26.4 实际问题与二次函数 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”，引导学生建立二次函数模型解决最大高度、几何面积、销售利润、抛物线实物四类问题。通过“前置补偿”复习二次函数对称轴、顶点坐标等旧知，搭建学习支架衔接新知探究。 资料以分类型探究为特色，结合跳水运动、篱笆围矩形等实例，强调自变量取值范围及顶点位置判断，培养模型观念、几何直观与推理能力。分层作业设计满足不同需求，助力学生提升分析解决实际问题能力，发展应用意识。

26.4 实际问题与二次函数 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 经历实际问题探究，会建立二次函数模型解决最大高度、最大几何面积、销售最大利润、抛物线实物四类实际问题，发展模型观念、几何直观。 2. 掌握利用二次函数顶点求实际问题的最值；重点注意实际问题自变量取值范围，顶点不一定在取值范围内，要会比较端点函数值，发展推理能力。 3. 体会建模思想，把实际问题转化为二次函数问题，检验结果是否符合实际情境，提升分析解决实际问题能力。 学习重点：建立二次函数模型，利用二次函数求实际问题中的最大值、最小值。 学习难点：确定实际问题自变量取值范围；顶点不在自变量取值区间内时求最值；读懂实际问题数量关系。 【前置补偿】 1. 二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0)，对称轴：__________，顶点坐标：______________。 2. a>0，当 x=________时，函数取得最________值； a<0，当 x=________时，函数取得最________值。 思考：实际问题中，自变量的取值可以随便取全体实数吗？为什么？ 【学生自学】 阅读课本，了解课本整体探究逻辑与知识体系，完成下面的探究活动： ①例 1：跳水运动（已知函数解析式，求实际最大高度，课本本节第一道例题）； ②例2：总长一定篱笆围矩形场地，求矩形最大面积（几何面积最值）； ③探究1：商品销售调价，求销售最大利润（销售利润最值，课本核心探究）； ④探究2：抛物线形拱桥实物，建系求解析式，解决高度宽度实际问题。 例 1【跳水运动】 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s) 之间的关系式是 h=-4.9t²+2.8t+11。运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位） 分析： 本题已经直接给出函数解析式，最高点对应二次函数的________； a____0，抛物线开口向____，函数有最____值为 ； 代入顶点公式，求出到达最高点的时间 t=，最大高度 h=。 解题过程： 小组思考：本题自变量 t 有实际范围，能不能直接使用顶点求最值？ 例 2【图形实例】课本变式 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长l的变化而变化。当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 分析： 矩形一边长为 l m，则另一边长为____________ m； 面积 S 与 l 函数关系式：S=________________； 自变量 l 取值范围：________________； a____0，抛物线开口向____，函数有最____值； 求顶点横坐标，得 l= ，此时最大面积 S= 。 解题过程： 小组思考：本题能不能直接套用顶点求最值？自变量取值范围是什么？ 探究一 【商品销售最大利润】 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出 20 件。已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 提示：分涨价、降价两种情况分别讨论。 情况一：涨价，设每件涨价 x 元，每星期售出商品利润为 y 元。 每件商品利润：；销售量：； 利润函数关系式 y=________________； 自变量 x 取值范围：________________； 求顶点，判断顶点是否在取值范围内，求出最大利润以及对应定价。 涨价情况书写步骤： 情况二：降价，设每件降价 x 元，每星期售出商品利润为 y 元。 每件商品利润：；销售量：； 利润函数关系式 y=________________； 自变量 x 取值范围：________________； 求顶点，判断顶点是否在取值范围内，求出最大利润以及对应定价。 降价情况书写步骤： 综合涨价、降价两种情况，最终定价为________元时，利润最大。 小组互查质疑：实际问题，求出顶点后，为什么必须看自变量取值范围？ 本组易错点记录： 探究二【抛物线形拱桥】 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m。突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 分析： 1. 以拱顶为原点，水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向建立平面直角坐标系。 2. 抛物线顶点在原点，设抛物线解析式____________；水面宽 10 m，此时水面上点坐标 (5，____)，代入求 a； 3. 水面上升 1 m，对应 y=____，代入解析式求 x，算出此时水面宽度。 解题过程书写： 【自学小测】 1. 一条直角边为 8 cm 的直角三角形，另一条直角边长为 x，面积为 S，写出 S 关于 x 函数关系式，x 取何值面积最大？ 2. 某种商品每件进价 30 元，售价 x 元，可卖出 (100‑x) 件，求利润最大时售价。 【合作学习，课堂研讨】 1. 二次函数求实际最值，一定直接代入顶点公式就行吗？需要优先考虑什么？ 2. 利润问题中：单件利润 =‑；总利润 = 单件利润 ×________。 3. 抛物线实物应用题，第一步一般要做什么？坐标系建立方式唯一吗？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 实际问题自变量有取值范围，不是全体实数；若顶点横坐标不在取值区间，最值出现在区间端点。 2. 利润模型：总利润 = 单件利润 × 销售量；涨价销量减少，降价销量增加，分清数量变化。 3. 拱桥类抛物线：坐标系可以自己建立，建系不同解析式不同，但计算的实际长度不变。 4. 结果求出后，检验数值是否符合现实意义，舍去不符合实际的解。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 课本探究路径：例 1 跳水运动（已知解析式求实际最值）→例2 篱笆围矩形（几何面积最值）→探究1商品销售利润最值→探究2抛物线拱桥实物模型。 2. 实际问题二次函数建模步骤： ①审题，找数量关系； ②设自变量，写出函数解析式； ③确定自变量实际取值范围； ④在取值范围内求二次函数最大值或最小值； ⑤检验结果，写出实际问题答案。 3. 数学思想：数学建模、数形结合。 【课内自测】 1. 用长 40 cm 铁丝围成矩形，求矩形最大面积。 2. 某商店销售一种纪念品，每件进价 20 元，若每件售价 x 元，可以卖出 (200‑5x) 件，求销售最大利润。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 用一根长为 8 m 的绳子围成一个矩形，求矩形的最大面积。 2. 某商品每件的进价为 40 元，售价为每件 x 元，销售量为 (80‑x) 件，求获得最大利润时每件售价。 B 组【能力提升・选做】 3. 飞机着陆后滑行的距离 s (单位：m) 与滑行时间 t (单位：s) 函数关系式 s=60t‑1.5t²，飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 4. 有一座抛物线形拱桥，拱顶离水面 3 m，水面宽 6 m，如果水面上升 1 m，水面宽是多少？ C 组【拓广探索・培优】 5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x (单位：min) 之间满足函数关系：y=-0.1x²+2.6x+43 (0≤x≤30)。y 值越大，表示接受能力越强。 (1) x 在什么范围内，学生接受能力逐步增强？x 在什么范围内逐步降低？ (2) 第 10 min 时，学生接受能力是多少？ (3) 第几分钟，学生接受能力最强？ 6. 某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价为每天 180 元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个居住房间每天支出 20 元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 经历实际问题探究，会建立二次函数模型解决最大高度、最大几何面积、销售最大利润、抛物线实物四类实际问题，发展模型观念、几何直观。 2. 掌握利用二次函数顶点求实际问题的最值；重点注意实际问题自变量取值范围，顶点不一定在取值范围内，要会比较端点函数值，发展推理能力。 3. 体会建模思想，把实际问题转化为二次函数问题，检验结果是否符合实际情境，提升分析解决实际问题能力。 学习重点：建立二次函数模型，利用二次函数求实际问题中的最大值、最小值。 学习难点：确定实际问题自变量取值范围；顶点不在自变量取值区间内时求最值；读懂实际问题数量关系。 【前置补偿】（旧知衔接） 1. 二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0)，对称轴：直线 x=-b/(2a)，顶点坐标：(-b/(2a)，(4ac‑b²)/(4a))。 2. a>0，当 x=-b/(2a) 时，函数取得最小值； a<0，当 x=-b/(2a) 时，函数取得最大值。 思考：实际问题中，自变量的取值可以随便取全体实数吗？为什么？ 答：不可以；自变量要符合现实实际意义，有取值限制。 【学生自学 课本递进探究活动】 阅读课本，了解课本整体探究逻辑与知识体系，完成下面的探究活动： ①例 1：跳水运动（已知函数解析式，求实际最大高度，课本本节第一道例题）； ②例2：总长一定篱笆围矩形场地，求矩形最大面积（几何面积最值）； ③探究1：商品销售调价，求销售最大利润（销售利润最值，课本核心探究）； ④探究2：抛物线形拱桥实物，建系求解析式，解决高度宽度实际问题。 例 1【跳水运动】 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s) 之间的关系式是 h=-4.9t²+2.8t+11。运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位） 分析： 本题已经直接给出函数解析式，最高点对应二次函数的顶点； a<0，抛物线开口向下，函数有最大值； 代入顶点公式，求出到达最高点的时间 t≈0.3 s，最大高度 h≈11.4 m。 解： a=-4.9，b=2.8，c=11 t=-b/(2a)=-2.8/[2×(-4.9)]≈0.3 h_max=(4ac‑b²)/(4a)≈11.4 答：运动员起跳后大约 0.3 s 达到最高点，重心最大高度约 11.4 m。 小组思考：本题自变量 t 有实际范围，能不能直接使用顶点求最值？ 答：顶点在自变量实际取值范围内，因此可以直接取顶点作为最值。 例2篱笆围矩形场地 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化。当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 分析： 矩形一边长为 l m，则另一边长为 (30‑l) m； 面积 S 与 l 函数关系式：S=l (30-l)=-l²+30l； 自变量 l 取值范围：0<l<30； a<0，抛物线开口向下，函数有最大值； 求顶点横坐标，得 l=15，此时最大面积 S=225 m²。 解： 由题意，矩形一边长 l，另一边长 60/2-l=30-l S=l (30-l)=-l²+30l (0<l<30) a=-1<0，开口向下，顶点处取得最大值。 对称轴 l=-30/[2×(-1)]=15，15 在 0<l<30 范围内。 当 l=15 时，S_max=-15²+30×15=225。 答：当 l 为 15 m 时，场地面积最大，最大面积 225 平方米。 小组思考：本题能不能直接套用顶点求最值？自变量取值范围是什么？ 答：顶点在取值范围内，可以直接用顶点求最值；0<l<30。 探究一 课本探究 2 商品销售最大利润（课本重点探究） 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件。已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 提示：分涨价、降价两种情况分别讨论。 情况一：涨价，设每件涨价 x 元，每星期售出商品利润为 y 元。 每件商品利润：(60+x-40)=(20+x)；销售量：(300‑10x)； 利润函数关系式 y=(20+x)(300-10x)=-10x²+100x+6000； 自变量 x 取值范围：0≤x≤30； 对称轴 x=-100/[2×(-10)]=5，x=5 在取值范围内。 当 x=5，y_max=6250，定价 60+5=65 元。 情况二：降价，设每件降价 x 元，每星期售出商品利润为 y 元。 每件商品利润：(60‑x‑40)=(20‑x)；销售量：(300+20x)； 利润函数关系式 y=(20-x)(300+20x)=-20 x²+100x+6000； 自变量 x 取值范围：0≤x≤20； 对称轴 x=100/40=2.5，x=2.5 在取值范围内。 当 x=2.5，y_max=6125，定价 60‑2.5=57.5 元。 综合涨价、降价两种情况，最终定价为 65 元时，利润最大。 小组互查质疑：实际问题，求出顶点后，为什么必须看自变量取值范围？ 参考：顶点横坐标如果不在自变量允许范围，最值不能取顶点，要取区间端点。 本组易错点记录：涨价、降价时销售量变化规律容易写错；忘记自变量实际限制。 探究二 抛物线形拱桥 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m。水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 分析： 以拱顶为原点，水平向右为 x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向建立平面直角坐标系。 设抛物线解析式 y=ax²；代入点 (2,2)，求得 a=1/2，解析式 y=(1/2) x²； 水面下降 1 m，对应 y=3，代入得 3=(1/2) x²，x=±；此时水面宽 2； 原来水面宽 4 m，宽度增加 (2‑4) m。 解： 以拱顶为原点建立坐标系，抛物线顶点在原点，设 y=ax²。 拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m，则点 (2,2) 在抛物线上。 代入：2=a・2²，得 a=1/2，y=(1/2) x²。 水面下降 1 m，此时 y=3，3=(1/2) x²，x²=6，x=±。 此时水面宽 2，宽度增加 2‑4（m）。 答：水面宽度增加 (2‑4) 米。 【自学小测（课本课后练习原题）】 1.一条直角边为 8 cm 的直角三角形，另一条直角边长为 x，面积为 S，写出 S 关于 x 函数关系式，x 取何值面积最大？ 解：S=(1/2)・8・x=4x；这是一次函数，没有最大值。 2.某种商品每件进价 30 元，售价 x 元，可卖出 (100‑x) 件，求利润最大时售价。 解：利润 y=(x‑30)(100‑x)=-x²+130x‑3000，a=-1<0，对称轴 x=65；售价 65 元利润最大。 【合作学习，课堂研讨】 1.二次函数求实际最值，一定直接代入顶点公式就行吗？需要优先考虑什么？ 答：不一定；优先看顶点横坐标是否在自变量实际取值范围内。 2.利润问题中：单件利润 = 售价‑进价；总利润 = 单件利润 × 销售量。 抛物线实物应用题，第一步一般要做什么？坐标系建立方式唯一吗？ 答：建立平面直角坐标系；建系方式不唯一，结果实际长度不变。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔课本重点易错警示 1.实际问题自变量有取值范围，不是全体实数；若顶点横坐标不在取值区间，最值出现在区间端点。 2.利润模型：总利润 = 单件利润 × 销售量；涨价销量减少，降价销量增加，分清数量变化。 3.拱桥类抛物线：坐标系可以自己建立，建系不同解析式不同，但计算的实际长度不变。 4.结果求出后，检验数值是否符合现实意义，舍去不符合实际的解。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1.课本探究路径：例 1 跳水运动（已知解析式求实际最值）→例2篱笆围矩形（几何面积最值）→探究 1 商品销售利润最值→探究2 抛物线拱桥实物模型。 2.实际问题二次函数建模步骤： ①审题，找数量关系；②设自变量，写出函数解析式；③确定自变量实际取值范围； ④在取值范围内求二次函数最大值或最小值；⑤检验结果，写出实际问题答案。 3.数学思想：数学建模、数形结合。 【课内自测】【课本习题改编，取自本节课后习题】 1.用长 40 cm 铁丝围成矩形，求矩形最大面积。 解：设一边长 x，S=x (20‑x)=-x²+20x，0<x<20；x=10，S_max=100 cm²。 2.某商店销售一种纪念品，每件进价 20 元，若每件售价 x 元，可以卖出 (200‑5x) 件，求销售最大利润。 解：y=(x‑20)(200‑5x)=-5x²+300x‑4000；对称轴 x=30，最大利润 y=500。 【分层作业】（ A 组【基础过关・必做】 1， 用一根长为 8 m 的绳子围成一个矩形，求矩形的最大面积。 解：设一边 x，S=x (4‑x)=-x²+4x；x=2，最大面积 4 m²。 3. 某商品每件的进价为 40 元，售价为每件 x 元，销售量为 (80‑x) 件，求获得最大利润时每件售价。 解：y=(x‑40)(80‑x)=-x²+120x‑3200；对称轴 x=60，售价 60 元利润最大。 B 组【能力提升・选做】 3.飞机着陆后滑行的距离 s (单位：m) 与滑行时间 t (单位：s) 函数关系式 s=60t‑1.5t²，飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 解：a=-1.5<0，对称轴 t=20；代入 s=600；滑行 600 m 停下。 4. 有一座抛物线形拱桥，拱顶离水面 3 m，水面宽 6 m，如果水面上升 1 m，水面宽是多少？ 解：拱顶为原点，设 y=ax²，代入 (3,3)，a=1/3；y=2，2=(1/3) x²，x=±；水面宽 2 m。 C 组【拓广探索・培优】（课本习题拓广探索原题） 5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x (单位：min) 之间满足函数关系：y=-0.1x²+2.6x+43 (0≤x≤30)。y 值越大，表示接受能力越强。 (1) x 在什么范围内，学生接受能力逐步增强？x 在什么范围内逐步降低？ (2) 第 10 min 时，学生接受能力是多少？ (3) 第几分钟，学生接受能力最强？ 解：对称轴 x=13。 (1) 0≤x≤13，逐步增强；13<x≤30 逐步降低； (2) x=10，y=59； (3) x=13，接受能力最强。 6. 某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价为每天 180 元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个居住房间每天支出 20 元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？ 解：设房价增加 10x 元，利润 y=(180+10x‑20)(50‑x)=(160+10x)(50‑x)， y=-10x²+340x+8000，对称轴 x=17；房价 180+10×17=350 元时利润最大。 学科网（北京）股份有限公司 $