29.1.2 过三点的圆（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“过三点的圆”核心内容，涵盖不在同一直线上的三点确定一个圆的结论，三角形外接圆、外心的概念及性质。通过“两点确定一条直线”类比导入，复习圆的定义等旧知，逐步探究过一点、两点、三点作圆的条件，搭建知识支架。 其特色是运用类比推理（数学思维）和尺规作图（几何直观）引导探究，结合概念辨析与变式训练（数学语言）。如过三点作圆的尺规步骤示范，不同三角形外心位置判断，助力学生发展推理意识与空间观念，教师可借助系统探究与训练素材提升教学效率。

第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆（第1课时 ） 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的结论，能过不在同一条直线上的三个点用尺规作圆，掌握作三角形外接圆的方法. 理解三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形等概念，掌握三角形外心的性质，了解不同类型三角形外心的位置. 通过"两点确定一条直线"到"三点确定一个圆"的类比，感受数学知识之间的内在联系。 旧知复习 回顾 （1） 如何定义圆？ （2）什么是弧、弦、直径？ 1.圆 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）. 2.弧、弦、直径 ①圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； ②连接圆上任意两点的线段叫作弦； ③经过圆心的弦叫作直径. 新知引入 探究 我们知道"两点确定一条直线"，那么确定一个圆需要几个点呢？ 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题。 今天我们就来探究——经过一个点、两个点、三个点分别能作多少个圆，几个点可以确定一个圆。 圆心 确定圆的位置 半径 （确定圆的大小） 确定圆的两个要素是圆心和半径。 新知探究 探究 探究1：过不在同一条直线上的三点作圆 经过一个点A能不能作圆？如果能，这样的圆能作出多少个？ 能。以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个。 点击图片动态演示过一点作圆的过程 （放映状态下） 注：不要以点A为圆心，通常我们说的是"经过点A的圆"，圆心在A以外. 新知探究 探究1：过不在同一条直线上的三点作圆 点击图片动态演示过两点作圆的过程 （放映状态下） 探究 经过两个点A、B能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ 经过两个点A、B作圆，圆心到A、B两点的距离必须相等（因为A、B都在圆上）. 根据线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 特点：圆心都在在线段AB的垂直平分线上。 新知探究 探究1：过不在同一条直线上的三点作圆 经过一个点作圆——无数个，圆心任意（点A以外）； 经过两个点作圆——无数个，圆心在这两点连线的垂直平分线上。 探究 既然过一点、过两点都能作无数个圆，那么过几个点才能确定一个圆呢？ 假设所作的圆要经过A、B、C三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等。 （1）到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上； （2）到B、C两点距离相等的点在线段BC的垂直平分线上； （3）同时满足到A、B、C三点距离相等的点，就是这两条垂直平分线的交点 新知探究 探究1：过不在同一条直线上的三点作圆 （1）连接AB、BC； （2）分别作线段AB、BC的垂直平分线； （3）设相交于点O，则OA＝OB＝OC； （4）以点O为圆心，OA为半径，作出⊙O。 ⊙O就是经过A、B、C三点的圆。 尺规作图示范： 由作法可知，线段AB、BC的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的。 因此，经过A、B、C三点可以作一个并且只可以作一个圆。 点击图片动态演示过两点作圆的过程 （放映状态下） 新知探究 探究1：过不在同一条直线上的三点作圆 概念归纳 过不在同一条直线上的三点作圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. （1）"确定"的含义是"有且只有"——存在且唯一； （2）不能忽略前提条件"不在同一条直线上"，经过同一条直线上的三个点不能作圆（因为两条垂直平分线平行，没有交点）； （3）作圆时只需作任意两边的垂直平分线，不需要作三条，因为第三条边的垂直平分线必经过前两条的交点。 易错提醒 （1）找点：在圆弧上任意找三点； 新知探究 探究2：点与圆的位置关系 确定圆心的基本方法 方法总结 探究1：过不在同一条直线上的三点作圆 （2）作弦：任意连接其中两点作弦，共作两条弦； （3）定圆心：分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点就是这段圆弧所在圆的圆心。 新知巩固 过不在同一条直线上的三点作圆 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 结论和说法是否正确？ 解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 新知探究 探究2：三角形的外接圆与外心 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆. 叫作这个三角形的外心 这个三角形叫作圆的内接三角形。 O 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 点击图片动态演示过两点作圆的过程 （放映状态下） 新知探究 探究2：三角形的外接圆与外心 （1）任意三角形有且只有一个外接圆（因为三个顶点不在同一直线上，确定一个圆）； 确定圆心的基本方法 方法总结 （2）一个圆可以有无数个内接三角形（在圆上任意取三个点都能构成内接三角形）； （3）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，不是三条角平分线或中线的交点。 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径。即（R为外接圆半径）. 总结 （1）定圆心：作三角形任意两边的垂直平分线，其交点为圆心； 新知探究 探究2：三角形的外接圆与外心 三角形外接圆的作法 方法总结 （2）定半径，画圆：以交点O为圆心，以OA（或OB、OC）为半径作圆，则⊙O即为△ABC的外接圆。 作图题中，"则⊙O即为△ABC的外接圆"这句话不可缺少. 新知探究 探究2：三角形的外接圆与外心 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心是直角三角形斜边的中点（外接圆半径等于斜边的一半）； 钝角三角形：外心在三角形的外部。 三角形外心的位置： 点击图片动态演示过两点作圆的过程 （放映状态下） 新知巩固 三角形的外接圆与外心 【分析】根据三角形类型，利用外心是三边垂直平分线交点的规律，判断外心所在位置. 判断下列三角形外心的位置：①等边三角形；②等腰直角三角形；③顶角为的等腰三角形。 解：①等边三角形属于锐角三角形，外心在三角形内部； ②等腰直角三角形属于直角三角形，外心在斜边中点； ③顶角的等腰三角形是钝角三角形，外心在三角形外部。 巩固训练1 三角形外接圆的概念辨析 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到∠1=∠𝑂𝐴𝐶，∠2=∠𝑂𝐵𝐶，∠3=∠𝑂𝐴𝐵，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可. 如图，O是的外心，则________． 解：由题意，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵ ， ∴， ∴ 则． 巩固训练1 三角形外接圆的概念辨析 变式题 如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 解: 由作法得: 点 为 的三边垂直平分线的交点, 则 为 的外接圆, 如图, 连接 , , 为等边三角形, , 即 的半径是 5 巩固训练2 确定三角形外接圆的半径和圆心 【分析】根据确定圆的条件，圆心与半径、直径、三角形的三个顶点均能唯一确定一个圆，但平面上的三个已知点若共线则无法确定圆. 下列条件不一定能确定一个圆的是（   ） A．圆心与半径 B．三角形的三个顶点 C．直径 D．平面上的三个已知点 解：A、给定圆心和半径能唯一确定圆，不符合题意； B、三角形的三个顶点不共线，能确定唯一外接圆，不符合题意； C、直径能确定圆心和半径，不符合题意； D、平面上的三个已知点可能共线，此时无法确定圆，符合题意． 巩固训练2 确定三角形外接圆的半径和圆心 变式题 解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 巩固训练3 判断确定圆的条件 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． 巩固训练3 判断确定圆的条件 变式题 平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 巩固训练4 判断确定圆的条件 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可. 过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 巩固训练4 判断确定圆的条件 变式题 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 25 感谢聆听! 26 $