专题02 勾股定理（8题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题02 勾股定理（8题型突破·举一反三） 题型01 直接运用勾股定理求边长 题型02 用勾股定理的逆定理判定三角形形状 题型03 折叠（翻折）问题 题型04 最短路径问题（立体图形展开） 题型05 网格与数轴上的无理数 题型06 实际应用问题（建模） 题型07 面积法与勾股定理结合 题型08 动点问题与分类讨论 ▌题型01 直接运用勾股定理求边长 题目直接给出直角三角形及其中的两边，求第三边；或在图形中已知垂直关系求线段长。 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）已知，在中，，，边上的高，则边BC的长为__________． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，，将绕着点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，连接，当时，的长是______． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，点在边上，且．现将绕着点旋转得到，点分别与点对应，连接．如果点在直线上，那么_____． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且． (1)求证：N是边的中点； (2)当，，时，求的长． ▌题型02 用勾股定理的逆定理判定三角形形状 已知三角形三边（或能求出三边），判断它是否为直角三角形、求面积或求某角。 【典例2-1】（24-25八年级上·上海静安·期末）已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件中，能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）在下列条件中：，②，③，④中，能确定是直角三角形的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： (1)在网格中画，使的三个顶点都在小正方形的格点上，三边的长分别为． (2)判断的形状，并说明理由． (3)求作点，使，且点到的距离相等．（保留作图痕迹） 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期末）我们把有一个内角等于的直角三角形叫做“型直角三角形”， (1)如图，已知，在中，，，，求证：是“型直角三角形”； (2)请你用三个不全等的“型直角三角形”拼成一个“型直角三角形”， 并画出这个拼图． 画图要求： ①只要给出一种画法．三个“型直角三角形”不能重叠、不能有缝隙． ②在图中标出每个“型直角三角形”的每个锐角的度数． ▌题型03 折叠（翻折）问题 矩形、三角形纸片沿某条直线折叠，求折叠后某条线段的长。折叠属于轴对称变换，折痕即对称轴。 【典例3】（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，中，，现将翻折，使点和点重合，折痕分别交、于点、，那么___________． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是___________． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知中，，，现将进行折叠，使点、重合，折痕分别交的两边于点、，，那么___________． 【变式3-3】如图，长方形中，，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_______． ▌题型04 最短路径问题（立体图形展开） 长方体（或圆柱、圆锥）表面上的小虫或蚂蚁从一点沿表面爬到另一点，求最短路径长。 【典例4】如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是______． 【变式4-1】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要_______． 【变式4-2】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为______cm． 【变式4-3】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． ▌题型05 网格与数轴上的无理数 【典例5-1】如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】如图①，有十个边长为1的小正方形组成的图形．我们可以把这个图形剪开拼成一个正方形，如图②中的虚线． (1)图②中拼成的正方形的边长是_____； (2)在的方格图③中，连接4个格点能组成面积为10的正方形吗？若能，请用直尺画出来． (3)如图④，数轴上点表示的数是_____． 【变式5-1】如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为______． 【变式5-2】（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【变式5-3】我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题： (1)如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． (2)如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______． (3)如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹） ▌题型06 实际应用问题（建模） 梯子靠墙、旗杆拉绳、树被吹断、航海测距、测量高度等实际问题，需要把题目中的几何关系转化为直角三角形。 【典例6-1】如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m． 【典例6-2】如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面3米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为________米． 【典例6-3】在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【典例6-4】如图一架云梯斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根O的距离长为7米，梯子的顶端A到地面的距离为24米． (1)求这个梯子的长； (2)如果梯子的顶端A下滑4米到点，梯子的底端B向右滑动到点，试求的长． 【变式6-1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高尺，可列方程得_____________． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为_____． 【变式6-3】如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里． 【变式6-4】如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 【变式6-5】如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【变式6-6】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． ▌题型07 面积法与勾股定理结合 直角三角形中求斜边上的高；弦图（赵爽弦图）、勾股树中的面积关系；由面积求线段。 【典例7-1】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 【典例7-2】如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【典例7-3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【典例7-4】（25-26八年级上·上海松江·期末）综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 【变式7-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【变式7-2】如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是______． 【变式7-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是__________． 【变式7-4】如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为__________． 【变式7-5】利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． ▌题型08 动点问题与分类讨论 动点在三角形的边上运动，求满足某条件（如构成直角三角形、等腰三角形）时的长度；或直角位置不明确，需要分情况讨论。 【典例8-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图1，在中，，，，若点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）． (1)当点分别运动在线段、上时，用的代数式表示的长度； (2)当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； (3)点运动的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【典例8-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图1，在中，，，点是边上的动点（点与点不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点作直线，交边于点，连接． (1)当点在边上时，设，用含有的代数式表示的长； (2)判断的形状，并证明； (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例如图3中，在中，如果，，那么．如果，请利用上述性质求的长． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)当点与点重合时，求的长； (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海·期末）在长方形中，，点为边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点为的中点，延长交边于点． ①求证：； ②连接，求的长度． (2)如图2，若点为边上的一动点，连接能否为直角三角形？若能，直接写出的值__________；若不能，请说明理由． 【变式8-3】如图①，在长方形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，线段的长为_____． (2)当点和点重合时，求线段的长； (3)如图②，当点在边上运动时，当的形状始终是_____． (4)作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理（8题型突破·举一反三） 题型01 直接运用勾股定理求边长 题型02 用勾股定理的逆定理判定三角形形状 题型03 折叠（翻折）问题 题型04 最短路径问题（立体图形展开） 题型05 网格与数轴上的无理数 题型06 实际应用问题（建模） 题型07 面积法与勾股定理结合 题型08 动点问题与分类讨论 ▌题型01 直接运用勾股定理求边长 题目直接给出直角三角形及其中的两边，求第三边；或在图形中已知垂直关系求线段长。 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）已知，在中，，，边上的高，则边BC的长为__________． 【答案】或 【详解】在中，，，，由勾股定理得：； 在中，，，，由勾股定理得：； 当为锐角三角形时，点D在上，， 当为钝角三角形时，且为钝角，点D在BC的延长线上，． 故答案为：或． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，，将绕着点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，连接，当时，的长是______． 【答案】或 【详解】解：当在内部时，如图，过作交延长线于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当在外部时，如图， ∵，， ∴，， ∴三点共线， ∴， 根据旋转的性质，， ∴， 综上可得：的长是或． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，点在边上，且．现将绕着点旋转得到，点分别与点对应，连接．如果点在直线上，那么_____． 【答案】或 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ， ∴． ∵，， ∴，． 在中，∵，，， ∴， ， ∴． 由旋转性质可知：， ，． 情况1：点在线段上， ∵，， ∴． 在中，∵，，， ∴， ， ∴． 情况2：点在线段的延长线上， ∵，， ∴． 在中，∵，，， ∴， ， ∴． 故答案为：或． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且． (1)求证：N是边的中点； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴N是边的中点； （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：的长是． ▌题型02 用勾股定理的逆定理判定三角形形状 已知三角形三边（或能求出三边），判断它是否为直角三角形、求面积或求某角。 【典例2-1】（24-25八年级上·上海静安·期末）已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件中，能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，∵ ，， 设，则， ∴ ，解得， ∴ ，故是直角三角形； 选项B，∵ ，设，，， ∴ ， 解得， 最大角，故不是直角三角形； 选项C，∵ ，设， ∴ ，，，是最大边， ∴ ，，，故不是直角三角形； 选项D，∵ ，，， ∴ ，，，故不是直角三角形． 【典例2-2】如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度． 【答案】 【详解】解：连接、，如下图： 由勾股定理得，，， ，， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，为直角三角形， ∴ ∴ 故答案为： 【变式2-1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）在下列条件中：，②，③，④中，能确定是直角三角形的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①：由，可知，故能确定； ②：，缺少足够的条件，如当，时满足题意，此时，不是直角三角形，故不能确定； ③：由勾股定理的逆定理，满足的三角形是直角三角形，故能确定； ④：由，可设，则，， ∵， ∴由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，故能确定， 故选：C． 【变式2-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： (1)在网格中画，使的三个顶点都在小正方形的格点上，三边的长分别为． (2)判断的形状，并说明理由． (3)求作点，使，且点到的距离相等．（保留作图痕迹） 【答案】(1)如图所示： (2)解：是直角三角形， 理由：三边的长分别为， 是直角三角形 (3)点如图所示： 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期末）我们把有一个内角等于的直角三角形叫做“型直角三角形”， (1)如图，已知，在中，，，，求证：是“型直角三角形”； (2)请你用三个不全等的“型直角三角形”拼成一个“型直角三角形”， 并画出这个拼图． 画图要求： ①只要给出一种画法．三个“型直角三角形”不能重叠、不能有缝隙． ②在图中标出每个“型直角三角形”的每个锐角的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ， ∴， ∴为直角三角形． 延长至，使，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴是“型直角三角形”； (2)如图，三个“型直角三角形”拼成“型直角三角形”． ▌题型03 折叠（翻折）问题 矩形、三角形纸片沿某条直线折叠，求折叠后某条线段的长。折叠属于轴对称变换，折痕即对称轴。 【典例3】（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，中，，现将翻折，使点和点重合，折痕分别交、于点、，那么___________． 【答案】 【详解】解：根据折叠的性质，得，设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是___________． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 设， 则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知中，，，现将进行折叠，使点、重合，折痕分别交的两边于点、，，那么___________． 【答案】或 【详解】解：∵将进行折叠，使点、重合， ∴折痕一定经过的中点，即点D为的中点， 如图所示，当点E在上时，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图所示，当点E在上时，连接， 同理可得此时， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【变式3-3】如图，长方形中，，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_______． 【答案】2或32 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴B、、E三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； 如图2，当点在延长线上时， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴B、、E三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴． 综上所述，的长为2或32 故答案为：2或32． ▌题型04 最短路径问题（立体图形展开） 长方体（或圆柱、圆锥）表面上的小虫或蚂蚁从一点沿表面爬到另一点，求最短路径长。 【典例4】如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是______． 【答案】10 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，过作于， 由题意可得，， 在中，由勾股定理得，斜边． 故答案为：． 【变式4-1】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要_______． 【答案】 【详解】解：将长方体展开，连接，如图， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上， 且， ∴， 根据两点之间线段最短，； 故答案为：． 【变式4-2】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为______cm． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， 在展开图1中，连接，过N作，由题意得：，，， 在中，由勾股定理得， 在展开图2中，连接，易得：， 在中，由勾股定理得， 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为． 故答案为． 【变式4-3】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． ▌题型05 网格与数轴上的无理数 【典例5-1】如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故选 C． 【典例5-2】如图①，有十个边长为1的小正方形组成的图形．我们可以把这个图形剪开拼成一个正方形，如图②中的虚线． (1)图②中拼成的正方形的边长是_____； (2)在的方格图③中，连接4个格点能组成面积为10的正方形吗？若能，请用直尺画出来． (3)如图④，数轴上点表示的数是_____． 【详解】（1）解：10个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，为10， 所以拼成的正方形的边长为， 故答案为：； (2)能，如图所示： （3）解：由数轴可知， 点表示的数为， 故答案为：． 【变式5-1】如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为______． 【答案】 【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1， ∴阴影正方形的边长即圆弧半径为， ∴点到表示数1的点的距离是， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式5-2】（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【详解】解：（1）如图1，正方形即为所求． （2）∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， 即， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点E所表示的数为 故答案为：． （3）如图，点D所表示的数为，点E所表示的数为． 【变式5-3】我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题： (1)如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． (2)如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______． (3)如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)； (3)如图，所画正方形，点P为所求作： 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴由勾股定理得， 由画图知， ∴， ∴A点表示的数为；B点表示的数为； 故答案为：；； （3）解：∵， ∴所画正方形的边长为，其面积为5； 如图，在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点， ∵， ∴， ∴ RN5点P表示的数为． ▌题型06 实际应用问题（建模） 梯子靠墙、旗杆拉绳、树被吹断、航海测距、测量高度等实际问题，需要把题目中的几何关系转化为直角三角形。 【典例6-1】如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m． 【答案】10 【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m． 故答案为：10． 【典例6-2】如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面3米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为________米． 【答案】 【详解】解：由题意可得：米，米，， 由勾股定理可得：米， ∴这棵大树在折断前的高度为米， 故答案为：． 【典例6-3】在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【答案】居民楼的高度为米． 【详解】解：如图，过点作．可知，． 设居民楼的实际高度为米，根据题意， 绳子的长度为米，米，米， 在中，根据勾股定理： ， 代入已知条件： ， 展开化简： ， ， ， 可得． 答：居民楼的高度为米． 【典例6-4】如图一架云梯斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根O的距离长为7米，梯子的顶端A到地面的距离为24米． (1)求这个梯子的长； (2)如果梯子的顶端A下滑4米到点，梯子的底端B向右滑动到点，试求的长． 【详解】（1）解：在中，米，米， 根据勾股定得米 ∴米； （2）解：米， 在中，根据勾股定理得， 所以米， 所以米． 【变式6-1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高尺，可列方程得_____________． 【答案】 【详解】解：设折断处离地而高尺，可列方程得， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为_____． 【答案】2 【详解】解：如图所示：是直角三角形， ∵底面半径为半径为，高为， ， 由勾股定理得：， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：， 答：吸管露在杯口外的长度最少2厘米， 故答案为：2． ． 【变式6-3】如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里． 【答案】 【详解】解：由已知得，AB=×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°． 过点B作BN⊥AM于点N． ∵在直角△ABN中，∠BAN=30° ∴BN=AB=7海里． 在直角△BNM中，∠MBN=45°， 则直角△BNM是等腰直角三角形． 即BN=MN=7海里， ∴BM=（海里）． 故答案为：． 【变式6-4】如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 【详解】（1）解：处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且， ， 答：两村的距离为米； (2)解：没有危险不需要封锁， 理由如下： 过点作，如图所示： 利用面积相等得到，即，解得， 爆破点 周围半径750米范围内不得进入，， 在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁． 【变式6-5】如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． (2)解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 【变式6-6】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 【详解】解：小试牛刀：由图可知： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    则：，， ， 在中，由勾股定理，得， （千米）， ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，则，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． ▌题型07 面积法与勾股定理结合 直角三角形中求斜边上的高；弦图（赵爽弦图）、勾股树中的面积关系；由面积求线段。 【典例7-1】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 由勾股定理得． ∵ 正方形面积等于边长的平方，且，，， ∴ ． 又∵ ， ∴ 将代入得：． 化简得，解得． ∵ 阴影部分面积等于面积的一半， ∴ 阴影部分面积． 故选：C． 【典例7-2】如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 【典例7-3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【答案】D 【详解】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ， 同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ， ∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ， ， ∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ． 故选：D． 【典例7-4】（25-26八年级上·上海松江·期末）综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 【答案】（1）方法1：正方形的面积， 方法2：正方形的面积， （2）证明：         即 连接，设 ，， ， 即； （3）过点A作于点D，过点C作于点H， 米，米，， （米）， （米）， ， ， （米）． 【变式7-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 【变式7-2】如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是______． 【答案】 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【变式7-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：设， 则，解得； ，解得； ； ． ∵， ∴， 即， 由，得，化简得； 将，，代入； 即，解得，则； ∴； 故答案为． 【变式7-4】如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为__________． 【答案】32 【详解】解：由图可得，每一个长方形的长是宽的2倍， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴. 即A、B、C、D的面积之和为． 故答案为：． 【变式7-5】利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：或， 则这个等式是； (2)画图为 (3)证明：大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以整理得（4）解：由（3）可知， 因为， 所以，， 利用完全平方公式，可得 所以直角三角形的面积为． ▌题型08 动点问题与分类讨论 动点在三角形的边上运动，求满足某条件（如构成直角三角形、等腰三角形）时的长度；或直角位置不明确，需要分情况讨论。 【典例8-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图1，在中，，，，若点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）． (1)当点分别运动在线段、上时，用的代数式表示的长度； (2)当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； (3)点运动的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 由题意得，点运动的路程为， 当点在边上运动时， 可得：； 当点在边上运动时， 可得：； （2）解：如下图所示，过点作， 平分， ， 在和中，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 点运动的路程为， ； （3）解：为等腰三角形， 当点在边上，且时，如下图所示， 可得：， ； 当时，如下图所示， 点运动的路程为， ； 当点在边上，且时，如下图所示， 过点作， ， ， ， ， ， 点运动的路程为， ； 当时，如下图所示， 过点作， 则有，， ， ， ，， ， ， ， 点运动的路程为， ； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或或． 【典例8-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图1，在中，，，点是边上的动点（点与点不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点作直线，交边于点，连接． (1)当点在边上时，设，用含有的代数式表示的长； (2)判断的形状，并证明； (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例如图3中，在中，如果，，那么．如果，请利用上述性质求的长． 【详解】（1）解：，， ∴， 又， 为等腰直角三角形， ， ∴， ， ； (2)等腰直角三角形，证明：如图1，当点在边上时， ，， ， 点是的中点， ，， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形； 如图2，当点在线段的延长线上时，   ，， ， 点是的中点， ，， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图1，当点在线段上时，，，     ， ， ，即， ， ∴， ，， 在中，， ，即， ， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，，，，    同理可得，， 在中，， ， 综上，如果，的长为或． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)当点与点重合时，求的长； (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【详解】（1）解：当点与点重合时， ， 点是中点， ， ， 在中，． （2）解：如图：作垂足为， 在中， ． 在中，． 在中，， ，， ，即． （3）解：是以DF为腰的等腰三角形 分两种情况或 ①当时 ， 结合（2）可得：，即，解得：． ． ②如图：当时，作直线于交于．作于， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设 ，解得：， ∴． 综上，的长为或． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海·期末）在长方形中，，点为边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点为的中点，延长交边于点． ①求证：； ②连接，求的长度． (2)如图2，若点为边上的一动点，连接能否为直角三角形？若能，直接写出的值__________；若不能，请说明理由． 【答案】(1) ①证明：如图1中，连接， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵将沿翻折后得到． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1，连接，设，则，， 在中，， ∴，解得：． ∴． ∴， ∴，，， ∴． ∵将沿翻折后得到， ∴， ， ∵， ∴，解得：． （2）解：存在．如图2，当时，B，F，D共线，设，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 如图3中，当时，． 综上所述，满足条件的的值为3或6． 【变式8-3】如图①，在长方形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，线段的长为_____． (2)当点和点重合时，求线段的长； (3)如图②，当点在边上运动时，当的形状始终是_____． (4)作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值． 【详解】（1）解：如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故， ∴； （3）证明：如图，过点P作于点H， 则同（1）可得， ∵ ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （4）解：动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动， 有以下三种情况： ①当点P在线段上时，点E关于的对称点落在边上，点Q在边上，如图： 由上可得：， 设，则， 由对称的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得：，即， ∴； 当点在上，点在上时， 由对称的性质得：， ∵，点在上时， ∴重合，如图： 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴运动的时间为 当点在上，在上， 由对称的性质得：， ∵，点在上时， ∴重合，此时重合，如图： 则由（1）可得， ∴运动时间为：， 综上所述：的值为秒或秒或秒． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $