专题四 角平分线的作法与判定典型题系列【（挑战压轴题）导图知识卡片+四大考点讲练+优选题训练 共31题】2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦角平分线的作法与判定核心知识点，通过思维导图梳理知识体系，以四大考点为支架，从尺规作图基础操作，到性质定理、判定定理的逻辑推理，再到实际应用问题解决，构建完整学习脉络。 资料以思维导图直观呈现知识关联，结合典例精讲与项目化练习（如“三角形菜园小门位置确定”），培养几何直观与推理能力，优选真题强化实战。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 角平分线的作法与判定 【思维导图+四大考点讲练+优选真题练 共31题〔解析版〕】 目 录 【思维导图 知识梳理】 2 【压轴考向 考点讲练】 2 【压轴考点01】作角平分线(尺规作图） 2 【压轴考点02】角平分线的性质定理 7 【压轴考点03】角平分线的判定定理 13 【压轴考点04】角平分线性质的实际应用 19 【优选真题 实战演练】 26 【压轴考点01】作角平分线(尺规作图） 【典例精讲】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)解：如图，点P即为所求作； (2) 【思路引导】（1）依题意分别作、的平分线相交于点P即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论． 【规范解答】（1）略 （2）解：在中，， ， ∵、的平分线相交于点P， ， ， ． 【对应练习1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【思路引导】（1）先作出线段线段，然后在点，处分别作出，即可； （2）作的角平分线与的交点即为点，根据三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：图略； ，， ， 是的角平分线， ， ． 【对应练习2】如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 【答案】(1)证明：连接、，如图， 由作法得，， 而， ， ， 即平分； (2) (3)证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ． 【思路引导】（1）作图步骤给出三组相等线段，思路是连接辅助线、，利用证明与全等，通过全等三角形对应角相等，直接证出平分； （2）已知，同旁内角互补，可先由算出的度数；再结合第一问结论是角平分线，所求就是的一半，代入数值即可求出角度． （3）先由平行线内错角相等得到，结合角平分线推出，等角对等边得；又垂直，有两组直角相等，再搭配一组等角与一组等边，用即可证明两个直角三角形全等． 【规范解答】（1）略 （2）， ， ， 平分， ； 【对应练习3】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【思路引导】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【规范解答】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3； 【压轴考点02】角平分线的性质定理 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 【答案】 证明：，， ∴． ∵， ， ∴． 【思路引导】由角平分线的性质得到；再结合，通过线段相加即可证出． 【对应练习1】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【思路引导】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【对应练习2】（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【思路引导】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 【对应练习3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【思路引导】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）略 【压轴考点03】角平分线的判定定理 【典例精讲】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ (2)，理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【思路引导】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【对应练习1】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断④． 【规范解答】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ∴ ∵ ， 平分，所以④正确； 对于平分，现有条件不足以证明， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． ∴有3个正确的． 【对应练习2】（25-26八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确． 【规范解答】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 根据题意，无法得到与的大小关系， ∴无法得到和的大小关系，故结论④错误； ⑤在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． 【对应练习3】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）证明，即可得到，； （3）①过点A作和的垂线，垂足分别为M和N，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设与交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故，； （3）解：过点A作和的垂线，垂足分别为M和N， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【压轴考点04】角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【思路引导】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【规范解答】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【对应练习1】（2025八年级上·全国·专题练习）学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点E，连接，在上截取，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形中，，，平分，，．求证：． 证明：平分， ∴ 在和中， ，． ， ∴ ． ∴易证 平分，， ，， 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么④ ． 【答案】 （1）如图所示： （2）①；②；③；④这两个内角的平分线互相垂直 【思路引导】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据尺规作图，作已知角的平分线的方法和步骤画出的平分线即可；再以点D为圆心，以为半径画弧交于F，则可得； （2）根据角平分线性质得，①，由此可依据“”判定和全等，则，．再根据，可得③，然后根据，可依据“”判定和全等，从而得，再根据，，可得，据此即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①以点D为圆心，以适当的长为半径画弧交，于H，T， ②分别以H，T为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P， ③连接并延长交于E，则为的平分线， ④以点D为圆心，以为半径画弧交于F，则； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ，． ，， ， 在和中， ， ， 平分，， ，，， ， 故答案为：①；②；③；④这两个内角的平分线互相垂直． 【对应练习2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，点在点的北偏西的方向上，且，，．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（   ） A．点在点北偏东方向上 B．点在点南偏西方向上 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查方向角，作图—角平分线基本作图，角平分线的性质，含角的直角三角形，能根据作图得出是的角平分线是解决此题的关键. 先得到是的角平分线，求出，，即可推导出，点在点北偏东方向上； 点在点南偏西方向上；，，则，即可解答． 【规范解答】解：如图，由题意，及图得 是的角平分线，， ∴， ∴， 即点在点北偏东方向上， 故A正确； ∵，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴点在点南偏西方向上， 故B错误，C正确； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故D正确． 综上所述，只有B错误． 故选B． 【对应练习3】（25-26八年级上·北京·期中）已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【答案】(1) (2) ①画图步骤： 步骤一：过点作，交于点； 步骤二：以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 步骤三：连接，交于点，线段即为所求的关于点的“好线”． 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点是的中点； ②如图：线段即为所求． 画图步骤： 步骤一：作点关于点的对称点，连接； 步骤二：过点作，交于点；过点作，交于点； 步骤三：连接，，线段即为所求的关于点的“好线”． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，结合平行线的性质构造全等三角形是解题的关键． （1）根据定义得出，过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得，即可求解； （2）①结合小明的思路，构造，使其与全等，结合平行线的性质和全等三角形的判定和性质即可证明； ②根据全等三角形的判定的定理可得出，，根据全等三角形的性质得出，，，推得，即点、、三点共线，即可证明． 【规范解答】（1）解：∵为关于点的“好线”， ∴点是的中点， 即， 过点分别作于点，于点，如图： ∵点在的平分线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 1．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（     ） A．角平分线与边上中线的交点 B．角平分线与边上中线的交点 C．角平分线与边上中线的交点 D．角平分线与边上中线的交点 【答案】D 【思路引导】根据角平分线的判定定理，确定的角平分线，利用中线使三角形面积相等和角平分线的性质定理，确定等底等高，确定凉亭是角平分线与边上中线的交点． 【规范解答】解：要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等， 作的角平分线， 使得的面积与的面积相等 作边上中线， 凉亭是角平分线与边上中线的交点． 2．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【思路引导】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【规范解答】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（22-23八年级上·安徽合肥·开学考试）如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】过点P分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确． 【规范解答】解：如图，作，，， ∵、分别是的外角、的平分线， ∴，， ∴，③正确， ∴点P在的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明． 4．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】由角平分线的性质即可判断；由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理得，即可判断；在上取一点，使得，证明，得到，进而再证明，得到，据此可得结论；过点作于，于，连接，由角平分线的性质得到，由三角形的面积公式得到，，，根据，即可判断． 【规范解答】解：，分别是和的角平分线， 根据角平分线的性质，点到三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，故错误； 在中，， ， ，分别是和的角平分线， ，， 在中， ，故正确； 当时，， ， 在上取一点，使得， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 过点作于，于，连接， 和的角平分线交于点， 点在的平分线上， ， ，，， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的是． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【规范解答】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵ 为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 6．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【思路引导】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【规范解答】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【思路引导】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【规范解答】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【思路引导】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【规范解答】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 9．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【思路引导】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【规范解答】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 10．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为_____． 【答案】 【思路引导】根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再求得三角形的面积即可． 【规范解答】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∵ ∴． 11．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 【答案】证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴． 【思路引导】先证明，得出，说明平分，根据角平分线性质得出即可． 【规范解答】略 12．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由角平分线的性质可得，在中，与的度数，再根据“三角形内角和为”求得的度数． （2）过点作两条分别垂直于、的辅助线后，由“角平分线上的点到角的两边距离相等”推导即可． 【规范解答】（1）解：平分， ， 平分， ， ． （2）解：过点作于，于， 平分，，， ， 平分，，， ， ． 13．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【规范解答】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 14．（2022·江西南昌·模拟预测）在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，作于E，延长线于F， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； (2)证明：如图，连接， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ； (3)4 【思路引导】（1）如图，作于E，延长线于F，证明，再进一步证明即可； （2）如图，连接，证明，，进一步可得，可得； （3）过点K作于M，于N，证明，可得，，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点K作于M，于N． 由（2）知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴3， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1) ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； (2) 证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； (3)． 【思路引导】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【考点剖析】能够作出角平分线的辅助线和平行辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四角平分线的作法与判定 【思维导图+四大考点讲练+优选真题练共31题〔原卷版)】 目录 【思维导图知识梳理】。 …2 【压轴考向考点讲练】 .2 二【压轴考点01】作角平分线（伏规作因）★食★ 2 二【压销考点02】角平分钱的性质定理★★★女 5 ②二【压钻考点3】角平分线的判定定维★★★女 .8 二【医轴考，点04】角平分线性质的实际应用★女★★ ….10 【优选真题实战演练】 ……………13 第1页共18页 模块一 思维导图知识梳理 1.角的平分线定义 八年级上册数学 4,角平分线的判定（性质的逆定理） ·从一个角的顶点出发，把这个角分成 挑战压轴题专题四 两个相等的角的射线叫做这个角的 到一个角的两边距离相等的点。 平分线. 在这个角的平分线上 角平分线的作法与判定 ·如图。OC是∠AOB的平分线， 如图，PD⊥OA,PE⊥OB 则∠A0C=∠BOC=号∠AOB 若PD=PE,则点P在∠4OB的平分线OC上，O 即∠AOC=∠BOC=号∠AOB. 2.角平分线的作法（尺规作图】 如图，以0为盟心，适当长为半径作弧 分别交OA.OB于点M,N. 5安分 连接MN,分别以M,N为圆心 大于。MN的长为半径作蕴，两弧交于点P.C 0 ·三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等 作射线OP,则OP是∠AOB的平分线 角平分线的 如个点称为三角形的内心 如图，BE,CD.AF是△ABC的三条角平分线 3.角平分线上的点的性质 作法与判定 交于点O,则OD■OE■OF, 角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等， 如图，OC是∠AOB的平分线， 点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB 8.常见压轴题模型★ 则PD=PE. 7.压轴题常用证题思路★ (1】两垂声德型 (2)平行线模型 6.角平分线与特殊情况的结含 1,明确命题中的已知和求证： 如图PD⊥OA.PE⊥OB 如图，MN∥OB.PD⊥OA.MP 2找到图中的角平分线 若PD=PE.则OP是 PE⊥OB,PD=PE (1】角平分线+线 利用性质或判定建立相等关系： ∠AOB的平分线. 期OP平分∠AOB, 如图，0C是∠AOB的平分线， 点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB. 3.构造垂线，利用垂线段最短 或 等距高”转化向题： 则PD=PE. 4.利用三角形全等，等腰三角形性质， (3)等腰三角形模型 (4)内心模型 (2)角平分线+平行线 平行线性质等综合推理： 如图.AD平分∠BAC 如图E.CD,AF 如图，MN∥OB,点P在MN上 5规范书写证明过程，注意结论严谨 若AB=AC,则AD⊥BC △ABC的角平分线 若PD⊥OA,PE⊥OB且PD=PE. 交于点O,则OD=OE 则OP平分∠AOB. 压轴技巧小贴士 /善于作辅线（角平分线、垂线、平行线） (3)角平分线+等腰三角形等 √灵活运用“等距离“角平分线性质” 如图.△ABC中，AD是∠BAC的平分线 和“判定定建“： 重要结论汇总 若AB=AC,则AD⊥BC /注意图形对称性与特殊点（内心、垂心等）， 1.OC是∠A0B的平分线 4.三角形三条角平分线交于一点， ∠B0C= ∠AOB 这点到三边的距离相等， 点P在∠AOB的平分线上 5.垂线段最短：连接点P到直线的垂线 →PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE 垂线段最短 模块二 压轴考向考点讲练 【压轴考点01】作角平分线（尺规作图）★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·福建福州·期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90,AC<BC. A B (1)尺规作图：分别作∠A、∠B的平分线相交于点P: (2)在(1)的条件下，求∠APB的度数. 第2页共18页 【对应练习1】(25-26七年级下·甘肃白银·期中)项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地.七年级三班负 责管理一块形状为三角形的菜园.为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜 畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门.现需要精确的施工图纸， 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图△ABC; 第二步：确定菜园小门的位置， 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点D)在靠路的一边AB上，且到菜园另外两边(AC和BC)的 距离相等.即：CD是∠ACB的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角∠α，∠B及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段a)，如图所示. a 请你利用尺规作出△ABC（其中∠A=∠，∠B=∠B,AB=a)（要求：保留作图痕迹，标注字母，不 写作法)： (2)小颖根据方案设计中的第二步，在(1)中所作的△ABC中作出了CD,确定小门的位置（点D),测得 ∠Q=30°，∠B=60°，求出∠CDA的度数. 第3页共18页 【对应练习2】如图，AB∥CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点， 再分别以E,F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M (1)求证：AP平分∠CAB; (2)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数； (3)若CN L AM,垂足为N,求证：△CAN≌△CMN. 【对应练习3】(25-26八年级上·四川南充·阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,按以 下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以 大于号MN的长为半径作弧，两弧相交于点P;③作射线BP,交AC于D点.若AB=10,BC=6,AC=8, 则线段CD的长为( D M A.3 B.5 c.9 D.6 第4页共18页 二【压轴考点02】角平分线的性质定理★★女★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，已知∠ADE=∠ADF,DE1AB,DF1AC,垂 足分别为点E和点F,BE=CF.求证：AB=AC, B D 【对应练习1】(26-27八年级上·湖北武汉·开学考试)已知△ABC中，BE平分∠ABC,BE交AC于点 E,CD平分∠ACB,交AB于点D,BE与CD交于点O 图1 图2 (①)如图1.求证：∠B0C=90°+行∠BAC: (2)如图2，连接0A,求证：OA平分∠BAC. 第5页共18页 【对应练习2】(25-26七年级下·福建福州·期末)在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连 接CF,DE⊥CF于E,连接AD交CF于点M. B A D M E A C (1)求证：FE=CE; (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC: (3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 第6页共18页 【对应练习3】(25-26七年级下·山东青岛·期末)已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°，求证：AD=DC. E A A D B E 图① 图② 图③ (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E,连 接DE,请按小明的思路进行证明. (②)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长BA到E,使BE=BC,连接DE…请按小刚的思路进 行证明. (3)如图③，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D 作DE L BC,垂足为点E,探究线段AB、CE、BC之间的数量关系，并说明理由 第7页共18页 二【压轴考点03】角平分线的判定定理★★女★ 【典例精讲】如图，在△ABD和△ACE中，AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°. B (1)求证：△ACD兰△AEB; (2)∠AFD和∠AFE的大小关系，并说明理由. 【对应练习1】(25-26七年级下·陕西西安·阶段检测)如图，在△A0B和△D0C中，0A=0B, OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠C0D=110°，连接AC、BD交于点M,连接0M.下列结论：① ∠AMB=110°；②AC=BD;③0M平分∠AOD;④M0平分∠BMC.其中正确的结论个数有 )个. M D A.4 B.3 C.2 D.1 第8页共18页 【对应练习2】(25-26八年级上·重庆大足·期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交 BC于D,DE L AB于E,点F在AC上，点G在AB上，BE=CF,FD平分∠CFG,下列结论中正确的个数 ①DC=DE;②GD平分∠FGE,③∠CAB+2∠FDG=180°：④∠ADF=∠GDE;⑤S△FDG=S△CDF+ SADEG· A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【对应练习3】(25-26八年级下·宁夏银川·期中)在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=90°. B G E E A ■ A 图1 图2 图3 (1)如图1，A,C,D三点共线，连接BD,CE,延长CE交BD于点F,则CE与BD的数量关系为_；位置关系 为 (2)如图2，A,C,D不共线时，连接BD,CE交于点F,试探究CE,BD的关系. (3)如图3，在(2)条件下连接AF,AF延长线交BE于点G,若∠ADB=a,试用a的表达式表示∠EAG. 第9页共18页 二【压轴考点04】角平分线性质的实际应用★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·河北邢台·期末)计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路 MN∥PQ,小路AB与MN,PQ均相交.若要在小路MN上修建一个凉亭O,使其到小路AB,PQ的距离相 等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是( A M M B B 甲方案 乙方案 A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 【对应练习1】(2025八年级上·全国·专题练习)学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探 究.她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的 角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： D (1)用尺规完成以下作图：作∠ADC的平分线交AB于点E,连接EC,在DC上截取DF=DA,连 接EF,(只保留作图痕迹) (2)已知：在直角梯形ABCD中，AD II BC,∠A=90°，DE平分∠ADC,AD=DF,AD+BC=DC.求 证：DE⊥CE 证明：DE平分∠ADC, .① 在△ADE和△FDE中， AD-DF ∠ADE=∠CDE ② ∴△ADE≌△FDE(SAS) ∴.∠A=∠DFE=90°=∠CFE,∠AED=∠FED: 第10页共18页 AD+BC=DC,AD=DF ③_ ∴，易证Rt△CBE≌Rt△CFE(HL) ∴.CE平分∠BCF,∠BEC=∠FEC, ·∠AED=∠FED,∠BEC=∠FEC,∠AEB=180° ÷∠DEC=DEF+∠FEC=∠AEB=90 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有 此结论.请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两 内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么④， 【对应练习2】(25-26八年级上·河北廊坊·期中)如图，点A在点0的北偏西30°的方向上，且A0= 5km,AB1OA,BH1OH.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是() 北 H东 A.点B在点0北偏东30°方向上 B.点O在点B南偏西60°方向上 C.BA=BH D.OB=10km 第11页共18页 【对应练习3】(25-26八年级上·北京·期中)已知点A和两条相交直线0P,0Q,点A不在这两条直 线上.作一条经过点A的直线L,交直线OP于M,交直线OQ于N.若A,M,N这三点之中，有一点是另两点 所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”. M 图1 图2-1 图2-2 (1)如图1，已知点A在∠P0Q的平分线上，若为关于点A的“好线”，则∠OAM的度数是一一： (2)如图2，已知点A不在∠P0Q的平分线上. ①怎样画出一条关于点N的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足AW=MN,如图2-1， 那么可以在图中构造出一个以A为顶点、且与△MON全等的三角形.由此小明发现了画关于点N的“好 线”的一种方法 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法.写出画图步骤，再证明此时N是 AM的中点； ②在图2-2中画关于点A的“好线”并写出画图步骤.结论不需证明 (注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法. 第12页共18页 模块三 优选真题实战演练 1.(24-25八年级上·辽宁朝阳·期末)凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园.如图，△ABC是 一个正在修建的口袋公园.要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB,AC的距离相等，且使得 △ABH的面积与△BCH的面积相等，则凉亭H是( H A.∠ABC角平分线与BC边上中线的交点 B.∠BAC角平分线与AB边上中线的交点 C.∠ABC角平分线与AB边上中线的交点 D.∠BAC角平分线与AC边上中线的交点 2.(26-27八年级上·陕西西安·开学考试)如图，在△ABC中，点0是∠ABC,∠ACB的平分线的交 点，AB+BC+AC=12,过O作OD1BC于点D,且OD=2,则△ABC的面积是( A.12 B.16 C.24 D.30 3.如图，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠ECB的平分线.小明经过分析后，得出了以下结论：① 点P在∠BAC的平分线上；②BP=CP;③点P到AD、AE、BC的距离相等.则正确的是( ) D A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.(26-27八年级上·浙江宁波·开学考试)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交 于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD L BC于D,下列四个结论：①点O到△ABC的三个顶点的 距离相等；②∠A0B=90°+号∠C;③当∠C=60时，AF+BE=AB:④若0D=Q,AB+BC+CA= 第13页共18页 2b,则S△48c=ab.其中正确的是( A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 5.(25-26七年级下·河南郑州·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=12,BM为∠ABC的 平分线，交AC于点M,过点M作MN1BM,垂足为点M,交AB于点N,点P,Q分别为MN,AM上一个动点， 则AP+PQ的最小值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 6.(26-27八年级上·四川成都·开学考试)如图，在∠A0B的平分线上取一点P,过点P作PC1OA于点 C,在射线0B上取一点D,连接PD,若OD=6,△P0D的面积为21，则PC的长为_一， DB 7.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分 别交AC、AB于点MN,再分别以MN为圆心，以大于三MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP 交边BC于点D,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AB=8,△ABC的面积为13，则AC的长为 B 8.(25-26七年级下·陕西汉中·期末)如图，BD是△ABC的角平分线，DE1AB于点E,AF是△ABD的 中线，动点G在BC边上，连接DG.若AB=6,△ABF的面积是3，则DG的最小值为 第14页共18页 B G 9.(25-26八年级下·广东佛山·期末)如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于 点F.若AB=6,BC=4,△ABC的面积为8，则△ABF的面积为 10.(25-26七年级下·山东枣庄·期末)如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,在AB和AC上分别截取 AM,AW,使AM=AW,分别以点M,N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P,连接射线 AP与BC相交于点D,过点D作DE⊥AC于点E.若DE=2,则△ABC的面积为 M E B 11.(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测)己知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点 P在BD上，PM LAD,PN L CD,垂足分别是MN.求证：PM=PN. A M D P B C 第15页共18页 12.(26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试)在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. D D B 图① 图② (1)如图①，若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BDC的度数； (2)如图②，连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=2,AC=4,求△ADC的面积. 13.(25-26七年级下·福建泉州·期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE1AB于 点E,DF1BC于点F,AG是△ABC的高，交BC于点G.己知：DE=3,AB=6,BC=8. d E D (1)求DF的长： (2)求AG的长. 第16页共18页 14.在四边形ABCD中，AC为对角线，∠ABC+∠ADC=180°，CB=CD. B B B G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC平分∠BAD: (2)如图2，点G在CD上，点F在BC上，连接BG、DF,BG交DF于点E,∠BFD=∠BGC,且AD=DE, 求证：BA=BE; (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD交AC于点K,S△BED=3S△ADK,DE=2,求AB的长. 第17页共18页 15.(25-26八年级上·福建厦门·期末)在△ABC中，AB=AC,点E在BC上，点H在AC上，连接AE和 BH交于点F,∠ABH=∠CAE. D E 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠AFB=2∠ACB; (2)如图2，连接FC,若FC平分∠EFH,求证：AH=CH; (3)如图3，在(2)的条件下，点D在BH的延长线上，连接CD,∠ACD+3∠EFC=180时，若AE+ DF=14,BH+AF=16,求HF的长. 第18页共18页 2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 角平分线的作法与判定 【思维导图+四大考点讲练+优选真题练 共31题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图 知识梳理】 2 【压轴考向 考点讲练】 2 【压轴考点01】作角平分线(尺规作图） 2 【压轴考点02】角平分线的性质定理 5 【压轴考点03】角平分线的判定定理 8 【压轴考点04】角平分线性质的实际应用 10 【优选真题 实战演练】 13 【压轴考点01】作角平分线(尺规作图） 【典例精讲】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【对应练习1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【对应练习2】如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 【对应练习3】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【压轴考点02】角平分线的性质定理 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 【对应练习1】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【对应练习2】（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【对应练习3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【压轴考点03】角平分线的判定定理 【典例精讲】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【对应练习1】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【对应练习2】（25-26八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【对应练习3】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【压轴考点04】角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【对应练习1】（2025八年级上·全国·专题练习）学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点E，连接，在上截取，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形中，，，平分，，．求证：． 证明：平分， ∴ 在和中， ，． ， ∴ ． ∴易证 平分，， ，， 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么④ ． 【对应练习2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，点在点的北偏西的方向上，且，，．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（   ） A．点在点北偏东方向上 B．点在点南偏西方向上 C． D． 【对应练习3】（25-26八年级上·北京·期中）已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 1．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（     ） A．角平分线与边上中线的交点 B．角平分线与边上中线的交点 C．角平分线与边上中线的交点 D．角平分线与边上中线的交点 2．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 3．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 8．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 9．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 10．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为_____． 11．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 12．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 13．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 14．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null