广东深圳市光明区光明中学2026-2027学年高三上学期数学周测1

**基本信息** 高三数学周测试卷，覆盖函数、几何、概率等核心模块，通过基础选择与综合解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数奇偶性与单调性、导数应用|基础题如集合运算，提升题如函数性质判断，梯度清晰| |多选|3/18|函数单调性、极值、奇偶性综合|第11题结合奇偶性与对称性，考查逻辑推理| |填空|3/15|分段函数求值、函数单调性参数范围|第14题结合奇偶性求函数最小值，注重数学抽象| |解答|5/77|解三角形、立体几何、导数恒成立、概率统计（大数据情境）、抛物线|第18题以大数据软件测试为科技情境，第19题抛物线定点证明体现创新应用，符合高考命题趋势|

光明中学高三数学周测一答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可. 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 2. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，进而可得. 【详解】由， 所以， 故选：B. 3. B 4.已知函数f(x)＝，且f(a)＋f(b)<0，则(　　) A．a＋b<0 B．a＋b>0 C．a－b＋1>0 D．a＋b＋2<0 答案　A 解析　函数f(x)＝的定义域为R， f(－x)＝＝ ＝＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数， 且f(x)＝＝1－， 显然函数f(x)为R上的增函数， 由f(a)＋f(b)<0可得 f(a)<－f(b)＝f(－b)， 所以a<－b，即a＋b<0. 5.“”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】当时，，定义域为，即，故或，定义域关于原点对称，且， 故为奇函数，故 “”是“函数是奇函数”的充分条件； 又当为奇函数时有，即，，则. 当时函数是奇函数，当时无意义，故. 即“”是“函数是奇函数”的必要条件. 故“”是“函数是奇函数”的充要条件. 故选：C 6.函数的部分图象大致为（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以是偶函数， 所以的图象关于y轴对称，排除A，C； 因为，排除D. 故选：B. 7.已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴的图像关于直线对称， ∵和都在上是减函数，在上是增函数，∴在上为减函数，在上为增函数． 又，∴，即或，解得或． 故选：C． 8.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 故选：B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极大值与极小值的和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值即可判断选项A，B，D；利用即可判断选项C. 【详解】对于A，， 故， 所以在和上，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 故A错误； 对于D，由A知，函数的极大值为， 极小值， 则，故D正确； 对于B，， 结合函数在的单调性可知：，故B正确； 对于C，， 所以， 故函数图象关于点中心对称，故C正确. 故选：BCD 10.给出下列说法，错误的有（ ） A. 若函数在定义域上为奇函数，则 B. 已知的值域为，则a的取值范围是 C. 已知函数满足，且，则 D. 已知函数，则函数的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，函数为奇函数， 所以，，即，即， 即，整理可得，即， 所以，，解得， 当时，，该函数的定义域为，满足，合乎题意， 当时，， 由可得，此时函数的定义域为，满足，合乎题意. 综上所述，，故A错误； 对于B，因为的值域为， 则函数的值域满足， 则，解得，故B错误； 对于C，函数满足，则， 故的周期为，因为，则，故C正确； 对于D，因为，， 由，得，解得， 即函数的定义域为．则， 又 ， 故函数的值域为，故D错误： 故选：ABD. 11.已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】因为为R上的奇函数，所以； 因为为偶函数，所以，故B正确； 由可得，所以； 因为，其结果不一定为零，故A不正确； 由得，所以，故C正确； 由得，所以周期为4， 所以，因为从题目无法得出，故D不正确； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．0或0.5 【分析】对的取值进行分类讨论，分别代入相应的解析式求解即可. 【详解】若，可知，解得； 若，可得，解得； 综上可知，或. 13.已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 . 或 【分析】先明确且可看作由函数复合而成，分类讨论和，根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知且可看作由函数复合而成， 当时，为R上的增函数， 若函数且在区间上单调递减， 需满足在上单调递减，即； 当时，为R上的递减函数， 若函数且在区间上单调递减， 需满足在上单调递增，即，则， 故实数a的取值范围是或. 14.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】因为函数为偶函数，则， 即，① 又因为函数为奇函数，则， 即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角的大小； (2)若b=5,△ABC的面积为，求△ABC的周长. 【详解】（1）在△ABC中，由得： ，即， 所以，所以，所以， 所以，又，所以； （2）因为，所以， 又，所以， 所以，故， 所以△ABC的周长为. 16. 如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. （1）求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接、，如图所示： ，点是的中点， ， 又是的中点， ， 又在直三棱柱中，有， 平面 ， 平面， 平面，且面，平面平面， ， 平面，且平面， ， 又，且、平面， 平面， 又， 平面， 平面， 面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明； （2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，则， 设，则，，， ， 由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大， 此时， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则有，取，解得， 设直线与平面所成的角为， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． (1) (2) 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：，①直接由二项分别的方差公式求解； ②，结合数列单调性分析求解. 【小问1详解】 记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75． 【小问2详解】 由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是 所以当时，最大，即时，的值最大． 19. 已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）因抛物线，得，准线，焦点. 由点的坐标为得，点的坐标为， 由抛物线的定义可知，6，解得， 因为在上，所以，所以， 故. （2）显然直线的斜率不为0，且过焦点，设直线的方程为，. 联立整理得， 则， 因且点与点关于轴对称，得， 所以 . 又，所以，整理得，，解得. 又， 由抛物线的定义得 所以.    （3）证明：由在抛物线上，再（2）知. 所以， ①当点在第一象限内，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②同理当在第四象限时，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以也过定点， 综合①②，故直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明中学2026-2027高三上学期数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（    ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 4. 已知函数f(x)＝，且f(a)＋f(b)<0，则(　　) A．a＋b<0 B．a＋b>0 C．a－b＋1>0 D．a＋b＋2<0 5.“”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6.函数的部分图象大致为（ ） A． B．C． D． 7.已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极大值与极小值的和为 10. 给出下列说法，错误的有（ ） A. 若函数在定义域上为奇函数，则 B. 已知的值域为，则a的取值范围是 C. 已知函数满足，且，则 D. 已知函数，则函数的值域为 11.已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则 . 13． 已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 . 14. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角的大小； (2)若b=5,△ABC的面积为，求△ABC的周长. 16. 如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. （1）求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 17.已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 19 . 已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $