第28章 旋转 单元达标测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 该测试卷通过基础辨析、能力提升、综合应用三层设计，覆盖旋转概念、性质、作图及综合应用，梯度递进巩固知识，适配单元复习测评，发展几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|旋转概念、中心对称图形识别、对称点坐标|选择1-7题、填空11-14题以概念辨析为主，如识别旋转现象（题1）、中心对称图形（题2），夯实抽象能力| |提升层|旋转性质应用、坐标变换计算|选择8-10题、填空15-16题结合特殊图形，如矩形旋转求CC'长（题15）、正方形旋转求角度（题16），培养空间观念| |综合层|旋转作图、几何证明与综合计算|解答17-24题从作图到综合证明，如正方形中旋转证全等（题22）、等边三角形旋转求边长（题24），发展推理能力与创新意识|

人教版九年级上册数学《旋转》单元达标测试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 姓名：________ 班级：________ 得分：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列现象中，属于旋转的是（　　） A. 电梯的上下运动 B. 汽车在笔直公路上行驶 C. 钟表指针的运动 D. 抽屉的拉出和推进 【答案】C 【解析】旋转是图形绕着某一点转动。钟表指针绕着表盘中心转动，属于旋转；电梯、汽车、抽屉都是平移运动。 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 正五边形 【答案】B 【解析】平行四边形绕对角线交点旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形；等边三角形、等腰梯形、正五边形都不是中心对称图形。 3. 点P(3, -2)关于原点对称的点的坐标是（　　） A. (3, 2) B. (-3, 2) C. (-3, -2) D. (2, -3) 【答案】B 【解析】关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数。P(3, -2)关于原点对称的点为(-3, 2)。 4. 如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，则下列结论错误的是（　　） A. AB=AE B. AC=AE C. ∠BAD=∠CAE D. BC=DE 【答案】A 【解析】旋转前后对应边相等，所以AB=AD，AC=AE，BC=DE都正确。旋转角∠BAD=∠CAE也正确。AB=AE是错误的，因为AB的对应边是AD，不是AE。 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】矩形既是轴对称图形（有两条对称轴），又是中心对称图形（对角线交点为对称中心）；等边三角形、等腰三角形只是轴对称图形；平行四边形只是中心对称图形。 6. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB=15°，则∠AOB'的度数是（　　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】旋转角∠BOB'=45°，∠AOB=15°，所以∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=45°-15°=30°。 7. 在平面直角坐标系中，将点A(1, 2)绕原点顺时针旋转90°后得到点A'，则点A'的坐标是（　　） A. (2, -1) B. (-2, 1) C. (-1, 2) D. (2, 1) 【答案】A 【解析】点(x, y)绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y, -x)。所以A(1, 2)旋转后为(2, -1)。 8. 如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接BB'，则BB'的长为（　　） A. 3 B. 3√3 C. 6 D. 6√3 【答案】C 【解析】由旋转的性质得AB'=AB=6，∠BAB'=60°，所以△ABB'是等边三角形，BB'=AB=6。故选C。 9. 下列图案中，可以由一个基本图形通过旋转得到的是（　　） A. 图案A B. 图案B C. 图案C D. 图案D 【答案】C 【解析】判断一个图案是否可以由一个基本图形通过旋转得到，关键看是否存在一个旋转中心和旋转角，使基本图形旋转后与其他部分重合。选项C的图案具有旋转对称性。 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2。将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，使点B'恰好落在AB边上，则AA'的长为（　　） A. 2 B. 2√3 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，所以AB=4，AC=2√3。旋转后CB'=CB=2，∠B=60°，所以△CBB'是等边三角形，旋转角∠BCB'=60°，∠ACA'=60°。又CA=CA'=2√3，所以△CAA'是等边三角形，AA'=AC=2√3。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点A(-2, 3)关于原点对称的点的坐标是________。 【答案】(2, -3) 【解析】关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数，所以(-2, 3)关于原点对称的点为(2, -3)。 12. 等边三角形至少旋转________°后能与自身重合。 【答案】120 【解析】等边三角形的中心角为360°÷3=120°，所以至少旋转120°后能与自身重合。 13. 如图，△ABC绕点O逆时针旋转一定角度后得到△A'B'C'，若∠AOA'=65°，则∠BOB'=________°。 【答案】65 【解析】旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，图形绕点O旋转时，每个点与旋转中心的连线都转过相同的角度，所以∠BOB'=∠AOA'=65°。 14. 将点A(2, 3)绕原点顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标为________。 【答案】(3, -2)　【解析】顺时针旋转90°，坐标变换(x, y)→(y, -x)，故A(2, 3)→A′(3, -2)。 【解析】关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数，所以a=4，b=3，a+b=4+3=7。 15. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AB'C'D'，若AB=3，BC=4，则CC'的长为________。 【答案】5√2 【解析】旋转后AC'=AC=√(3²+4²)=5，∠CAC'=90°，所以△CAC'是等腰直角三角形，CC'=√2·AC=5√2。 16. 如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3。将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，则∠APB的度数为________°。 【答案】135 【解析】旋转后BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠PBP'=90°，所以△PBP'是等腰直角三角形，PP'=2√2，∠BP'P=45°。在△PP'C中，PP'=2√2，P'C=1，PC=3，满足(2√2)²+1²=8+1=9=3²，所以∠PP'C=90°。∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°，由旋转知∠APB=∠BP'C=135°。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（6分）如图，画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形△A'B'C'。 【答案】 解：①连接OA、OB、OC； ②分别以O为顶点，顺时针作∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=90°，并使OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC； ③顺次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'即为所求。 【解析】旋转作图的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。按步骤找到各顶点的对应点，再顺次连接。 18.（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(4, 1)，C(3, 3)。 （1）画出△ABC关于原点对称的△A'B'C'； （2）写出点A'、B'、C'的坐标。 【答案】 解：（1）关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数。 （2）A'(-1, -1)，B'(-4, -1)，C'(-3, -3)。 【解析】关于原点对称的坐标变换规律：(x, y)→(-x, -y)。 19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转得到△ACE。 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角是多少度？ （3）若∠BAC=50°，求∠DAE的度数。 【答案】 解：（1）旋转中心是点A。 （2）旋转角为∠BAC，也是∠DAE。因为B对应C，D对应E，对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角。 （3）由旋转的性质，∠DAE=∠BAC=50°。 【解析】旋转中心是图形绕着转动的点；旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角；旋转前后对应角相等。 20.（8分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点为E，点A的对应点为D。 （1）若∠CBE=60°，求旋转角的度数； （2）若AC=4，求DE的长； （3）连接AD，若AB=BD，判断△ABD的形状。 【答案】 解：（1）旋转角为∠CBE=60°（或∠ABD=60°）。 （2）由旋转的性质，DE=AC=4。 （3）∵AB=BD，∠ABD=60°， ∴△ABD是等边三角形。 【解析】旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角；旋转前后对应边相等；由旋转得AB=BD，又旋转角∠ABD=∠CBE=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 21.（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0, 4)，B(2, 0)，C(-2, 0)。 （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转180°得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂，并写出点A₂的坐标。 【答案】 解：（1）点(x, y)绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y, -x)。 A(0, 4)→A₁(4, 0)，B(2, 0)→B₁(0, -2)，C(-2, 0)→C₁(0, 2)。 （2）点(x, y)绕原点旋转180°后的坐标为(-x, -y)。 A(0, 4)→A₂(0, -4)，B(2, 0)→B₂(-2, 0)，C(-2, 0)→C₂(2, 0)。 【解析】绕原点顺时针旋转90°：(x, y)→(y, -x)；绕原点旋转180°：(x, y)→(-x, -y)。 22.（10分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°。将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG。 （1）求证：△AEG≌△AEF； （2）若BE=3，DF=2，求EF的长。 【答案】 解：（1）证明：由旋转知AG=AF，∠GAF=90°，BG=DF。 ∵∠EAF=45°，∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°。 ∴∠GAE=∠EAF=45°。 在△AEG和△AEF中： AG=AF，∠GAE=∠EAF，AE=AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）。 （2）由△AEG≌△AEF知EG=EF。 ∵EG=BE+BG=BE+DF=3+2=5， ∴EF=5。 【解析】旋转后对应边相等、对应角相等；利用SAS证明全等；全等三角形对应边相等。 23.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点，将△ACD绕点C顺时针旋转90°得到△BCE。 （1）求证：∠DCE=90°； （2）若AD=3，BD=4，求DE的长； （3）判断△DCE的形状，并说明理由。 【答案】 解：（1）证明：由旋转知∠ACD=∠BCE， ∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°。 （2）由旋转知BE=AD=3，∠CBE=∠A。 ∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°， ∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°。 在Rt△DBE中，DE=√(BD²+BE²)=√(4²+3²)=5。 （3）△DCE是等腰直角三角形。 理由：由旋转知CD=CE，又∠DCE=90°， ∴△DCE是等腰直角三角形。 【解析】旋转角为90°，对应边相等；利用勾股定理求DE；等腰直角三角形的判定。 24.（12分）如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5。将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ。 （1）求PQ的长； （2）求∠BQC的度数； （3）求△ABC的边长。 【答案】 解：（1）由旋转知BQ=BP=4，∠PBQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形，PQ=BP=4。 （2）由旋转知QC=PA=3。 在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5， ∵3²+4²=5²，即QC²+PQ²=PC²， ∴△PQC是直角三角形，∠PQC=90°。 ∵△BPQ是等边三角形，∴∠BQP=60°， ∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°。 （3）由旋转知∠APB=∠BQC=150°。 过点B作BH⊥AP，交AP的延长线于点H。 ∵∠APB=150°，∴∠BPH=180°-150°=30°。 在Rt△BPH中，BP=4，∠BPH=30°， ∴BH=2，PH=2√3。 ∴AH=AP+PH=3+2√3。 在Rt△ABH中，由勾股定理： AB²=AH²+BH²=(3+2√3)²+2² =9+12√3+12+4=25+12√3。 ∴AB=√(25+12√3)。 【解析】旋转构造等边三角形△BPQ，利用勾股定理逆定理得∠PQC=90°，从而求出∠BQC=150°；由旋转得∠APB=150°，过B作BH⊥AP延长线，构造30°直角三角形，再用勾股定理求等边三角形边长。 附：本课要点与方法小结 【本课要点】 1. 旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2. 旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。 3. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 4. 中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；②关于中心对称的两个图形是全等图形。 5. 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形。 6. 关于原点对称的点的坐标：点P(x, y)关于原点O的对称点为P'(-x, -y)。 7. 图案设计：利用平移、轴对称和旋转的组合进行图案设计。 【方法小结】 1. 绕原点坐标变换总结： 原点对称（旋转180°）：(x, y) → (-x, -y) 顺时针旋转90°：(x, y) → (y, -x) 逆时针旋转90°：(x, y) → (-y, x) 2. 旋转做题思路：找旋转中心，找对应点，得到相等线段、相等角；经常构造等边三角形、等腰直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册数学《旋转》单元达标测试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 姓名：________ 班级：________ 得分：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列现象中，属于旋转的是（　　） A. 电梯的上下运动 B. 汽车在笔直公路上行驶 C. 钟表指针的运动 D. 抽屉的拉出和推进 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 正五边形 3. 点P(3, -2)关于原点对称的点的坐标是（　　） A. (3, 2) B. (-3, 2) C. (-3, -2) D. (2, -3) 4. 如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，则下列结论错误的是（　　） A. AB=AE B. AC=AE C. ∠BAD=∠CAE D. BC=DE 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等腰三角形 6. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB=15°，则∠AOB'的度数是（　　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 7. 在平面直角坐标系中，将点A(1, 2)绕原点顺时针旋转90°后得到点A'，则点A'的坐标是（　　） A. (2, -1) B. (-2, 1) C. (-1, 2) D. (2, 1) 8. 如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接BB'，则BB'的长为（　　） A. 3 B. 3√3 C. 6 D. 6√3 9. 下列图案中，可以由一个基本图形通过旋转得到的是（　　） A. 图案A B. 图案B C. 图案C D. 图案D 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2。将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，使点B'恰好落在AB边上，则AA'的长为（　　） A. 2 B. 2√3 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点A(-2, 3)关于原点对称的点的坐标是________。 12. 等边三角形至少旋转________°后能与自身重合。 13. 如图，△ABC绕点O逆时针旋转一定角度后得到△A'B'C'，若∠AOA'=65°，则∠BOB'=________°。 14. 将点A(2, 3)绕原点顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标为________。 15. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AB'C'D'，若AB=3，BC=4，则CC'的长为________。 16. 如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3。将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，则∠APB的度数为________°。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（6分）如图，画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形△A'B'C'。 18.（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(4, 1)，C(3, 3)。 （1）画出△ABC关于原点对称的△A'B'C'； （2）写出点A'、B'、C'的坐标。 19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转得到△ACE。 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角是多少度？ （3）若∠BAC=50°，求∠DAE的度数。 20.（8分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点为E，点A的对应点为D。 （1）若∠CBE=60°，求旋转角的度数； （2）若AC=4，求DE的长； （3）连接AD，若AB=BD，判断△ABD的形状。 21.（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0, 4)，B(2, 0)，C(-2, 0)。 （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转180°得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂，并写出点A₂的坐标。 22.（10分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°。将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG。 （1）求证：△AEG≌△AEF； （2）若BE=3，DF=2，求EF的长。 23.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点，将△ACD绕点C顺时针旋转90°得到△BCE。 （1）求证：∠DCE=90°； （2）若AD=3，BD=4，求DE的长； （3）判断△DCE的形状，并说明理由。 24.（12分）如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5。将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ。 （1）求PQ的长； （2）求∠BQC的度数； （3）求△ABC的边长。 学科网（北京）股份有限公司 $