精品解析：广东广州市黄埔区2026-2027学年高三上学期教育质量检测与核心素养评价数学试卷

2026-2027学年第一学期教育质量检测与核心素养评价 高三数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则z的虚部是（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数运算法则及虚部概念即可. 【详解】,虚部为1， 故选: A 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再结合集合的交集和补集的概念即可求解. 【详解】已知集合，解不等式，可得， 又因为，所以， 已知集合，解不等式，可得或，则， 因此，故B正确. 3. 已知函数，则=（ ） A. B. 2 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式即可求得. 【详解】由二倍角公式得：，则 利用辅助角公式得：，其中， 所以最小正周期：. 5. 在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（ ） A. 10 B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为的中点，则， 所以． 如图，分别取线段，的中点为，，因为为的外接圆圆心， 所以，， 则， ， 因此． 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7. 已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线焦点坐标求得判断A；根据焦点弦长公式求解判断B；设直线的方程为，与抛物线联立，韦达定理判断D；利用求得判断C. 【详解】因为抛物线的焦点，所以，所以，故A错误； 抛物线为，焦点为， 因为抛物线的准线为，则，， 所以，故B正确； 设直线的方程为，与抛物线联立， 消去可得，可得，，故D错误； 因为，所以， 所以，所以，故C错误. 故选：B 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点 M 为上的动点，O为正方体内一点，则以下命题错误的是（ ） A. 取得最小值 B. 当M为中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C. 四面体的外接球的表面积为时， D. 若，则点O的轨迹长为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，将平面沿翻折到与平面为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B，设是的中点，得出四边形是菱形即可判断；对于C，当时，验算四面体的外接球的表面积即可判断；对于D，找出点的轨迹即可验算求解. 【详解】对于A，如图，将平面沿翻折到与平面为同一平面， 则，当三点共线时，等号成立，故A正确； 对于B，如图，设是的中点，连接， 因为正方体的棱长为2，且分别为的中点， 所以，且，， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确； 对于C，由题意得，则， 因为两两垂直， 所以四面体的外接球的直径， 所以，解得，故C错误； 对于D，如图，由，所以点在的中垂面上，设的中点为，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 则， 所以点在以为圆心，半径为的半圆上运动，点的轨迹长为，故D正确. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键的得出点首先在面上，进一步得出可确定的轨迹，由此即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的性质，利用均值与方差的计算性质逐一判断各选项即得. 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 因为随机变量，所以， 则，故C错误； 又，故D错误. 故选：AB. 10. 已知，下列说法正确的是（   ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项：当时，，因为，所以， 因为函数在上不单调，所以函数在区间上不单调. 故A错误； B选项：若关于直线对称，则或， 由；方程无解. 所以. 故B正确； C选项：时，为的一个对称中心，所以， 所以. 故C正确； D选项：当时，，其中，且. 当与关于某条对称轴对称时， 不妨设，此时，， 故在处取得最大值，在端点处取得最小值， 因此在区间上的最大值与最小值的差取得最小值； 当与都在的某一个单调区间内时， ， 其中，且. 当，时，. 故D正确. 11. 双曲线具有如下光学性质: 是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过.如图，若双曲线的方程为，是双曲线在点处的切线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当点异于双曲线的顶点时，平分 C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为4 D. 若，则点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线定义计算可判断A；由题意结合光的反射原理计算可判断B，由双曲线定义及两点间距离公式计算可判断C；由双曲线定义及三角形面积公式列式计算可判断D. 【详解】在双曲线中，则，故. 设，若， 且，则，所以，A项正确； 过点作，如图所示， 由光的反射原理可知，， 所以，故平分，B项正确； ， 故当过点时， 光线由到再到所经过的路程为，C项错误； 若，则，设，则， 因为， 且， 所以，即，解得，D项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 13. 已知定义在R上的奇函数f(x),则f(f(﹣1))＝_____，若f(a)＞0,则实数a的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据分段函数解析式求出f(﹣1)＝﹣f(1)＝﹣(1，即可求解；②先求出当a≥0时的解集，再根据奇偶性得a≤0的解集. 【详解】①定义在R上的奇函数f(x)，则 f(﹣1)＝﹣f(1)＝﹣(1， ∴f(f(﹣1))＝f(1. ②当0≤a＜1时，由f(a)＝2﹣a﹣1＞0，∴2﹣a＞20，﹣a＞0，∴a＜0(舍去). 当a≥1时，f(a)0，可得，∴a. 再根据函数f(x)的图象关于原点对称，如图所示: 可得实数a的取值范围(，0)∪(，+∞)， 故答案为:① ，②(，0)∪(，+∞). 【点睛】此题考查根据分段函数结合奇偶性求函数值和解不等式，关键在于准确识别分段函数的分段区间，根据解析式准确求解. 14. 在中，，以各边为直径分别向外作三个半圆，为三个半圆上任意两点，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中两边之和大于第三边，可得的最大值等于周长的一半，这样就将求的最大值转化为求的周长的一半的最大值. 方法一：因为，所以求的最大值转化为的最大值.根据余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，进而求得的最大值，即的最大值. 方法二：根据正弦定理将的最大值转化成求的最大值，根据给定区间上的正弦型函数的最大值求法求得结果，即可得到的最大值. 【详解】设边的中点分别为，当位于两个不同的半圆上时， 例如点P在以BC为直径的半圆上，点Q在以AB为直径的半圆上， 则，当且仅当共线时等号成立， 当在同一半圆上时，最大距离为该半圆的直径， 根据三角形两边之和大于第三边可知，半周长大于任意一边， 故的最大值是的半周长，即. 方法一： 中，由余弦定理，得， 因为当且仅当时，等号成立. 所以，所以，即， 所以，当且仅当时，的最大值.此时，取得最大值. 方法二： 根据正弦定理，得， 所以 所以=. 因为，所以，所以，所以， 当且仅当时，取得最大值. 此时取得最大值. 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） ，或. （2） 【解析】 【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为​，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为​，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或​. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. 【小问2详解】 因为，所以. 由​的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 16. 如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）证明：； （2）已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：点在平面上； ②求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明: 因为平面平面，平面平面， 又易知，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）①证明： 法一：在平面内作的垂直平分线，交于，连接，， 因为，，所以，，因为，， 所以，因为，，所以， 所以在以为球心，为半径的球面上，即与重合，故点在平面上； 法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 若在同一个球面上，设球的半径为，则， 设，则， 解得，即点在平面上； ②. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得平面，再由线面垂直的性质，即可求解； （2）法一，①在平面内作的垂直平分线，交于，再证明，即可求解；②利用等体积法，求出到平面的距离，再由线面角的定义即可求解；法二，①建立空间直角坐标系，求出求出点的坐标，即可求解；②求出平面的法向量和，再由线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 法一：①略 ②记点到平面的距离为，由，可得， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，又，，则， 所以， 则，解得，又， 记与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 法二：①略； ②，，. 设平面的法向量为，则， 取，则， 记与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）方案②中取到红球的概率更大 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得. （2）根据条件概率公式进行计算，根据数据下结论. 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 18. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． （1）求b的值； （2）已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； （3）若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆、双曲线方程求解； （2）设，由得到，再分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在时分析判断. （3）根据设直线方程为，由，且，得到，再根据，得到直线m与曲线的交点都在椭圆上，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 由于椭圆与双曲线在第一象限的公共点为， 即，得，所以； 【小问2详解】 设，，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 由椭圆的对称性，当交点在第一象限且在椭圆上曲线段时， ，此时，故不可能，舍去； 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为； 【小问3详解】 直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增趋于正无穷大，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为， 且当趋于正无穷时，趋于，则， 所以. 19. （1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）构造，利用导数及分类讨论研究不等式恒成立求参数范围； （2）构造，利用导数研究其单调性得，即可证； （3）问题化为，，令，，应用必要性探路得，进而研究其充分性即可得范围. 【详解】（1）令函数，则，， 当时，，函数在上单调递增， 则，即成立， 当时，在上单调递增，， 所以，当时，，在上单调递减， 所以对，，不成立. 综上，实数的取值范围为. （2）令，由（1）知函数在上单调递增， 因为，，所以，因此，即， 即成立； （3）对，都有成立，即对，， 令，即， 当时，，，则， 要使成立，则，即， 下面证明：当时，成立，由（2）得， 下面证明：，即证明， 令，则， 因此在上单调递增，，即成立， 因为，，所以，故， 结合已证的， 可知当时，成立， 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期教育质量检测与核心素养评价 高三数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则z的虚部是（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则=（ ） A. B. 2 C. 5 D. 9 4. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（ ） A. 10 B. 20 C. D. 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点 M 为上的动点，O为正方体内一点，则以下命题错误的是（ ） A. 取得最小值 B. 当M为中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C. 四面体的外接球的表面积为时， D. 若，则点O的轨迹长为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列说法正确的是（   ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 11. 双曲线具有如下光学性质: 是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过.如图，若双曲线的方程为，是双曲线在点处的切线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当点异于双曲线的顶点时，平分 C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为4 D. 若，则点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 13. 已知定义在R上的奇函数f(x),则f(f(﹣1))＝_____，若f(a)＞0,则实数a的取值范围是_____. 14. 在中，，以各边为直径分别向外作三个半圆，为三个半圆上任意两点，则的最大值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 16. 如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）证明：； （2）已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：点在平面上； ②求与平面所成角的正弦值. 17. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 18. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． （1）求b的值； （2）已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； （3）若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 19. （1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $