第3讲：空间向量及其运算的坐标表示讲义【七大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从平面向量坐标表示延伸至空间，系统构建空间直角坐标系、点与向量坐标定义、坐标运算（加减数乘数量积）及平行垂直、模长夹角的坐标条件等学习支架，衔接两点间距离公式，形成完整知识脉络。 资料以七类题型为载体，从基础的空间点坐标求解（如四棱锥中点坐标）到综合问题（如正方体中长度与参数计算），通过例题与变式题结合，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理运算的能力，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化应用意识。

第3讲：空间向量及其运算的坐标表示 题型一、求空间点的坐标 2 题型二、空间向量平行坐标问题 3 题型三、空间向量垂直坐标问题 4 题型四：空间向量模长坐标问题 5 题型五：空间向量夹角坐标问题 7 题型六：投影向量问题 9 题型七：空间向量坐标综合问题 10 知识点一、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二、空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四、空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝；cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝||＝. 题型一、求空间点的坐标 【例1】．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标； 【答案】，，， 【详解】由底面ABCD是边长为的正方形，底面，且，是棱PD的中点， 由图知，，，，，，． 【变式1】．（24-25高二下·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______，若点关于平面对称的点为点，则______． 【答案】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为， 点关于平面对称的点为点的坐标为， 则两点间距离公式得到. 故答案为：；. 【变式2】．（22-23高二·全国·随堂练习）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标. 【答案】 【详解】由图可得，设 因为，所以，所以所以，解得，即 题型二、空间向量平行坐标问题 【例2】．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 【变式1】．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，又，且， 则，解得. 故选：A 【变式2】．（22-23高二下·广东揭阳·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，且，所以，即，解得，所以. 故选：A 题型三、空间向量垂直坐标问题 【例3】．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知向量，，若，则实数（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】应用向量的坐标运算求得，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，而， 所以， 所以. 故选：B 【变式1】．（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标关系可得，即可根据模长公式求解. 【详解】由于与垂直，故，解得， 故， 故选：C 【变式2】．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【详解】因为，所以； 由．所以； 所以． 故选：D 题型四：空间向量模长坐标问题 【例4】．（23-24高一下·河北·期末）已知点为坐标原点，且，则（    ） A．36 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】因为，所以．又，解得， 所以，则，所以．故选：. 【变式1】．（23-24高二上·江西·期中）已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（    ） A． B．8 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由题意得，所以，所以. 故选：C. 【变式2】．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，则，设，有， 线段EF长最短，必满足，则有，解得，即， 因此，，当且仅当时取“=”， 所以线段EF长的最小值为. 故选：B 题型五：空间向量夹角坐标问题 【例5】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）在正方体中，以D为圆心，正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方形内画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧上任一点，点M，N到平面的距离相等，且，则___________． 【答案】或 【详解】设正方体棱长为1，建系，由题意设，则, ∵和都是单位向量，． ， 又． ． 答案：或 【变式1】．（21-22高二·全国·单元测试）若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则______． 【答案】. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角都等于， 所以，所以有， ， 故答案为： 【变式2】．（25-26高二上·北京·期中）已知为坐标原点，,,则的值为______；中，边上中线的长为______． 【答案】 【详解】①； ②在中，假设的中点为, 则上的中线可表示为,其模长为. 则上的中线长等于, 故答案为： 题型六：投影向量问题 【例6】．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 【变式1】．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 【变式2】．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知，，则在方向上的投影数量为_______，在方向上的投影向量为_________________ 【答案】 【详解】在方向上的投影数量为， 在方向上的投影向量为. 题型七：空间向量坐标综合问题 【例7】．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则，由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得，所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 【变式1】．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得，解得．故． 【变式2】．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【详解】(1)证明: 法1，结合题图，， 由题，， 则，所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 一、单选题 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 2．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知点，若点的坐标为， 则，故A错误； 若点的坐标为，则，故B正确； 若点的坐标为，则，故C错误； 若点的坐标为，则，故D错误. 4．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   5．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 6．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 【答案】D 【分析】根据向量共线定理、模的计算公式、投影向量、单位向量的定义逐项判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以，A正确； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：因为，所以， ，所以在上的投影向量是，C正确； 对于D：因为，所以， 所以与共线的单位向量是，D错误. 7．（2026·安徽滁州·一模）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆台上下底面半径分别为，，且圆台存在内切球， 根据圆台内切球性质，母线长. 由勾股定理，圆台的高满足： 代入得，即. 以为原点，以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 平面即为（平面），点到平面的距离； ， 设直线与平面所成角为，由线面角定义可知 . 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出点关于平面的对称点，再利用两点间线段最短求解. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，连接， 三棱锥是正四面体，令正的重心为，则， 因点即正的中心，则平面， 设，即点，则点与点关于平面对称， 由为平面内动点，得， 则， 当且仅当是线段与平面的交点时取等号， 所以的最小值为. 二、多选题 9．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10．（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 11．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 12．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设点是正四棱柱内一动点，，，，，如图所示，则下列正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，四面体外接球的半径的取值范围为 【答案】ACD 【详解】在正四棱柱中，可得面，， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 而，，由题意得，，， ，，则，，， 可得， 设，则， 得到，解得，则， 对于A，当时，， 由三棱锥的体积公式得， 则三棱锥的体积为，故A正确， 对于B，当时，此时可得，此时， 由两点间距离公式得， ， 则， 令，， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 得到最小值为，即的最小值为，故B错误， 对于C，连接，在面内，由题意得， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 此时设，，，，, 因为，所以，得到， 由两点间距离公式得 ， 则，当且仅当共线时取等， 由两点间距离公式得, 得到的最小值为，故C正确， 对于D，由题意得，，， 当时，可得，即，此时， 设球心为，半径为， 得到四面体外接球的方程为， 将代入方程，可得， 将代入方程，可得， 两式相减可得，解得， 将代入方程，可得， 与相减可得，解得， 则球心变为，此时， 化简得，将代入方程， 可得， 则，解得， 得到，解得，令， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，当时，，当时，， 得到，即， 可得四面体外接球的半径的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 13（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由，，， 则， 因为是锐角， 所以，且不共线， 则，解得且， 则实数a的取值范围为. 14．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 15．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【答案】 【详解】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直， 因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意，可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以， 所以的坐标为， 从而． 16．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在直三棱柱中，，O为BC的中点，M为棱上的动点，N为棱AM上的动点，且，则线段MN长度的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意，以为原点，以所在直线建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，， 那么，， 所以. ， 因为，所以，令， 因为，所以，即， 所以，因为函数在上是增函数， 所以． 四、解答题 17．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 18．（25-26高二下·陕西安康·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设是侧面内（含边界）一点，且，求长度的取值范围． 【答案】(1)连接，因为，分别为，的中点，所以，   又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以为原点建系，设，，，根据得，即可计算. 【详解】（1）略 （2）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，   因为，， 所以，，，， 则，，．   因为点在侧面内（含边界），所以可设，，， 则，所以．   由，得， 即，即，所以， 由，得，则．   ， 因为，所以，则，所以，   所以，所以长度的取值范围为． 19．（2025届《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学（五））如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接. (1)证明：； (2)若，直线与平面相交于点，求的值． 【详解】（1）由于侧棱平面平面，则，又，平面，则平面．平面，所以，由于，平面， 则平面，又平面，所以．又，平面， 则平面，由于平面，则． （2）以为坐标原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由于，． 由（1）知平面，即是平面的法向量．设，则， 即，解得，所以， 所以，，从而． 20．（2026高二·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，平面 平面，平面 平面． (1)求证：三棱柱是直三棱柱 (2)若，，，，是线段上一点，且 试问：在线段上是否存在一点，使得、、、、五个不同的点在同一个球的表面若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：平面内取一点（不在直线及直线上）， 作于点，作于点． 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 同理，，、平面，所以平面， 所以三棱柱是直三棱柱. （2）如图，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 故，，，，，， 设，则， 因为，所以， 解得，即点为侧棱的中点． 设球心，半径为， 因为平面，平面，所以. 所以球心应在过斜边中点且垂直于平面的直线上，所以，， 则球心， 由，得， 即，解得， 则球心，半径. 设，，则，所以 所以， 即，解得或（舍去）． 此时，则. 所以在线段上存在一点，当时， ，，，，五点在同一个球的表面上． 21．（25-26高二下·上海·期中）如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)存在； 【详解】（1）因为，所以． （2）设，， ， 所以； . （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲：空间向量及其运算的坐标表示 题型一、求空间点的坐标 2 题型二、空间向量平行坐标问题 3 题型三、空间向量垂直坐标问题 3 题型四：空间向量模长坐标问题 4 题型五：空间向量夹角坐标问题 4 题型六：投影向量问题 5 题型七：空间向量坐标综合问题 5 知识点一、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二、空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四、空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝；cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝||＝. 题型一、求空间点的坐标 【例1】．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标； 【变式1】．（24-25高二下·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______，若点关于平面对称的点为点，则______． 【变式2】．（22-23高二·全国·随堂练习）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标. 题型二、空间向量平行坐标问题 【例2】．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高二下·广东揭阳·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 题型三、空间向量垂直坐标问题 【例3】．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知向量，，若，则实数（    ） A．5 B． C．1 D． 【变式1】．（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 题型四：空间向量模长坐标问题 【例4】．（23-24高一下·河北·期末）已知点为坐标原点，且，则（    ） A．36 B． C．6 D． 【变式1】．（23-24高二上·江西·期中）已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（    ） A． B．8 C．3 D．2 【变式2】．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型五：空间向量夹角坐标问题 【例5】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）在正方体中，以D为圆心，正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方形内画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧上任一点，点M，N到平面的距离相等，且，则___________． 【变式1】．（21-22高二·全国·单元测试）若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则______． 【变式2】．（25-26高二上·北京·期中）已知为坐标原点，,,则的值为______；中，边上中线的长为______． 题型六：投影向量问题 【例6】．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【变式1】．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【变式2】．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知，，则在方向上的投影数量为_______，在方向上的投影向量为_________________ 题型七：空间向量坐标综合问题 【例7】．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【变式1】．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【变式2】．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 一、单选题 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 7．（2026·安徽滁州·一模）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 二、多选题 9．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 10．（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 11．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 12．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设点是正四棱柱内一动点，，，，，如图所示，则下列正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，四面体外接球的半径的取值范围为 三、填空题 13（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 14．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 15．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 16．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在直三棱柱中，，O为BC的中点，M为棱上的动点，N为棱AM上的动点，且，则线段MN长度的取值范围为________． 四、解答题 17．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 18．（25-26高二下·陕西安康·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设是侧面内（含边界）一点，且，求长度的取值范围． 19．（2025届《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学（五））如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接. (1)证明：； (2)若，直线与平面相交于点，求的值． 20．（2026高二·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，平面 平面，平面 平面． (1)求证：三棱柱是直三棱柱 (2)若，，，，是线段上一点，且 试问：在线段上是否存在一点，使得、、、、五个不同的点在同一个球的表面若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 21．（25-26高二下·上海·期中）如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $