专题02 相似三角形模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学讲义通过模型分类框架系统梳理了相似三角形母子型（共边共角模型）知识体系，将直角母子型（射影定理模型）与斜母子型按“模型来源-条件结论-证明过程”分层呈现，结合图形示例构建知识脉络，突出公共角识别、等积式转化等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，A组基础题巩固射影定理计算（如直角三角形斜边上高的线段关系），C组压轴题融入圆与二次函数综合（如典例10正方形中的相似证明），通过“母子共角找公边”口诀培养推理意识与几何直观，帮助不同层次学生掌握模型应用，为教师实施精准分层教学提供支持。

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型相似分直角母子型（射影定理模型）与斜母子型，核心特征是两三角形共公共角，再有一组等角即可证相似。直角母子型是 Rt△斜边上作高，得三个三角形两两相似，直接运用射影定理进行线段计算。斜母子型依靠公共角 + 一组等角证相似，多用于证明线段乘积式。 中考常考线段求值、比例与等积式证明，常融入圆、二次函数、几何大题。解题关键：抓住公共角，识别模型，把乘积式转化为比例式。易错点：混淆射影定理对应线段，找错相似对应边。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 母子型相似最早源自古希腊几何，核心的直角母子型就是著名的**射影定理**，记载于欧几里得《几何原本》。书中证明：直角三角形斜边上的高，把原直角三角形分成两个小直角三角形，两个小三角形都和原三角形相似，因大三角形像母亲，两个小三角形如同孩子，故称母子型。 广义斜母子型是射影定理模型的拓展，保留**公共顶角**这一核心条件，不再局限直角，只要公共角外加一组相等角，两个三角形相似。 在平面几何发展中，母子型作为共角相似的典型代表，简化大量线段推导。后世将它单独归纳为几何模型，广泛用于几何证明。如今成为初中相似三角形核心模型，是等积式证明、线段计算的基础，也是圆、函数综合题的常用载体。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【典例2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【典例3】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【典例4】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例5】（25-26九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形中，平分，，E为的中点， (1)求证：； (2)求证：． 【典例6】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，，，则的长为_______． 【典例7】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【典例8】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【典例9】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【典例10】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 3．（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 7．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 8．（2025·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 9．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 10．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 12．（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 14．（25-26九年级上·四川·阶段检测）已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．    （1）如图，求证： ① ② （2）连接并延长交于点， ①若点为的中点（如图），求的长．    ②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 16．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 17．（2025·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 19．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______． 20．（2025·重庆沙坪坝·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　） A． B． C． D． 21．（25-26九年级下·山东烟台·期末）某学校数学社团开展解题闯关活动． (1)【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； (2)【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 22．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型相似分直角母子型（射影定理模型）与斜母子型，核心特征是两三角形共公共角，再有一组等角即可证相似。直角母子型是 Rt△斜边上作高，得三个三角形两两相似，直接运用射影定理进行线段计算。斜母子型依靠公共角 + 一组等角证相似，多用于证明线段乘积式。 中考常考线段求值、比例与等积式证明，常融入圆、二次函数、几何大题。解题关键：抓住公共角，识别模型，把乘积式转化为比例式。易错点：混淆射影定理对应线段，找错相似对应边。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 母子型相似最早源自古希腊几何，核心的直角母子型就是著名的**射影定理**，记载于欧几里得《几何原本》。书中证明：直角三角形斜边上的高，把原直角三角形分成两个小直角三角形，两个小三角形都和原三角形相似，因大三角形像母亲，两个小三角形如同孩子，故称母子型。 广义斜母子型是射影定理模型的拓展，保留**公共顶角**这一核心条件，不再局限直角，只要公共角外加一组相等角，两个三角形相似。 在平面几何发展中，母子型作为共角相似的典型代表，简化大量线段推导。后世将它单独归纳为几何模型，广泛用于几何证明。如今成为初中相似三角形核心模型，是等积式证明、线段计算的基础，也是圆、函数综合题的常用载体。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【典例3】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 【典例4】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 【典例5】（25-26九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形中，平分，，E为的中点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)证明：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）先证明，再结合，即可证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，由（1），推出，结合，得证． 【详解】（1）略 （2）略 【典例6】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，，，则的长为_______． 【答案】4 【分析】根据图形发现，代入已知条件得的值，再根据条件，，结合三角形相似判定定理可证明，根据相似三角形的性质求出的长，再根据，代入数据计算即可求出的长. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4. 【典例7】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【详解】（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 【典例8】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 【典例9】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【典例10】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， (2)证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】（1）略 （2）略 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形． 【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 故选：C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 2．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 【答案】 证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】略 3．（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． (2) 证明 ． ， ． ． ． 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 7．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8．（2025·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 9．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1) 证明： 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 (2) 证明： 又 ，即 ． 又 ，即 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 10．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】 解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】 证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1） 略 （2） 略 （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 12．（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论； （3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论； 【详解】（1）∵与互为母子三角形， ∴或2 故选：C （2）是的角平分线， ， ， ． 又， 与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解． 14．（25-26九年级上·四川·阶段检测）已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．    （1）如图，求证： ① ② （2）连接并延长交于点， ①若点为的中点（如图），求的长．    ②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长． 【答案】 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE=BF； ②证明：由①得：△ABE≌△BCF， ∴∠BAE=∠CBF， ∵∠CBF+∠ABF=90°， ∴∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AE⊥BF； （2）①；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS证明△ABE≌△BCF，即可得出结论； ②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE=∠CBF，证出∠AGB=90°，即可得出结论； （2）①由直角三角形的性质得出CF=BE=BC=2，由勾股定理得出BF=2，由（1）得：AE⊥BF，则∠BGE=∠ABE=90°，证明△BEG∽△AEB，得出，设GE=x，则BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG=2×，由平行线得出，即可得出BH的长； ②由（1）得：∠AGB=90°，得出点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，求出GM=AB=BM=2，由平行线得出=1，证出CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：①如图2所示：    ∵E为BC的中点， ∴CF=BE=BC=2， ∴BF=， 由（1）得：AE⊥BF， ∴∠BGE=∠ABE=90°， ∵∠BEG=∠AEB， ∴△BEG∽△AEB， ∴， 设GE=x，则BG=2x， 在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22， 解得：x=， ∴BG=2×=， ∵AB∥CD， ∴，即， 解得：BH=； ②由（1）得：∠AGB=90°， ∴点G在以AB为直径的圆上， 设AB的中点为M， 由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：    ∵AE⊥BF， ∴∠AGB=90°， ∴GM=AB=BM=2， ∵AB∥CD， ∴=1， ∴CF=CG， ∵CF=BE， ∴CF=CG=BE， 设CF=CG=BE=a，则CM=a+2， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2， 解得：a=2-2，即当CG取得最小值时，BE的长为2-2． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 【答案】 【分析】①取平行四边形边长的中点，连接对角线，通过两条平行线之间距离处处相等对三角形作等面积转换，将拆成三个小三角形，每一个小三角形都占总面积的，即可求出面积比；②根据，结合平行四边形的性质与外角和定理，得出，通过导比例，求得，再根据与，通过勾股定理即可计算出． 【详解】解：如图，取中点N，中点M，连接、、、、， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形对角互补， 如图，作四边形外接圆， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 如图，在上取点M使得，过点D作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， 解得． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点共圆与圆周角定理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相似三角形是解题的关键． 16．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 17．（2025·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1) 证明：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． (2) 证明：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， (3) 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等． （2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论． （3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1) 点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）略 （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 19．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______． 【答案】 【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 设CD＝2a，则CG＝a， CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴， ∴， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答． 20．（2025·重庆沙坪坝·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M． ∵∠FAE=∠CAB=90°，， ∴EF：AF：AE=5：4：3， ∵C′H∥AF， ∴△EAF∽△EHC′， ∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3， 设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH =2k， 由翻折可知，∠AEN=∠TEN， ∵NA⊥EA，NT⊥ET， ∴∠NAE=∠NTE， ∵NE=NE， ∴△NEA≌△NET（AAS）， ∴AN=NT，EA=ET， 设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m， 在Rt△FNT中，FN2=NT2+FT2， ∴（4mx）2=x2+（2m）2， 解得：， ∵AC=AB=，∠CAB=90°， ∴BC=AC=， ∴CD=BD=， ∵DM⊥CM，∠DCM=45°， ∴CM=DM=， ∵AN∥DM， ∴， ∴， ∴EM=， ∴EC=， ∴， ∴CH=，C′H=， ∴CC′=， ∵DC=DC′=DB， ∴∠CC′B=90°， ∴BC′=， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 21．（25-26九年级下·山东烟台·期末）某学校数学社团开展解题闯关活动． (1)【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； (2)【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出，此题得解； （2）过点作交于点，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出和的长度，在中，利用勾股定理可求出的长，此题得解． 【详解】（1）过点作，交的延长线于点， ． ， ， ． 又， ， ， ，， ， ； （2）解：过点作交于点，如图所示． ，， ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ，， ． 在中，，即， 解得：（舍负）， ，． ∵在中，， ∴， 解得． 22．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2) 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3)2 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）证明，得到，再由代入求证即可； （3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $