专题13.2 与三角形有关的线段【导图+知识卡片+知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题】-2026-2027学年人教版数学八年级上册同步讲义

本讲义聚焦三角形的边、中线、角平分线及高，系统梳理三边关系、稳定性、重心、内心、垂心等核心知识点，构建从定义到性质再到应用的递进式学习支架。 资料以思维导图直观呈现知识结构，通过10个题型讲练（典例+变式）培养推理能力，结合中考真题与分层训练提升应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

null 专题13.2 与三角形有关的线段『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【人教版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 三角形的边 2 知识点二 三角形的中线 2 知识点三 三角形的角平分线 3 题型讲练 4 题型一 构成三角形的条件 4 题型二 确定第三边的取值范围 4 题型三 三角形三边关系的应用 4 题型四 三角形的稳定性及应用 5 题型五 根据三角形中线求长度 5 题型六 根据三角形中线求面积 6 题型七 重心的概念 7 题型八 三角形角平分线的定义 7 题型九 画三角形的高 8 题型十 与三角形的高有关的计算问题 8 中考真题演练 9 难度分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 13 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 题型一 构成三角形的条件 【典例精讲】（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 题型二 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c是的三边，其中，且三角形的周长为奇数．求c的值． 题型三 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 题型四 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【变式训练】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 题型五 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 题型六 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 题型七 重心的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·广西崇左·期末）在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 题型八 三角形角平分线的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 题型九 画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·广东江门·期末）如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 题型十 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【变式训练】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【真题演练1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，是正方形的边上任意一点，且，则的面积是正方形面积的（    ）． A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·上海·中考真题）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【真题演练3】（2025·内蒙古·中考真题）如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【真题演练4】（2025·重庆·中考真题）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【真题演练5】（2025·浙江宁波·中考真题）如图，是的高线，是的角平分线， (1)求的度数； (2)请探究与的关系，并说明理由． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 4．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为_____ 7．（2025八年级上·四川南充·专题练习）已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 9．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上任意一点，是的边上的中线，，分别是，的中点，，则的值为（   ） A．4.8 B．6 C．8 D．12 3．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）长方形和在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是____________． 5．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，三角形中，，，，．若将三角形沿射线方向平移得到三角形，与相交于点G，连接．则与的位置关系是________；若三角形与三角形的面积相差，则________． 6．（25-26八年级上·天津和平·期末）如图，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板上的点O处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．如图②取下薄板后测得的面积为3，则的面积为__________． 7．（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 8．（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）（1）若，求的值； （2）已知中三个角所对的三边分别为．求证：． 9．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，于点，的角平分线交于点， 已知， 求的度数. 10．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，D是的中点，平分，，交的延长线于点F． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题13.2 与三角形有关的线段『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【人教版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 三角形的边 2 知识点二 三角形的中线 2 知识点三 三角形的角平分线 3 题型讲练 4 题型一 构成三角形的条件 4 题型二 确定第三边的取值范围 4 题型三 三角形三边关系的应用 5 题型四 三角形的稳定性及应用 6 题型五 根据三角形中线求长度 7 题型六 根据三角形中线求面积 9 题型七 重心的概念 11 题型八 三角形角平分线的定义 12 题型九 画三角形的高 13 题型十 与三角形的高有关的计算问题 14 中考真题演练 15 难度分层训练 20 【基础夯实】 20 【培优拔高】 27 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 题型一 构成三角形的条件 【典例精讲】（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 【变式训练】（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 【答案】12 【分析】由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①若5为腰长，2为底边长， ∵5，5，2能组成三角形， ∴此时周长为：； ②若2为腰长，5为底边长， ∵， ∴不能组成三角形，故舍去； ∴周长为12． 题型二 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c是的三边，其中，且三角形的周长为奇数．求c的值． 【答案】或 【分析】利用算术平方根和平方的非负性求出的值，再利用三角形三边关系求出的范围，结合三角形的周长为奇数即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴， 又∵周长为奇数，即为奇数， ∴或． 题型三 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 【答案】4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 题型四 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 题型五 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 题型六 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 题型七 重心的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·广西崇左·期末）在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 题型八 三角形角平分线的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，即可得出，进而根据平行线的性质可得，即可得出，即平分． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 题型九 画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·广东江门·期末）如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断． 【详解】解：根据三角形的高的定义，在中，边上的高是， 故选：A． 题型十 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. 【变式训练】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 【真题演练1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，是正方形的边上任意一点，且，则的面积是正方形面积的（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的面积，三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 连接，过点作于点，根据得，由三角形面积的公式得，，由此得，再根据得，则，据此即可得出答案． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： 四边形是正方形， ，正方形面积为， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的面积是正方形面积的． 故选：A． 【真题演练2】（2025·上海·中考真题）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴是的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵， ∴为边上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为的中点， ∴是边上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵， ∴为的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【真题演练3】（2025·内蒙古·中考真题）如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】1 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 【真题演练4】（2025·重庆·中考真题）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·浙江宁波·中考真题）如图，是的高线，是的角平分线， (1)求的度数； (2)请探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形内角和， 角平分线定义，高的定义，关键是掌握三角形内角和为，理清角之间的关系． （1）首先计算出的度数，然后再根据角平分线定义可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出的度数，进而可得的度数； （2）由（1）知，再把，代入整理可得答案． 【详解】（1）解∶．， ， ． 是的角平分线， ． 是的高线， ． ． ． ． （2）解：， 理由∶由（1）可知，，， ， 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题利用非负数的性质求出a，b的值，再结合三角形三边关系确定c的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：， 则， 解得， 由于是三角形的最长边， 则， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得， 因此c的取值范围是， 只有符合条件， 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，，根据三角形面积之间的关系可得：，，根据，可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，， 点是边的中点，点在边上，， ，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， 点在边上，， ， ， 整理得：， ， ． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形的面积． 连接，可知，，，进而得到，，即，即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵、是的中线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【答案】6 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， 则，即， 第三边长a为整数， 第三边长． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三边关系进行分类讨论求解即可； 【详解】解：等腰三角形的一边等于，一边等于， 当腰为时，三边为，，，能构成三角形， 周长为； 当腰为时，三边为，，， ， 不能构成三角形； 三角形的周长为． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为_____ 【答案】17或19 【分析】分情况进行讨论，同时利用三角形的三边关系进行判断是否可以构成三角形，进行计算即可． 【详解】解：当三角形三边为时， ，可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为； 当三角形三边为时， ，可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为． 7．（2025八年级上·四川南充·专题练习）已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 【答案】10 【分析】先根据等腰三角形和中线的定义可得，再分两种情况分别列出方程，求出解，然后根据三角形的三边关系确定答案即可． 【详解】解：如图所示， ∵是边上的中线， ∴． 当时，即， 解得； 当时，即， 解得，则， ∵， ∴不能组成三角形，不符合题意． 所以腰长为10． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 【答案】9 【分析】连接，根据中线的意义可得，，，再根据阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：连接， ∵是边的中线，的面积等于36， ∴， ∴等底同高， ∴， 同理，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 9．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得，，，代入，求解即可； （2）根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 则，解得． （2）解：由（1）可知：，， 根据三边关系可知：，即， ∵x为整数， ∴x的最大值为6， ∴三角形周长的最大值为． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积公式、命题的证明，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 若选择的条件是①，选择的结论是②，根据三角形中线的性质即可证明；若选择的条件是②，选择的结论是①，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】解：选择的条件是①，选择的结论是②． 证明：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的面积与的面积相等； 选择的条件是②，选择的结论是①． 证明：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， 设B到的距离为，C到的距离为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即是的中线． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用三角形中线将三角形面积进行转化是解题的关键． 由点F是的中点可得，由点E是的中点可得，，从而得到，再由，进而求得的面积． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ， ∵， ． 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上任意一点，是的边上的中线，，分别是，的中点，，则的值为（   ） A．4.8 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用“三角形中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，逐步推导各部分三角形的面积． 【详解】解：连接． ∵ 是的中线， ∴． ∴，即：． ∵， ∴． ∵ 是的中点， ∴． ∵ 是的中点， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）长方形和在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是____________． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式计算出长方形和的重心坐标，再利用不规则图形的重心坐标计算公式即可求解． 【详解】解：如图， 、分别为长方形和的重心， ∵，，，，，，， ∴，，，，，， ∴长方形的面积，长方形的面积， ∴重心的坐标， ， ∴重心坐标为． 5．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，三角形中，，，，．若将三角形沿射线方向平移得到三角形，与相交于点G，连接．则与的位置关系是________；若三角形与三角形的面积相差，则________． 【答案】 且 【分析】本题考查了图形的平移性质，三角形面积计算及通过面积差建立方程．根据平移后对应线段平行且相等即可判定与的位置关系，再利用“等面积法”求出平行线间的距离，通过面积差建立方程求解平移距离x的值． 【详解】解：由题意知，三角形在向右平移的过程中，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F， 此时原来的点与其对应点平移的距离均相等， ∴， ∵和是对应点所连的线段，根据平移性质“对应点所连线段平行且相等”，可得， 由平移的性质知，设，则， ∵在平移过程中，点C到的距离与点F到的距离保持不变且相等， 即与间的距离相等， 又∵，，， ∴点C到的距离为， 设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为， ∴， 由三角形与四边形的面积之和为四边形的面积以及四边形与三角形的面积之和为三角形， 得，， ∴， 将代入，得， ∴，即， 解得， 故答案为：且，． 6．（25-26八年级上·天津和平·期末）如图，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板上的点O处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．如图②取下薄板后测得的面积为3，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据题意可证出六个小三角形面积均相等，据此即可求解． 【详解】解：由题可知为三角形中线的交点， 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 8．（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）（1）若，求的值； （2）已知中三个角所对的三边分别为．求证：． 【答案】（1），（2）见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程解法和三角形三边关系、不等式性质． （1）本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数， （2）利用三角形三边关系，可得，，，再利用不等式性质即可证明结论． 【详解】（1）解：解关于、的方程： 解得， 所以， （2）证明：在中，、、为边长 ∴， ∴ ， 同理：， ， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，于点，的角平分线交于点， 已知， 求的度数. 【答案】 【详解】本题考查了角的计算，三角形内角和定理，角平分线，高线的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据题意，易得， 可知的度数，利用三角形内角和定理，得， 结合角平分线，有， 即可得到结果． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 10．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，D是的中点，平分，，交的延长线于点F． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，则可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得的度数． （2）先求出的面积，由D是的中点可得的面积是面积的一半，进而可求得的面积． 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵BE平分， ∴． ∴． （2）解：∵，，， ∴． ∴D是的中点， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $