福建省龙岩第一中学2026-2027学年高一上学期周测数学试题（9.11）

### **基本信息** 高一数学周考卷，聚焦集合、不等式等核心内容，以数字经济情境题（如机器人成本利润计算）与新定义问题（如集合“容量”）为亮点，实现基础巩固与能力分层，适配周测学情诊断需求。 ### **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、全称量词命题、充分必要条件|基础概念辨析，如第5题考查“a²>b²”与“a>b”的条件关系| |多选题|3/18|集合关系、基本不等式、取整函数|综合应用，如第11题结合新定义考查取整函数性质| |填空题|3/15|不等式化简、最值、集合“容量”|创新定义，如第14题定义集合“容量”求参数| |解答题|3/43|命题真假、集合关系、成本利润计算|情境应用，如第17题以人工智能企业为背景解决成本与利润问题|

龙岩一中2029届高一上学期周考（第2周)20260911 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0Kx≤2}，则AUB=() A.{x|0≤x<1} B.{x|-1<x≤2}C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x<1} 2.下列是全称量词命题且是真命题的是() A.x∈R,x20 B.x2∈Q,x∈Q C.x∈R,x2>1 D.x,y∈R,x2+y2>0 3.已知A={x-1<x<k,x∈N},若集合A中恰有3个元素，则实数k的取值范围是() A.(2,3) B.[2,3) C.(2,3] D.[2,3] 4.已知a>b>0>c,则下列结论正确的是() A.√a<√b B.ac >bc C.csb b-csb D. a-c a-b a-c a 5.己知a、b都是实数，那么“a<b<0”是“1>”的()】 a b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A、B的大小关系是() A.A≤B B.A>B C.A<B或A>BD.A>B 7.己知集合A满足条件：若a∈A,则}+C∈A,那么集合A中所有元素的乘积为()） 1-a A.-1 B.1 C.0 D.±1 8.已知x+1>y>0,则x+ 一+ 的最小值为() x+y+1x-y+1 A3-1 C.23-1 D.3√2-1 试卷第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则() A.A∩B={0,1} B.C,B={4) C.AUB={0,1,3,4} D.集合A的真子集个数为8 10.设正实数a,b满足a+b=1,则(). A.1+有最大值4 a b B历有景大时 C.√a+√b有最大值2 D.a+有最小谊时 11.取整函数：[x]=不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[2]=2，[-1.2]=-2.以下关于“取整 函数”的性质叙述正确的有() A.x∈R,[3x=3[x+2 B.Vx,yER,[x]=[y],y1 C.Vx,yER,[x+y[x]+[y] D.x∈R,[x+[x+J]=[2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12若x+=4,则 9x4+x2+1=— 13.已知x>0,y>0,(2x+1)(3y+2)=9,则2x+3y的最小值为 14.若有限集合A={a1,a2,ag·an},定义集合B={a+ajl1≤i<j≤n,i,j∈N中的元素个 数为集合A的“容量”，记为L(A),现已知A={x∈N|1≤x≤m},且L(A)=4039,则正 整数m的值是 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分) 已知命题p:1≤x≤2，x2-a>0,命题q:3xeR,x2+2ax+2a+a2=0. (I)若命题一P为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和一q均为真命题，求实数a的取值范围， 16.（本小题15分) 已知集合M={x|-2<x≤4}，集合N={x-4<x-m<4}. (I)若MCN,求实数m的取值范围： (2)是否存在实数m,使得x∈CM是x∈CN的必要不充分条件？若存在，求实数m的取值范 围：若不存在，请说明理由 试卷第3页，共4页 17.(本小题15分) 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用 推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人 工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇 宙、无人驾驶等现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分 构成：①固定成本：1000万元：②材料成本： 10r+） 万元，x为每月生产人形机器人的个数 10 ()该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (②)若每个人形机器人的告价为23+)万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够传出，则 该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润=售价×销量-成本 试卷第4页，共4页 龙岩一中2029届高一上学期周考（第2周)20260911 答案和解析 1.B2.A3.C4.C5.A6.B7.B8.D9.AC10.BCD11.ABD12.13.314.2021 15 15.解：()根据题意，知当1≤≤2时，1≤x2≤4. p:1≤≤2，x2-a<0,为真命题， .a>1. .实数a的取值范围是{aa>1. …6分 (2)由(I)知命题p为真命题时，a≤1. 命题q为真命题时，△=4a2-4(2a+a2)>0, 解得a≤0，∴.q为真命题时，a>0. 命题p和一q均为真命题， a≤1 ∴. a>0'解得0<al, 即实数a的取值范围为{a0<a≤. …13分 16.解：根据题意，得N={xm-4<x<m+4. (I)由CN={x|x≤m-4或⊙m+4}, 则m+4≤-2或m-4>4 解得m≤-6或m≥8. 所以实数m的取值范围是{mm≤-6或m≥8}： …7分 (2)假设存在实数m,使得x∈CM是x∈CN的必要不充分条件， 所以CNCM,即MN, 「m-4≤-2 则 m+4>4 答案第1页，共4页 解得：0<≤2 故存在实数me{m0<≤2}，使得xeCM是x∈CN的必要不充分条件. …15分 17.解：(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有 1000+10x 1000x y= +10_1000+X+10>2 +10=30, x10 x10 当且仅当100=，即x=100时取等号， x10 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元； …8分 ②)设月利润为w万元，则有w-23+ 100-10x--+13x-1000. 1010 由题知+13x-100400,整理得2+130x-14000,解得之70， 10 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.…15分 部分选填题解析如下： 6【解折】A-B=a+3ab-ab-的=a2-b+=a-+≥0，心n 4 故选B. 1+1+a 1+aeA,令a= 7.【解析】由题意，当a∈A时，1-a +0代入+0， ∈A, ,则4=-二e 1-a1-a 1-a 1-1 1+a1 则4=a-1 1a+1 1+ 1-a-1 a a+1 =1,故选B. a+1 8.【解析】设x+1=a,则a>y>0,所以+、4 x+y+1y+7a-1+4+1 1 a+y a-y a-17e-训a52 2a a+y a-y 答案第2页，共4页 ≥a-1+15+2,4a=》.a+1=a-1 9 2a y a+y a-y 0.9-1=3W2-1. +2a≥2a2a “=”当且仅当2a-》=a+y且a=35时取得，北时x=35-1,y=5 2 2 2 4 1 所以x+ +y+1x-y+的最小值为32-1. 故选D. 【解析】因为正实数，b满足a+b=1,所以a+b>2ah,可得0<aK当 a=b时，取等号. 11+11之4，即+5有最小值4， 。11 则二+二= a b ab 由0<V<)可知品有最大值；： 即6+6-a-b-2而-+2≤+2x反. 故√a+√b有最大值√2. 由a2+b2>≥2ab,可得2(a2+b2)≥(a+b)2=1, 则a2+心)当且仅当a=b=方时。d+6取得景小道号 11.【解析】对于A,当x=1.7时，3x=5.1,则3x]=5,3[x]=3,则[3x=3x]+2,故A正 确； 对于B,设[x]=[y]=m,则x=m+t,O≤t<1,y=m+S,O≤s<1,则 |x-y曰(m+t)-(m+s)曰t-s卡1，故B正确： 对于C,设[x]=x-a,[y]=y-b,a∈[0,1)，b∈[0,1)， 则[x+y]=[x]+a+[y]+b]=[x]+[y]+a+b]=[x]+[y]+[a+b], 当a+b∈[0,1)时，[a+b]=0,则[x+y]=[x]+[y]: 答案第3页，共4页 当a+b∈[l,2)时，[a+b]=1,则[x+y=[x+[y+1x+[y,故C错误： 对于D,设=-a,ac0,因+k+=++a+孕=2国+a+克， 当ac02时，a1n则因x24,2则ad2. ae0吃2a∈01得21-+2al-2-因+x+ 当ae时.a+l字则因k+宁21,2时2a, a∈l).2a∈[L.2,得2=[2+2a=21+1=+x+之故D正确. 故选：ABD. 11 2【解折】+必+五士1e+1167固 13.【解析】解：.x>0,y>0,(2a+1)(3y+2)=9, .2x+3y=(2x+1)+(3y+2)-3≥2V(2x+1)3y+2)-3=2×3-3=3(当且仅当 2x+1=3y+2=3,即x=1,y=。时取等号)，故答案为：3. 3 14.【解析】因为A={x∈N1≤x≤m},结合集合元素的互异性， 所以B={a+a1≤i<j≤n,i,j∈N}中的元素依次为3,4,5,6,7，…，m+m-1, 故L(A)=2m-3,又L(A)=4039,所以2m-3=4039,解得m=2021.故答案为2021. 答案第4页，共4页龙岩一中2029届高一上学期周考（第2周）20260911 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.下列是全称量词命题且是真命题的是(    ) A. R， B. Q，Q C. R， D. ，R， 3.已知，若集合A中恰有3个元素，则实数k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.已知a、b都是实数，那么“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.若，，则A、B的大小关系是    A. B. C. B或 D. 7.已知集合A满足条件：若，则，那么集合A中所有元素的乘积为      A. B. 1 C. 0 D. 8.已知，则的最小值为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设全集，集合，，则    A. B. C. D. 集合A的真子集个数为8 10.设正实数a，b满足，则 A. 有最大值4 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 11.取整函数：不超过x的最大整数，如，，以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有(    ) A. ， B. ，，，则 C. ，， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则        . 13.已知，，，则的最小值为          . 14.若有限集合，定义集合中的元素个数为集合A的“容量”，记为，现已知，且，则正整数m的值是          . 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知命题，命题，. 若命题为真命题，求实数的取值范围； 若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 16.本小题15分 已知集合，集合 若，求实数m的取值范围； 是否存在实数m，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 17.本小题15分 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本单位：万元由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. 该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ 若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润=售价销量-成本. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 龙岩一中2029届高一上学期周考（第2周）20260911 答案和解析 1. B 2. A  3. C 4. C 5. A 6. B  7. B  8. D  9. AC 10. BCD 11. ABD 12.  13. 3  14. 2021  15. 解：根据题意，知当时， ，为真命题， 实数a的取值范围是 ……6分 由知命题p为真命题时， 命题q为真命题时，， 解得为真命题时， 命题p和均为真命题， ，解得， 即实数a的取值范围为  ……13分 16. 解：根据题意，得 由或， 则或 解得或 所以实数m的取值范围是或 ……7分 假设存在实数m，使得是的必要不充分条件， 所以，即， 则 解得： 故存在实数，使得是的必要不充分条件.  ……15分 17. 解：设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元; ……8分 设月利润为W万元，则有， 由题知，整理得，解得， 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.  ……15分 部分选填题解析如下： 6. 【解析】 ， 故选 7. 【解析】由题意，当时，，令代入，则， 则，则，即，所以，故选 8. 【解析】设，则，所以 “=”当且仅当且时取得，此时，， 所以的最小值为 故选 10.【解析】因为正实数a，b满足，所以，可得，当且仅当时，取等号. 则，即有最小值 由，可知有最大值， 即， 故有最大值 由，可得， 则，当且仅当时，取得最小值 11.【解析】对于A，当时，，则，，则，故A正确； 对于B，设，则，，，，则，故B正确； 对于C，设，， 则， 当时，，则； 当时，，则，故C错误； 对于D，设，， 当时，则，， 得， 当时，则，， 得故D正确． 故选： 12.【解析】 13.【解析】解：，，， 当且仅当，即，时取等号，故答案为： 14.【解析】因为，结合集合元素的互异性， 所以中的元素依次为3，4，5，6，7，…，， 故，又，所以，解得故答案为 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $