26.4 实际问题与二次函数(3) 学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数(3)”，核心是用二次函数解决抛物线形实际问题。知识回顾通过图像写解析式搭建基础，新知学习从拱桥等生活实例切入，引导建立坐标系、转化坐标、求解析式，形成完整学习支架。 特色在于结合生活实例培养数学眼光，通过变式和思考环节发展推理意识，学习检测融入中考题提升模型观念，帮助学生用数学思维分析问题，用数学语言表达现实，提升应用能力。

26.4 实际问题与二次函数(3) 【知识回顾】 1.如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，写出这个二次函数的解析式. 【新知学习】 二次函数在生活中应用广泛，除最大高度、最大利润等外，我们还可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等. 例题：一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少？ 分析：从图中可以看出拱桥是抛物线形状，因此首先要建立适当的平面直角坐标系，再根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题. 解：如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2. 由抛物线经过点(5，-4)，可得 －4＝a×52， 解得 a＝- ∴y=-x2. 当水面上升1m时，水面的纵坐标为-3. ∴y=-3，即-x2=-3，解得x＝. ∴这时水面宽为-(-)=5m. 答：水面上升1m，此时水面宽为5m. 变式：选择不同的坐标系，这条抛物线的解析式有何变化？ 思考：在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装满物资的小船准备从桥下通过.这艘小船宽4m，船舱顶部为长方形，露出水面的部分高2m.这艘小船能从这座拱桥下通过吗? 分析：就是用水位上升1m后船宽对应位置的桥洞高度，与船露出水面的高度比较. 归纳：解决形状为抛物线形的实际问题的一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； (3)恰当选用二次函数的解析式形式； (4)用待定系数法求出抛物线的解析式； (5)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解. 【学习检测】 1.在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=-x2+3.85的一部分(如图).若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离 2.(2025广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式. 3.(2025新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展。如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分，若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式; (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过?请说明理由. 参考答案 【知识回顾】 1.y=ax2;y=ax2+k；y=a(x-h)2+k 【新知学习】 变式 (1) y=a(x-5)2+4 代入(10,0)即可； (2) y=ax2+4，代入(5,0)即可。 思考： 当x=2时，y=-22=-. 此时桥拱距离水面的高度为:3-==2.36(m) ∵2.36>2 ∴这艘小船能从这座拱桥下通过。 答:这艘小船能从这座拱桥下通过。 【学习检测】 1.解：篮球投入篮筐时，其高度为3.05m，代入得: 3.05=-x2+3.85=5.85 解得x=2 由图可知，篮筐在原点右侧，故取x=2。 运动员位于原点左侧3.2m处， 因此运动员到篮筐正下方的距离为: l=3.2+2=5.2(m) 答:运动员到篮筐正下方的距离为5.2 2.解:建立平面直角坐标系，如图所示: 则抛物线顶点坐标为(0.0.0015),A(,0.27-0.09),即A(0.85,0.18). 设该抛物线的表达式y=ax2+0.0015, 将A(0.85,0.18)代人,得: 0.18=0.852a+0.0015,解得a= ∴该抛物线的表达式为y=x2+0.0015. 3.解:(1)由题意得,抛物线顶点为(,8),即(6,8) 设抛物线的函数解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0)， 代人点(12,0),得a(12-6)2+8=0, 解得a=- ∴抛物线的函数表达式为y=-(x-6)2+8(0≤x≤12) (2)能安全通过，理由如下: 如图，设甲车左侧与x轴的交点为A. 由题意,得x=6--3=2. 将x=2代入y=-(2-6)2+8= ∵-3.5=>0.5, ∴能安全通过 学科网（北京）股份有限公司 $