第1章一元二次方程基础与拔尖闯关2026-2027学年数学九年级上册苏科版

**基本信息** 苏科版九年级上册一元二次方程单元卷，通过基础与拔尖分层设计，融合“镇BA”赛事、天猫618等时代情境及赵爽几何法等文化素材，全面覆盖定义、解法、根的判别式与应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|定义、解法、根的判别式|第5题以“镇BA”双循环赛制考方程应用，体现数学眼光| |填空题|6|根与系数关系、新定义运算|第16题“友好方程”创新考查根与系数关系，培养推理意识| |解答题|3|解方程、应用题|第19题电影票销售问题，强化模型意识与运算能力| |综合题|4|几何构造、函数与方程|第20题赵爽几何法解一元二次方程，融合文化传承与创新思维|

第1章一元二次方程基础与拔尖闯关-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 基础闯关 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则a的值可以是（     ） A．5 B．0 C．4 D．2 4．用配方法解一元二次方程时，配方后的等式为（    ） A． B． C． D． 5．某年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（     ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 6．下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 7．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为(     ) A．2 B．3 C．4 D．9 8．2026年天猫618活动正在火热进行中，某美妆品牌在此期间推出多场预售与现货活动．该品牌第二季度的总销售额为662万元，其中4月作为预售启动月，销售额为200万元．设5月、6月随着大促热度攀升，月销售额的平均增长率为．若根据季度总销售额列方程求该平均增长率，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 9．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 10．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 11．已知a，b是方程的两个根（），则_______． 12．关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 13．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则一元二次方程的两根的和为______． 14．设方程的正根介于整数与之间，则____． 15．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 16．定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 三、解答题 17．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围． 19．暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 拔尖闯关 20．三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 21．问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 22．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章一元二次方程基础与拔尖闯关-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B C B D D C A 1．D 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，要求二次项系数不为0， ∵选项A中未说明，当时不是一元二次方程，∴A错误； ∵选项B中方程是分式方程，不是整式方程，∴B错误； ∵选项C中方程含有和两个未知数，不是一元方程，∴C错误； ∵选项D中方程，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数为，∴D符合一元二次方程的定义． 2．B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 3．D 【分析】先根据一元二次方程定义得到二次项系数不为0，再根据方程有两个不相等实数根得到判别式大于0，解不等式得到a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程 ∴ ∵方程有两个不同的实数根 ∴判别式 化简得，解得 综上，的取值范围是且 选项中只有满足条件，故选项D符合题意． 4．B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 一次项系数为，其一半的平方为，等式两边同时加得， 整理得． 5．C 【分析】本题是一元二次方程的实际应用问题，根据双循环赛制的场次关系设未知数列方程求解，舍去不符合实际意义的解即可得到答案． 【详解】解：设该小组参加比赛的球队有支； ∵ 双循环赛制中每两支球队之间进行场比赛， ∴总比赛场次为， 已知小组赛共比赛场， ∴ 列方程得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，； ∵ 球队数量为正整数， ∴ 舍去负根，得，即该小组参加比赛的球队有支． 6．B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项方程的判别式，选出判别式等于0的选项即可． 【详解】解：A、 ，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意； B、 ，，，， ， 方程有两个相等的实数根，符合题意； C、 ，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意； D、 ，，，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 综上，有两个相等的实数根的是B． 7．D 【分析】本题先将所求代数式因式分解为完全平方形式，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，整体代入即可计算出结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得 又∵ ∴将代入得，原式． 8．D 【分析】分别表示出第二季度每个月的销售额，再根据总销售额列方程即可得到正确结果． 【详解】解：∵4月销售额为200万元，月销售额平均增长率为， ∴5月销售额为， ∵6月销售额在5月基础上增长， ∴6月销售额为， ∵第二季度总销售额为4月、5月、6月销售额之和，总销售额为662万元， ∴列方程得． 9．C 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 10．A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 11． 【详解】解：，是方程的两个实数根，且，该方程中二次项系数为，一次项系数为，根据根与系数的关系可得． 12．且 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为0，且根的判别式大于等于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根 ∴该方程为一元二次方程，可得，且根的判别式 ∵ ∴， 解得 综上，的取值范围是且． 13． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的关系，再根据根与系数的关系计算所求方程两根的和，代入计算即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， 整理得， 设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 将代入，得， ， ． 14． 【分析】本题考查的是一元二次方程的求解与无理数的估算，掌握配方法解一元二次方程和利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先通过配方法求出方程的正根为，再根据得到，进而推出，确定正根介于整数与之间，从而求出的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：． 15． 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 16． 【分析】根据友好方程的定义得到目标一元二次方程，再利用根与系数的关系计算两根之和即可． 【详解】解：根据“友好方程”的定义，可得的“友好方程”为， 设该方程的两个根为，， ∴． 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 其中，，， 计算得， 由求根公式得， 即，； （3）解：， 由平方差公式得， 化简得， ∴或， 解得，； （4）解：， 展开得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 18．(1) 证明： ， ∵，即， ∴方程总有两个实数根； (2)． 【分析】（1）先计算判别式的值得到，利用非负数的性质得，然后根据判别式的意义判断根的情况； （2）利用求根公式解方程得到，再利用方程有一个根大于4且小于8得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）略 （2）解：，得， ∵方程有一个根大于4且小于8， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 19．(1)《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； (2)单价应降低4元． 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 20．(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 21．(1) (2)①；②；随的增大而减小，因此当时，取得最大值 (3)当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下： 根据题意可列方程：， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，总成本为（元）；当时，总成本为（元）， ∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理． 【分析】（1）容易判断与成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可； （2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合的取值范围求出的最大值； （3）根据题意列出方程，求解出的值，对比两种方案的总成本即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格可知，日产量每增加千克，每千克的成本会下降元， ∴与成一次函数关系， 设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； ②∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值（元）． （3）略 22．(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $