2025-2026学年人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元达标测试题

2025-2026学年人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如果把的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 2．在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，点A，B，C，D都在半径为的上，，则弦的长为（   ） A．3 B． C． D．9 7．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处,则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，在中，，，，则的长为 ． 10．如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是 m． 11．小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为 ．（参考数据：） 12．点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则 13．如图，是的切线，切点为，交于点，且．若的半径为6，则图中阴影部分的面积是 ． 14．在中，，，（如图），将绕点C旋转后，点A的对应点是点，点B的对应点是点，与边相交于点H，且，那么的值为 ． 15．如图，以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠与直径交于点D．若则 ． 16．如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1) (2) 18．如图，在中，，，于点，若，求的长． 19．如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 20．如图，山顶建有一座信号发射塔，塔高米，测量人员在附近一座大坝的D处测得塔底部B的仰角为，塔顶A的仰角为，已测得大坝的坡角，坡长米，求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 21．【情境】河北省吴桥县是我国著名的杂技之乡，高空走钢丝是群众喜欢的项目之一，演员在运动过程中钢丝绳的总长保持不变． 如图1，，均垂直于地面且高度相同，杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时； 如图2，当杂技演员走至钢丝绳中点时，恰好． 【探究】（1）求图1中的长； （2）求杂技演员从点走到点下降的竖直高度； 【拓展】（3）在从走向的过程中，杂技演员在钢丝绳上的位置记为点，当时，直接写出的长． （参考数据：取，取，取） 22．如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 23．矩形中，点在边上，连接，过点作交于点． (1)如图1，求证： (2)如图2，当，连接，，则___________． (3)如图3，在（2）的条件下，过点的直线交和延长线于点、，若，，求的长． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了余弦的定义，分式的性质，掌握“锐角的余弦值等于的邻边与斜边的比值”是解题关键．余弦值是邻边与斜边的比值，各边长扩大相同倍数后，比值不变． 【详解】解：设原中，的邻边为b，斜边为c，则． ∵ 各边长扩大到原来的4倍， ∴ 新邻边为，新斜边为， ∴， 故锐角A的余弦值没有改变． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握定义是解题关键．根据三角函数定义，sinα等于对边与斜边的比值，由此建立方程求解。 【详解】解： 在Rt△ABC中， , , ． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理解直角三角形． 直接根据题意作出图形，表示出三角形的各边，利用勾股定理求出斜边长，进而利用正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， 则, 故选：D． 4．B 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，结合线段的和差关系，三角形的面积公式，进行求解，判断即可． 【详解】解：如图， 在中，，； 在中，，； ∴，， ∴； 故选项A，C，D正确； 无法得到；故选项B错误； 故选B． 5．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，解直角三角形，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 根据垂径定理得到，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，计算即可． 【详解】解：如图，设与交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又 ， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、三角形全等的判定和性质定理是解题的关键． 连接，作于H，证明，得到，，得到答案． 【详解】解：连接，作于H， 由题意，得，， 则， ， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：C． 9．6 【分析】本题考查了正弦三角函数的定义，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它所对的直角边与斜边的比，利用定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 6． 10．3 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．根据题意可得∶在中，，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，． ， ． 故答案为：3． 11．107 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴原直角三角形玻璃的面积， 故答案为：107． 12．3或12 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，解直角三角形．利用正切函数的定义求得，，得到点的坐标为，再分两种情况求得的三等分点的坐标，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴设的三等分点为点，，则， ∵， ∴， 解得， ∴，则， ∴点的坐标为， 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 故答案为：3或12． 13． 【分析】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质．解直角三角形，勾股定理；直接利用切线的性质结合勾股定理得出的长，再利用锐角三角函数关系得出的度数，结合阴影部分的面积为求出即可． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，切点为， ， ，的半径为， ， ， ，则， 图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数以及旋转的性质，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．本题可先根据三角函数关系求出与的长度，再利用旋转的性质得到与的关系，最后通过求出的值． 【详解】解：在中，，， 设，， 根据勾股定理， ， ， 解得， ，， 绕点旋转得到， ， ，， ， 又 ， 在中，， 设，， 根据勾股定理， 即，解得， ． 故答案为：． 15．/ 【分析】连接并延长，使得，连接，交于点，连接，根据轴对称性质，得到，，利用勾股定理得到，结合三角形外角性质，推出，再根据正切定义求解，即可解题． 【详解】解：连接并延长，使得，连接，交于点，连接， 则，关于对称， ，， 为直径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称性质，圆周角定理，勾股定理，三角形外角性质，正切定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 16．米 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，掌握相关知识是解决问题的关键．此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴， 由题意， ∴， 米， 米． ∴米． 故答案为：米． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的混合运算． （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘方，乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．16 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．建筑物间的距离为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由已知，得，，米，，于点，然后通过（米），（米），最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由已知，得，，米，，于点， ∴，， 在中，，， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物间的距离为米． 20．米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形． 过点作于点，作于点，证明四边形为矩形，得到，利用直角三角形性质求得，再利用解直角三角形的运算得到，进而即可求出山的高度． 【详解】解：过点作于点，作于点， ， 四边形为矩形， ， ，坡长米， 米， 由题知，， ，， 塔高米， ， ， 解得米， 米， 米， 21．（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）连接，设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：（1）在中，，， ∴． 即的长约为； （2）过点作，垂足为， 点为钢丝中点，，， ， ∵在中，， ∴ ∵在中，， ， 下降的高度约为； （3）连接， ∵在中，， ， 设，则， ， ，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 22．(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明是关键． （1）如图1，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论； （2）①如图2，过作于点，证明，则，得； ②过点C作，连接，过点C作，先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明，列比例式可得的长，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：①线段与之间满足的数量关系是：， 理由如下：如图2，过作于点，连接， ， ，且， ， 为公共边， ， ， ； ②过点C作，连接，过点C作， 是的直径， ， ，， ． ， ， ， 由得：， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ， ，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． ， ， 四边形是矩形， ， ， 23．(1)证明见解析 (2) (3)60 【分析】本题考查相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形； （1）在与中找到两组角相等即可证明； （2）易证明，由和矩形的性质，可设，，再求出，最后根据求解即可； （3）由（2）可设，，则，，由和求出、、，再求出，利用建立方程求出x，最后用勾股定理求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）得，， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴设，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴. （3）解：由（2）可设，，则，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $