因为圆  ，所以  ， 所以圆  的圆心为  ，半径为                           设圆心  到直线  的距离为  ，则  ，所以        当直线  的斜率不存在时，  ，此时                      当直线  的斜率存在时，设直线  的斜率为  ，则  ， 所以  ，所以  ，所以  ，即  ， 综上可知：直线  的方程为  或   (2) 小问详解：  的面积  ，                   由  的性质可知  ，        所以  ，                        当且仅当  时，即  时等号成立， 所以  的面积的最大值是   9．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，直线l与圆C相交于点A，B，圆C与x轴正半轴交于点D． （1）若，求直线l的方程； （2）记直线AD，BD的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据圆得垂径定理可求出的值，从而可求直线l的方程； （2）令，结合圆的方程求出点的坐标，设，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，得利用斜率公式得从而可求出为定值． (1) 小问详解： 圆的方程化为标准形式： 故圆心，半径长 设圆心到直线（即）的距离为，根据弦长公式： ，已知 代入得：，解得： 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得 因此，直线的方程为或． (2) 小问详解： 由圆，令，得（取正半轴），故 ； 设，， 联立直线与圆的方程得方程组 ， 消去，整理得 由韦达定理，得 又直线AD，BD的分别为 因此： 又 故 故为定值． 10．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知点，圆. （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）若过点的直线与圆交于两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii），其中为坐标原点，求. 【答案】（1）或     （2）（i），（ii）2      【分析】 1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解； （2）（i）由圆心到直线的距离小于半径，即可求解；（ii）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得即可得解. (1) 小问详解： 当斜率不存在时，与相切， 当斜率存在时，设， 则，解得：， 即， 所以过点且与圆相切的直线方程为或； (2) 小问详解： （i）设，．由（1）可知直线斜率存在， 设直线的方程为． 因为直线与圆交于两点，所以， 解得． 所以的取值范围为． （ii）将代入方程， 整理得， 所以， 所以． 解得， 所以直线的方程为. 圆心到直线的距离，即直线过圆心， 所以. 11．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）若方程表示两条平行的直线，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 将所给方程进行配凑化简，可得，由题意，两直线平行，求得，分别代入检验，即可得答案. 【详解】 方程可化为， 即， 所以， 则或， 因为表示两条平行的直线， 所以，解， 当时，两直线为和，符合题意， 当时，两直线为和，即， 则两直线重合，不符合题意，所以的值为2. 故答案为：2 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可得到之间的关系，从而求得的关系式，即可求得答案. 【详解】 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 由题意可知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形， 故，则， 故椭圆离心率为， 故选：C 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】 变形为，故圆心为半径为， 如图：直线与圆相切于，    ，， 故，所以，， 于是，即，所以． 故选：A 3．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意得 ，解出即可求解； （2）直线的方程为：，与椭圆方程联立得，设，得，进而计算弦长，又由点到直线的距离公式计算点到直线的距离，最后由计算即可求解. (1) 小问详解： 由题意有： ， 所以椭圆的方程为：； (2) 小问详解： 由题意有：左焦点，所以过且倾斜角为的直线的方程为：， 所以 ， 设， 所以， 所以， 又点到直线的距离为： ， 所以. 4．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）（1）椭圆的定义是“动点到两个定点的和为定值的点的轨迹”.如果椭圆的焦点分别为，，长轴长为，请根据该定义，推导椭圆标准方程； （2）设为（1）中椭圆上一点，当最大时，求点坐标. 【答案】（1）设为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知， 即， ， 移项平方得：， 整理得：. 两边平方得：， 整理得：. 因为，设，于是得. 两边同除以，得椭圆方程为. （2） 【分析】 （1）根据椭圆的定义列式，化简即可； （2）结合椭圆的定义及余弦定理可得解. 【详解】 （1）略 （2）在中，设，，，. 则 ， 当且仅当，即时，. 此时最大，此时点坐标为. 5．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，其上顶点与右顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上的点，直线分别与直线交于两点，记的面积分别为． ①若，，求； ②若，求． 【答案】（1）     （2）① 4；②      【分析】 （1）由题意得到，求解即可； （2）① 由，及点在椭圆上，求得坐标，即可求解； ② 求得两点坐标，由两点间距离公式，再由，代入即可求解. (1) 小问详解： 设椭圆 的焦距为 ，因为椭圆 的离心率是 ，所以 ， 所以 ，又因为 ，所以 因为椭圆 的上顶点与右顶点的距离为 ，所以 ，所以 ， 所以椭圆 的方程是 (2) 小问详解： ① 因为 ，且 ， 所以                                                                     由对称性不妨设 ，则直线 ，令 ，得 ． 所以    ② 由 得 由 得    因为 ， ， 所以              因为 ， 所以 ，         所以 ，      所以 ， 所以 ，所以 6．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 设出点，，利用椭圆的定义及圆与相切得出线段之间的关系即可求解. 【详解】    由题意有：， 设，与圆分别切于点， 所以， 因为， 又因为，所以， 所以， 由切线性质可知， 所以， 所以， 又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为. 故答案为：2. 7．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点，过点的直线交椭圆于两点. （1）若直线与垂直，求； （2）过点作轴的垂线，分别交和于点，求证：是的中点. 【答案】（1）     （2） 设直线，， 联立方程 ，消去得， 则. 因为直线分别交和于，则. 且直线，可得. 方法一：要证是的中点，只需证明：， 只需证明. 因为 ， 且 ， 所以，得证； 方法二：因为在椭圆上， 则 ，整理可得 ， 显然，可得 ①-② 得③ 因为共线，且斜率必存在， 则，即 可得④ 将④ 代入③ 得，即， 即， 可得 ， 所以是的中点.      【分析】 （1）根据题意求椭圆方程和直线的方程，联立方程结合弦长公式运算求解； （2）方法一：原题意等价于，结合韦达定理运算分析证明；方法二：点代入方程整理可得，结合三点共线可得，进而分析证明. (1) 小问详解： 因为椭圆的右顶点，上顶点，则， 所以椭圆的方程为， 设， 直线的斜率， 因为直线过点且与垂直，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组 ，消得， 则，， 所以 (2) 小问详解： 略 考点03 双曲线及其性质 1．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据在渐近线上可求得，结合抛物线准线可得其焦点坐标，由此可构造方程求得，进而得到双曲线方程. 【详解】 由双曲线方程知其渐近线方程为：， 在双曲线的一条渐近线上，又，，即； 由题意知：抛物线准线为：，抛物线的焦点为， ，解得：， 双曲线方程为：，即. 故选：D. 2．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 延长交双曲线左支于点，连结，依题意设，则根据双曲线的性质得，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得，进而在中，利用勾股定理得，即可求解渐近线. 【详解】 如图，延长交双曲线左支于点，连结， 由双曲线的对称性及知，设，， 则有，，又， 在中，，即，解得， 又在中，，即， 所以，即，所以， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C 3．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A.  B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据双曲线的对称性得到，然后根据双曲线的定义列方程，得到，，最后利用余弦定理列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线的对称性得到，， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以. 故选：D. 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 设且的中点，代入双曲线的方程，作差化简求得，根据点在直线上，求得，代入直线的方程，即可求解. 【详解】 设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：. 5．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． （1）求双曲线的方程； （2）求点的坐标； （3）若、，记的面积为，证明：． 【答案】（1）     （2）     （3） 由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上， 考虑一般情况，假设点，设点， 设直线的方程为，设点、， 联立 得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点为， 同理，直线的方程为， 线段的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可知，，即， 整理可得，即当点时，， 当时，，此时过， 综上，. 故当点时，、、、， 由题意可知，的面积为， 所以， 所以.      【分析】 （1）利用点到直线的距离公式求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析额可直线经过的定点也在轴上，设点设点，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线得出联立，列出韦达定理，求出点、的坐标，由此可得出点的坐标； （3）分析可知，点均在轴上，考虑一般情况，假设点，设点，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，同理得出点的坐标，利用、、三点共线，结合斜率公式可得出，由此可归纳得出的坐标，由此可得出的表达式，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得所证不等式成立. (1) 小问详解： 双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为， 又因为，所以， 因此，双曲线的方程为. (2) 小问详解： 当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上， 的中点也在轴，故经过的定点也在轴上， 设点，设直线的方程为，设点、， 联立 得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点， 同理可知，直线的方程为，的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可得，得， 解得，因此，. 当时，，此时过， 故. (3) 小问详解： 略 6．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知双曲线的右焦点为，点是与直线的公共点，直线分别与直线轴交于点，直线与轴交于点，记的面积分别为． （1）若，求点到的渐近线的距离； （2）证明：； （3）的右支上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2） 联立 ，得，即， 所以，且，，， ， 所以，令，得，即， 所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以．     （3） 由（2）知,，所以PQ的中点为， 所以PQ的中垂线方程为， 令，因为，所以，则， 将代入，得， 令，对称轴为， ① 当，即时， ， 此时方程无解； ② 当，即时，由，得，又，故， ， 此时方程无解； 综上，E的右支上不存在点M使得．      【分析】 （1）根据c求出双曲线方程，得到渐近线方程，再根据点到直线距离公式即可求解； （2）联立方程以及根据直线方程求出P、Q、R、T的坐标，再验证的值，推导和的关系，最后根据三角形面积公式即可求解； （3）求出PQ的中垂线方程，联立双曲线方程，分析等式是否在的解即可． (1) 小问详解： 若，双曲线， 所以，得，所以双曲线， 渐近线方程为，即， 直线与轴的交点， 点到渐近线的距离为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，若的平分线经过与轴的交点，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 设准线与轴交于点，根据抛物线的定义得到四边形为正方形，即可求出. 【详解】 抛物线的焦点为， 设准线与轴交于点，依题意，又， 所以，又，所以， 所以， 所以，则四边形为正方形，又，所以，解得. 故选：D 2．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B.  C. 的最小值为9 D.  【答案】ACD 【分析】 对于A，利用抛物线的定义即可求解；对于B，将直线与抛物线联立方程，利用二次方程根与系数的关系即可判断； 对于C，利用基本不等式求解即可；对于D，结合抛物线定理，利用三角形面积公式可求得的值，从而判定是否成立. 【详解】 对于A，由题可得：，所以，故A正确 对于B，显然直线的斜率不为，不妨设为， 由 得. 则. 则，即有定值，，故B不正确； 对于C，由题可得，，，且 所以，当且仅当时取等号， 则的最小值为9，故C正确 对于D， 根据条件有． 由抛物线的定义得， 于是，，. ， 则有．故D正确； 故选:ACD 3．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（　　） A.  B. 的面积是 C. 直线与的外接圆相切 D. 是钝角三角形 【答案】ABD 【分析】 先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】    由直线方程，令，得， 由题意，所以，即，A正确， 抛物线方程为，准线为， 由 ， 消去并化简得，， 不妨设，，， 解得 或 ， 所以， 又坐标原点到的距离为， 所以的面积是，B选项正确. ， 设的外接圆方程为， 则 ， 解得：， 即圆的方程为， 联立，得，， 即直线与的外接圆相离，C选项错误. 因为， 所以， 由余弦定理知：为钝角， 所以三角形是钝角三角形，D选项正确. 故选：ABD 4．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（     ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 【答案】D 【分析】 先由直线的方程求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点，从而求出，再由焦半径公式即可得解. 【详解】 由，令，得，所以，所以，所以抛物线方程为，准线方程为：， 由，令，得，所以， 设，所以， 所以， 故选：D. 5．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为　　　　　　　　　　　. 【答案】3 【分析】 由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】 圆的圆心为，半径． 如图，由抛物线的定义可得，解得， 可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线， 则点到直线的距离．可得， 当四点共线时，取得最小值， 所以． 故答案为：3. 6．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）（多选）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为上有两个不同动点. （1）若直线过点，求证：； （2）已知定点，若线段的长度依次成等差数列； （i）求证：线段的垂直平分线经过一个定点； （ii）若（i）中的定点到原点的距离为，求面积的最大值. 【答案】（1） 显然直线AB的斜率不为，又，所以可设直线的方程为， 联立 ，消去x得，由韦达定理得.     （2）（i）如图所示：    设， 则由已知及抛物线定义得，，即， 当时，的垂直平分线方程为， 令，得， 所以的垂直平分线经过一个定点， 当时，由对称性知的垂直平分线为轴，也经过点， 综上，的垂直平分线经过一个定点； （ii）      【分析】 （1）设直线，与抛物线方程联立，再利用韦达定理求解； （2）（i）设，利用抛物线定义结合已知得到，写出的垂直平分线方程求解； （ii）结合（i）由，得到，令，得到，与抛物线方程联立，求得弦长和Q到AB的距离，得到，方法一：利用基本不等式求解；方法二：令，得到，再令，利用导数法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）略 （ii）由题意，，解得，所以， 故抛物线的方程为，， 令，则的中点，所以， 当时，直线的方程为， 联立消得， 且依题意，解得且，且， 由弦长公式得， 又Q到直线的距离， 所以， 方法一：， ， 当且仅当，即时取等号， 所以； 方法二：令，则， 记，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以， 当时，线段的中点， 由对称性知为通径，不妨取、， 则. 综上得，此时直线的方程为或. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 【答案】（1）     （2） 当直线或其中一条斜率不存在时，. 当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，， 由 得， 所以. 同理可得，所以. 综上，.      （3）.      【分析】 （1）由题意列式求，进而可得椭圆的方程. （2）分两种情况：直线或其中一条斜率不存在时及直线，斜率存在且均不为0时，直线的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由韦达定理计算，即可证明； （3）解法一：设点及直线代入计算得出轨迹方程，即可得出弦长最值；解法二：设点代入得出，再应用两点间距离公式结合基本不等式求解. (1) 小问详解： 由题意得 解得 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解法一： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则 代入中得：. 设的中点为，因为，所以 所以，即. 所以. 解法二： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则 代入中得：. 设原点到直线，的距离分别为，，则. . 所以，当且仅当时取得等号. 即的最大值为. 2．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）①；② 存在，定点.      【分析】 （1）由双曲线的离心率为，且与轴交于点，得到，求解； （2）① 由 ，得到，再根据，由\vec {AB}\cdot \vec {AC}=0求解；② 设经过，，三点的动圆方程，与直线方程联立消去y与，利用待定系数法求解. (1) 小问详解： 已知双曲线的离心率为，且与轴交于点. 则，， 则， 所以双曲线的标准方程是：； (2) 小问详解： 如图所示：    ① 由 ，得， 则恒成立， 且，. 设，，由，得\vec {AB}\cdot \vec {AC}=0，即. 则，. 即. 即. 解得（舍）或，即直线的方程是. ② 设经过，，三点的动圆方程， 将代入，得， 设，，则 ， 消去得， 由，得， 即， 即，. 所以，，. 所以圆的方程为， 即， 令 ， （舍）或 所以经过，，三点的动圆经过异于点的定点. 3．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，点在线段上，且与端点不重合． （1）求双曲线的离心率； （2）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （3）设直线分别与轴交于点，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】（1）2     （2）     （3） 直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上． 【分析】 （1）根据双曲线方程得，利用，最后利用离心率公式即可求解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. (1) 小问详解： 由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； (2) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 所以 ，得． 设，， 由题意，得 ， 解得， 因为为中点，所以， 由，因，则, 得， 又，解得， 所以直线的斜率为； (3) 小问详解： 略 4．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求\vec {MQ}\cdot \vec {NQ}的取值范围． 【答案】（1）     （2） （ⅰ）依题意可设直线l的方程为， 设，，． 联立得 得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点； （ⅱ）      【分析】 （1）由椭圆定义可得； （2）设，，联立直线与椭圆方程，将代入直线方程，化简得定点；用坐标表示数量积，将代入化简求范围. (1) 小问详解： 因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，，解得，， 故C的方程为； (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）\vec {MQ}=\left(4-x_{1},-y_{1}\right)，\vec {NQ}=\left(4-x_{2},-y_{2}\right)， \vec {MQ}\cdot \vec {NQ}=\left(4-x_{1}\right)\left(4-x_{2}\right)+y_{1}y_{2}=\left(3-my_{1}\right)\left(3-my_{2}\right)+y_{1}y_{2}=\left(m^{2}+1\right)y_{1}y_{2}-3m\left(y_{1}+y_{2}\right)+9 ， 因为，所以，， 所以\vec {MQ}\cdot \vec {NQ}的取值范围为． 考点06 圆锥曲线中的新定义 1．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等、已知卵形线，则（       ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上横、纵坐标均是整数的点恰有4个 C. 曲线上存在点，使得到点的距离小于1 D. 曲线围成区域的面积大于4 【答案】ABD 【分析】 根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线为封闭曲线，过点，关于轴对称，画出曲线大致图形，结合圆、四边形在曲线内部判断各项的正误. 【详解】 由，则，对于曲线上任意点，其关于轴对称点为， 代入成立，曲线关于直线对称，A对； 所以，所以，则，故， 时；时；时，故曲线过点，曲线C上恰好有4个整点，B对； 对于曲线上任意一点，则， 当时，，则，∴， ∴，此时曲线上点在圆外， 当时，，则，∴， ∴，此时曲线上点在圆外， 所以曲线上的所有点均在圆外，即曲线上不存在点，使得到点的距离小于1，C错； 如图，，，，四边形的面积， 当时，直线，曲线，即， 设， ，判别式，∴恒成立， 即函数单调递增，且∵， ∴当时，， ∴，即， ∴，即， ∴，即. 设点在直线上，点在曲线上，则，即曲线上的点在直线上方， 由对称可知，当时，上面的结论依然成立. 当时，直线，由得，曲线方程等价于，又等价于， 设函数，则， 即函数在上单调递增，且， 所以当时，，即， ，即， 则，即. 设点在直线上，点在曲线上，则，即曲线上的点在直线下方， 由对称可知，当时，上面的结论依然成立. 故四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，D对. 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 6大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06 圆锥曲线中的新定义 考点01 直线与圆 1．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 2．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 3．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）（多选）已知直线，圆，则（       ） A. 动直线经过定点 B. 圆心到直线的最大距离为 C. 当直线与圆相交时， D. 当时，圆上有两个不同的点到直线的距离为 4．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（    ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知实数、满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·江苏徐州第一中学·二模）（多选）在直角坐标系xOy中，曲线，则下列结论正确的是（       ） A. 与轴无交点 B. 关于直线对称 C. 若点在上，则 D. 若曲线与有公共点，则 7．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）平面直角坐标系中，圆，直线.若圆上存在3个点到直线的距离为，则　　　　　　　　　　；若直线上存在两点，圆上存在两点，使得四边形为正方形，则的最小值是　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 9．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，直线l与圆C相交于点A，B，圆C与x轴正半轴交于点D． （1）若，求直线l的方程； （2）记直线AD，BD的斜率分别为，，求证：为定值． 10．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知点，圆. （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）若过点的直线与圆交于两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii），其中为坐标原点，求. 11．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）若方程表示两条平行的直线，则的值为　　　　　　　　　　. 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积. 4．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）（1）椭圆的定义是“动点到两个定点的和为定值的点的轨迹”.如果椭圆的焦点分别为，，长轴长为，请根据该定义，推导椭圆标准方程； （2）设为（1）中椭圆上一点，当最大时，求点坐标. 5．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，其上顶点与右顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上的点，直线分别与直线交于两点，记的面积分别为． ①若，，求； ②若，求． 6．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点，过点的直线交椭圆于两点. （1）若直线与垂直，求； （2）过点作轴的垂线，分别交和于点，求证：是的中点. 考点03 双曲线及其性质 1．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A.  B. 2 C.  D.  4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为　　　　　　. 5．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． （1）求双曲线的方程； （2）求点的坐标； （3）若、，记的面积为，证明：． 6．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知双曲线的右焦点为，点是与直线的公共点，直线分别与直线轴交于点，直线与轴交于点，记的面积分别为． （1）若，求点到的渐近线的距离； （2）证明：； （3）的右支上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，若的平分线经过与轴的交点，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B.  C. 的最小值为9 D.  3．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（　　） A.  B. 的面积是 C. 直线与的外接圆相切 D. 是钝角三角形 4．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（     ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 5．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为　　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）（多选）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为上有两个不同动点. （1）若直线过点，求证：； （2）已知定点，若线段的长度依次成等差数列； （i）求证：线段的垂直平分线经过一个定点； （ii）若（i）中的定点到原点的距离为，求面积的最大值. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 2．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 3．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，点在线段上，且与端点不重合． （1）求双曲线的离心率； （2）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （3）设直线分别与轴交于点，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 4．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求\vec {MQ}\cdot \vec {NQ}的取值范围． 考点06 圆锥曲线中的新定义 1．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等、已知卵形线，则（       ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上横、纵坐标均是整数的点恰有4个 C. 曲线上存在点，使得到点的距离小于1 D. 曲线围成区域的面积大于4 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06 圆锥曲线中的新定义 考点01 直线与圆 1．C 2．D 3．CD 4．AD 5．B 6．BCD 7．【答案】①     ② 【分析】 先求出圆心到直线的距离，然后根据圆与直线的关系求出圆的半径即可；先设出直线的方程，然后求出平行直线间的距离即为正方形的边长，然后求出弦长，进而得到等式，令判别式大于等于0，即可求得半径的最小值. 【详解】 圆到直线的距离为， 因为圆上存在3个点到直线的距离为， 所以半径为； 设正方形边长为，则所在直线方程为， 则该直线与直线的距离为， 为圆与直线的交点，则弦长， 可得，整理得， 该方程有实数解，则判别式，解得， 故的最小值为. 故答案为：；. 8．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据弦长得到圆心到直线的距离，然后分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论即可； （2）根据面积公式得到，然后利用基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 因为圆  ，所以  ， 所以圆  的圆心为  ，半径为                           设圆心  到直线  的距离为  ，则  ，所以        当直线  的斜率不存在时，  ，此时                      当直线  的斜率存在时，设直线  的斜率为  ，则  ， 所以  ，所以  ，所以  ，即  ， 综上可知：直线  的方程为  或   (2) 小问详解：  的面积  ，                   由  的性质可知  ，        所以  ，                        当且仅当  时，即  时等号成立， 所以  的面积的最大值是   9．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据圆得垂径定理可求出的值，从而可求直线l的方程； （2）令，结合圆的方程求出点的坐标，设，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，得利用斜率公式得从而可求出为定值． (1) 小问详解： 圆的方程化为标准形式： 故圆心，半径长 设圆心到直线（即）的距离为，根据弦长公式： ，已知 代入得：，解得： 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得 因此，直线的方程为或． (2) 小问详解： 由圆，令，得（取正半轴），故 ； 设，， 联立直线与圆的方程得方程组 ， 消去，整理得 由韦达定理，得 又直线AD，BD的分别为 因此： 又 故 故为定值． 10．【答案】（1）或     （2）（i），（ii）2      【分析】 1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解； （2）（i）由圆心到直线的距离小于半径，即可求解；（ii）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得即可得解. (1) 小问详解： 当斜率不存在时，与相切， 当斜率存在时，设， 则，解得：， 即， 所以过点且与圆相切的直线方程为或； (2) 小问详解： （i）设，．由（1）可知直线斜率存在， 设直线的方程为． 因为直线与圆交于两点，所以， 解得． 所以的取值范围为． （ii）将代入方程， 整理得， 所以， 所以． 解得， 所以直线的方程为. 圆心到直线的距离，即直线过圆心， 所以. 11．【答案】2 【分析】 将所给方程进行配凑化简，可得，由题意，两直线平行，求得，分别代入检验，即可得答案. 【详解】 方程可化为， 即， 所以， 则或， 因为表示两条平行的直线， 所以，解， 当时，两直线为和，符合题意， 当时，两直线为和，即， 则两直线重合，不符合题意，所以的值为2. 故答案为：2 考点02 椭圆及其性质 1．C 2．A 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意得 ，解出即可求解； （2）直线的方程为：，与椭圆方程联立得，设，得，进而计算弦长，又由点到直线的距离公式计算点到直线的距离，最后由计算即可求解. (1) 小问详解： 由题意有： ， 所以椭圆的方程为：； (2) 小问详解： 由题意有：左焦点，所以过且倾斜角为的直线的方程为：， 所以 ， 设， 所以， 所以， 又点到直线的距离为： ， 所以. 4．【答案】（1）设为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知， 即， ， 移项平方得：， 整理得：. 两边平方得：， 整理得：. 因为，设，于是得. 两边同除以，得椭圆方程为. （2） 【分析】 （1）根据椭圆的定义列式，化简即可； （2）结合椭圆的定义及余弦定理可得解. 【详解】 （1）略 （2）在中，设，，，. 则 ， 当且仅当，即时，. 此时最大，此时点坐标为. 5．【答案】（1）     （2）① 4；②      【分析】 （1）由题意得到，求解即可； （2）① 由，及点在椭圆上，求得坐标，即可求解； ② 求得两点坐标，由两点间距离公式，再由，代入即可求解. (1) 小问详解： 设椭圆 的焦距为 ，因为椭圆 的离心率是 ，所以 ， 所以 ，又因为 ，所以 因为椭圆 的上顶点与右顶点的距离为 ，所以 ，所以 ， 所以椭圆 的方程是 (2) 小问详解： ① 因为 ，且 ， 所以                                                                     由对称性不妨设 ，则直线 ，令 ，得 ． 所以    ② 由 得 由 得    因为 ， ， 所以              因为 ， 所以 ，         所以 ，      所以 ， 所以 ，所以 6．【答案】2 【分析】 设出点，，利用椭圆的定义及圆与相切得出线段之间的关系即可求解. 【详解】    由题意有：， 设，与圆分别切于点， 所以， 因为， 又因为，所以， 所以， 由切线性质可知， 所以， 所以， 又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为. 故答案为：2. 7．【答案】（1）     （2） 设直线，， 联立方程 ，消去得， 则. 因为直线分别交和于，则. 且直线，可得. 方法一：要证是的中点，只需证明：， 只需证明. 因为 ， 且 ， 所以，得证； 方法二：因为在椭圆上， 则 ，整理可得 ， 显然，可得 ①-② 得③ 因为共线，且斜率必存在， 则，即 可得④ 将④ 代入③ 得，即， 即， 可得 ， 所以是的中点.      【分析】 （1）根据题意求椭圆方程和直线的方程，联立方程结合弦长公式运算求解； （2）方法一：原题意等价于，结合韦达定理运算分析证明；方法二：点代入方程整理可得，结合三点共线可得，进而分析证明. (1) 小问详解： 因为椭圆的右顶点，上顶点，则， 所以椭圆的方程为， 设， 直线的斜率， 因为直线过点且与垂直，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组 ，消得， 则，， 所以 (2) 小问详解： 略 考点03 双曲线及其性质 1．D 2．C 3．D 4．【答案】 【分析】 设且的中点，代入双曲线的方程，作差化简求得，根据点在直线上，求得，代入直线的方程，即可求解. 【详解】 设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：. 5．【答案】（1）     （2）     （3） 由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上， 考虑一般情况，假设点，设点， 设直线的方程为，设点、， 联立 得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点为， 同理，直线的方程为， 线段的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可知，，即， 整理可得，即当点时，， 当时，，此时过， 综上，. 故当点时，、、、， 由题意可知，的面积为， 所以， 所以.      【分析】 （1）利用点到直线的距离公式求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析额可直线经过的定点也在轴上，设点设点，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线得出联立，列出韦达定理，求出点、的坐标，由此可得出点的坐标； （3）分析可知，点均在轴上，考虑一般情况，假设点，设点，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，同理得出点的坐标，利用、、三点共线，结合斜率公式可得出，由此可归纳得出的坐标，由此可得出的表达式，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得所证不等式成立. (1) 小问详解： 双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为， 又因为，所以， 因此，双曲线的方程为. (2) 小问详解： 当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上， 的中点也在轴，故经过的定点也在轴上， 设点，设直线的方程为，设点、， 联立 得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点， 同理可知，直线的方程为，的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可得，得， 解得，因此，. 当时，，此时过， 故. (3) 小问详解： 略 6．【答案】（1）     （2） 联立 ，得，即， 所以，且，，， ， 所以，令，得，即， 所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以．     （3） 由（2）知,，所以PQ的中点为， 所以PQ的中垂线方程为， 令，因为，所以，则， 将代入，得， 令，对称轴为， ① 当，即时， ， 此时方程无解； ② 当，即时，由，得，又，故， ， 此时方程无解； 综上，E的右支上不存在点M使得．      【分析】 （1）根据c求出双曲线方程，得到渐近线方程，再根据点到直线距离公式即可求解； （2）联立方程以及根据直线方程求出P、Q、R、T的坐标，再验证的值，推导和的关系，最后根据三角形面积公式即可求解； （3）求出PQ的中垂线方程，联立双曲线方程，分析等式是否在的解即可． (1) 小问详解： 若，双曲线， 所以，得，所以双曲线， 渐近线方程为，即， 直线与轴的交点， 点到渐近线的距离为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点04 抛物线及其性质 1．D 2．ACD 3．ABD 4．D 5．【答案】3 【分析】 由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】 圆的圆心为，半径． 如图，由抛物线的定义可得，解得， 可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线， 则点到直线的距离．可得， 当四点共线时，取得最小值， 所以． 故答案为：3. 6．【答案】（1） 显然直线AB的斜率不为，又，所以可设直线的方程为， 联立 ，消去x得，由韦达定理得.     （2）（i）如图所示：    设， 则由已知及抛物线定义得，，即， 当时，的垂直平分线方程为， 令，得， 所以的垂直平分线经过一个定点， 当时，由对称性知的垂直平分线为轴，也经过点， 综上，的垂直平分线经过一个定点； （ii）      【分析】 （1）设直线，与抛物线方程联立，再利用韦达定理求解； （2）（i）设，利用抛物线定义结合已知得到，写出的垂直平分线方程求解； （ii）结合（i）由，得到，令，得到，与抛物线方程联立，求得弦长和Q到AB的距离，得到，方法一：利用基本不等式求解；方法二：令，得到，再令，利用导数法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）略 （ii）由题意，，解得，所以， 故抛物线的方程为，， 令，则的中点，所以， 当时，直线的方程为， 联立消得， 且依题意，解得且，且， 由弦长公式得， 又Q到直线的距离， 所以， 方法一：， ， 当且仅当，即时取等号， 所以； 方法二：令，则， 记，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以， 当时，线段的中点， 由对称性知为通径，不妨取、， 则. 综上得，此时直线的方程为或. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．【答案】（1）     （2） 当直线或其中一条斜率不存在时，. 当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，， 由 得， 所以. 同理可得，所以. 综上，.      （3）.      【分析】 （1）由题意列式求，进而可得椭圆的方程. （2）分两种情况：直线或其中一条斜率不存在时及直线，斜率存在且均不为0时，直线的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由韦达定理计算，即可证明； （3）解法一：设点及直线代入计算得出轨迹方程，即可得出弦长最值；解法二：设点代入得出，再应用两点间距离公式结合基本不等式求解. (1) 小问详解： 由题意得 解得 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解法一： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则 代入中得：. 设的中点为，因为，所以 所以，即. 所以. 解法二： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则 代入中得：. 设原点到直线，的距离分别为，，则. . 所以，当且仅当时取得等号. 即的最大值为. 2．【答案】（1）     （2）①；② 存在，定点.      【分析】 （1）由双曲线的离心率为，且与轴交于点，得到，求解； （2）① 由 ，得到，再根据，由\vec {AB}\cdot \vec {AC}=0求解；② 设经过，，三点的动圆方程，与直线方程联立消去y与，利用待定系数法求解. (1) 小问详解： 已知双曲线的离心率为，且与轴交于点. 则，， 则， 所以双曲线的标准方程是：； (2) 小问详解： 如图所示：    ① 由 ，得， 则恒成立， 且，. 设，，由，得\vec {AB}\cdot \vec {AC}=0，即. 则，. 即. 即. 解得（舍）或，即直线的方程是. ② 设经过，，三点的动圆方程， 将代入，得， 设，，则 ， 消去得， 由，得， 即， 即，. 所以，，. 所以圆的方程为， 即， 令 ， （舍）或 所以经过，，三点的动圆经过异于点的定点. 3．【答案】（1）2     （2）     （3） 直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上． 【分析】 （1）根据双曲线方程得，利用，最后利用离心率公式即可求解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. (1) 小问详解： 由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； (2) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 所以 ，得． 设，， 由题意，得 ， 解得， 因为为中点，所以， 由，因，则, 得， 又，解得， 所以直线的斜率为； (3) 小问详解： 略 4．【答案】（1）     （2） （ⅰ）依题意可设直线l的方程为， 设，，． 联立得 得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点； （ⅱ）      【分析】 （1）由椭圆定义可得； （2）设，，联立直线与椭圆方程，将代入直线方程，化简得定点；用坐标表示数量积，将代入化简求范围. (1) 小问详解： 因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，，解得，， 故C的方程为； (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）\vec {MQ}=\left(4-x_{1},-y_{1}\right)，\vec {NQ}=\left(4-x_{2},-y_{2}\right)， \vec {MQ}\cdot \vec {NQ}=\left(4-x_{1}\right)\left(4-x_{2}\right)+y_{1}y_{2}=\left(3-my_{1}\right)\left(3-my_{2}\right)+y_{1}y_{2}=\left(m^{2}+1\right)y_{1}y_{2}-3m\left(y_{1}+y_{2}\right)+9 ， 因为，所以，， 所以\vec {MQ}\cdot \vec {NQ}的取值范围为． 考点06 圆锥曲线中的新定义 1．ABD 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $