26.4 实际问题与二次函数（第1课时）——几何图形最值 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦几何图形最值与二次函数的应用，以“20m篱笆围矩形菜园”情境导入，通过提问引导学生从实际问题抽象出二次函数模型，衔接已学二次函数知识，搭建“实际问题—函数模型”的学习支架。 以建模教学法为主线，通过任务驱学（设变量、列函数、求最值）和探究合作，培养学生数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理意识），如变式训练中靠墙围矩形需确定自变量范围，深化模型观念。助力学生掌握建模方法，提升教师教学效率。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 26.4 实际问题与二次函数（第1课时）——几何图形最值 课 型 新授课 教学 目标 1.能根据实际问题中的几何关系建立二次函数模型。 2.会用二次函数的最值解决几何图形的面积（周长）最值问题。 3.体会“实际问题—函数模型—求解—检验”的建模过程。 重点 用二次函数求几何图形面积的最大值（或最小值）。 难点 正确建立面积与自变量的二次函数关系，并确定自变量取值范围。 教学 方法 建模教学法、数形结合法、探究合作法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：用总长20m的篱笆围矩形菜园，怎样围面积最大？ 2.互动提问：面积随长变化，能否用函数描述这个变化关系，从而求最大值？ 任务驱学 任务1：设矩形一边为xm，则另一边为(10-x)m，面积S=x(10-x)。 任务2：S=-x²+10x，这是二次函数，开口向下，有最大值。 任务3：求最大值：配方S=-(x-5)²+25，当x=5时S最大=25。 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 建模：把实际问题中的变量关系表示为二次函数。 探究2 求最值：利用顶点坐标求最值，注意自变量范围。 探究3 结论：周长固定的矩形，围成正方形时面积最大。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 用20m篱笆围矩形菜园，求最大面积（见课件图）。 （设一边x，S=x(10-x)=-x²+10x=-(x-5)²+25，当x=5时S最大=25m²，围成5m×5m正方形） 例2 一段长为L的篱笆围成矩形，怎样围面积最大？ （一边为时，即正方形，面积最大） 例3 在面积为S的矩形中，周长的最小值是多少？ （周长C≥4，当且仅当为正方形时取等号） 方法归纳：设变量→列函数→求顶点→检验范围。 变式训练 变式1 用一根长100cm的铁丝围成矩形，求最大面积。 （边长25cm，面积最大625cm²） 变式2 某农场靠墙围矩形菜园（墙长10m），篱笆总长24m，求最大面积。 （设垂直墙一边x，面积S=x(24-2x)=-2x²+24x，x=6时S最大=72m²） 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演建模求解过程；小组讨论“为什么正方形面积最大”；教师总结数学模型。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：周长20cm的矩形，面积最大为____cm²。 2.填空：矩形一边为x，另一边为10-x，面积S=____。 3.用12m篱笆围矩形（不靠墙），求最大面积。 【参考答案】1.25；2.-x²+10x；3.一边3m，S最大=9m² 反馈订正：第1题边长5cm时最大25；第3题配方求最值。 拓展提升 巩固1 一根篱笆长40m围矩形，求最大面积。 （一边10m，S最大=100m²） 巩固2 直角三角形面积固定为6，两直角边和的最小值是多少？ （设一边x，S=()，x+≥2≈6.93） 反馈订正 互批；对建模困难的学生，引导“先画图设未知数”。 二次备课 课 堂 小 结 1.设变量列函数。 2.配方求最值。 3.检验范围。 课后 作业 1.必做：课本26.4练习第1题；习题26.4第1题。 2.选做：设计围栏方案使面积最大。 板 书 设 计 26.4 几何图形最值 一、建模：S=-x²+10x 二、配方求最值 三、检验 课 后 反 思 教学反思 1.实际问题情境激发兴趣。 2.“正方形面积最大”结论深刻。 3.范围限制需注意。 4.建模思想贯穿。 学科网（北京）股份有限公司 $