专题03 二次根式与分式（3年汇编）（广东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

专题03 二次根式与分式 3年真题1年模拟 考点分类 广东考情（2024-2026） 命题规律 考点01二次根式 2025广东卷 2024广东卷 多以选择题、填空题考查，分值3分。主要考查二次根式有意义的条件、二次根式化简与简单计算；常考被开方数≥0，设置分式与二次根式混合的取值范围陷阱。计算量小，难度基础；近三年侧重概念辨析，较少出现复杂混合运算。 考点02 分式的基础运算 2026广东卷 2025广东卷 2024广东卷 以选择、填空为主，分值3分。考查分式有意义、值为0的条件，分式简单乘除加减；高频陷阱为忽略分母不能为0。题型简洁基础，侧重概念识别；运算步骤少，不设置繁杂计算，重在辨别易错点。 考点03 分式化简求值 2025广东卷 2024广东卷 固定为解答题，分值6分，属于高频必考题。先对分式通分、约分化简，再代入数值计算；部分考题设置选值，必须避开使分母为0的数值。近三年运算难度平稳，注重完整解题步骤，偶尔结合整式因式分解综合考查。 考点04 分式方程应用题 2026广东卷 2025广东卷 一般出现在解答题，分值7-9分。情境多为工程、行程、采购销售实际问题；列分式方程求解，必须检验根的合理性是得分关键点。题干文字信息适中，近三年降低列式难度，强化检验步骤的考查，区分度集中在审题和验根。 考点01 二次根式 1．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 3．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 4．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 考点02 分式的基础运算 1．（2024·广东·中考真题）方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·中考真题）已知，则的值为________． 3．（2025·广东深圳·中考真题）计算：=_____． 4．（2024·广东·中考真题）计算：_______． 5．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 6．（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 考点03 分式化简求值 1．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 2．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 考点04 分式方程应用题 1．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·中考真题）为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路： 学生 设未知量 所列方程 小丽 设甲型机器人的数量为台 小亮 设每台甲型机器人的价格为万元 （请补充） (1)请写出小亮所列的方程； (2)若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？ 3．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 1．（2026·广东梅州·二模）若，则的值为（     ） A． B． C．3 D．9 2．（2026·广东东莞·三模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·二模）下列函数中，自变量的取值范围是的是（     ）． A． B． C． D． 4．（2026·广东佛山·三模）计算的结果是（     ）． A． B． C． D． 5．（2026·广东惠州·二模）式子有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·广东茂名·一模）函数中自变量的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 7．（2026·广东汕头·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东梅州·二模）计算的结果等于（   ） A．2 B．x C． D． 9．（2026·广东广州·二模）在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·广东梅州·二模）若分式有意义，则x的取值范围是__________． 11．（2026·广东云浮·二模）使式子有意义，则的取值范围为______． 12．（2026·广东佛山·二模）计算：______． 13．（2026·广东清远·二模）等边三角形的边长为，那么它任意一边上的中线长为_________． 14．（2026·广东广州·二模）当分式有意义时，化简：_________． 15．（2026·广东·二模）已知 则 的值为______． 16．（2026·广东深圳·三模）先化简，再求值：，并从，，2，3中选一个合适的数代入求值． 17．（2026·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中． 18．（2026·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中． 19．（2026·广东东莞·三模）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是　　，乙同学解法的依据是　　；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从，0，1，2中挑选一个合适的数代入求值． 20．（2026·广东珠海·一模）某商店销售两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 21．（2026·广东深圳·三模）绫绢扇是中国传统手工艺品四大名扇之一，起源于商周时期，该扇以绫、绢等轻薄丝织物为扇面，配以竹、木等材质的框架和彩带沿边的工艺制作，形制丰富，常被当作承载传统文化的伴手礼，成为连接古今审美展现中式雅致生活的载体．某文创店销售甲、乙两种绫绢扇，下面是小刚和小明的对话： 小刚：甲种绫绢扇的单价比乙种绫绢扇的单价少3元； 小明：花150元购进甲种绫绢扇的数量是花90元购进乙种绫绢扇的数量的2倍. 根据上述对话，解决下列问题： (1)求甲、乙两种绫绢扇的单价； (2)某学校准备在该文创店购买甲、乙两种绫绢扇共500把，花费不超过8000元，求该校最多可以购买多少把乙种绫绢扇？ 22．（2026·广东汕头·二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 （秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)利用上述公式求的面积． ①的三边长分别为5，6，7，则__________；（直接写出答案） ②的三边长分别为，，则__________；（直接写出答案） (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 二次根式与分式 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01二次根式 1.D 2.B 3.B 4.x≥-1且x≠3 考点02分式的基础运算 1.C 2.3 3.a-1 4.1 5.第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立： 小李的解答过程不正确，正确解答如下： 1-x=1-2, x-22-X 1-x=-1-2x-2 1-x=-1-2x+4 -x+2x=-1+4-1, 解得：X=2, 经检验，X=2是增根， ∴原方程无解. 6.x=3 1/4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03分式化简求值 1.-43 212 a-1’2 考点04分式方程应用题 1.A 2.(1 200=2×120 y y+5: (2)最多可购买乙型机器人4台 3.(1)0.7a元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克. V一年模拟练测品 1.C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.C 7.A 8.A 9.C 10.x≠2 11.x≠2 12.23 13.3V3cm 2/4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.+1 X 1 16.x-5x+6 X=-3时，值为30 17g1 a+2:4 182 ,1 19.(1)②，③： (2)2x,x=2时值为4（或x=-2时值为-4） 20.A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元. 21.(1)甲种绫绢扇的单价为15元，乙种绫绢扇的单价为18元 (2)该校最多可以购买166把乙种绫绢扇 26 2.1)066:②2 2)解：a2b2 g-c =a62-gh-e -ab+9+b-c ab-a'+b-c 2 2 _2ab+a2+b2-c2.2ab-a2-b2+c2 2 2 a+b12-c2c2-a-b2 2 2 =[a+b+cla+b-cl.(c+a-bl(c-a+bl 2 (a+b+ca+b-cc+a-bc-a+b) 4 1 令p=2a+b+cl, 3/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..a+b-c=2(p-cl, c+a-b=2(p-bl, c-a+b=2p-al, a+b+c=2p, a2b2- a+b2-c 2p-2lp-c)-2(p-bl-2ip-al-4p(p-allp-bllp-cl. 4 a2+b2-c2 12 2 -x4plp-aXp-bllp-c] =Vp(p-allp-blp-cl. 4/4 专题03 二次根式与分式 3年真题1年模拟 考点分类 广东考情（2024-2026） 命题规律 考点01二次根式 2025广东卷 2024广东卷 多以选择题、填空题考查，分值3分。主要考查二次根式有意义的条件、二次根式化简与简单计算；常考被开方数≥0，设置分式与二次根式混合的取值范围陷阱。计算量小，难度基础；近三年侧重概念辨析，较少出现复杂混合运算。 考点02 分式的基础运算 2026广东卷 2025广东卷 2024广东卷 以选择、填空为主，分值3分。考查分式有意义、值为0的条件，分式简单乘除加减；高频陷阱为忽略分母不能为0。题型简洁基础，侧重概念识别；运算步骤少，不设置繁杂计算，重在辨别易错点。 考点03 分式化简求值 2025广东卷 2024广东卷 固定为解答题，分值6分，属于高频必考题。先对分式通分、约分化简，再代入数值计算；部分考题设置选值，必须避开使分母为0的数值。近三年运算难度平稳，注重完整解题步骤，偶尔结合整式因式分解综合考查。 考点04 分式方程应用题 2026广东卷 2025广东卷 一般出现在解答题，分值7-9分。情境多为工程、行程、采购销售实际问题；列分式方程求解，必须检验根的合理性是得分关键点。题干文字信息适中，近三年降低列式难度，强化检验步骤的考查，区分度集中在审题和验根。 考点01 二次根式 1．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 2．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 【详解】． 故选：B． 3．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 4．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 考点02 分式的基础运算 1．（2024·广东·中考真题）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：x=9， 经检验：x=9是原分式方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根． 2．（2026·广东深圳·中考真题）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到的值． 【详解】解：， ， 即， 移项得， 等号两边都除以2得． 故答案为． 3．（2025·广东深圳·中考真题）计算：=_____． 【答案】． 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2024·广东·中考真题）计算：_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 5．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】 第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】略 6．（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 该分式方程的解为． 考点03 分式化简求值 1．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 考点04 分式方程应用题 1．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 2．（2026·广东深圳·中考真题）为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路： 学生 设未知量 所列方程 小丽 设甲型机器人的数量为台 小亮 设每台甲型机器人的价格为万元 （请补充） (1)请写出小亮所列的方程； (2)若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？ 【答案】(1)； (2)最多可购买乙型机器人4台 【分析】（1）根据“总价单价数量”，结合题干中甲型数量和乙型数量的倍数关系，即可列出小亮的方程； （2）先求解第一问的方程得到甲、乙两种型号的机器人的单价，再设购买乙型机器人的数量，根据总费用不超过420万元列出一元一次不等式，求解后取最大正整数解即可得到结果． 【详解】（1）解：∵设每台甲型机器人的价格为万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵万元， ∴每台乙型机器人的价格为万元， ∵用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的倍， ∴可得方程：； （2）解：由（1）得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则， ∴每台甲型机器人25万元，每台乙型机器人30万元， 设购买乙型机器人台，则购买甲型机器人台， 根据题意得， 解得， ∵是非负整数， ∴的最大值为， 答：最多可购买乙型机器人台． 3．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 1．（2026·广东梅州·二模）若，则的值为（     ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【详解】解：， 故． 2．（2026·广东东莞·三模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并相加，错误，不符合题意； 选项B：，正确，符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意． 3．（2026·广东广州·二模）下列函数中，自变量的取值范围是的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自变量所在位置的限制规则求解：分母不为，二次根式的被开方数非负，整式的自变量可取全体实数，依次计算各选项的自变量取值范围即可得到结果． 【详解】解：选项：， ∵分母不能为， ∴，解得，故选项不符合题意； 选项：， ∵分母不为且二次根式的被开方数非负， ∴，解得，故选项不符合题意； 选项：是整式， ∵整式的自变量可取全体实数， ∴的取值范围是全体实数，故选项不符合题意； 选项：， ∵二次根式的被开方数非负， ∴，解得，故选项符合题意． 4．（2026·广东佛山·三模）计算的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式即可得到答案． 【详解】解： ， ． 5．（2026·广东惠州·二模）式子有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得， 解得． 6．（2026·广东茂名·一模）函数中自变量的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0两个条件，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵函数包含二次根式和分式， ∴需满足两个条件： 1 .二次根式的被开方数非负，即， 2 .分式的分母不为0，即. 解不等式得， 由得. 因此自变量的取值范围是且． 7．（2026·广东汕头·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式得到，然后代入求值即可． 【详解】解：． 8．（2026·广东梅州·二模）计算的结果等于（   ） A．2 B．x C． D． 【答案】A 【详解】． 9．（2026·广东广州·二模）在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 10．（2026·广东梅州·二模）若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 11．（2026·广东云浮·二模）使式子有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，只需保证分母不为零，列出分母不为0的式子即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 12．（2026·广东佛山·二模）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 13．（2026·广东清远·二模）等边三角形的边长为，那么它任意一边上的中线长为_________． 【答案】 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，可知任意一边上的中线即为这条边上的高，利用勾股定理即可求出中线长． 【详解】解：等边三角形满足三线合一， 任意一边上的中线垂直于这条边，且平分这条边． 已知等边三角形边长为，可得边的一半的长为， 设这条边上的中线长为， 由勾股定理得：， 解得（负值舍去）． 14．（2026·广东广州·二模）当分式有意义时，化简：_________． 【答案】 【分析】先对原式中的分子因式分解，再约分后，然后利用同分母分式的加法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 15．（2026·广东·二模）已知 则 的值为______． 【答案】 【分析】先将所求分式拆分变形，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：对根据分式减法法则拆分，得， 将代入上式，得． 16．（2026·广东深圳·三模）先化简，再求值：，并从，，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】；时，值为 【详解】解： 由分式有意义可得， ∴ ∴当时，原式． 17．（2026·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18．（2026·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式． 19．（2026·广东东莞·三模）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是　　，乙同学解法的依据是　　；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从，0，1，2中挑选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)②，③； (2)，时值为4（或时值为） 【详解】（1）甲同学将分式通分后合并，依据是分式的基本性质②；乙同学利用乘法分配律展开，依据是乘法分配律③； （2）选择甲同学的方法： 原式 要使得原式有意义，则， 取代入得：原式， 取代入得：原式； 选择乙同学的方法： 原式 要使得原式有意义，则， 取代入得：原式， 取代入得：原式． 20．（2026·广东珠海·一模）某商店销售两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 【答案】A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 【分析】根据“顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B款吉祥物的单价为元，则A款吉祥物的单价为元， 根据题意列方程得， 解得， 检验∶当时，， 所以是原分式方程的解， 则， 答∶A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 21．（2026·广东深圳·三模）绫绢扇是中国传统手工艺品四大名扇之一，起源于商周时期，该扇以绫、绢等轻薄丝织物为扇面，配以竹、木等材质的框架和彩带沿边的工艺制作，形制丰富，常被当作承载传统文化的伴手礼，成为连接古今审美展现中式雅致生活的载体．某文创店销售甲、乙两种绫绢扇，下面是小刚和小明的对话： 小刚：甲种绫绢扇的单价比乙种绫绢扇的单价少3元； 小明：花150元购进甲种绫绢扇的数量是花90元购进乙种绫绢扇的数量的2倍. 根据上述对话，解决下列问题： (1)求甲、乙两种绫绢扇的单价； (2)某学校准备在该文创店购买甲、乙两种绫绢扇共500把，花费不超过8000元，求该校最多可以购买多少把乙种绫绢扇？ 【答案】(1)甲种绫绢扇的单价为15元，乙种绫绢扇的单价为18元 (2)该校最多可以购买166把乙种绫绢扇 【分析】（1）设甲种绫绢扇的单价为x元，则乙种绫绢扇的单价为元，由题意得，进而求解即可； （2）设该校购买m把乙种绫绢扇，则购买把甲种绫绢扇，由题意得，然后根据m取整数进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种绫绢扇的单价为x元，则乙种绫绢扇的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：甲种绫绢扇的单价为15元，乙种绫绢扇的单价为18元． （2）解：设该校购买m把乙种绫绢扇，则购买把甲种绫绢扇，由题意得： ， 解得：， ∵m取整数， ∴m的最大值为166， 答：该校最多可以购买166把乙种绫绢扇． 22．（2026·广东汕头·二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 （秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)利用上述公式求的面积． ①的三边长分别为5，6，7，则__________；（直接写出答案） ②的三边长分别为，，则__________；（直接写出答案） (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式． 【答案】(1)①；② (2)解： ， 令， ∴， ， ， ， ∴， ∴ ． 【分析】（1）①代入海伦公式求解即可；②根据秦九韶公式代入计算即可求解； （2）根据平方差公式得到，令，得到，，，，再得到，再代入即可得出结论． 【详解】（1）解：①一个三角形三边长依次为5，6，7，即， ． 根据海伦公式可得； ②根据题意可得，，， 由秦九韶公式得：； （2）略 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $