26.4 实际问题与二次函数(1) 学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”，核心知识点为利用二次函数解决最值问题。课堂导入通过知识回顾二次函数的图象、对称轴、顶点坐标及最值，搭建学习支架，衔接新知中跳水高度、矩形菜园面积等实际问题，形成从理论到应用的学习脉络。 以跳水运动、围篱笆等真实情境创设问题，引导学生用数学眼光观察现实世界中的数量关系，通过问题拓展（如墙长限制对自变量取值的影响）发展推理能力，学习检测结合中考真题强化模型意识，帮助学生用数学语言表达和解决实际问题，提升应用能力。

26.4 实际问题与二次函数(1) 【知识回顾】 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是_________，它的对称轴是________,顶点坐标是_________. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是_________，它的对称轴是_____,顶点坐标是_______.当a>0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=_____时，y最小值=_______;当a<0时，抛物线开口向_____，有最_____点，即当x=_____时，y最大值=______. 【新知学习】 思考：二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定? 二次函数y=ax2+bx+c的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 1.例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度(单位:m)与起跳后的时间(单位:s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) 分析:运动员的跳水过程是时间的二次函数，最大高度就是跳水过程中运动员处于最高处时到水面的高度，也就是二次函数的顶点的纵坐标(或y的最大值)，而多长时间就是顶点的横坐标. 解:对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11， a=-4.9 b=2.8 c=11(确定a,b,c的值) 当t=-=-≈0.3时，(计算顶点横坐标) h有最大值为==11.4.(计算顶点纵坐标) (或者h最大值=-4.90.32+2.80.3+11=11.4) 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 问题1：函数h=-4.9t2+2.8t+11的图象(如图)，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，思考： ①图象的开口方向是什么?为什么? 图象开口向_____，因为a=______ ②图象的顶点坐标是什么?它表示什么实际意义? 顶点坐标是_________，它表示运动员起跳后大约______s时，其重心达到最_____点，最大高度为______m. ③你能结合图象描述运动员从起跳到入水的整个运动过程吗? 运动员起跳先______，_____s时到达最___点，之后重心_______,直到入水. 问题2：起跳后大约多长时间，运动员重心落到水面？ 分析：运动员重心入水时，为图象与x轴的交点，到水面的距离为0，即h=0，此时交点的横坐标即为要求的时间. . 2.例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 分析：设一边长为xm，由矩形的面积公式可得菜园面积是一边长的二次函数，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 解:设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(20-2x)m，矩形菜园的面积：S=x(20-2x) 即 S=-2x2+20x (0<x<10) 当x=-=-=5时，S有最大值==50. 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2. 问题：如果题目中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 注意：在实际问题中，函数自变里的取值既应使问题有现实意义，又要留意题目的限定条件.如菜园的边长应为正数，即x>0，且0<20-2x≤8，于是x的取值范围是6≤x<10. 【学习检测】 1.(2025巴中)从地面竖直向上抛出一小球，小球高度从h(m)与小球运动时间t(s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:①小球运动时间是1s时，高度为25m;②小球运动中高度可以是50m;③当3≤t≤6时，高度h随着时间的增大而减小. 其中正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2025平凉)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+(x>0)，则水流喷出的最大高度是( ) A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 第2题图 第3题图 3.(2024泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 4.(2023山东改编)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积. 5.从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度(单位:m)与小球的运动时间(单位:s)的关系近似为h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 参考答案 【知识回顾】 1.抛物线，x=h,(h,k) 2.抛物线，x=-; ();向上；低；-；；下，高，-，. 【新知学习】 1.问题1：①下，<0;②(0.3,11.4),0.3,高，11.4 ③上升，0.3，高，下降 问题2：h=0时，-4.9t2+2.8t+11=0 解得x1≈1.81, x2≈-1.24(不符合题意舍去) 起跳后大约1.81s，运动员重心落到水面 2.问题： 解:设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(20-2x)m，矩形菜园的面积：S=x(20-2x) 即 S=-2x2+20x (0<x<10) 当墙长8米时，垂直于墙的边长至少为6米，即x≤6 ∵a=-2<0,对称轴为x=5 ∴当x=6时，围成的面积最大，S最大=-262+206=48(m2) 【学习检测】 1.解:当t=1时，h=30-5=25(m)，故①正确; ②当t=-=3时，h有最大值，最大值为 h=30=45m，故②错误; ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线t=3, ∴当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有2个，故选:C. 2.解：当x=-=1时，y最大=-12+2=2.75m； 故选：B. 3.解:由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(60-2x)米， 又∵墙长为40米， ∴0<60-2x≤40.即10≤x<30. 菜园的面积S=x(60-2x)=-2x2+60x, ∴当x=-=15时，可围成的菜园的最大面积,是S=-2152+6015=450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米. 故答案为:450. 4.解:设垂直于墙的篱笆长为x米，则平行于墙的篱笆长为(120-3x)米。 设花园的面积为S平方米，根据题意得: S=x(120-3x)=-3x2+120x ∵a=-3<0, ∴当x=20时，S有最大值，最大值为1200。 此时，平行于墙的篱笆长为:120-320=60m 答:当垂直于墙的篱笆长为20米，平行于墙的篱笆长为60米时，花园面积最大，最大面积为1200平方米. 5.解:∵-5<0. ∴当t=-=3(s)时, 小球达到最高，最大高度h=303-532=45(m). 答:小球运动时间为3秒时达到最高，最大高度为45米 学科网（北京）股份有限公司 $