重庆市第一中学校2026-2027学年高二上学期数学周考（一）

重庆一中高2028届高二上期数学周考（一) 一、单项选择题，本愿共8个小愿，每小题5分，共40分.在每小题始出的四个选项中，只有一项符合要求 1.己知直线1经过A(L,2),B(0,3)两点，则直线1的倾斜角为 A贸 B月 c牙 2.若圆C:x2+(y+2)°=4与圆D:(x+4)°+(y-1)=9的公切线条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.“mn>0"是“方程m2+y2=1表示椭圆'的 A,必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知两条直线a,b,三个平面a,B,Y,则下列命题正确的是 A.若a∩B=a,bcB,则allb B.若anB=a,allb,则blla且bWp C.若alla,blWa,acB,bcB,则allB D.若allp,anY=0,Bnr=b,则allb 5.已知圆x2+y2-2x+4y=0与直线3x-4y+m=0交于A,B两点，若AB=4,则实数m的值为 A.6 B.-16 C.6或16 D.-6或-16 6.堑堵、阳马、鳖这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块， 得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四枝锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称 为阳马，三棱锥称为整隔.则不正确的是 阳马 登 图1 图2 A.阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B.签厮的四个面均为直角三角形 C.阳马的体积是鳘踽的体积的两倍 D,堑堵、阳马与整膈的外接球的半径都相等 7.若复数z=a+bi(a,beR)满足z-2-3列=2，则的最小值为 A.√3-2 B.√3+2 C.2+√5 D.2-5 8、如图，焦点在x轴上的椭圆号+卡=1，R,B分别是左右熊点。过乃的直线交精圆于人B两点 BF 5 AF BF2 =。则椭圆的离心率为 A汽 B. c.vii 33 D. 9 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目的要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是 A.过(，)，(，)两点的直线方程为)二X=-兰 3-4x3- B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为L,) C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D.经过点L,)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 10.圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+9=0的公切线方程是 A.x=-1 B.7x-24y-25=0 C.3x+4y-5=0 D.7x+24y-25=0 11.已知正三棱台ABC-A,B,C,有内切球0（球0位于三棱台的内部且与各个面均有且只有一个公共点），且 AB=2AB=4N3,若过O,A,B三点的平面截该三棱台所得截面为a,则 A.三棱台ABC-AB1C的高为2 B.平面OAB⊥平面OAB1 C.截面a的面积为12√互 D。该三被台被截面@分成两部分，较小郁分与较大都分的体积之比为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.椭圆兰+上=1的左、右焦点分别为R,R,点P在椭圆上.若PR=4,则PF-一 16+7 13.如图，在正三棱柱ABC-ABG中，各棱长均相等，点D为AB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值 为 B 2 14.已知A是直线1：4x-3y+8=0上一点，过点A作圆C:(x+1)}+y+2}'=1的两条切线，切点分别为P,2.若 P21n,则Pg= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知直线4：(a-2)x+y-2=0和42：+(a-2)y+2=0. (1)若4⊥42，求实数a的值： (2)当川时，求直线4与之间的距离 16.(15分) 如图，在三棱锥D-ABC中，AB1AC,AB⊥CD,AB=3N2,AC=AD=6,CD=6N2, (I)证明：平面ABD⊥平面ABC、 (2)若CF=FD,DE=2EB,求平面ABC与平面AEF所成角的正弦值. 17.(15分) 如图，已知圆C方程为x2+y2-6y+5=0,直线m方程为x+3y+6=0,过点A(-1,0)的一条动直线1与直线m相交 于N点. (1)若直线1与m夹角为45°，求直线1的方程； (2)若直线1与圆C相交于P2两点，M是弦P2中点，求点M的轨迹 3 18.(17分) 尼痛c子 +若=1>b>0的离心率为分：且过点P F,F为其左右焦点 (1)求椭圆C的方程： 2)若(x,y)是椭圆C上的一个动点，求2F+F的最小值： (3)求过点A4,0)的直线1与椭圆C相交于M,N两点（点M在A,N两点之间），若△AMF,与△MF,N的面积相等， 试求直线/的方程 19.(17分) 在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4,D,E分别为AC,AB的中点.将△ADE沿线段DB折起，使点A到达点P 的位置，连接PB,PC,得到四棱锥P-BCDE,取BC的中点F,连接PF, B F 图1 图2 (I)证明：DE⊥PF, (2)如图1，当平面PDE⊥平面BCDE时，求二面角P-BC-D的大小， (3)如图2，设二面角P-DE-B的大小为0，在折叠过程中，即9在(O,)上变化时，求△PCD的重心G在空间中的 运动轨迹的长度， 重庆一中高2028届高二上期数学周考（一）答案 1-4:ACAD 5-8:DAAD 9.BC 10.ABC 11.BCD 4F7F_1 8.由椭因的定义，+A=2a,⑧F+BF引=2a,且B丽5·8时2 所以设AF=7:.BF=51,AF=m.BF=2m,则71+m=2a,51+2m=2a, 号，n合a,所4l-号8l-g.hl-98F-g。 所以1= 设椭圆的半焦西为c, 4c2+16g1_196o 在aMF,中，由余弦定理得COSLAF:F=8灯 81 4a 2x2c× 9 462+4o_100a 在aBF5中，由余弦定理得c0s∠BFR=81.81L, 8a 2×2c× 9 由LAF,F+∠BFF=不， 4c+l6a_196a4c+64u100a2 cos∠AfF+cos∠BF,E=0,即81 81+一 81 2x2ex 4o 81=0, 8a 2×2ex 9 9 化简得12-兴。，即号品 即。81 所以椭圆的离心半e-S- 11对于A:已知下底边长AB=4√3，上底边长AB,=2V3,设三棱台上底面积为S',下底面积为S, 则5=9=125.s-95=5, 正棱台有内切球的性质：斜高1=d”+d(d”,d为上下正三角形中心到边的距离)，因为d=2,d'=1,故斜高1=3。 由勾股定理，棱台高h满足：方+(d-d)=1P,得h2+1=9,即h=22, 所以三校台的高为h=2√2≠2，A错误： 对于B:取AB中点M,AB中点M,则截面OMM,为校台轴截面， 因为O为正三拉台内切球球心，所以OA=OB, 所以OM⊥B,又M0M,⊥AB,OM∩MM,=M,所以AB⊥平面OMM, 所以平面OAB⊥平面OMM,同理可证平面OAB⊥平面OMM,, 所以∠MOM,是平面OAB与平面OAB,所成二面角的平面角， 因为棱台的高为22，所以oM=可+2=6，oM,=V5j+=5,又MM=3. 所t以cs∠MOM=OM2+OM-MM_6'+5-3 =0 2.OM.OM 2×√6x√5 所以∠MOM1=90°，平面OAB⊥平面OAB,B正确： 对于C:过C作GD⊥底面ABC,垂足为D,则CD=2互 设△ABC外心为E,△4BG外心为F, 则EM=2,OE=-√2，DM=EM+MD=EM+DC,=2+2=4, OE CD 因为O品，所以裁面a即我面ABC, 因为DB=VDM2+BM=+(2=25,所以BC,=DB2+CD2=(2+(22=6. 所以MG=√BC2-MB2-6-(25=26, 所以5c=×45x26-=125,C正确： 对于D:因为'46c=S+S+5)-=x2ix215=146, a-4x=ch=片×12N5×22=8W6,剩余部分体积=14N6-86=66, 3 6W63 所以较小部分与较大部分体积比： VG-anc 8V64,D正确 M D M M E B B 12.4 13.0 14. 4 14.由已知可得圆心C(-1,-2),半径r=1, 因为AP,A2是圆C的切线，P,?为切点， 根据切线性质得：CP1,C2LA0,即∠CPA=∠CQ4= 所以点P,2在以线段CA为直径的圆上，即P?是圆C和以CA为直径的圆的公共弦， 根据两圆公共弦的性质可得：CA⊥PQ且CA平分P2, 2 又Pen,所C41,所C4=-3-t0-2. V42+-3) 在aCM申，kAr1wc-哥》 设C4与Pe交点为M,在CPM中，CM-P∠CA=I IM-ef-cu-- 所以Pg-2PM=2x5.5 15.（1)因为111，故(a-2)a+1×(a-2)=(0-2)(a+1)=0,故a=-1或a=2.6分 (2)因为41%，故(a-2)(a-2)=a×1,即a2-5a+4=0,故a=1或a=4, 若a=1,则：-x+y-2=0,12:x-y+2=0,，此时1与l2重合，9分 若a=4,故4：2x+y-2=0,/2:4x+2y42=0即12：2x+y+1=0, 故直线4与4之间的距离d.上2-」_35 55 13分 16.(I)证明：因为AC=AD=6,CD=62, 所以AC2+AD=CD2,则AC⊥AD, 又AB⊥AC,ABAD=A,AB,ADC平面ABD,所以AC⊥平面ABD, 因为ACC平面ABC,所以平面ABD⊥平面ABC:6分 (2)因为AB LAC,AB⊥CD,ACnCD=C,AC,CDc平面ACD, 所以AB⊥平面ACD, 又ADC平面ACD,所以AB⊥AD, 由(1)知AC⊥AD.又AB⊥AC, 所以直线B,AC,D两两垂直；8分 以A为坐标原点，B,AC,D的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0,0,0),E(25,0,2),F0.3,3), 所以正E=(2√2,0,2)，/F=(0,3,3),.10分 设平面AEF的一个法向量为元=(x,y,z),则元·A正=方·正=0， 即22x+22=3y+3z=0, B 令x=1,得万=0,2，√2)， 易知平面ABC的一个法向量为所=(0,0，)，13分 由cos(元，)= m万√5 阴店' 得平面ABC与平面AEF所成角的正弦值为 2 5 15分 17.(1)四C可化为x2+(y-3)=4,☒心坐标为C(0,3),半径为r=2. 直线m:x+3+6=0,斜率为k.=-行 设直线l的斜率为k,则tan45° =1, 即+3 3-k =1,3分 3 解得k=-2或k= 2 当k=-2时，直线方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0: 当k=时，直线方程为y-0=x+.即x-2y+1=0: 2 所以直线1方程为2x+y+2=0或x-2y+】=07分 (2)设M(x,y),因为M是弦PQ中点，所以CM⊥P2,所以CM.AI=0. CM=(xy-3),AM=(x+1y), 所以x(x+1)+(（y-3)y=0,即x2+x+y2-3y=0,11分 整理+八-引务 因为直线I与圆C相交于P、Q两点，所以点M应在圆的内部. 所以点M的轨迹为以-)为圆心，以0为半径的图且在图C内的部分…15分 2 18.(1)已知离心率e==1, =后克则c=号故6=0-e=3g 4 9 圈过点P引则宁+1，解得。=4故以 3 =3, 4 4 4 圆C的方程为+-1. …4分 (2)由№F+№F=4→QF=4-leFl,设l№F=x,则xel,3] orl"+oFl'(oFl+loFXoFl'-loFloFl+loF,l") (orl+lor,orl+lor,)'-3loFoF] =12x-2}+16 当x=2时，E+25的最小值为16 .10分 (3)F为椭圆C的右焦点，由(1)知F(1,0). 由己知直线1斜率存在，设为k,则直线1的方程为y=k(x-4), 若k=0,则I为x轴，此时A,M,F三点共线，不合题意，舍尖： 设M(x,y),N(x,2),且M在A,N之间， 已知△MF与aMFN的面积相等，且等高，则1=MN, 12分 故W是w中点，则M(学，受】 /4+5 由M,N位于椭圆上，则(2(2 =1 整理得3(4+广+4及=48，联立椭圆方程得316+8x,+x)-3x7=36, 解得与=分代入桶围方程得：+左-小解得为士35 1 43 15分 ￥3 则直线1的斜率为k= 2-4 -4 6 2 故直线方鼠为：少=士汽-)。 …17分 19.(1)证明：如图，取DE的中点O,连接P0,0F. 在△ABC中，因为AB=AC,F为BC的中点，所以AF⊥BC, 因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DE∥BC, 所以F⊥DE,3分 在折叠后的四棱锥P-BCDE中OF⊥DE,PO⊥DE. 因为POOOF=O,PO,OFc平面POF, 所以DE⊥平面POF. 因为PFC平面POF,所以DE⊥PF,6分 (2)解：：DEIIBC,.BC⊥PF,BC⊥OF, .二面角P-BC-D的平面为PF0.8分 :PO⊥DE,平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE, ,PO⊥平面BCDE,又OFC平面BCDE, P010F.由题意符P0=0F,PF0=牙即二面角P-8C-D为牙：0分 (3)如图，取DE的中点O,连接PO,OF, 由(I)可知PO⊥DE、OF⊥DE,则∠POF=O, 以O为原点，建立空间直角坐标系， 则P(2c0s8,0,2sin),D(0,1,0),C(2,2,0).设G(x,y,).…12分 由重心性质可得x=2c0s9+0+22 3 39+12= 3 :=2sin9+0+02 =二sin0. 3 3 y=】为定值，重心G在固定平面内运动. 由x 33 3 9 9 9 5分 ∴点G在图心为（仔10小，半径r号的圆上， (0,,二点G在空间中的运动轨迹的长度为气，亚 6