专题07 分式（竞赛培优专项训练）八年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦分式核心素养，构建从概念性质到运算应用的递进式训练体系，兼顾基础夯实与竞赛拔高 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A组考点专项|8题型32题|基础中档题，覆盖分式性质、四则运算、化简求值、整数指数幂、分式方程|从概念（基本性质）到运算（乘除/混合/乘方）再到应用（化简求值/方程），形成完整逻辑链| |B组竞赛真题|12道竞赛题|综合创新题，含增根问题、跨知识点结合（不等式组与分式方程）、实际情境建模|深化基础运算，突出批判性思维与模型意识，体现数学思维的严谨性与应用价值|

专题07 分式 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01分式的基本性质 题型02分式乘法 题型03分式除法 题型04含乘方的分式乘除混合运算 题型05分式混合运算 题型06分式的化简求值 题型07整数指数幂 题型08分式方程 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 分式的基本性质 1．分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】A 【详解】解：∵， ∴将分式中的，的值都扩大为原来的3倍，分式的值不变． 2．化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式． 3．分式与的最简公分母是________． 【答案】 【详解】解：两个分式的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为． 4．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质让分子分母同扩大10倍即可． 【详解】解：． 考点二 分式乘法 1．计算：___________． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 考点三 分式除法 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 2．计算：_________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ； 当时，原式． 4．周末，小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果．那里有两种苹果，甲种苹果每箱净重，售价a元；乙种苹果每箱净重，售价b元．请问：甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？ 【答案】倍 【详解】解：由题意得，甲种苹果的单价为元， 乙种苹果的单价为元 ， 计算倍数可得： ． 答：甲种苹果的单价是乙种苹果的倍． 考点四 含乘方的分式乘除混合运算 1．化简：______． 【答案】 【详解】解：原式， 故答案为：． 2．计算： 【答案】 【详解】解： ． 3．计算：； 【答案】 【详解】解： 4．计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点五 分式混合运算 1．分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若处为“”，则 ，故A不符合题意； 若处为“”，则 ，故B不符合题意； 若处为“”，则 ，故C不符合题意； 若处为“”，则 ，故D符合题意． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ． 3．化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 4．已知：，． (1)化简； (2)若，试比较、的大小关系． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ，， ，即， ． 考点六 分式的化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 2．化简求值：，其中． 【答案】化简结果：，值为： 【详解】解：原式 ； 当， 原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，求值结果为 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 考点七 整数指数幂 1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算：； 【答案】13 【详解】解： ． 4．计算：； 【答案】 【详解】解： ． 考点八 分式方程 1．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：顺流航速为，逆流航速为， ∵顺流航行与逆流航行所用时间相等， ∴可列方程． 2．若关于x的分式方程有增根，则a的值为________． 【答案】 【详解】解：原方程可变形为 ， 方程两边同时乘以得 ， ∵分式方程有增根 ， ∴增根使原方程分母为零，即，得， 把代入整式方程，得， 整理得， 解得． 3．解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：在方程两边同乘以，得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． （2）解：在方程两边同乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． 4．为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元． (1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； (2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且此次订购的两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》？ 【答案】(1)《昆虫记》单价为10元，《经典常谈》单价为15元；(2)最多可购买40本《经典常谈》 【详解】（1）解：设《昆虫记》的订购单价为元，则《经典常谈》的订购单价为元， ∵ 订购的两种书籍数量相同， ∴ ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合题意， ∴ ， 答：《昆虫记》的单价为10元，《经典常谈》的单价为15元； （2）解：设购买本《经典常谈》，则购买本《昆虫记》， ∵ 两种书籍总费用不超过1200元， ∴ ， 解得， ∵ 为非负整数， ∴ 的最大值为40， 答：最多可购买40本《经典常谈》． 1．（八年级上·广东东莞·竞赛）若分式方程有增根，则这个增根的值为（    ） A．1 B．3 C． D．3或 【答案】C 【详解】解：分式方程的增根使原分式的分母为零，原分式方程的分母为， 令，得， 即这个增根的值为． 2．（2024九年级下·湖南岳阳·竞赛）若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：左边因式分解，得； ∵， ∴，， ∴或， 解得：或； 当时，， ∴； 当时，， ∴． 3．（2023八年级下·湖北黄石·竞赛）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【详解】解：解得， 解得， ∵无解， ∴两个不等式的解集和没有公共部分， ∴， 解得：， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴，且 ∴且 综上：且 所有满足条件的整数a的值之和：． 4．（九年级·香港·竞赛）设a，b，c是非零的数．数和的符号相同．那么以下哪一项肯定是正确的？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【详解】解：∵和的符号相同， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是非零的数， ∴，， ∴， ∴， 根据已知无法判断b、c、、的正负， 故选项A符合题意． 5．（2023八年级下·江苏无锡·竞赛）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 【答案】D 【详解】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得： ， ∴分式的值不变． 6．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．或 D．且 【答案】D 要使分式有意义，则分母不能为0，据此条件解得x的取值． 【详解】解：要使分式有意义，则，且， 即且， 的取值范围是且， 故选：D． 7．（九年级上·上海奉贤·竞赛）已知，，且满足，则代数式的最小值_______； 【答案】 【详解】由题意得 ，，， ∴ ， 设， ∴， ∴， 对配方可得， ∴的最小值为：； ∴代数式的最小值为． 8．（七年级下·安徽合肥·竞赛）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 9．（八年级上·广东东莞·竞赛）先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】， 【详解】解： ， ∵a、b满足， ∴，， ∴，， 当，时， 原式 ． 10．（2023八年级下·四川宜宾·竞赛）要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【详解】解：去分母可得：， 解得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， 解得：， ∵原分式方程的增根为或， 又∵方程的解为负数，故增根不符合题意， 为使原方程有解，还需满足， ∴， 解得：， 综上所述，且． 11．（八年级·贵州遵义·竞赛）小张骑自行车沿街道匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆2路公交车，每隔迎面驶来一辆2路公交车．假设每辆2路公交车行驶速度相同，且2路公交车总站每固定时间发一辆车．则2路公交车总站间隔多长时间发一辆车？ 【答案】 【详解】解：设同向行驶的相邻两车的间距为，发车间隔的时间为，小张骑自行车相邻两车间距所用的时间为，根据题意得： 化简得 ，得 解得． 答：2路公交车总站发车间隔的时间是． 12．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株． (1)请问A，B两种苗木各多少株？ (2)如果学校安排21人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木4株或B种苗木3株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 【答案】(1)A种苗木有240株，B种苗木有360株 (2)应安排7人种植A种苗木，14人种植B种苗木，才能确保同时完成任务 【详解】（1）设A 种苗木有x 株， B 种苗木有y株， 根据题意，得 解得； 答： A种苗木有240株，B种苗木有360株； （2）设安排m 人种植A 种苗木， 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， (人)， 答：应安排7人种植A种苗木，14人种植B种苗木，才能确保同时完成任务 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01分式的基本性质 题型02分式乘法 题型03分式除法 题型04含乘方的分式乘除混合运算 题型05分式混合运算 题型06分式的化简求值 题型07整数指数幂 题型08分式方程 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 分式的基本性质 1．分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 2．化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 3．分式与的最简公分母是________． 4．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 考点二 分式乘法 1．计算：___________． 2．计算： (1)． (2)． 3．计算：． 4．先化简，再求值：，其中． 考点三 分式除法 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算：_________． 3．先化简，再求值：，其中． 4．周末，小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果．那里有两种苹果，甲种苹果每箱净重，售价a元；乙种苹果每箱净重，售价b元．请问：甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？ 考点四 含乘方的分式乘除混合运算 1．化简：______． 2．计算： 3．计算：； 4．计算： (1) (2) 考点五 分式混合运算 1．分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．化简的结果为（     ） A． B． C． D． 4．已知：，． (1)化简； (2)若，试比较、的大小关系． 考点六 分式的化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．化简求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中． 考点七 整数指数幂 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：； 4．计算：； 考点八 分式方程 1．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 2．若关于x的分式方程有增根，则a的值为________． 3．解分式方程： (1)． (2)． 4．为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元． (1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； (2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且此次订购的两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》？ 1．（八年级上·广东东莞·竞赛）若分式方程有增根，则这个增根的值为（    ） A．1 B．3 C． D．3或 2．（2024九年级下·湖南岳阳·竞赛）若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 3．（2023八年级下·湖北黄石·竞赛）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 4．（九年级·香港·竞赛）设a，b，c是非零的数．数和的符号相同．那么以下哪一项肯定是正确的？（   ） A． B． C． D． E． 5．（2023八年级下·江苏无锡·竞赛）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 6．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．或 D．且 7．（九年级上·上海奉贤·竞赛）已知，，且满足，则代数式的最小值_______； 8．（七年级下·安徽合肥·竞赛）计算： 9．（八年级上·广东东莞·竞赛）先化简，再求值：，其中a、b满足． 10．（2023八年级下·四川宜宾·竞赛）要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 11．（八年级·贵州遵义·竞赛）小张骑自行车沿街道匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆2路公交车，每隔迎面驶来一辆2路公交车．假设每辆2路公交车行驶速度相同，且2路公交车总站每固定时间发一辆车．则2路公交车总站间隔多长时间发一辆车？ 12．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株． (1)请问A，B两种苗木各多少株？ (2)如果学校安排21人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木4株或B种苗木3株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $