第二章 有理数及其运算 （卷二）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 北师大版七年级上有理数单元培优卷，通过文化传承（刘徽注《九章算术》）、科技情境（二进制转换）及实际问题（客流量统计、盈利计算），融合抽象能力、运算能力与数据意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|有理数概念（非负数判断）、运算（倒数）、数轴应用|结合数学史（刘徽正负数注）、生活情境（红薯干质量比较）| |填空题|5/20|科学记数法、新定义运算、数轴性质|融入社会热点（九寨沟游客量）、机器人运动情境| |解答题|10/90|混合运算、实际问题（客流量/盈利计算）、绝对值应用|分层设计：基础运算（题16）、过程纠错（题6）、综合探究（绝对值最小值），体现模型意识与推理能力|

2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第二章 有理数及其运算（卷二） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.在（－1），－2 ，－，0，，中，非负数的个数是（       ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】 B 【解析】 此题考查了有理数的分类，根据非负数的定义进行判断即可. 【解答】 解：在 0， 中， 0， 是非负数，共3个， 故选：B  2.刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑。”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作+300元，则亏损100元应记作（        ） A.+200元 B.-200元 C.+100元 D.-100元 【答案】 D 【解析】 利用具有相反意义的量判断 【解答】 盈利与亏损时具有相反意义，若若盈利300元记作+300元，那么亏损100元应记作-100，所以D符合题意。 故选：D.  3.的倒数是（        ） A.2027 B. C. D.2026 【答案】 B 【解析】 根据乘积为1的两个数互为倒数进行判断即可. 【解答】 解：， 的倒数是 . 故选：B.  4.某红薯干选用山区无公害优质鲜红薯为原料，经传统工艺和现代技术相结合加工而成，闻名遐迩．若每筐标准质量为，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，下面四筐中最接近标准质量的一筐是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了绝对值和正数和负数的应用，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】 解： ，，，， ， 最接近标准质量的一筐是， 故选：．  5.如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC=2,OA=2OB,若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（       ） A.-2（m+2） B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由C点表示的数为m可得OC=-m，再根据OA=2OB求出OB的长度即为B点表示的数. 【解答】 ∵ C点所表示的数为m ∴ OC=0-m=-m ∴ OA=OC+AC=2-m 又∴ OA=2OB ∴ OB= ∵ B点在原点右侧， ∴ B点表示的数为 故选D. 6.学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（       ） ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了有理数的加减法，根据有理数的减法运算法则判断出②错误，然后进行计算即可得解，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解决此题的关键． 【解答】 ① ② ③ ④ 错在②的第二个括号内的运算， 故选：．  7.计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（       ） A.23 B.22 C.18 D.31 【答案】 A 【解析】 本题考查了有理数的混合运算，根据题中二进制数化为十进制数的方法计算即可. 【解答】 解：根据题意得： . 故选：A.  8.如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（       ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】 B 【解析】 本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于，然后根据绝对值的性质即可求解． 【解答】 解：， 之间距离小于， ， 原点不在之间， 原点是或． 故选：．  9.已知，互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数之和为，互为倒数的两数之积为，绝对值最小的负整数为，得到，整体代入代数式进行计算即可． 【解答】 解：由题意，得：， ； 故选．  10.已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（       ） ①，； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，数轴以及绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握数形结合的思想. ①利用绝对值和平方的非负性进行求解即可； ②利用线段中点的定义进行判断即可； ③画出图形，利用线段的和差进行判断即可； ④借助数轴，令点O对应数轴上的实数为0，假设点B对应数轴上的实数为x，表示出相关点对应的数，利用两点之间的距离表示出线段MN的长度即可. 【解答】 解： b=2, 故 ①正确； ②当点B与点O重合时， AC = OA - BC = 4 - 2 = 2 = OC , 点C恰好为线段OA的中点， 故 ②正确； ③如图所示，点B与点A重合， (B) 故 ③正确； ④如图所示，令点 对应数轴上的实数为0，则点 对应数轴上的实数为4， 假设点B对应数轴上的实数为x，则点C对应数轴上的实数为 点M为线段OB的中点， 点M对应数轴上的实数为 点N为线段AC的中点， 点N对应数轴上的实数为 线段MN的长度为 线段MN的长度不变， 故 ④正确； 综上，正确选项为 故选：D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）  11.根据官方公布的数据，截至2025年10月24日，九寨沟景区当年的游客接待量已突破6000000人次，创下了其对外开放40余年来的历史新高，6000000用科学记数法表示为___ _____． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：  12.已知□表示最小的自然数，表示最大的负整数，那么□的值为________． 【答案】 【解析】 先根据□表示最小的自然数，表示最大的负整数，即可得到□表示，表示，再代入□进行求解即可． 【解答】 解：∵ □表示最小的自然数，表示最大的负整数， ∴ □表示，表示， ∴ □ . 故答案为：．  13.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是____④____（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】 ④ 【解析】 根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可. 【解答】 解：由数轴可知， 对于①，a在原点左侧，，故①错误 对于②，，根据有理数加法法则，，故②错误 对于③，，故③错误 对于④，，根据有理数乘法法则，，故④正确 综上所述，结论正确的是④  14.机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是___或 _____． 【答案】 或 【解析】 本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出M，N表示的数分别为 和3，根据题意得出乙所在位置表示的数为 ，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解. 【解答】 解：根据数轴可得M，N表示的数分别为 和3， 乙的速度是平均每秒 个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， 此时甲所在位置表示的数是 或 故答案为： 或 . 15.定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第次“运算”的结果是___1_____． 【答案】 【解析】 根据新定义规定的运算法则分别计算出第、、、…、次的运算结果，即可发现从第次开始，每次运算为一个周期循环，据此可得． 【解答】 解：本题提供的“运算”， 需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算， 由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数）， 需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第次运算结果为，， 第次运算结果为， 第次运算结果为，， 可以发现第次运算结果为， 第次运算结果为， 从第次运算结果开始循环， 且奇数次运算的结果为，偶数次为， 而第次是偶数， 这样循环计算一直到第次“运算”， 得到的结果为． 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（9分）计算 (1)； (2）； (3)． 【答案】 【解析】 利用有理数运算法则及相关运算性质解答。 【解答】 解：（1） （2） （3） . 17.（5分）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则的值为多少？ 【答案】 解：根据题意，得 ，，． 则 ． 【解析】 根据，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是可先求出它们的值，再求代数式的值． 【解答】 解：根据题意，得 ，，． 则 ．  18.(8分) 如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：，，，． （1）请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； （2）将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据各数及数轴的特点表示各数； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数比较大小． 【解答】 （1）解：，． 将各数表示在数轴上： ； （2）解：由数轴可得，． 19.(8分) 对于任意有理数，定义一种新运算：． （1）若，，求的值； （2）求的值． 【答案】 【解析】 （1）根据新运算的定义，代入 ，计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算 ，再计算 即可. 【解答】 （1）解： ，， （2）解：   20.(8分) 如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】 【解析】 （1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可. 【解答】 （1）解：根据题意，得 （2）解：根据题意，得 ， 原式 . 21.(10分) 某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 （1）10月3日的客流量比10月1日的客流量少____13_______万人；在10月1日至10月8日期间，10月_____7______日客流量最多，10月______4_____日客流量最少； （2）通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】 13，7，4 少4万人 【解析】 （1）分别计算出各天的人数即可求解. 【解答】 （1）解：1日：20； 2日：20-3=17； 3日：17-10=7； 20-7=13； 10月3日的客流量比10月1日的客流量少13万人； 4日：7-3=4； 5日：4+2=6； 6日：6+8=14； 7日：14+7=21； 8日：21-5=16； 21>20>17>16>14>7>6>4， 7日的客流量最多，4日的客流量最少； 故答案为：13，7，4， （2）解：20-16=4， 10月8日的客流量比10月1日的客流量少4万人.  22.(10分) 把足够大的一张厚度为的纸连续对折（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），要使对折后的整叠纸的厚度是．则 （1）应对折多少次？ （2）有多少条折痕？ （3）对折次时有多少条折痕？ 【答案】 7 127 【解析】 （1）设对折次，根据题意可得求解出即可解答; （2）根据对折1次的折痕数为1条，对折2次的折痕数为3条，对折3次的折痕数为7条…，进行规律分析即可求解; （3）由(2)可得解. 【解答】 （1）解：设对折次，纸张厚度为. 由题意得 解得, 答：应对折7次; （2）解： 对折1次的折痕数为1条, 对折2次的折痕数为3条, 对折3次的折痕数为7条, 对折4次的折痕数为15条, 折痕数的规律为：， 当时，折痕数为. 答：有127条折痕; （3）解：由(2)可得对折次时，折痕数为. 23.(10分) 阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 【答案】 【解析】 （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可. 【解答】 （1）解：12.6拆为 ，-5.23拆为 故答案为：   24.(10分) 某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 （1）开学第一月中，最小销售量是第___四___周，销售量最高的那周销售额是__1026____元． （2）开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） （3）为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 【答案】 四，1026 826元 饭堂更希望方案一卖出 【解析】 （1）根据正负数的意义找出最小销售量对应的周次，再计算销售量最高周的销售额即可. （2）先计算每周实际销售量，再利用盈利公式（盈利 （售价-成本） 总销售量）计算总盈利. （3）分别计算两种方案下饭堂的利润，通过比较利润大小确定饭堂更倾向的方案. 【解答】 （1）解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周， 销售量最高的是第一周，实际销售量为 （块） 销售额为 （2）解：计算每周实际销售量第一周： （块） 第二周： （块） 第三周：200-6=194（块） 第四周：200-12=188（块） 总销售量为228+216+194+188=826（块） 每块面包的盈利为4.5-3.5=1（元） 总盈利为 （元） 答：开学第一月的总盈利是826(元) （3）解：方案一：每块面包售价为6-0.3=5.7(元) 饭堂的利润为 （元） 方案二：3块面包的利润为 （元） 超过3块的数量为7-3=4（块） 这4块面包的售价为 （元） 这4块的利润为 （元） 总利润为 （元） 饭堂更希望方案一卖出  25.(12分) 【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为__5____； ②若，则___2或8___； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴ ，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴ ，即． ∴ 当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】 ①5; ②2或8; 5; 会议地点应设在第4或5层 【解析】 （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案; ②根据绝对值几何意义解答即可; （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可; （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可. 【解答】 （1）①由条件可知距离是. 故答案为: 5. ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3, 或, 解得: 或, 故答案为: 8或2. （2）记点P, A, B, C分别表示数x, , , 2, 点P、点A的距离, 点P、点B的距离, 点P、点C的距离. 当点P在点A的左边, 即时，此时, , . , 即; 当点P与点A重合时, , 即; 当点P在线段AB上, 即时，此时, . , 即; 当点P与点B重合时, , 即; 当点P在线段BC上, 即时, 此时, . , 即; 当点P与点C重合时, , 即; 当点P在点C的右边时, 即时, 此时, , . , 即. 当时, 有最小值, 最小值为5. 故答案为: 5. （3）设会议地点应设在第x层, 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为, 可以拆分为, 即x到这12个数的距离和最小, 这12个数正中间的两个数为4和5, 当时, 有最小, 又为正整数, 当或时有最小. 故答案为: 会议地点应设在第4或5层. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第二章 有理数及其运算（卷二） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.在（－1），－2 ，－，0，，中，非负数的个数是（       ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个  2.刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑。”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作+300元，则亏损100元应记作（        ） A.+200元 B.-200元 C.+100元 D.-100元  3.的倒数是（        ） A.2027 B. C. D.2026  4.某红薯干选用山区无公害优质鲜红薯为原料，经传统工艺和现代技术相结合加工而成，闻名遐迩．若每筐标准质量为，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，下面四筐中最接近标准质量的一筐是（       ） A. B. C. D.  5.如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC=2,OA=2OB,若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（       ） A.-2（m+2） B. C. D. 6.学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（       ） ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④  7.计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（       ） A.23 B.22 C.18 D.31  8.如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（       ） A.或 B.或 C.或 D.或  9.已知，互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，则的值为（       ） A. B. C. D.  10.已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（       ） ①，； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）  11.根据官方公布的数据，截至2025年10月24日，九寨沟景区当年的游客接待量已突破6000000人次，创下了其对外开放40余年来的历史新高，6000000用科学记数法表示为___ _____．  12.已知□表示最小的自然数，表示最大的负整数，那么□的值为________．  13.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④．  14.机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是________． 15.定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第次“运算”的结果是_______． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（9分）计算 (1)； (2）； (3)． 17.（5分）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则的值为多少？ 18.(8分) 如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：，，，． （1）请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； （2）将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来． 19.(8分) 对于任意有理数，定义一种新运算：． （1）若，，求的值； （2）求的值． 20.(8分) 如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 21.(10分) 某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 （1）10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； （2）通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 22.(10分) 把足够大的一张厚度为的纸连续对折（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），要使对折后的整叠纸的厚度是．则 （1）应对折多少次？ （2）有多少条折痕？ （3）对折次时有多少条折痕？ 23.(10分) 阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：．   24.(10分) 某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 （1）开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． （2）开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） （3）为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 25.(12分) 【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴ ，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴ ，即． ∴ 当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第二章 有理数及其运算（卷二） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.在（－1），－2 ，－，0，，中，非负数的个数是（       ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个  2.刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑。”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作+300元，则亏损100元应记作（        ） A.+200元 B.-200元 C.+100元 D.-100元  3.的倒数是（        ） A.2027 B. C. D.2026  4.某红薯干选用山区无公害优质鲜红薯为原料，经传统工艺和现代技术相结合加工而成，闻名遐迩．若每筐标准质量为，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，下面四筐中最接近标准质量的一筐是（       ） A. B. C. D. 5.如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC=2,OA=2OB,若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（       ） A.-2（m+2） B. C. D.  6.学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（       ） ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④  7.计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（       ） A.23 B.22 C.18 D.31  8.如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（       ） A.或 B.或 C.或 D.或  9.已知，互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，则的值为（       ） A. B. C. D.  10.已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（       ） ①，； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）  11.根据官方公布的数据，截至2025年10月24日，九寨沟景区当年的游客接待量已突破6000000人次，创下了其对外开放40余年来的历史新高，6000000用科学记数法表示为________．  12.已知□表示最小的自然数，表示最大的负整数，那么□的值为________．  13.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④．  14. 机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是________． 15.定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第次“运算”的结果是________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）  16.（9分）计算 (1)； (2)； (3)．  17.（5分）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则的值为多少？ 18.(8分) 如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：，，，． （1）请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； （2）将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来． 19.(8分) 对于任意有理数，定义一种新运算：． （1）若，，求的值； （2）求的值． 20.(8分) 如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 21.(10分) 某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 （1）10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； （2）通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 22.(10分) 把足够大的一张厚度为的纸连续对折（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），要使对折后的整叠纸的厚度是．则 （1）应对折多少次？ （2）有多少条折痕？ （3）对折次时有多少条折痕？ 23.(10分) 阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 24.(10分) 某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 （1）开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． （2）开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） （3）为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出?  25.(12分) 【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴ ，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴ ，即． ∴ 当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 学科网（北京）股份有限公司 $