广东省广州市南沙区2026-2027学年高三上学期9月阶段练习数学试题

**基本信息** 高三数学月考卷，以AI数据中心频率分布直方图等时代情境为载体，通过导数综合、立体几何探究等分层设问，覆盖函数、几何、统计等核心知识，适配高三阶段能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、双曲线、立体几何、统计（AI数据中心）等|第5题结合AI数据中心频率分布直方图，考查数学眼光观察现实世界| |填空题|3题15分|三角变换、向量模、空间点集期望|第14题空间64点集期望，体现数学思维的逻辑推理| |解答题|5题77分|函数奇偶性与方程、等比数列与项数统计、椭圆与圆综合、四棱锥面面垂直及夹角、导数单调性与公切线|19题导数综合题分层设问（单调性、公切线、存在性），考查数学语言表达与问题解决能力|

2026-2027学年第一学期高三阶段练习 数学 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知复数，，则（     ） A．2 B． C． D．8 3．已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 4．设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（    ） A．存在无数条直线与α，β都平行 B．存在无数个平面与α，β都垂直 C．对任意的直线，都存在直线，使得 D．对任意的直线，都存在直线，使得 5．某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ） A．   B．   C．   D．   6．由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 8．在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（    ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，互斥，则 C．若事件，相互独立，则 D．若，则 10．已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 11．已知正项数列满足：，（），其中为前n项和，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则____________. 13．已知向量满足，则的最小值是____________. 14．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． （1）若是奇函数，，求； （2）当时，求解方程：． 16．已知公比大于1的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前50项和． 17．已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B，O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程； （2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P． （i）证明：； （ii）试判断与的位置关系，并说明理由． 18．已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，（）． （1）证明：平面平面； （2）若，， （i）求PD的长； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 19．已知函数，，，且． （1）讨论函数的单调性； （2）若曲线和存在公切线，求a的取值范围； （3）若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三阶段练习 数学 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则 A． B． C． D． 【答案】A 2．已知复数，，则（     ） A．2 B． C． D．8 【答案】B 3．已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 4．设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（    ） A．存在无数条直线与α，β都平行 B．存在无数个平面与α，β都垂直 C．对任意的直线，都存在直线，使得 D．对任意的直线，都存在直线，使得 【答案】C 【分析】借助于长方体模型逐一判断各选项即可. 【详解】 如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面. 对于A，因，且，且，则， 显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误； 对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面， 即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误； 对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线，则， 从而对平面内的任意直线，都有，即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误； 对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面， 则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得，因， 则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立； 反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面，使， 则必有，故必要性成立，故C正确. 5．某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. 6．由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 7．已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【答案】C 8．在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】依题意可得，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为的三角函数，结合的范围及余弦函数的性质计算可得. 【详解】在锐角中，，则，又， 所以， 又，所以，所以， 所以， 故符合题意的只有B. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（    ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，互斥，则 C．若事件，相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、对立事件的概率计算公式及条件概率、全概率公式求解即可. 【详解】选项A：若事件，互斥，则，A正确； 选项B：，. 若事件，互斥，事件，不一定互斥，因此. 实际（事件，互斥，），B错误； 选项C：若事件相互独立，则，C正确； 选项D：由得，， 所以，D正确. 10．已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 11．已知正项数列满足：，（），其中为前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则____________. 【答案】1 【分析】根据对数的运算求解. 【详解】因为， 所以， 故， 故答案为：1 13．已知向量满足，则的最小值是____________. 【答案】4 14．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________． 【答案】 【分析】由题意可知，根据古典概型求相应的概率，进而可得期望. 【详解】由题意可知：， 且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 依题意，可得， ， ，， ，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． （1）若是奇函数，，求； （2）当时，求解方程：． 解：（1）由于是奇函数，故， 又，所以， 当时，， 故此时确实是奇函数，因此． （2）， 若，则， 若，则，或， 综上，方程的解集为． 16．已知公比大于1的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前50项和． 【详解】（1）由于数列是公比大于1的等比数列， 设首项为，公比为， 依题意有， 解得：或（舍）. 所以. （2）（i）由题意，，即， 当时，， 当时， （ii）当时，，共有个， 则 . 17．已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B，O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程； （2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P． （i）证明：； （ii）试判断与的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）因为圆经过下顶点，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆E的方程为. （2）（i），故， 故. （ii），证明如下： 由（1）知， 要证，只需证，即，得， 又，所以只需证. 设，因为，所以， 当直线的斜率不存在时，易知其方程为，则， 因为，，所以 将代入得，代入得. 当直线的斜率存在时，设其方程为，易知， 则，代入，得：， 整理得， 又圆与直线相切，所以， 所以，， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 又，所以， 由，解得. 综上，，即可得证.    18．已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，（）． （1）证明：平面平面； （2）若，， （i）求PD的长； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）证明：如图连接交于点，连接， 因四边形是边长为2的正方形，则,， 根据题意，，则， ，从而， 又因，平面，则平面， 因平面，故平面平面； （2）（i）由条件，，，结合余弦定理可得： ，同理可得. 因,则，是直角三角形. 又，则. 在，中，根据余弦定理可得: ， 代入数据可得， （ii），故， 由（1）可得平面平面，又平面平面， 平面，可得平面．结合平面， 可得，，又因面，面， 因此平面与平面的交线，且，， 则，，也即即为平面与平面夹角， 因此． 19．已知函数，，，且． （1）讨论函数的单调性； （2）若曲线和存在公切线，求a的取值范围； (3)若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围． 【详解】（1）因，， 则， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）因，则曲线在点处的切线方程为：，即， 又因，则曲线在点处的切线方程为，，即， 所以，故，且， 所以，整理得，（*）， 设，则， 当时，，当时，， 故在区间单调递减，在区间单调递增， 所以的极小值，也是最小值为， 由（*），可得，解得，所以a的取值范围是． （3）依题意，且．由得，代入得， 即．设，则，代入上式得，整理得． 同理，设，可得．因为，所以，即． 故问题转化为函数至少有两个零点． 则，设函数，则， 因,当时，,当时，, 在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 若，则，在上单调递减，至多1个零点，不符题意； 若，即，则函数存在两个零点，记为，， 且，其中， 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增， ， 同理，可得， 设，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，， 因为，且， 所以，且，， 所以，且， 所以在区间，，上各存在一个零点，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $