广东深圳市某校2026-2027学年高三上学期数学周测1

**基本信息** 2024级高三数学周测试卷，以红军长征研学情境（第7题）和圆锥与球组合体（第5题）为载体，覆盖函数、立体几何等核心模块，梯度设计适配一轮复习能力提升，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|复数、不等式、数列|第4题充要条件考查推理能力| |多选|3题/15分|逻辑、复数、三角函数|第10题复数性质综合应用| |填空|3题/15分|向量、不等式、函数性质|第14题多结论判断培养创新意识| |解答|5题/50分|三角函数、立体几何、导数、抛物线|第17题翻折问题考查空间观念，19题抛物线综合体现模型意识|

2024级高三上学期数学练习01参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C B B B B 题号 9 10 11 12 12 14 答案 BCD BC ABD 4 ①②③④ 8【答案】B 【详解】定义域是的解集， 的根为x1与x2， 由题意可知：，值域为， 由，得到故选B． 11．【答案】ABD 【详解】设所对的边为， 因为以及正弦定理得， 若，则， 则，则，故A正确； ，故B正确； 因为为锐角三角形，所以，则，得，故C错误； 因为， 因为在上单调递减，在上单调递增， ， 所以，故D正确. 14．【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有两个零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值，， 当在内无零点或者仅有一个零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值，②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解，故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时有4个解，故④正确. 四、解答题 15．【详解】（1）正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，， 故有或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 16．， ， 根据正弦函数的单调递增区间可得，令， 解得，，故的单调递增区间为. （2）当时，，故， 故在上的值域为. （3）将图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得， 原不等式化简得对恒成立， 因时，故恒成立，只需， 令，求导得： ， 令得，故在单调递减，在单调递增， 端点值：，， 故，即. 17．【详解】(1)如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点， 所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以.  （2）①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为.   ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为.    18．【详解】（1） ， ①当，即时，时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； ②当，即时，和时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ③当，即时，和时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ④当，即时，，所以在定义域上单调递增； 综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ②当时，在定义域上单调递增； ③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）令 ， 原问题等价于在区间上恒成立，可见， 要想在区间上恒成立，首先必须要， 而， 另一方面当时，，由于，可见， 所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减， ∴成立，故原不等式成立． 综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为． 19．【详解】（1）因为点，则， 又，则，所以， 代入抛物线：，得到，解得， 所以抛物线的方程为． （2）（ⅰ）因为直线方程为， 设，，联立，消得到， 则，， 当，，，四点共圆时， 则有，，故，则， 所以， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，， 所以，即， 整理得到， 又，所以，故直线的方程为． （ⅱ）由，，得到直线：， 由，，得， 直线：， 联立方程，解得， 由，，得， 所以， 又， 当时，由，得， 又直线的斜率， 则， 所以， 故的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三上学期数学练习01 一、单选题 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 4．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（      ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 7．为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 8．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 A． B． C． D．不能确定 二、多选题 9.以下说法正确的有（　　） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若：，，则：， C．若，，则 D．若，则或 10．已知复数，均不为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的虚部为 B． C．若，则的最小值为 D．若，则 11．在锐角中，，则（   ） A．当时， B． C． D． 三、填空题 12.已知向量，，若，则______ 13．已知，且，则的最小值为_________． 14．已知c是非负常数，函数.给出下列四个结论： ①在区间上有最小值和最大值； ②当时，在区间上有最大值； ③当时，方程的解集有3个元素； ④当时，方程的解集有4个元素. 其中正确结论的序号是________． （本题多选或少选均不得分） 四、解答题 15．如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知．    (1)求； (2)若为线段延长线上一点，且，，求． 16．已知，其中，，. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值. 17．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 18．已知函数，． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 19．已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $