重难专题01 空间向量的概念及应用（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量概念为起点，通过“概念-定理-坐标-应用”递进逻辑，覆盖4大考点10类题型，实现从基础运算到线面关系证明的系统突破，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量的概念及运算|4题型19题|聚焦概念辨析、线性运算及共线共面判定|从向量基本属性到共线共面定理，构建空间向量基础框架| |空间向量的基本定理|2题型10题|考查基底选择及长度夹角计算（标注“难”）|衔接向量运算与度量问题，深化基底思想| |空间向量的运算坐标表示|2题型14题|围绕坐标系建立及坐标运算（标注“高频”）|将几何问题代数化，提供量化工具| |用空间向量研究线面关系|2题型13题|重点突破平行垂直证明（标注“重”）|实现向量工具在立体几何中的综合应用|

专题01空间向量的概念及应用 常考题型·精准突破 考点一 ：空间向量的概念及运算 题型1 空间向量的概念 题型2空间向量的线性运算（重） 题型3空间向量共线的判定与性质 题型4空间向量共面的判断与性质（高频） 考点二：空间向量的基本定理 题型1 空间向量的基底向量选择 题型2空间向量求长度和夹角（难） 考点三：空间向量的运算坐标表示 题型1 空间直角坐标系及距离公式 题型2空间向量运算坐标之数量积、模、夹角等（高频） 考点四：用空间向量研究直线、平面的关系 题型1 用空间向量证明线、面平行关系（重） 题型2 用空间向量证明线、面垂直关系（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 空间向量的概念及运算 题型1 空间向量的概念 1．关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 3．下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 题型2 空间向量的线性运算 5．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 6．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 7．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 8．在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用重心的性质得出，再利用向量的加减法计算求出，判断选项A；利用中点的性质计算，判断选项B；计算判断选项C；计算判断选项D． 【详解】 选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则， ， ， ，故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点， ，故D正确． 故选：ABD． 9．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 题型3 空间向量共线的判定与性质 10．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 11．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 12．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 题型四：空间向量共面的判断与性质 13．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 14．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 15．已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 16．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 17．已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 18．三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解． 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得． 故选：D． 19．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 考点二：空间向量的基本定理 题型1 空间向量的基底向量选择 20．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 21．已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 22．已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 题型二：空间向量求长度和夹角 23．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 24．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 25．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 26．如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 27．在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 28．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 考点三 空间向量的运算坐标表示 题型1 空间直角坐标系及距离公式 29．点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 30．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定对称点的坐标，由两点间距离公式即可求解. 【详解】关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为， 则. 故选：B 31．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 32．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 33．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 34．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则点到平面的距离为． 题型2空间向量运算坐标之数量积、模、夹角等 35．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 36．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 37．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 38．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 39．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 40．已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 41．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 考点四 用空间向量研究直线、平面的关系 题型1 用空间向量证明线、面平行关系 42．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 43．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 44．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 45．在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 题型2 用空间向量证明线、面垂直关系 46．已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出平面的法向量，结合向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】设， 则，即，令，则，所以. 因为，所以，即，整理得， 解得. 47．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 48．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可. 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 49．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直时，直线与平面的法向量共线，即可得解. 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 50．下列命题中正确的有（    ） A．直线的方向向量，平面的法向量，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则． 【答案】BCD 【分析】由空间位置关系的向量证明判断A、B；利用线面角的向量求法可判断C；利用平面的法向量的性质可判断D. 【详解】对于A：， ，或，故A错误； 对于B：两个不同的平面，的法向量分别是，， 且，所以，故B正确； 对于C：是平面的法向量，是直线的方向向量，若， 设直线与平面所成角为，则， 得，即直线与平面所成角为，故C正确； 对于D：由题可得，，若向量是平面的法向量， 则有，得，则，故D正确． 故选：BCD. 51．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 52．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 【答案】 【分析】根据直线与平面的位置关系知，当时，直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量共线关系即可求得. 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，所以，所以，解得. 故答案为：. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 【答案】B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 2．已知空间四点，，，共面，则x为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】求得的坐标，根据题意可知存在实数使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于的方程组，进而可求得实数的值. 【详解】依题意得， 因为四点共面，所以共面， 所以存在实数使得， 即，所以，解得. 故选：D. 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 二、多选题 4．下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 5．已知空间向量，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点E在平面ABC内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】BCD 【分析】应用空间向量数量积坐标公式计算判断A，应用投影向量公式计算判断B，利用空间向量共面的推论判断C即可，应用空间向量的关系得出平行再计算模长判断D. 【详解】对于A，因为空间向量，， 则，A错误； 对于B，在上的投影向量为，B正确； 对于C，若向量，， 可知四点共面，即点E在平面ABC内，故C正确； 对于D，设，向量， 则与平行，且 所以向量是与平行的一个单位向量，D正确； 故选：BCD. 6．若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 7．下列说法正确的是（    ） A．若向量与共线，与共线，则与共线 B．若G是四面体的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【分析】利用向量共线、重心性质、四点共面条件及基变换等知识逐一判断每个选项即可. 【详解】选项A：若向量 ，则 与 共线， 与 共线，但 与 不一定共线，故A错误. 选项B：若 是 的重心，则 ，故B正确. 选项C：若 四点共面，则存在实数 使得 且 ，这里 ，故四点不共面，C错误. 选项D：已知 ，在基底 下，设 ，则： 所以，解得 ，故坐标为 ，D正确. 故选：BD 8．在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用重心的性质得出，再利用向量的加减法计算求出，判断选项A；利用中点的性质计算，判断选项B；计算判断选项C；计算判断选项D． 【详解】 选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则， ， ， ，故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点， ，故D正确． 故选：ABD． 9．如图，平行六面体的棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（     ）    A．，，，四点共面 B．在上的投影向量为 C．直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由向量的夹角公式计算可判断C；由的线性运算后再平方可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接，      因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C， ， 因为异面直线所成角的范围为， 故直线与所成角的余弦值为，故C不正确； 对于D，， ， 则，故D正确． 10．在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 三、填空题 11．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 12．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 【答案】 【分析】依题意可根据单位向量设出，根据条件求出，再设出，分别求出，再求出模长. 【详解】对任意，且等号能成立，则到组成平面的最短距离为. 设，由，，得. 设，则最短距离，故. 由得； 代入，得，解得. . 四、解答题 13．在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】(1) (2), 2 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01空间向量的概念及应用 常考题型·精准突破 考点一 ：空间向量的概念及运算 题型1 空间向量的概念 题型2空间向量的线性运算（重） 题型3空间向量共线的判定与性质 题型4空间向量共面的判断与性质（高频） 考点二：空间向量的基本定理 题型1 空间向量的基底向量选择 题型2空间向量求长度和夹角（难） 考点三：空间向量的运算坐标表示 题型1 空间直角坐标系及距离公式 题型2空间向量运算坐标之数量积、模、夹角等（高频） 考点四：用空间向量研究直线、平面的关系 题型1 用空间向量证明线、面平行关系（重） 题型2 用空间向量证明线、面垂直关系（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 空间向量的概念及运算 题型1 空间向量的概念 1．关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 3．（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 题型2 空间向量的线性运算 5．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 8．（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 题型3 空间向量共线的判定与性质 10．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 11．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 12．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：空间向量共面的判断与性质 13．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 14．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 15．已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 16．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 18．三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 19．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 考点二：空间向量的基本定理 题型1 空间向量的基底向量选择 20．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 21．已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 22．已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二：空间向量求长度和夹角 23．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 24．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 25．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 26．(多选)如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 27．在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 28．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    考点三 空间向量的运算坐标表示 题型1 空间直角坐标系及距离公式 29．点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（   ） A． B． C． D． 31．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 32．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 33．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 34．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型2空间向量运算坐标之数量积、模、夹角等 35．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 36．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 37．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 38．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 39．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 40．已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 41．（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 考点四 用空间向量研究直线、平面的关系 题型1 用空间向量证明线、面平行关系 42．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 43．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 44．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 45．在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 用空间向量证明线、面垂直关系 46．已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 48．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 49．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 50．（多选）下列命题中正确的有（    ） A．直线的方向向量，平面的法向量，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则． 51．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 52．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 2．已知空间四点，，，共面，则x为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 二、多选题 4．下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 5．已知空间向量，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点E在平面ABC内 D．向量是与平行的一个单位向量 6．若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．若向量与共线，与共线，则与共线 B．若G是四面体的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 8．在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，平行六面体的棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（     ）    A．，，，四点共面 B．在上的投影向量为 C．直线与所成角的余弦值为 D． 10．在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 三、填空题 11．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 12．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 四、解答题 13．在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间向量的概念及应用 常考题型精准突破 ·考点一物质的分类● 题型1空间向量的概念 1. 【答案】D 2. 【答案】C 3. 【答案】ABD 4. 【答案】B 题型2空间向量的线性运算 个 【答案】A 6. 【答案】A 7. 【答案】C 8. 【答案】ABD 0 【答案】D 题型3空间向量共线的判定与性质 10. 【答案】A 11. 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 12. 【答案】C 13. 【答案】C 题型四：空间向量共面的判断与性质 14. 【答案】C 15. 【答案】C 16. 【答案】C 17. 【答案】C 18. 【答案】D 19. 【答案】B 一●考点二：空间向量的基本定理● 题型1空间向量的基底向量选择 20. 【答案】B 21. 【答案】D 22. 【答案】C 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：空间向量求长度和夹角 23. 【答案】C 24. 【答案】C 25. 【答案】C 26. 【答案】BCD 27. 【答案】V5 28 【答案】2V33 。考点三空间向量的运算坐标表示●一 题型1空间直角坐标系及距离公式 29. 【答案】D 30 【答案】B 31. 【答案】C 32. 【答案】D 33 【答案】D 34. 【答案】B 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2空间向量运算坐标之数量积、模、夹角等 35. 【答案】C 36. 【答案】c 37. 【答案】C 38. 【答案】B 39 【答案】B 40. 【答案】A 41. 【答案】AC ●考点四用空间向量研究直线、平面的关系●一 题型1用空间向量证明线、面平行关系 42 【答案】B 43. 【答案】B 44. 【答案】C 45. 【答案】D 题型2用空间向量证明线、面垂直关系 46. 【答案】A 47. 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 48 【答案】B 49 【答案】A 50 【答案】BCD 51. 【答案】1 52. 【答案】15 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1. 【答案】B 2. 【答案】D 3. 【答案】A 二、多选题 4 【答案】CD 5. 【答案】BCD 6 【答案】AB 7. 【答案】BD 8 517 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】ABD 9. 【答案】ABD 10. 【答案】BCD 三、填空题 11. 【答案】4 12. v5 【答案】3 四、解答题 13. 【答案】1[0,3,5] 222 【详解】(1)a=[1,23],6=[-11,2], ∴.ā+6-(+2j+3k)+(-i+j+2k)=3j+5k=[0,3,5], .a+6的斜60°坐标为[03,5] (2)设i,j,k分别为与AB,AD,A4同方向的单位向量， AB=2i,AD=2j,AA=3k,BE=EB, @面=瓜-征=(o+)(B+)4） =-+0+分42i+27+-[22引 ②由题AC=AB+AD+A4=2i+2j+3冰， 由AM=[26,0],知AM=2i+i, 由AM1AC,ij=Kj=ki= AM.AC=(2i+2j+3k)(2i+)=0, ∴.4+2j+(4+21）i.j+6k.i+3k.j=0. 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 4+21+(4+20）×2+6×2+31×2=0,解得1=-2 则AM=2i-2引=V《2i-2}=V4+4-8万=2. 717