湖北黄石市2026-2027学年高三上学期9月质量监测数学试卷

机密★启用前 2026年全市高三(9月)质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并 认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x0<x≤3}，B={x|x2≤4}，则A∩B= A.0 B.{x|-2≤x≤3} C.{x10<x≤2} D.{xl-2≤x<0; 2.设复数z满足z= 11 -+二，(1为虚数单位)，则1z日 1+12 A. 2 B. C.5 2 D.2 3.甲，乙，丙，丁四名教师带领学生参加研学活动，教师随机分成三组，每组至少一人， 则甲，乙两人在同一组的概率为 A 1 1 B. C. 1 D. 6 3 4.已知点F为抛物线y=2px(P>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8,0为坐标原 点，若△OFP的面积为2V2,则该抛物线的准线方程为 1 A.x=- B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4 2 5.设a=lg6,b=1g20,则1og23= 农 A.a+b-1 B. a-b+1 a-b+1 0D. a+b-1 b+1 b+1 b-1 b-1 高三数学试卷 第1页（共4页） 6.已知随机变量三的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为E(),D(),则 当0在0.上增大时，有 0 2 -sin 0 2 -cos 0 A.E(5)增大，D)增大 B. E(5)减小，D(5)增大 C.E()增大，D)减小N D. E()减小，D(5)减小 7.已知函数f()的定义域为R,则对任意x∈，有∫()-f()>0,则“x<0”是 “efx+l)>e4f(2x-3)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.在△ABC中、∠C=90°，∠A=30°，BC=a,M是AB的中点，将△MCM沿CM折起， 使A.B两点间的距离为V3a,此时三棱锥A-BCM的体积为 1 A. B. 5 d C.3 -a D. 12 6 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 I.xEO 9.十九世纪数学家迪利克雷提出了函数D(x)= 0.xECO 被称为迪利克雷函数，其在现 代数学的发展过程中有着重要意义.若函数f(x)=x2-D),则下列实数中属于函数 ∫(x)值域的有 A.3 B.2 C.1 D.0 10.下列表达式中，满足数列{和n}是单调递减的有 3n Aa,=2n+1 B.d= 2n+1 2” C.a<a D.d=-+ nn+l n+2 2n-12n 1L.在直三棱柱ABC-ABC,中，AB=3,BC=4,AC=5,AA=3,点M是棱BB上 一点，则下列说法正确的有 A.AM⊥BC B.四棱锥M-ACC,A的体积为6 C.直三棱柱ABC'-A,B,C外接球的表面积为34π D.MA+MC的最小值为√58 高三数学试卷 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等比数列{a.}的公比为2，且a,a+2,a,成等差数列，则数列{an}的通项公式an= (n∈N') 3已知，5分别是双曲线之-=(a,6>0的左，右焦点，，凸为双曲线的两条渐新 线，设过点Mb,0)且平行于（的直线交12于点P,若PE⊥PF,,则该双曲线的离心 率为 14.已知平面直角坐标系中的点M(a,b)满足3a2-4ab+b2<0,若函数f(x)=asinx+ bcosx(a,b分别为M的横，纵坐标)在x=x,处取得最大值(x,因a,b取值的不同 而变化)，则tan2x。的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知a,b,c分别为△4BC的三个内角A,B,C的对边，且b+c=8,△ABC的面积 S4Bc=a2-6-c)2. 1 (1)求证：cosA=1-二sinA; (2)求SABc的最大值 16.(15分) 如图，已知四边形ABCD和CDEF都是直角梯形， AB∥CD,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1, ∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为 60°，设M,N分别为AE,BC的中点 (1)求证：FN⊥AD; (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值」 高三数学试卷 第3页（共4页） 17.(15分) 已知椭圆C:x2,y2 93× =1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点 构成正三角形 (1)求椭圆C的标准方程： (2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作IF的垂线交椭圆C于 点P,Q (i)证明：OT平分线段PQ(其中点O为坐标原点： (i)当最小时，求点T的坐标 IPO 18.(17分) 某公司“团建”活动中设置转盘抽奖环节.如图，转盘外形为 规则圆盘，其中A,B,C三个区域的面积相等.假设转盘指针不会落 在区域的分界线，指针只能随机地落入三个区域之一.当落入A时 为获胜，得2分；当落入B或者C时得1分 (1)若指针转动三次，求三次得分之和X的分布列和数学期望： (2)若指针转动n次，n∈N',将n次得分之和为n+2的概率记为P(n), 求公P(用 含n的代数式表示)： (3)若将“指针转动2n-1次，至少获胜n次”的概率记为Q(n),则“指针转动2n+1次， 至少获胜n+1次”的概率可记为Qn+).对于n∈N,分别求出Qn)和Q(n+)并 比较大小，说明其大小关系的统计意义， 19.(17分) 分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数 学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用.在初等数学中，若有三个互 不相同的函数(x),/(x),5(x),当在某个区间上恒有)≥(，)≥(x)成立时，方) 可以作为(x)和(x)在该区间上的分离函数. (1)试判断y=4x是否可以作为y=2x2+2和y=-x2+4x在区间(-0，+o)上的分离函数： (2)对于函数y=4x和y=2x2+2,找一个二次函数可以作为这两个函数在区间(-0，+0) 上的分离函数，找一个即可并给出其解析式。 2x2-4x,x≥0 (3)若存在实数k和b,使得函数y=a+b可以作为函数y= 2x2+4x,x<0 和函数 y=4x2-16在区间m,n上的分离函数，且满足[m,ms【-2,2],求n-m的最大值并 说明其几何意义 高三数学试卷第4页（共4页）数学试题参考答案与评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C 2.B3.A4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2" 13.√5 14.是oy 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解： (1 Sunc =a2-(b-c)=-besinA, 2 b+c2-a2=2bc-bcsinA. …3分 2 而由余弦定理，cosA=2+c2-a2 2bc 1 所以cosA=1--sinA. …6分 41 (2)由(1，两边平方得，1-sinA+sin2A=cos2A=1-sin2A, 16 解得sinA= 8 …9分 171 bc≤ 64 2 21 172 当且仅当 b=c=4时取得最大值， …12分 所以，S8c的最大值是64 …13分 16.解： 数学答案第1页（共6页） (I)依题意，DC⊥FC,DC⊥BC,所以∠BCF是二面角F-DC-B的平面角， 即∠BCF=60°，且CD⊥平面BCF,所 以 CD⊥FN …2分 如图，将侧面CDEF展开到平面ABCD上，则在直角梯形 ABCD中，∠BAD=60°，DC=3,AB=5,可求得 BC=23,AD=4. …4分 在直角梯形CDEF中，∠CDE=60°，DC=3,EF=1, 4人601 可 求 得 CF=25 ED=4, …6分 故在原几何体中，△BCF是等边三角形，所以FN⊥BC.又因为BC∩DC=C, 且BC,DCC平面ABCD,所以FN⊥平面ABCD,因此FN⊥AD.…8分 (2)由(1)知FN⊥平面ABCD,如图，以NB,NF分别为y轴，乙轴的正方向建 立 空 间 直角坐 标 系 则 V0,0,Ai5,V5.0.B0V5.0D3.V5.0.EL0,3MB5,3 22 ,可得 DA=(2,25,0),DE=(-2,√3,3). …10分 设平面ADE的法向量n=(xy,z),则 n.DA=2x+23y=0 x=-3y nDE=-2x+3y+33=0 ,解得 令 [z=-V3y y=-1,则平面ADE的一个法向量为 n=(W3,-l,V3) …13分 又因为BM=(3,- 33 2,所以sin6cos0m,Bm)F In:BM 57 ,即为 InBM 14 所求直线BM与平面ADE所成角的正弦值， …15分 17.解： c=2 (1)由题意得 a=√③b,解得 公-2故椭圆C的方程为二+；=1 a2=6 a2-b2=c2=4 62 …3分 (2)设点T(-3,m),P(x,y),Q(x2,y2),PQ的中点为N(x,y) 数学答案第2页（共6页） (i)因为F(-2,0),所以直线PQ的方程为x=my-2. x=my-2 联立方程 +上=1'消去x得(m+3y-4mw-2=0. …5分 62 △=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0 47m 从而 y+y2= m2+3 -2 y2=m+3 于是。=+业-2m m2+3,)=m%-2= 2m2 2=6 故 2 m2+3 m2+3 N( -62m …7分 m2+3'm2+3 因为krka,所以0.N,I三点共线，即0T平分线段P0(其中0为型 标原点)· …9分 (i)由题意得|TF上Vm2+1,|PQHy-2lVm2+1= 24m+0、m+i: m2+3 TFI m2+1 m2+3 从而|PQ V24(m2+1) V24(m2+1) …11分 √m2+1 m2+3 令Vm+1=x(x≥1).于是751-+2-1 2. (x+二)≥ (当且仅当 PO 26x 26x 3 x2=2时取等号). …13分 因此，当 TF 最小，即x2=2时，解得m=1或m=-1,此时点T的坐标为(-3,1) POl 或(-3，-1) …15分 18.解： 《1）X的所有可能取值为3456，P0X-3-- 数学答案第3页（共6页） x=0=令=27 …2分 31 X的分布列为 X 3 4 5 6 P 8 4 2 1 27 9 数学期望EX)=3×+4X。+5×。+6x7 =4 …4分 27 9 (2)依题意，指针转动n次，neN,若n次得分之和为n+2,则n次转动中有 次针落入4则当m≥2时，PW=C:-g写 18 当n=1时，P=0,也符合上式.则P_k-1召-？ k183 1-2 …7分 授8-011x42+m) 号-k+2x+-) 2)m-1 …10分 (3)设“指针转动2n+1次，至少获胜+1次”事件为C,要使事件C发生，有 两种情况：前2n-1次至少获胜n次，记此事件为A,和前2n-1次获胜少于n次，记 此事件为A,则C=AC+A,C. 事件A又可以分为两种情况，即前2-1次指针转动恰好获胜n次和至少获胜 +1次.若是后者，则再转两次时无论结果如何已经实现了事件C；若是前者，则再转 两次都无法获胜的概率为C2n-1p"(1-p)”(1-p)2，则AC的概率为 数学答案第4页（共6页） 对于事件A,,则必须恰好获胜-1次，否则再转两次时无论结果如何都无法实现 事件C,则PAC=PM,)PCA)=C令'号r令 …13分 因此，综合以上情况 Q+D-P(C)-PAC)+RAC)-Q-C+C 所以， 0n+-m=c3r9-c令r孕 …16分 =C"-C=C(-<0 其统计意义为，因为指针落入A的概率只有；，比一半小，所以当指针转动的次数 越来越多时，要想有一半以上的情形落入A,这样的可能性只会越来越小. 17分 19.解： (1)可以.因为2x2+2-4x=2(x-1)2≥0恒成立，且4x-(-x2+4x)=x2≥0恒成 立 …3分 (2)设y=ax2+bx+c(a≠0)是y=2x2+2和y=4x在(-o,+o)上的分离函数.直 线y=4x是y=2x2+2的图像在x=1处的切线，所以直线y=4x也应该是 2a+b=4 b=4-2a y=ax2+bx+c的图像在x=1处的切线，因此 (a+b+c=4'可得 c=a …6分 所以2x2+2≥ax2+(4-2a)x+a≥4x对一切实数x恒成立，即 (2-a)(x-1)2≥0且a(x-1)2≥0对一切实数x恒成立，所以2-a≥0且a>0,解得 0<a≤2 …9分 又因为当a=2时，y=ax2+(4-2a)x+a与y=2x2+2为相同函数，不符合题 意，所以所求函数为y=ax2+(4-2a)x+a(0<a<2),选0<a<2中任何一值代入 即可，得到任何一个该函数的表达式即得全分，或者直接给出这个通式并说明0<α<2 的范围也是全分 …10分 2x2-4x,x≥0 (3)由各函数在区间[-2,2]上的函数值大小关系，记f(x)= 2x2+4x,x<0 数学答案第5页（共6页） f(x)=4x2-16,则根据函数形态可以画出草图如下. 由于(x)和f(x)都是偶函数，图像关于y轴对称，要使y=kx+b为(x)和 f(x)在[-2,2]的某个子区间上的分离函数，且当x∈[-2,2]时，f(x)≥f(x)恒成立， 所以存在b使得直线y=kx+b,与f(x)的图像相切，并且切点的横坐标t∈[L,2](考 虑到图像关于y轴对称，此种情况不失一般性).在[0,2]上，对(x)求导得， '(x)=4x-4,则当t∈L,2]时，f(x)的图像在(t,212-4)处的切线方程为 y-(22-4)=(4t-4)(x-t),即y=(41-4)x-2t2,于是k=4t-4,b。=-22 …13分 y=kx+b 设直线y=kx+b与(x)的图像交于点(x,y1),(x,》2),由了 y=4x2-16 得 16+b 4x2-kx-16-b=0,则x1+x2= 所以， 4 02 |x-x3上Vg+x)2-4x2= V16 +16+b≤16 16+b。, (4t-4 -+16-22=√-2-21+17 …15分 16 由二次函数-t2-2t+17在t∈1,2]时单调递减，因此当t=1时，|x-x|取得 最大值4 …16分 其几何意义为，当直线y=kx+b水平时，y=kx+b作为分离函数的区间长度达 到最大值（此时直线与3(x)在两个点处相切）· …17分 数学答案第6页（共6页）