专题1.4.1 空间向量应用（一）专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

**基本信息** 以空间向量工具性应用为主线，通过7类题型系统覆盖平行垂直证明，构建“法向量基础-线面关系证明”的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求平面的法向量|4题|结合坐标系与向量运算求法向量|法向量是后续证明的基础工具| |线线平行证明|3题|利用方向向量共线证明|从线线到线面再到面面，逐步递进| |线面平行证明|5题|方向向量与法向量垂直或线线平行|体现空间几何关系转化| |面面平行证明|4题|法向量共线或线面平行|构建平行关系证明体系| |线线垂直证明|4题|方向向量数量积为0|垂直关系证明的基础| |线面垂直证明|7题|方向向量与法向量共线或线线垂直|综合应用向量垂直条件| |面面垂直证明|5题|法向量数量积为0或线面垂直|完善垂直关系证明体系|

专题1.4.1 空间向量应用（一）（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··求平面的法向量 1 题型 2·利用空间向量证明线线平行 3 题型 3·利用空间向量证明线面平行 5 题型 4·利用空间向量证明面面平行 11 题型 5·利用空间向量证明线线垂直 17 题型 6·利用空间向量证明线面垂直 20 题型 7·利用空间向量证明面面垂直 29 题型 1··求平面的法向量 1．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 2．若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面法向量与平面内向量垂直，即且，设，求得关系后判断. 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 3．已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可求得，进而利用线面垂直可求得，的值. 【详解】因为，，， 所以，解得，所以. 因为，且平面， 所以， 解得，， 所以. 故选：D. 4．已知向量，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设平面的一个法向量为，结合法向量的定义得出应满足的条件，进而判断即可. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，即，即， 所以满足上述条件的只有A符合. 故选：A. 题型 2·利用空间向量证明线线平行 5．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明: 证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以． 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】略.   6．已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】略 7．如图，在平行六面体中，设向量，向量，向量，M，N分别是棱的中点．    (1)用向量表示向量、向量、向量； (2)证明． 【答案】(1)，， (2)证明见详解 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）由（1）知，根据向量关系即可证得． 【详解】（1）在平行六面体中， ， M，N分别是棱的中点， ， ， （2）证明：由（1）知， 又不共线， 所以． 题型 3·利用空间向量证明线面平行 8．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】略. 9．已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线 平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3) 由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线 平面. 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）略 10．如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1) 在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. (2)存在 由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， AI则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 【分析】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】（1）略 （2）略 11．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2) 证明：，则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2）略 12．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【答案】证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； 【详解】略 题型 4·利用空间向量证明面面平行 13．如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明：取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． (2)证明：因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 【分析】（1）取基底，根据图形将与用向量表示出来，进而可推出，从而得证； （2）要证明面面平行，首先要证线线平行，由（1）知，只需证明即可，方法同（1），用向量表示出与的线性关系；结合，即可证明结论. 【详解】（1）略； （2）略. 14．在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1) 以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. (2) 设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． (3) 证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 15．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时 平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为 ，所以平面 平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时， 平面. 16．如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）略 （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 题型 5·利用空间向量证明线线垂直 17．如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明：因为，，， 所以，. 由（1）得 ， 所以，即． (3) 【分析】（1）利用空间向量的加减法，将目标向量分解为基底向量的线性组合； （2）将两向量表达式代入数量积，利用已知边长和夹角展开计算，由点积为零证明垂直； （3）计算目标向量模的平方，展开后代入已知数据，开方得长度． 【详解】（1）在中，由空间向量的减法运算，得.    ． （2）略． （3）由（1）知， 所以 ，         所以． 18．如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 19．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】 证明：由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】略 20．如图，在平行六面体中，所有棱长均为1，底面为正方形，，记． (1)求证：； (2)求和夹角的余弦值． 【答案】(1) 因为， 且， 所以， 所以. (2) 【分析】（1）用表示出向量，求其数量积可证； （2）用表示出目标向量，求出其模长和数量积，代入向量夹角公式可得. 【详解】（1）略 （2）解：因为，， 所以， . 又， 所以. 题型 6·利用空间向量证明线面垂直 21．如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1)， (2) ，，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 【分析】（1）根据向量的加法可得，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可. （2）结合向量的数量积得到，，可得，，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2）略 22．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为BC的中点，为上底面的中心． (1)证明：平面ABC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)以 为坐标原点， 所在平面 为 平面， 建立空间直角坐标系. 由题意可取. 设. 因为 ， 所以.(1) 又. 由 ，得即.(2) 同理， 由 ， 得即.(3) 由(2)，(3)联立可得. 代入(1)，得. 因为 在平面 的上方， 所以. 故. 于是. 因为 为上底面 的中心，所以. 所以. 而平面 的方程为 ， 其一个法向量为 . 因此 ，从而. (2). 【分析】（1）由已知条件中既有长度关系，又有线面位置关系与角度关系，故可建立空间直角坐标系求解. 取 为原点, 所在平面 为 平面，先求出点 的坐标，再由向量 的方向判断其与平面 的垂直关系. （2）在第(1)问所建坐标系的基础上，先求平面 与平面 的法向量， 再利用两个法向量所成角的余弦值求得两平面的夹角余弦值. 【详解】（1）略 （2）由点的坐标可知， 平面 上各点的 坐标都为 ， 故平面 的一个法向量可取为. 又 . 故平面 的一个法向量可取为. 于是两平面的夹角 满足. 故平面 与平面 的夹角的余弦值为. 23．在长方体中，，，，，．求证：面； 【答案】方法一：如图，过点作//，交于点，则有，． 连接，则四点共面，平面即平面． 由，，可得与相似， 所以，则可得，所以． 长方体中，平面， 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． 方法二： 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系． 则． 所以． 所以， 所以，即． 又，平面，所以平面． 【分析】方法一:几何法通过作辅助线，结合相似三角形以及长方体的垂直性质，证明垂直于平面内两条相交直线； 方法二:向量法建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0得到线线垂直，完成证明。 【详解】略 24．如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 【答案】以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点， 则：， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法可证，，然后由线面垂直判定定理可得平面. 【详解】略. 25．如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【答案】(1) (2)证明：由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得； （2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直. 【详解】（1）以，，为空间向量的基底， 则， 则 ； （2）略 26．如图，在四棱柱中，四边形是菱形，是棱的中点．设． (1)用表示； (2)证明：平面． 【答案】(1)， (2)证明:因为， 所以． 由（1）可证， 则， 故，即． 因为， 所以， 所以，即． 因为平面平面，且，所以平面． 【分析】（1）结合空间向量的加减运算法则，根据空间向量基本定理用基底表示向量即可. （2）利用空间向量的数量积运算律求得，，则有，．然后利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为E是棱的中点，所以， 则． 连接，因为四边形是菱形，所以四边形是菱形，所以， 则． （2）略. 27．如图，在平行六面体中，，．设，，．    (1)用基底表示向量； (2)求异面直线与所成的夹角； (3)证明：平面． 【答案】(1)． (2) (3)证明如下： ， 和（2）同理可得，即， ∵，，平面，， ∴平面． 【分析】（1）利用向量加法法则即可求解； （2）判断即可； （3）和（2）同理证明，根据线面垂直判定定理即可证明． 【详解】（1）已知，，， ∴； （2）∵， ∴ ∵ ，∴， ∴异面直线与所成的夹角为； （3）略 题型 7·利用空间向量证明面面垂直 28．如图，已知正四棱柱中，是的中点. (1)证明： 平面； (2)设，若在线段上存在点，使得平面平面，试确定点的位置. 【答案】(1)取中点，连接，因为，且， 所以是平行四边形，则， 又，且，所以为平行四边形，则与相交， 且交点为线段与的中点，记， 又，且，所以为平行四边形，则与相交， 且交点为线段与的中点，所以，则平面， 平面，所以 平面. (2)点与点重合 【分析】（1）取中点，连接，利用正四标柱的性质得，再利用几何关系可得平面，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）略 （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，设， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 因为平面平面，则，所以， 解得，所以点与重合. 29．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 30．如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）略 31．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】 如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】略 32．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形，，三棱锥的体积为，平面与平面垂直.    (1)求直线EF到平面的距离； (2)求证：平面⊥平面. 【答案】(1) (2)证明：四边形是等腰梯形，四边形ABCD是边长为1的正方形，， 则, 以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， , 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 则，即， 故平面⊥平面. 【分析】（1）作，证明到平面的距离即为的长，即得三棱锥的高等于的长，利用三棱锥的体积，即可求得答案； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间位置的向量证明方法，即可证明结论. 【详解】（1）在平面内作，垂足为Z，四边形是等腰梯形， 则,故； 因为平面与平面垂直，平面平面， 且平面，故平面， 而，平面,平面，故平面， 则到平面的距离即为的长， 即E点到平面的距离即为的长，即三棱锥的高等于的长， 三棱锥的体积为，且四边形ABCD是边长为1的正方形， 则，则, 即直线EF到平面ABCD的距离为； （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.4.1空间向量应用（一)（专题训练) 【人教A版(2019)】 题型归纳 题型1…求平面的法向量.1 题型2利用空间向量证明线线平行… 2 题型3·利用空间向量证明线面平行… .3 题型4利用空间向量证明面面平行… ..5 题型5·利用空间向量证明线线垂直..… 6 题型6利用空间向量证明线面垂直… …8 题型7·利用空间向量证明面面垂直 .11 题型1…求平面的法向量 1.△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=1,OB=4,OC=2.则平面ABC的一个法向 量是() A.4,2,1 c.221 D.-1,2,-4 2.若A,B,C为平面a内相异三点，且AB=2,-1,-1,AC=0,1,-2,则平面C的一个法向量可 以是() A.3,3,2 B.3,4,2 c.3,3,3 D.1,3,2 1/14 3.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB1BC,PB=(x-1,y,-3,且PB⊥平面ABC,则 PB=() A9,号4 B. 953 c男94 4.己知向量AB=(-1,1,1),AC=(1,-1,0,则平面ABC的一个法向量n=() A.（1,1,0 B.（1,-1,0 c.(1,1,2 D.（-1,1,2) 题型2·利用空间向量证明线线平行 5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD,E为CP的中点，N为 DE的中点，DM=DB,DA=DP=1,CD=2,求证：MN∥AP. 9 B 6.已知棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1在空间直角坐标系中的位置如图所示，D,E,F,G分别为 棱O1A1,A1B1,BC,OC的中点，求证：DE∥GF D E B 0---- G A B 2/14 7.如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，设向量范=a向量AD=方向量AA,=MN分 别是棱A1D1、C1D1的中点. B A M D (4用向量a,6,表示向量AC、向量M向量A应 (2)证明MN/∥AC. 题型3·利用空间向量证明线面平行 8.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=1, 点E是PD的中点，求证：直线PBII平面AEC; 9.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，以D为原点，分别以DA:DCDD,为xy'2轴建 立空间直角坐标系. C (1)写出点A1,B,C1的坐标： B (2)求平面A1BC1的一个法向量： 3/14 D B (3)证明：直线AD1/平面A1BC1. 10.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1/AB,AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形 AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使平面AA1C1C⊥平面AA1B,B, M为线段BC的中点，P为线段BB上的动点. A B M (1)求证：AC⊥AB: (2)是否存在点P,使得直线A1CII平面AMP?请说明理由. 11.如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2. ZA D B (1)求平面ACD1的法向量 (2)线段BC中点为点P,求证A1P∥平面ACD1. 4/14 12.如图，在直三棱柱ABC-A1BC1中，AC⊥AB,点D、E、F分别为A1B1,AA1,CD的中点， AB=AC=AA1=2.求证：EF/平面ABC; E >B B 题型4利用空间向量证明面面平行 13.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，E,F,G分别是AD,DD,DC的中点，请选择恰 当的基向量证明： D G A D (1)EG/1AC; (2)平面EFG//平面ABC. 14.在正方体ABCD-AB,C,D,中，若O,为AC口，中点：O,为AC中点. 5/14 D 求证： (B0,11D,02 (2)B0,/平面ACD,: (3)平面ACD1/1平面BA1C1 15.如图，长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2 D (1)求证：平面A1C1B/平面ACD1; (2)线段BC上，是否存在点P,使得A1P/1平面ACD1 16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2. B (1)求证：平面AC1B/平面ACD1.(使用向量方法) (2)线段BC上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1？若存在，求出点P的位置：若不存在，请说明 理由 6/14 题型5·利用空间向量证明线线垂直 17.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=2,AA=4, ∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°. D )以范A心AA为基底向量，表示向量DAC: (2)求证：BD⊥AC: (3)求AC的长. 18.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1,∠BCA=60°，棱AA1=2, MN分别是AB、A1A的中点. M N C (1)求BN的长： (2)求证：A1B⊥C1M 19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2AC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AC, CC1,A1B1的中点，点G在棱BB1上，且BG=3BG.证明：DF⊥EG 7/14 B G E B C 20.如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，所有棱长均为1，底面ABCD为正方形， ∠BAA1=∠DAA1=60,记AB=0,AD=b,AA,=C D A B A B (1)求证： BDLAC, 2)求A元和AB夹角的余弦值. 题型6·利用空间向量证明线面垂直 21.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2, 8/14 ∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60°： D B A B 用AB,AD,AA,表示AC:并求AC的长： (2)求证：A1C⊥平面BDD1B1. 22.如图，三棱柱ABC-A,B,C,中，底面是边长为2的正三角形，∠BAA,=∠CAA1=60'AA,=1' E为BC的中点，F为上底面△A1B1C1的中心. C (1)证明：EF⊥平面ABC: (2)求平面A,EF与平面A1C1E的夹角的余弦值. 23.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=3,AD=4,A1E=3ED1,2C1F=FC.求证： 9/14 BD⊥面CEF; D U B1, F 24.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD,AP=AB=2,AD=4,E是侧棱 PB的中点.求证：AE⊥平面PBC; P E 25.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=45°， ∠BAD=60°. D A B A-- (1)求D1B的长； (2)求证：直线B1D1⊥平面ACC1A1. 10/14 26.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形， ∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60°，AB=2,AA1=6,E是棱CC1的中点.设 AB=a,AD=b,AA=c D C B 1用a,6,表示B配，A1E (2)证明：A1E⊥平面BDE. 27.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，∠BAD=∠BAA=∠DAA,AB=AD=AA.设 AB=a'AD=b'AA=c D D B 11/14 ()用基底a,6,2表示向量AC: (2)求异面直线AC与BD所成的夹角： (3)证明：AC⊥平面ABD. 题型T·利用空间向量证明面面垂直 28.如图，已知正四棱柱ABCD-A1BC1D1中，AB=BC=2,AA1=b,E是BC的中点. D B A D E (1)证明：CD1/平面AEC1: (2)设b=2,若在线段BB1上存在点M,使得平面AMC1⊥平面AEC1,试确定点M的位置. 29.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,∠CAB=90°，AB=AC=2,AA1=3,M 为BC的中点，P为侧棱BB上的动点. 12/14 C M (1)求证：平面AMP⊥平面BBC1C: (2)试判断是否存在P,使得直线BC1⊥AP.若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由. 30.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=2. E (1)求平面DEA的法向量 (2)求证：平面DEA⊥平面ECA. 31.如图所示，在直三棱柱ABC-A1BC1中，C,C=CB=CA=2,AC⊥BC,D,E分别为棱 CC,BC1的中点.证明：平面ACE⊥平面A1BD B C 32.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形ABEF是等腰梯形，AB/1EF,AF=1,三棱锥 13/14 3 A-BCE的体积为12， 平面ABCD与平面ABEF垂直. F E A B C (1)求直线EF到平面ABCD的距离； (2)求证：平面ADFL平面ACE. 14/14