25.2.2第2课时用公式法解一元二次方程 作业 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以“基础-提升-拓展”三层设计构建公式法学习路径，从概念理解到综合应用，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练|求根公式推导、直接解方程、纠错|填空推导公式强化步骤，选择判断方程根巩固概念| |提升练|含参数方程根的判别式、综合方程求解|参数讨论培养推理能力，分式方程转化体现模型意识| |拓展练|两根差公式推导、二次三项式因式分解|公式逆向应用发展创新意识，代数推理提升数学表达|

25.2.2 第2课时 用公式法解一元二次方程 一、基础练 1．完成下面推导一元二次方程的求根公式的过程． 解：移项，得____________． 二次项系数化为1，得____________． 配方，得______________________， 即． 当时，原方程有解， ____________， ____________， 一元二次方程的求根公式是_____________________． 2．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 3．用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 4．用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 5．用公式法解方程： (1)； (2)． 6．小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 7． 若代数式与的值互为相反数，求的值． 二、提升练 8．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 9．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3) ； (4)． 10．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 11．为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 三、拓展练 12．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 13．我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《25.2.2 第2课时 用公式法解一元二次方程》参考答案 题号 2 12 答案 B A 1．； ； ； ； ； 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步推导填空即可． 【详解】略 2．B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 3． 4 41 ， 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 4． ；；；；；；； 【分析】利用公式法解方程即可. 【详解】略 5．(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 6．(1)； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键． （）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 7． 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 8．(1) (2)时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 9．(1)， (2) (3)， (4)方程无实数根 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 整理得， ，， ∴ 解得； （3）解： 整理得， ，， ∴ 解得，； （4）解： 整理得， ，， ∴方程无实数根． 10．(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 11．(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 12．A 【分析】先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于的方程，同时根据方程有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果； （2）根据题干所给例子即可得出结果； （3）利用公式法求出一元二次方程的解，并结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． （2）解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； （3）解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $