专题一 与三角形有关的线段【（挑战压轴题）导图知识卡片+十一大考点讲练+优选题训练 共48题】-2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦“与三角形有关的线段”核心知识点，系统梳理构成三角形的条件、第三边取值范围、三边关系应用、稳定性及不稳定性、中线（长度与面积）、重心、角平分线、高的画法与计算等内容，通过思维导图搭建知识框架，以十一大考点讲练为学习支架，实现从基础概念到综合应用的递进。 该资料亮点在于融合思维导图培养几何直观与空间观念，典例精讲如“和雅三数组”“n阶整三角形”等问题发展推理意识与运算能力，优选真题强化应用意识。课中辅助教师分考点教学，课后通过解析版题目帮助学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一 与三角形有关的线段 【思维导图+十一大考点讲练+优选真题练 共48题〔解析版〕】 目 录 【思维导图 知识梳理】 2 【压轴考向 考点讲练】 2 【压轴考点01】构成三角形的条件 2 【压轴考点02】确定第三边的取值范围 3 【压轴考点03】三角形三边关系的应用 4 【压轴考点04】三角形的稳定性及应用 4 【压轴考点05】四边形的不稳定性 5 【压轴考点06】根据三角形中线求长度 7 【压轴考点07】根据三角形中线求面积 8 【压轴考点08】重心的概念 9 【压轴考点09】三角形角平分线的定义 10 【压轴考点10】画三角形的高 11 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题 13 【优选真题 实战演练】 15 【压轴考点01】构成三角形的条件 【典例精讲】（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 【对应练习1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 【对应练习2】（25-26七年级下·北京·期末）各边长皆为正整数，且最大边长为n的三角形称为“n阶整三角形”．（三边对应相等的三角形视为同一个三角形） (1)5阶整三角形有__________个； (2)n阶整三角形有__________个． 【压轴考点02】确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【对应练习1】（25-26七年级下·河北承德·期末）已知，，是的三边长，且，满足，则的值不可能是（     ） A．3 B．5 C．7 D．11 【对应练习2】已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【压轴考点03】三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【对应练习1】（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【对应练习2】（25-26七年级下·四川达州·期末）若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【压轴考点04】三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【对应练习1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【对应练习2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，为做好家具门窗安全防护，防止松动变形致人磕碰摔伤，工人师傅在木门框上加装两根木条、晃动的木椅腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，该做法利用了三角形的（     ）    A．稳定性 B．任意两边之差小于第三边 C．任意两边之和大于第三边 D．三角形三个内角的和为 【压轴考点05】四边形的不稳定性 【典例精讲】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 【对应练习1】（23-24八年级上·全国·单元测试）根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【对应练习2】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A． 稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 B． 【压轴考点06】根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【对应练习1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【对应练习2】如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 【压轴考点07】根据三角形中线求面积 【典例精讲】（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【对应练习1】（23-24八年级上·福建泉州·开学考试）已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【对应练习2】（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【压轴考点08】重心的概念 【典例精讲】（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【对应练习1】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【对应练习2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【压轴考点09】三角形角平分线的定义 【典例精讲】如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【对应练习1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【对应练习2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 【压轴考点10】画三角形的高 【典例精讲】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)在图中画出边上的高和中线． 【对应练习1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【对应练习2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（26-27八年级上·湖北襄阳·开学考试）阅读材料：如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线也叫二元一次方程的图象；直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线也叫二元一次方程的图象；    解决问题： (1)直接写出点的坐标； (2)点在直线上， ①若三角形的面积是4，求点的坐标； ②当点在第一象限内线段上时，直线与轴交点，若三角形的面积与三角形面积的差大于2，求出的取值范围． 【对应练习1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【对应练习2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 1．（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（     ） A．3 B．3.6 C．4.8 D．5.2 2．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 3．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）①的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说法中，正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 4．（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 6．（26-27八年级上·河南信阳·开学考试）下列说法中，正确的有________________________． ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点． 7．（21-22八年级上·河南信阳·阶段检测）等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 8．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 9．（25-26七年级下·四川成都·期末）在数学综合实践活动中，某数学兴趣小组对三角形的各边长度都是整数，且最长边为的三角形个数进行了探究发现： 当时，三角形的三边只有一种情况，即； 当时，三角形的三边有，两种情况，即； 当时，三角形的三边有，，，四种情况，即； 当时，三角形的三边有，，，，，六种情况，即； 当时，________；当为偶数时，________（用含的代数式表示）． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 11．（26-27八年级上·河南信阳·开学考试）按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出边上的高． (2)在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 13．（21-22八年级下·广西南宁·阶段检测）已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 14．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)如图1，若，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为6，求的面积． 任务2：求的值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一 与三角形有关的线段 【思维导图+十一大考点讲练+优选真题练 共48题〔解析版〕】 目 录 【思维导图 知识梳理】 2 【压轴考向 考点讲练】 2 【压轴考点01】构成三角形的条件 2 【压轴考点02】确定第三边的取值范围 7 【压轴考点03】三角形三边关系的应用 9 【压轴考点04】三角形的稳定性及应用 11 【压轴考点05】四边形的不稳定性 13 【压轴考点06】根据三角形中线求长度 14 【压轴考点07】根据三角形中线求面积 16 【压轴考点08】重心的概念 19 【压轴考点09】三角形角平分线的定义 23 【压轴考点10】画三角形的高 26 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题 29 【优选真题 实战演练】 35 【压轴考点01】构成三角形的条件 【典例精讲】（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 【答案】①②④ 【思路引导】根据三角形三边关系，只需判断每组中较短两条线段的和是否大于最长线段，即可判断能否组成三角形． 【规范解答】解：①对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ②三边比为，设三边长分别为、、（），较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ③对于线段、、，较短两边的和为， ∵， ∴不满足三边关系，不能组成三角形， ④对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， 综上所述：能组成三角形的是①②④． 【对应练习1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 【答案】(1)D (2)22 (3) 【思路引导】（1）根据定义，计算判断即可； （2）用z表示，，根据三角形三边关系构造不等式组，求得解集，结合定义，求得正整数解即可； （3）根据定义，不等式组的整数解，三角形三边关系求解即可． 【规范解答】（1）解：A．中，三个数都不是正整数，不符合要求；   B．2，5，8中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求； C．3，3，6中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求；       D．2，3，4中，三个数都是正整数，且，构成三角形，符合要求； （2）解： 得，， 得，，即， ∴， 解得 ∵，，构成“和雅三角形”， ∴， ∴， 解得， 又，为正整数， ∴正整数， ∴， ∴， ∴“和雅三角形”的周长为22； （3）解： 由①解得， 由②解得，， ∴， ∵所有整数解中存在“和雅三数组”， ∴不等式组的整数解中必包含5，6，7 ∴， ∴ ∵它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，又， ∴不等式组的最大整数解必小于11， ∴ ∴ ∴的取值范围为． 【对应练习2】（25-26七年级下·北京·期末）各边长皆为正整数，且最大边长为n的三角形称为“n阶整三角形”．（三边对应相等的三角形视为同一个三角形） (1)5阶整三角形有__________个； (2)n阶整三角形有__________个． 【答案】(1)9 (2)当为正奇数时，有个；当为正偶数时，有个 【思路引导】（1）设其余的两边长为，则，根据定义，讨论求解即可； （2）设其余的两边长为， ，且，根据定义，讨论求解即可； 【规范解答】（1）解：5阶整三角形的最大边长为5，且各边都是正整数， 设其余的两边长为， ， 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在；与，，5是同一个三角形， 当，时，满足，此时三角形存在；与，，5是同一个三角形； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在；其余情形都与前面的某一个三角形是同一个三角形， 故满足要求的5阶整三角形有个； （2）解：n阶整三角形的最大边长为n，且各边都是正整数， 设其余的两边长为， ，且， 当为正奇数时， 当，时，满足，且，此时三角形存在，且有1个； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有2个三角形； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有3个三角形； ……………… 当时，对应y的取值个数为； 当x从取到n时，对应y的取值个数依次为，，………3，2，1； 故三角形的个数为： ； 当为正偶数时， 当，时，满足，且，此时三角形存在，且有1个； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有2个三角形； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有3个三角形； ……………… 当时，对应y的取值个数为； 当x从取到n时，对应y的取值个数依次为，，，………3，2，1； 故三角形的个数为： ， 综上所述，当为正奇数时，有个；当为正偶数时，有个； 【压轴考点02】确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【思路引导】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【规范解答】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 【对应练习1】（25-26七年级下·河北承德·期末）已知，，是的三边长，且，满足，则的值不可能是（     ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【思路引导】本题先利用非负数的性质求出边长a和b的值，再根据三角形三边关系得到c的取值范围，即可判断出不符合范围的选项． 【规范解答】解：∵，且， ∴，，解得，， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得，即， ∵不在的范围内， ∴c的值不可能是11． 【对应练习2】已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【答案】 【思路引导】(1) 根据三角形三边关系，结合，，是正整数的条件推导的值； (2) 先构造出最大的不存在三个数可构成三角形的集合，再根据题意得到的最小值． 【规范解答】（1）解： ，，，，为正整数， ， 将代入，得， 又， ， 且是整数， ； （2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长， 则其中任意从小到大排列的三个数 ，且都满足， 要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列： 取第一个数为，第二个数为， 第三个数满足，取， 第四个数满足，取， 第五个数满足，取， 第六个数需要满足， ，超出到的范围， 不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素， 当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长． 【压轴考点03】三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形三边关系的应用，先通过三角形的三边关系求出第三边的长度范围，然后再根据第三边的长度为整数即可求解． 【规范解答】解：∵由题意已知三角形有两条边为、，设第三边长度为， ∴第三边的取值范围为：，即， 又∵第三条边从的小木棍中裁剪下来， ∴， 又∵裁剪后长度为整数， ∴的取值可以为：， ∴最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 【对应练习1】（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【思路引导】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【规范解答】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 【对应练习2】（25-26七年级下·四川达州·期末）若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】由非负数性质求a，b的值，再分类讨论等腰三角形腰长，最后结合三边关系计算周长即可． 【规范解答】解：∵，即， ∴，， 解得，， a，b恰好是等腰的两条边长，故分两种情况讨论： ①当腰长为3时，三边长为3，3，4， ∵， ∴三角形存在，周长为， ②当腰长为4时，三边长为4，4，3， ∵， ∴三角形存在，周长为， 综上，的周长为或． 【压轴考点04】三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【思路引导】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【规范解答】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【考点剖析】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【对应练习1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【思路引导】根据三角形的稳定性解答即可． 【规范解答】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 【对应练习2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，为做好家具门窗安全防护，防止松动变形致人磕碰摔伤，工人师傅在木门框上加装两根木条、晃动的木椅腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，该做法利用了三角形的（     ）    A．稳定性 B．任意两边之差小于第三边 C．任意两边之和大于第三边 D．三角形三个内角的和为 【答案】A 【规范解答】解：依题意，防止门框变形、椅子摇晃，该做法利用了三角形的稳定性． 【压轴考点05】四边形的不稳定性 【典例精讲】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 【答案】C 【思路引导】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可． 【规范解答】解；A、B、D这三个选项中的图形应用的是三角形的稳定性，C选项中的图形应用的是四边形的不稳定性． 【对应练习1】（23-24八年级上·全国·单元测试）根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【思路引导】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【规范解答】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 【对应练习2】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 【答案】B 【规范解答】解：由题意得许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有不稳定性的特点． 【压轴考点06】根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据中线的定义解题． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 【对应练习1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【思路引导】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 【对应练习2】如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 【答案】4，6，8，10 【思路引导】依据的周长为22，的周长比的周长长2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到的长． 【规范解答】解：∵M为边的中点， ∴， ∵的周长为22， ∴，即, ∵的周长比的周长长2， ∴，即， ∵， ∴，解得：， 又∵△ABC的三边长均为整数，，即：， ∴边长为偶数， ∴． 【压轴考点07】根据三角形中线求面积 【典例精讲】（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【规范解答】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 【对应练习1】（23-24八年级上·福建泉州·开学考试）已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：连接， 点为的中点， ， 与以，为底时高相同， ， ，， ，， ， 又， ， 是等腰三角形． 【思路引导】连接，利用面积法证明，则求证可得． 【对应练习2】（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【思路引导】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 【压轴考点08】重心的概念 【典例精讲】（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【规范解答】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 【对应练习1】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【规范解答】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 【对应练习2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】(1)＝ (2) (3)2 (4)27 【思路引导】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ． 【压轴考点09】三角形角平分线的定义 【典例精讲】如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【规范解答】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 【对应练习1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【规范解答】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 【对应练习2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义，逐项分析判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴是的中线， ∴，不一定是的中线； 故A选项错误，D选项正确． ∵，， ∴点C到的距离为5， ∴． 故B正确； ∵，， ∴是的角平分线， 是的中线， ∵，是的中线， ∴是的角平分线；则互相重合， ∴互相重合， 即互相重合． 故C正确． 综上所述，只有A错误． 故选：A． 【压轴考点10】画三角形的高 【典例精讲】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)在图中画出边上的高和中线． 【答案】(1)；，， (2) 【思路引导】（1）观察平面直角坐标系，可以直接读出三角形三个顶点的坐标，，，；根据平移规律：向上平移3个单位长度，纵坐标加3；向右平移2个单位长度，横坐标加2；所以，，，在图中描出，，三点并顺次连接，即可得到三角形． （2）过点A作的垂线，垂足为D，线段即为边上的高；找到边上的中点E（可结合坐标确定），连接A、E，线段即为边上的中线． 【对应练习1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【思路引导】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【对应练习2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【答案】(1) 如图所示 (2) 如下图所示， (3) 平分的面积； (4) 如下图所示， 【思路引导】本题主要考查了借助网格线画图、三角形的中线与面积，解决本题的关键是借助网格找到符合条件的点． 根据中线的定义画出的中线； 根据三角形的高线的定义画出的高线； 由网格可知，可知，因为点到的距离为，所以当时即符合要求； 借助网格作出，根据网格即可求出． 【规范解答】（1） 略 （2） 略 （3）解：如下图所示， 由图可知，， ， 当时，的面积为， 平分的面积； （4）解：如下图所示， 在中，， ，， ， ． 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（26-27八年级上·湖北襄阳·开学考试）阅读材料：如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线也叫二元一次方程的图象；直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线也叫二元一次方程的图象；    解决问题： (1)直接写出点的坐标； (2)点在直线上， ①若三角形的面积是4，求点的坐标； ②当点在第一象限内线段上时，直线与轴交点，若三角形的面积与三角形面积的差大于2，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②且 【思路引导】（1）分别将、代入直线、即可求得、，然后联立两直线得到二元一次方程组求解可得点B的坐标； （2）①用x表示y可得，设D的坐标为，然后根据三角形的面积是4，最后列绝对值方程求解即可；②如图：延长交y轴于，连接，过B作，先求得，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时，， 解得：，即； ∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时，， 解得：，即； 联立， 解得：，即． 综上，． （2）解：①直线是二元一次方程的图象，即， 设D的坐标为 ， ∵三角形的面积是4， ∴，即， 解得：或， ∴或， ∴或； ②如图：当点在第一象限内线段上时，则点E在点C上方，延长交y轴于，连接，过B作， ∵， ∴， ∴ ， 当点E在点C上方时，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，点E在直线上，即点D在直线上，此时A、B、D共线，不能构成三角形，不符合题意； ∴且； 综上，当点在第一象限内线段上时，且且时，三角形的面积与三角形面积的差大于2恒成立． 【对应练习1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【思路引导】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 【对应练习2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【思路引导】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 1．（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（     ） A．3 B．3.6 C．4.8 D．5.2 【答案】C 【规范解答】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 【答案】A 【思路引导】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长． 【规范解答】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 3．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）①的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说法中，正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【思路引导】抓住点与角的区别、三角形角平分线的属性，结合对角、中线的定义逐一判断． 【规范解答】解：①的顶点是点，是角，二者不相同，故①错误； ②三角形一边的对角是该边所对的角，即另外两边的夹角，故②正确； ③三角形的中线是一顶点与它对边中点连接的线段，符合中线定义，故③正确； ④三角形的角平分线是线段，不是射线，故④错误； 综上所述，正确的有②③． 4．（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【思路引导】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 5．（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【思路引导】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【规范解答】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 6．（26-27八年级上·河南信阳·开学考试）下列说法中，正确的有________________________． ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点． 【答案】①④ 【思路引导】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【规范解答】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高所在的直线也都交于一点，因此④正确； 综上，正确的说法有①④共2个． 7．（21-22八年级上·河南信阳·阶段检测）等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 【答案】 【思路引导】设出等腰三角形的腰长与底边长，根据周长得到二者的关系式，结合边长为正整数的条件与三角形三边关系，筛选出所有符合条件的边长组合，统计个数即可． 【规范解答】解：设等腰的腰长为，底边长为，其中，均为正整数， 由题意得：，即 ． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得且． 将代入不等式组得 ， 解不等式组得：． 因为为正整数， 所以的取值为，，， 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 因此符合条件的等腰三角形共有个． 8．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【答案】2 【思路引导】根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【规范解答】解：∵点D为边的中点， ∴， 同理可得：， ， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 即：阴影部分的面积为2． 9．（25-26七年级下·四川成都·期末）在数学综合实践活动中，某数学兴趣小组对三角形的各边长度都是整数，且最长边为的三角形个数进行了探究发现： 当时，三角形的三边只有一种情况，即； 当时，三角形的三边有，两种情况，即； 当时，三角形的三边有，，，四种情况，即； 当时，三角形的三边有，，，，，六种情况，即； 当时，________；当为偶数时，________（用含的代数式表示）． 【答案】 9 【思路引导】根据三角形三边关系，最长边为时，另两边满足且，枚举计算得，再根据已知结果归纳为偶数时的表达式. 【规范解答】解：设三角形另外两条边长为，，由题意得，且满足三角形三边关系． 当时，按的取值分类计算： 当时，可取，共种； 当时，由得，结合，可取，共种； 当时，由得，结合，可取，共种； 当时，没有满足条件的； 因此． 整理已知结果找规律： 时，； 时，； 归纳可得，当为偶数时，． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【思路引导】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【规范解答】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 11．（26-27八年级上·河南信阳·开学考试）按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出边上的高． (2)在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 【答案】(1)如下图，即是要画的边上的高． (2) C点到线段所在的直线的距离是线段的长度，为． 【思路引导】（1）画三角形的高关键是从对顶点向边（或延长线）作垂线，钝角三角形的高会落在图形外面． （2）点到直线的距离指垂线段的长度，不是线段本身，作图后测量垂线段即可得到结果． 【规范解答】（1）略 （2）略 12．（26-27八年级上·全国·开学考试）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【思路引导】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【规范解答】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 13．（21-22八年级下·广西南宁·阶段检测）已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【规范解答】（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 14．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)如图1，若，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①②为定值， 【思路引导】（1）根据可得，，，进而求出的面积； （2）根据可得，进而求出此时点的坐标； （3）①设，，由得，由可得，进而求解；②设，由可得，由可得，进而求解． 【规范解答】（1）解：， ，，， ，，， ，， ， 的面积为； （2）， ，即， 解得或， 此时点的坐标为或； （3）①设，， 如图，过点作射线，则，，则， ， ，即， ， ； ②为定值， 设， ， ，即， ， ，即， ， 即为定值． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为6，求的面积． 任务2：求的值． 【答案】任务1：；任务2： 【思路引导】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． 任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； 【规范解答】解：任务1：以点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点． ∴，． ∴． ∴． 任务2：由题意可知． 又． ∴． ∵与同高， ∴，即， ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一与三角形有关的线段 【思维导图+十一大考点讲练+优选真题练共48题〔解析版〕】 目录 【思维导图知识梳理】..·. ….2 【压轴考向考点讲练】 二【压勒考点01】构成三角形的条件★★★ 2 二【压勒考点2】确定第三边的取值范图★★★★ 3 【压轴考点03】三角形三边关系的应用★★★★ 【压轴考点04】三角形的稳定性及应用★★★食 【压轴考点05】四边形的不稳定性★★★ 【压轴考点06】根据三角形中线求长度★★★★ 二【压轴考点07】根据三角形中线求面积★★★★ 8 【压轴考点08】重心的概念★★★ 【压轴考点09】三角形角平分线的定义★食★ 10 二【压轴考点10】岛三角形的高★★★女 11 二【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题★女女★ 13 【优选真题实战演练】 …15 第1页共19页 模块 思维导图知识梳理 1.三角形的三边关系 3.三角形的高 人教版数学八年级上册 ★三边关系定理 挑战压轴题专题一 ★高线的定义 三角形任童两边之和大于第三边， 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线 即：设三角形三边分别为a,b,c 顶点与垂足之间的线段」 则a+b>c,b+c>a,a+c>b ★烹线的特点 ★应用与逆用 ()已知两边，第三边x的取值范围： (1)锐角三角形的三条高都在三角形内部 (2)直角三角形的两条高在 三角形的两条直角边上 a-b1<x<a+b(a,b为已知的两边长). (3)纯角三角形有两条高在 (2)用于判断能否构威三角形，或求边长范围 角形外部 两个重足在边的廷长线上 ★典型题型 与三角形 锐角三角形 直角三角形 使角三角形 ①判断三条线段能否组成三角形 ②已知两边，求第三边的取值范国或周长 有关的线段 2.三角形的中线、角平分线、高 ●中线 ★常见结论 定义：连接顶点与它所对边中点的线段 边之和大于第三过 霜么第三边不能成为服长为4m的等腰三角彩的底边 性质：三角形三条中线相交于一点， 该点称为重心. 常用公式 4.三角形的稳定性及其应用 ●角平分线 ★等腰三角形性质 定义： ★稳定性结论 D两底角相等 把这个角平分的射线 两领 三角形具有稳定性，形状不易改变 性质 条角平分线相交于一点 该点到三边的距离相等 角平分线，高线重合 ★应用举例 工程建筑中经常采用三角形结构 ●高 ★直角三角形性质 ☑不I 定义：从顶点向它所对的边所在直线 作垂，顶点与垂足之间的线段 中线等于 性质：三角形三条高（或延长线）相交于一点， 5.解题技巧（压轴题通法） ★等腰三角形的周长 ①灵活作助线：连接中点作线，角平分线特二角形义。 小结 重心 由中线确定 周长=两腰之和+底边长 先证后 内心 由角平分线确定 ★三角形的面积 三角形 垂心 由高确定。 ③结合围形性质：用三线合一”、角平分线性质、 高的性质等 S=底×高. ★思维导图小结 曾见压轴第类型一一一一 (底对应的高要正确作出】 角形中的重要线段（中线角平分线高》 不仅有明确的定义和性质 条线段能否 还在几何证明.计算和实际应用中发挥重要作用。 是学习几何的关键基础： 模块二 压轴考向考点讲练 【压轴考点01】构成三角形的条件★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试)给出四组线段：①a+1、 a+2、a+3(a>3):②三边之比为2：3：4：③20cm、8cm、10cm;④3k、4、5k(k>0);其中能组成 三角形的有 【对应练习1】(25-26七年级下·湖南长沙·期末)若三个正整数，b,c恰好能够构成一个三角形的 三条边，则称这三个正整数a,b,c构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”. (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是( A.3.5,4.5,5.5 B.2,5,8 C.3,3,6 D.2,3,4 3x+2y=号+27 (2)已知x,y,z构成“和雅三数组”，且满足 试求构成“和雅三角形”的周长： 2x+3y=+23 第2页共19页 2(x+1)>11 (3)已知关于x的不等式 {≤p 的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都 能够构成“和雅三数组”，试求p的取值范围， 【对应练习2】(25-26七年级下·北京·期末)各边长皆为正整数，且最大边长为n的三角形称为“n 阶整三角形”.（三边对应相等的三角形视为同一个三角形） (1)5阶整三角形有 。个： (2)n阶整三角形有 个. 二【压轴考点021确定第三边的取值范围★★女女 【典例精讲】(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们 的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是( 10 A.3 B.3或4 C.4或5 D.6 【对应练习1】(25-26七年级下·河北承德·期末)已知a,b,c是△ABC的三边长，且a,b满足Ia一 3引+(b-5)2=0,则c的值不可能是( A.3 B.5 C.7 D.11 【对应练习2】已知△ABC三边长分别为a,b,c,(a,b,c为正整数)，且a≤b≤c. (1)若a=1则c-b=一一-· (2)若从1,2,3,4,5,6,7,8这8个数中取n个不同的数，且这n个数中，总存在三个不同的数作 第3页共19页 为a,b,c的值，则n的最小值=_-一- 【压轴考点03】三角形三边关系的应用★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·山东济宁·阶段检测)老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小 木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm,要求只能对10cm的小木棍进行 裁剪（裁剪后长度为整数）·你认为同学们最多能做出( )个不同的三角形木架 A.1 B.2 C.6 D.10 【对应练习1】(25-26八年级上·安徽·期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,C. (1)化简：la-b-cl-2Ib-c-a+la+b-c: (2)若a=6,b=3,且c为整数，求△ABC周长的最大值及最小值. 【对应练习2】(25-26七年级下·四川达州·期末)若实数a,b满足a2-6a+9+1b-4=0,且 a,b恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( ) A.10 B.12 C.10或12 D.10或11 【压轴考点04】三角形的稳定性及应用★★★★ 【典例精讲】(23-24八年级上·全国·课堂例题)[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变 形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉 几根木条？要使边形木架不变形，至少要钉多少根木条？ (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 6 n 第4页共19页 至少钉木条的根数 (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉 根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数 【对应练习1】(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形 门框ABCD,使其不变形，这种做法的根据是 】 B 【对应练习2】(25-26七年级下·河南南阳·期末)如图，为做好家具门窗安全防护，防止松动变形 致人磕碰摔伤，工人师傅在木门框上加装两根木条、晃动的木椅腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、 椅子摇晃，该做法利用了三角形的( A.稳定性 B.任意两边之差小于第三边 C.任意两边之和大于第三边 D.三角形三个内角的和为180° 忐 【压轴考点05】四边形的不稳定性★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·山东聊城·阶段检测)从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同， 该图片是( 第5页共19页 A 屋顶支撑架 B 自行车三角架 C. 808 伸缩门 0 旧木门钉木条 【对应练习1】(23-24八年级上·全国·单元测试)根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的 数学原理： 0 ① ② (1)用两个钉子把木条固定在墙上： (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图①所示的样子： (3)如图②，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架. 【对应练习2】(25-26八年级下·浙江舟山·期末)如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它 反映了四边形具有( )的特点. A.稳定性 B.不稳定性 C.对称性 D.旋转不变性 B. 第6页共19页 【压轴考点06】根据三角形中线求长度★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·甘肃白银·期中)如图，BD是△ABC的中线，AB=10,若△ABD的 周长比△CBD的周长多2，则BC的长为.( A.5 B.7 C.8 D.12 【对应练习1】(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其 性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段AD在不同折叠操作下所扮演的角 色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的( B B(C D 图1 图2 图3 A.角平分线、中线、高线 B.角平分线、高线、中线 C.中线、角平分线、高线 D.高线、中线、角平分线 【对应练习2】如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，M为边BC的中点，△ABM的周长比 △ACM的周长长2，求边BC的长， M 第7页共19页 【压轴考点07】根据三角形中线求面积★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·浙江宁波·开学考试)如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别为边 BC,AD,CE的中点，且△ABC的面积等于28Cm,则阴影部分图形面积等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【对应练习1】(23-24八年级上·福建泉州·开学考试)已知：在△ABC中，D为AC的中 点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点RF,且DE=DF.求证：△ABC是等腰三角形. 4 【对应练习2】(26-27八年级上·江苏常州·开学考试)如图，△ABC中，点D,E分别在边AC,AB 上，CD=2AD,AE=BE,BD与CE交于点0，若BC=10,S四边形ADOB=7,则AB长的最小值为 A D E 0 B C 第8页共19页 【压轴考点08】重心的概念★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·山东滨州·期末)如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬 挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是( A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条内角平分线的交点 C.三角形三条高线的交点 D.分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【对应练习1】(25-26八年级下·上海杨浦·期中)如图，在△ABC,点RDE分别是边AB、BC、 AC上的点，且AD、BE、CF相交于点O,若点O是△ABC的重心，则以下结论：①线段AD、BE、CF是 △ABC的三条角平分线：②△BOD的面积是△AOC面积的一半；③图中与△BOC面积相等的三角形有2 个；④S△B0D=S△coB;⑤0F=AD.其中一定正确结论有() D A.②③ B.①③④ C.②④⑤ D.②③④ 【对应练习2】(25-26八年级上·河南许昌·期中)发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的 重心.重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的 重心.如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于 水平状态.关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案. 第9页共19页 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：S△ABD S△ACD(填>、<或=)； (2)如图3，若△ABC三条中线AD、BE、CF交点为G,则GD也是△GBC的中线，利用上述结论可得： S△GBD=S△GCD,同理S△GBF=S△GAF,S△GAB=S△GcB,若设S△GCD=a,S△GBF=b,S△GAB=C,猜想a, b,c之间的数量关系为：； (③)如图3，△ABC被三条中线分成六个小三角形，点G为△ABC的重心，则号-： (4)如图4，点DE在△ABC的边AC、AB上，BD、CE交于G,G是△ABC的重心，BD=9,CE=4.5, BD⊥CE,求△ABC的面积. 【压轴考点09】三角形角平分线的定义★★★ 【典例精讲】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O,则①AO是△ABE的角平分线；②B0 是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④S△4DE=S△CDE,其中结论正确的有（) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第10页共19页 【对应练习1】(25-26八年级上·云南昆明·期末)如图，在△ABC中，∠C=90,D,E是AC上两点， 且AE=DE,BD平分∠EBC,下列说法中不正确的是() A.∠1=∠2=∠3 B.BD是△BCE的角平分线 C.BE是△ABD的中线 D.BC是△BDE的高 【对应练习2】(25-26八年级上·河北廊坊·期中)如图，△ABC中，AB=2BD,∠ACF= ∠BCF,AB1CE,下列说法不正确的是() DFE B A.CF是△CDE的中线 B.若CE=5,则CD≥5 C.若AC=BC,则CD、CF、CE互相重合 D.SAACD=SAABC 【压轴考点10】画三角形的高★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图所示，把三角形ABC向上平移3个单 位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1· 第11页共19页 5 4 3 5-4-3 01 2345x B 3 =4 5 (1)在图中画出三角形A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标； (2)在图中画出BC边上的高AD和中线AE. 【对应练习1】(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)图①、图②都是5×5的正方形网格，其中每 个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完 成下列作图. ① ③ (1)在图①中画△ABC的中线CD, (2)在图②中画△ABC的高BE. 第12页共19页 【对应练习2】(25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测)如图，在每个边长为1的小正方形的网格 中，点A、B、C在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图. 图1 图2 (1)在图1中，画△ABC的中线AD: (2)在图1中，画△ABC的高CE: (3)在图2中，F为AB与网格线的交点，在BC上画点M,使得线段FM平分△ABC的面积： (④在图2中，在△ABC的内部画点N,使S△MCw=S△4BC,且S△ABv=SAABC. 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·湖北襄阳·开学考试)阅读材料：如图，在平面直角坐标系中，点A,C 分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，直线AB上所有点的坐标(x,y)都是二元一次方程3x+y=12的解， 直线AB也叫二元一次方程3x+y=12的图象；直线BC上所有点的坐标(x,y)都是二元一次方程x-2y= -3的解，直线BC也叫二元一次方程x-2y=-3的图象： B C C 备用图 解决问题： (1)直接写出点A,B,C的坐标； 第13页共19页 (2)点D在直线BC上， ①若三角形AOD的面积是4，求点D的坐标； ②当点D在第一象限内线段BC上时，直线AD与y轴交点E(O,m),若三角形CDE的面积与三角形ABD面积的 差大于2，求出m的取值范围. 【对应练习1】(25-26七年级下·河北沧州·期末)如图，在△ABC中，AC=BC=8,S△4Bc=24, P为AB边上一动点（不与A,B重合），PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则PE+PF的值是 A.8 B.7 C.6 D.5 【对应练习2】(25-26七年级下·江苏南通·期末)【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在△ABC中，AB=2,BC=4,则△ABC的高AD与CE的比是多 少？ EA B B D (图1) (图2) (图3) (1)请解答上述问题： 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系.他提出了以下猜想：如图 2,若△ABC中，D是边8C上的点，则巴-号 S△ACD (②)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由： 【拓展应用】 第14页共19页 (3)如图3，△ABC中，D,E分别是边BC,AC上的点，AD与BE交于点O.若BD=CD,AE=2CE,请直 接写出号的值. 模块三 优选真题 实战演练 1.(26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB= 10,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC的最小值是( A.3 B.3.6 C.4.8 D.5.2 2.(25-26七年级下·陕西汉中·期末)若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三 角形的腰长为( ) A.5 B.2 C.2或5 D.3 3.(25-26八年级上·河南南阳·阶段检测)①△ABC的顶点A就是∠A;②三角形一边的对角也是另外 两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说 法中，正确的是( ) A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 4.(26-27八年级上·江苏常州·开学考试)如图，△ABC中，BC=6,点DE分别是CB、AB上的点， CD=2BD,AE=BE,连接AD、CE交于点R当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为 E F B D C A.7 B.8 C.9 D.10 第15页共19页 5.(25-26七年级下·山东日照·期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫 作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 C ) A.4 B.4或6 C.1.5 D.1.5或4 6.(26-27八年级上·河南信阳·开学考试)下列说法中，正确的有」 ①三角形的中线、角平分线、高都是线段： ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部： ③直角三角形只有一条高： ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点. 7.(21-22八年级上·河南信阳·阶段检测)等腰△ABC的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰 三角形有 个. 8.(25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测)如图，DRF分别为AC、BD、AE的中点，△ABC的面 积是8，则图中阴影部分的面积等于 9.(25-26七年级下·四川成都·期末)在数学综合实践活动中，某数学兴趣小组对三角形的各边长度都 是整数，且最长边为n的三角形个数Sn进行了探究发现： 当n=1时，三角形的三边只有1,1,1)一种情况，即S1=1: 当n=2时，三角形的三边有{2,2,2)，{2,2,1两种情况，即S2=2: 当n=3时，三角形的三边有3,3,3}，{3,3,2}，3,3,1}，{3,2,2}四种情况，即S3=4: 当n=4时，三角形的三边有{4,4,4，{4,4,3}，{4,4,2，{4,4,1，{4,3,3，{4,3,2}六种情况，即S4=6: 当n=5时，S5=一一一；当n为偶数时，Sn= (用含n的代数式表示)· 10.(25-26七年级下·广东深圳·期中)如图，△ABC中，BC=6,点DE分别是CB、AB上的点， CD=2BD,AE=BE,连接AD、CE交于点F.当四边形BEFD的面积为7时，则△ABC中BC边上的高为 第16页共19页 B D 11.(26-27八年级上·河南信阳·开学考试)按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出AB边上的高， (2)在方格纸中，过点C画线段AB的垂线，垂足为D,并量出C点到线段AB所在的直线的距离. B 13.(21-22八年级下·广西南宁·阶段检测)已知a,b,c满足|a-V⑧+Vb-5+(c-V18=0. (1)求a,b,c的值： (2)试问以α，b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由. 第17页共19页 14.(25-26七年级下·湖南长沙·期末)在平面直角坐标系中，已知点A(m,n)(m>0,n>0),B(b,0), C(c,0). D C PO B 图1 图2 图3 (1)如图1，若n-4+(b-1)2+Vc-4=0,求△ABC的面积； (2)在(1)的条件下，若点D(化，4-4为射线AB上一点，且满足S△BDc=S△ABc,求此时点D的坐标： (3)点D为线段AB上一点（不与A,B两点重合），点E为线段AC上一点（不与A,C两点重合）； ①如图2，若DE I BC,点P是x轴上点B左侧的一点，连接PE,∠DEP的角平分线和∠PCA的角平分线交于 点Q,求∠EQC与∠PEC的数量关系： ②如图3，若AB=2AD,AC=4AE,连接CD,BE,交于点F,记△ADE的面积为S1,△BDF的面积为 S2,△CFE的面积为S3,那么2是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 51 第18页共19页 15.(25-26八年级上·福建福州·期中)综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究. 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图，取一块质地均匀的三角形纸板ABC, 如果用一根细线绳从重心0处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态. 【提出问思】探究品的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的 问题. 【解决问题】 任务1：若△A0C的面积为6，求△B0C的面积 任务2：求0的值。 A B 第19页共19页null