第03讲 认识有理数：（正数与负数、有理数的分类、数轴）讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的认识，系统梳理正负数概念（含0的分界作用）、相反意义的量（基准与表示方法）、实际应用（误差范围、变化量等），有理数分类（按性质和符号）及数轴（三要素、与有理数关系），构建从概念到应用再到工具的知识支架。 资料亮点在于14类分层题型覆盖基础到拓展，探究式学习（如数轴折叠、循环小数化分数）培养抽象能力与推理意识，课后检测与复盘笔记助力查漏补缺，体现用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的核心素养。

简一数理 初中专题讲义 第03讲 认识有理数：正负数、有理数的分类、数轴 （新教材北师大版） 知识点一：正数和负数的概念 2 知识点二：相反意义的量 2 知识点三：正负数的实际应用 4 知识点四：有理数的概念及分类 4 知识点五：数轴 5 【题型1 正负数的定义】 6 【题型2 相反意义的量】 6 【题型3 正负数的实际应用】 7 【题型4 有理数的定义】 8 【题型5 “0”的意义】 8 【题型6 有理数的分类】 8 【题型7 带“非”字的有理数】 9 【题型8 数轴的三要素及画法数轴上两点之间的距离】 9 【题型9 用数轴上的点表示有理数】 10 【题型10 利用数轴比较两个有理数的大小】 11 【题型11 数轴上点的平移（动点问题）】 11 【题型12 数轴上找原点】 12 【题型13 数轴上整点覆盖问题】 12 【题型14 数轴上的规律探究】 13 【探究式学习】 15 【课后检测】 17 【复盘笔记】 20 知识点一：正数和负数的概念 1. 正数的定义 大于0的数叫做正数。正数前面的“+”号通常省略不写，有时为了强调也可以加上。 例如：3、​、1.8%、+7.5 都是正数。 2. 负数的定义 在正数前面加上“−”号的数叫做负数。负数的“−”号不能省略。 例如：−3、​、−1.8%、−7.5 都是负数。 3. 0的特殊地位 0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。 · 核心理解：正数 > 0 > 负数，0是正负“分水岭”。 4. 易错警示 · 符号“+”可以省略，但“−”绝对不能省略； · 并非所有带“+”的数都是正数（如“+0”仍是0），所有带“−”的数（除0外）都是负数； · 判断一个数是正数还是负数，关键是看它与0的大小关系，而不是看它是否带有符号。 知识点二：相反意义的量 1. 定义 在生活中，有许多意义相反的量，如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”、“零上”与“零下”等。人们常用正数和负数来表示这样一对具有相反意义的量。 2. 表示方法 对于一对具有相反意义的量，我们可以规定其中一种意义的量为正，用正数表示；则与它意义相反的量就为负，用负数表示。 注意：正、负的规定是人为的，可以互换，但一旦规定好，整个问题中必须保持一致。 3. 常见相反意义的量配对 正方向（记为+） 负方向（记为−） 上升 下降 收入 支出 盈利 亏损 运进 运出 高于海平面 低于海平面 零上温度 零下温度 向东 向西 增加 减少 上涨 下跌 超过标准 不足标准 4. 基准（参照点） 用正负数表示相反意义的量时，通常先确定一个基准，基准用0表示。高于基准的量为正，低于基准的量为负。 例如：海平面的海拔高度记为0米，高于海平面记为正，低于海平面记为负。 关键理解：相反意义的量包含两个要素——①意义相反；②是同类量（如长度、金额、温度等）。“黑”与“白”虽然意义相反，但不是同类量，不能作为一对相反意义的量。 知识点三：正负数的实际应用 正负数在实际生活中应用广泛，理解其含义是解决应用题的关键。 1. 表示允许偏差（误差范围） 产品包装上常见“标准值±偏差值标准值±偏差值”的标识，表示产品合格的范围。 例如：某食品包装标注“净含量：500±5克”，表示：标准净含量为500克；最多比标准多5克（500+5=505克），最少比标准少5克（500−5=495克）；合格范围：495克 ~ 505克。 通用公式：若标注为“A±B”，则合格范围为 [A−B, A+B]。 2. 表示变化量 正负数可以表示某个量相对于基准量的变化情况： “+a”表示比基准增加或上升了a个单位； “−a”表示比基准减少或下降了a个单位。 例如：某日气温变化记录为“+3∘C”表示比前一天上升了3℃，“−2∘C”表示比前一天下降了2℃。 3. 表示相对位置或等级 海拔：以海平面为0，高于为正，低于为负； 成绩评定：以标准线为0，超过为正，不足为负； 楼层：有些国家以地面层为0，地上为正，地下为负。 4. 应用中的核心方法 在实际情境中，用正负数解决问题的一般思路： (1) 明确基准（什么量记为0）； (2) 确定正方向（什么情况记为正）； (3) 按要求表示或计算。 5. 易错提醒 · 带单位的正负数在书写时，符号写在数值前面，单位写在最后面，如“+5米”； · 在表格或统计中，要看清“正数表示什么，负数表示什么”，不要凭主观经验判断； · “0”在应用题中不代表“没有”，而是表示达到基准线或与基准持平。 知识点四：有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 知识点五：数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【题型1 正负数的定义】 【例1】有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．若，则m是非正数 B．绝对值是本身的数是负数 C．是一个负数 D．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 【变式1-2】下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③若，则a是非正数；④数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远．其中正确的有（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②④ 【变式1-3】在中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 相反意义的量】 【例2】如果表示零上20度，则零下20度表示（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作元，则元表示（  ） A．支出50元 B．支出150元 C．收入50元 D．收入150元 【变式2-2】若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】某日高黎贡山气象观测显示：向阳坡气温为零上，背阴坡气温为零下．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 【题型3 正负数的实际应用】 【例3】若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数．则下面4个足球中，质量与标准差值最大的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】请你利用所学知识判断，下列叙述错误的是（   ） A．正负数是表示在生活中互为相反的方向上数量发生改变需要产生的计数方式； B．表示正负数时前面的符号代表方向，是人为规定的，后面的数字代表数量； C．0没有相反数； D．互为相反数的量在不同的情况下，可以互换表示． 【变式3-3】一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，具体如下表（单位：）． 样品编号 质量 那么，最接近标准质量的样品编号为（   ） A． B． C． D． 【题型4 有理数的定义】 【例4】有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④绝对值等于它本身的有理数是正数；⑤一定是负数．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0 B．绝对值是它本身的数只有0 C．整数只包括正整数和负整数 D．是最大的负有理数 【变式4-2】下列说法：①整数是正整数和负整数的统称；②一定是正数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值等于它本身的数是1；⑤是有理数，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】下列一组数：π、、0、、、，其中是有理数的有（　　）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【题型5 “0”的意义】 【例5】下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点越远的点表示的数越大 B．符号不同的两个数互为相反数 C．绝对值等于本身的数是正数 D．0既不是正数也不是负数 【变式5-1】在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-2】下列说法正确的有 （      ） ①0是绝对值最小的有理数；               ②－a是负数； ③任一个有理数的绝对值都是正数；       ④数轴上原点两侧的数互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】下列说法正确的有（     ） ①一个数不是正数就是负数；②海拔表示比海平面低； ③负分数不是有理数；④零是最小的数； ⑤零是整数，也是正数；⑥是最大的负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6 有理数的分类】 【例6】下列说法：①整数是正整数和负整数的统称；②一定是正数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值等于它本身的数是1，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】在，0，，，5，，非负数的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】下列说法中正确的个数是（    ）． ①正整数与正分数统称为正有理数； ②正整数与负整数统称为整数； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； ④互为相反数的两个数的绝对值相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型7 带“非”字的有理数】 【例7】在，，0，，25，中，非负整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】下列各数中最小非负数是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【变式7-2】下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型8 数轴的三要素及画法数轴上两点之间的距离】 【例8】下列结论正确的有（   ） ①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 ②最小的整数是0 ③绝对值等于本身的数是正数 ④有理数都可以用数轴上的点表示 ⑤两个数比较，绝对值大的反而小 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【变式8-2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】关于数轴下列说法最准确的是(     ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【题型9 用数轴上的点表示有理数】 【例9】如图，数轴上A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c，且点 B到点A，C 的距离相等．如果有，那么该数轴的原点O 的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点B与C之间且离点B近 C．点A与B之间且离点A 近 D．点C的右边 【变式9-1】有下列结论：①一定是正数；②绝对值最小的数是0；③在数轴上表示的点一定在原点的左边；④有理数分为正有理数和负有理数；其中所有正确结论的序号是（   ） A．② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【变式9-2】下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【变式9-3】下列说法正确的个数有（    ） ①有理数可以用数轴上的点表示； ②能够写成分数（、为整数且）的数叫作有理数； ③绝对值相等的两个数相等； ④两个负有理数，绝对值大的那个数反而小． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型10 利用数轴比较两个有理数的大小】 【例10】如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． ∴ 故选：B． 【变式10-2】已知有理数，，的位置如图，则下列选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【题型11 数轴上点的平移（动点问题）】 【例11】点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【变式11-1】已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【变式11-3】如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【题型12 数轴上找原点】 【例12】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【变式12-1】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式12-2】．如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等，那么可以判断点B表示的数是（     ）    A． B． C． D． 【变式12-3】有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【题型13 数轴上整点覆盖问题】 【例13】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这条数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数是（    ）． A．2023或2024 B．2024或2025 C．2025或2026 D．2026或2027 【变式13-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式13-2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【变式13-3】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【题型14 数轴上的规律探究】 【例14】正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式14-1】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【变式14-2】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【变式14-3】如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【探究式学习】 1．若，则的取值范围是？小明决定利用数轴来解决这个问题． (1)如图，小明发现当时， 0； 0； 0； 0；此时，（填“＞”或“＜”）    (2)请你按照以上思路，探究的取值范围． 2．阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 3．操作探究：小明在一张长条形的纸面上画了一条数轴（如图所示）， 操作一：折叠纸面，使1表示的点与－1表示的点重合，则－3表示的点与表示（ ）的点重合； 操作二：重新折叠纸面，使－1表示的点与5表示的点重合，请你回答以下问题： ①－3表示的点与数（    ）表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为14，其中A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，则A表示的数是（    ），B表示的数是（ ）． 【课后检测】 1．在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（    ） A．3 B．0 C． D． 3．小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 4．中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 5．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 6．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 7．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 8．下列语句正确的个数是（ ） ①负数没有绝对值；②如果a是正数，那么一定是负数；③正数的相反数一定是负数；④不存在既不是正数，也不是负数的数；⑤非负数就是正数和零 A．0 B．1 C．2 D．3 9．下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 11．下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 12．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 13．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 14．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 15．如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 42 页 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第03讲 认识有理数：正负数、有理数的分类、数轴 （新教材北师大版） 知识点一：正数和负数的概念 2 知识点二：相反意义的量 2 知识点三：正负数的实际应用 4 知识点四：有理数的概念及分类 4 知识点五：数轴 5 【题型1 正负数的定义】 6 【题型2 相反意义的量】 7 【题型3 正负数的实际应用】 8 【题型4 有理数的定义】 10 【题型5 “0”的意义】 12 【题型6 有理数的分类】 14 【题型7 带“非”字的有理数】 16 【题型8 数轴的三要素及画法数轴上两点之间的距离】 18 【题型9 用数轴上的点表示有理数】 19 【题型10 利用数轴比较两个有理数的大小】 22 【题型11 数轴上点的平移（动点问题）】 23 【题型12 数轴上找原点】 25 【题型13 数轴上整点覆盖问题】 27 【题型14 数轴上的规律探究】 28 【探究式学习】 31 【课后检测】 34 【复盘笔记】 42 知识点一：正数和负数的概念 1. 正数的定义 大于0的数叫做正数。正数前面的“+”号通常省略不写，有时为了强调也可以加上。 例如：3、​、1.8%、+7.5 都是正数。 2. 负数的定义 在正数前面加上“−”号的数叫做负数。负数的“−”号不能省略。 例如：−3、​、−1.8%、−7.5 都是负数。 3. 0的特殊地位 0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。 · 核心理解：正数 > 0 > 负数，0是正负“分水岭”。 4. 易错警示 · 符号“+”可以省略，但“−”绝对不能省略； · 并非所有带“+”的数都是正数（如“+0”仍是0），所有带“−”的数（除0外）都是负数； · 判断一个数是正数还是负数，关键是看它与0的大小关系，而不是看它是否带有符号。 知识点二：相反意义的量 1. 定义 在生活中，有许多意义相反的量，如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”、“零上”与“零下”等。人们常用正数和负数来表示这样一对具有相反意义的量。 2. 表示方法 对于一对具有相反意义的量，我们可以规定其中一种意义的量为正，用正数表示；则与它意义相反的量就为负，用负数表示。 注意：正、负的规定是人为的，可以互换，但一旦规定好，整个问题中必须保持一致。 3. 常见相反意义的量配对 正方向（记为+） 负方向（记为−） 上升 下降 收入 支出 盈利 亏损 运进 运出 高于海平面 低于海平面 零上温度 零下温度 向东 向西 增加 减少 上涨 下跌 超过标准 不足标准 4. 基准（参照点） 用正负数表示相反意义的量时，通常先确定一个基准，基准用0表示。高于基准的量为正，低于基准的量为负。 例如：海平面的海拔高度记为0米，高于海平面记为正，低于海平面记为负。 关键理解：相反意义的量包含两个要素——①意义相反；②是同类量（如长度、金额、温度等）。“黑”与“白”虽然意义相反，但不是同类量，不能作为一对相反意义的量。 知识点三：正负数的实际应用 正负数在实际生活中应用广泛，理解其含义是解决应用题的关键。 1. 表示允许偏差（误差范围） 产品包装上常见“标准值±偏差值标准值±偏差值”的标识，表示产品合格的范围。 例如：某食品包装标注“净含量：500±5克”，表示：标准净含量为500克；最多比标准多5克（500+5=505克），最少比标准少5克（500−5=495克）；合格范围：495克 ~ 505克。 通用公式：若标注为“A±B”，则合格范围为 [A−B, A+B]。 2. 表示变化量 正负数可以表示某个量相对于基准量的变化情况： “+a”表示比基准增加或上升了a个单位； “−a”表示比基准减少或下降了a个单位。 例如：某日气温变化记录为“+3∘C”表示比前一天上升了3℃，“−2∘C”表示比前一天下降了2℃。 3. 表示相对位置或等级 海拔：以海平面为0，高于为正，低于为负； 成绩评定：以标准线为0，超过为正，不足为负； 楼层：有些国家以地面层为0，地上为正，地下为负。 4. 应用中的核心方法 在实际情境中，用正负数解决问题的一般思路： (1) 明确基准（什么量记为0）； (2) 确定正方向（什么情况记为正）； (3) 按要求表示或计算。 5. 易错提醒 · 带单位的正负数在书写时，符号写在数值前面，单位写在最后面，如“+5米”； · 在表格或统计中，要看清“正数表示什么，负数表示什么”，不要凭主观经验判断； · “0”在应用题中不代表“没有”，而是表示达到基准线或与基准持平。 知识点四：有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 知识点五：数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【题型1 正负数的定义】 【例1】有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．若，则m是非正数 B．绝对值是本身的数是负数 C．是一个负数 D．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、负数和棱柱的基本概念，根据绝对值的定义和棱柱的性质，逐项判断即可． 【详解】解：对于A：∵ ，且 ， ∴ ，即 ， ∴ m是非正数，故A正确， 对于B：绝对值是本身的数是非负数（如 ，），而非负数包括0和正数，不是负数，故B错误， 对于C：不一定是负数，当时，；当时，；当时，，故C错误， 对于D：棱柱的侧面由平行四边形组成（直棱柱为矩形），不可能为三角形，故D错误． 故选：A． 【变式1-2】下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③若，则a是非正数；④数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远．其中正确的有（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】考查了正数与负数，绝对值的性质，根据正数和负数的定义及绝对值的性质进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③，则，则a是非正数，正确； ④数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①③④． 故选：C． 【变式1-3】在中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的定义、相反数、绝对值等知识点，掌握有理数的相关定义是解题的关键． 先根据相反数、绝对值化简相关数据，然后再根据负数的定义判断即可． 【详解】解：，则在中，负数有，共3个． 故选：C． 【题型2 相反意义的量】 【例2】如果表示零上20度，则零下20度表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果表示零上20度，则零下20度表示， 故选：D． 【变式2-1】两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作元，则元表示（  ） A．支出50元 B．支出150元 C．收入50元 D．收入150元 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数、负数的意义，掌握正数和负数表示相反的意义是解题的关键． 利用正数和负数表示相反的意义即可解答． 【详解】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出50元． 故选：A． 【变式2-2】若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 【详解】解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． 【变式2-3】某日高黎贡山气象观测显示：向阳坡气温为零上，背阴坡气温为零下．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可求解，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作， 故选：B． 【题型3 正负数的实际应用】 【例3】若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数．则下面4个足球中，质量与标准差值最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、正数和负数的应用，求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最大的数即可，掌握绝对值和正数和负数的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴ ∴与标准差值最大的是， 故选：． 【变式3-1】如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 【变式3-2】请你利用所学知识判断，下列叙述错误的是（   ） A．正负数是表示在生活中互为相反的方向上数量发生改变需要产生的计数方式； B．表示正负数时前面的符号代表方向，是人为规定的，后面的数字代表数量； C．0没有相反数； D．互为相反数的量在不同的情况下，可以互换表示． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，正数和负数以及相反数，掌握相关定义是解答本题的关键．分别根据正数和负数的意义以及相反数的定义判断即可． 【详解】解：A．正负数是表示在生活中互为相反的方向上数量发生改变需要产生的计数方式，说法正确，故本选项不符合题意； B．表示正负数时前面的符号代表方向，是人为规定的，后面的数字代表数量，说法正确，故本选项不符合题意； C．0的相反数是0，原说法错误，故本选项符合题意； D．互为相反数的量在不同的情况下，可以互换表示，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-3】一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，具体如下表（单位：）． 样品编号 质量 那么，最接近标准质量的样品编号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示， ∴， ∴最接近标准质量的样品编号是， 故选：B． 【题型4 有理数的定义】 【例4】有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④绝对值等于它本身的有理数是正数；⑤一定是负数．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的概念，有理数的分类，绝对值，负数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个说法的正误． 【详解】解：∵ 有理数包括正数、负数和零，零既不是正数也不是负数， ∴ 说法①错误； ∵ 有理数是整数和分数的统称， ∴ 说法②正确； ∵ 有理数中包含负数，负数小于零， ∴ 说法③错误； ∵ 绝对值等于它本身的数是非负数， ∴ 说法④错误； ∵可能是负数、正数或零，取决于a的取值， ∴ 说法⑤错误． 综上，只有说法②正确，故正确的个数是1． 故选：A． 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0 B．绝对值是它本身的数只有0 C．整数只包括正整数和负整数 D．是最大的负有理数 【答案】A 【分析】本题考查有理数的相关概念，包括乘法性质、绝对值的性质、整数的分类以及负有理数的范围．解题关键是准确掌握每个概念的定义和细节，易错点是对“非负数”“整数包含0”“最大负有理数不存在”等概念的混淆． 解题时需对每个选项逐一分析．对于选项A，依据乘法中“积为0则至少一个因数为0”的性质判断；选项B，明确绝对值是本身的数是所有非负数（正数和0）；选项C，牢记整数包含正整数、0、负整数；选项D，清楚没有最大的负有理数，是最大的负整数，通过对这些概念的准确把握来判断每个选项的正误． 【详解】解：对于A：根据乘法的性质，若几个数的积为0，则至少有一个因数为0，该说法正确． 对于B：绝对值是它本身的数是正数和0（即非负数），并非只有0，该说法错误． 对于C：整数包括正整数、0和负整数，并非只包括正整数和负整数，该说法错误． 对于D：没有最大的负有理数，是最大的负整数，该说法错误． 故选：A． 【变式4-2】下列说法：①整数是正整数和负整数的统称；②一定是正数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值等于它本身的数是1；⑤是有理数，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了整数的分类、绝对值的意义、相反数的定义和有理数的定义等，熟练掌握上述定义是解题的关键； 根据整数的分类、绝对值的意义、相反数的定义和有理数的定义逐项判断即可． 【详解】①整数是正整数、0和负整数的统称，故说法①不正确； ②是正数或0，故说法②不正确； ③相反数等于它本身的数是0，故说法③正确； ④绝对值等于它本身的数是正数或0，故说法④不正确； ⑤不是有理数，故说法⑤不正确； 说法正确的是③． 故选：A． 【变式4-3】下列一组数：π、、0、、、，其中是有理数的有（　　）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了有理数．整数和分数统称有理数，据此进行解答即可． 【详解】解：π、、0、、、，其中是有理数是：、0、、、，共5个， 故选：B 【题型5 “0”的意义】 【例5】下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点越远的点表示的数越大 B．符号不同的两个数互为相反数 C．绝对值等于本身的数是正数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值和0的概念，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数轴的性质、相反数的定义、绝对值的性质和0的概念逐项判断即可得． 【详解】解：A、数轴上离原点越远的点表示的数的绝对值越大，如：离原点的距离大于1离原点的距离，但，则原说法错误，不符合题意； B、只有符号不同的两个数互为相反数，则原说法错误，不符合题意； C、绝对值等于本身的数是正数和0，则原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，则原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，的意义，解题的关键是熟练掌握有关概念和性质． 根据绝对值的定义，的意义逐一判断即可． 【详解】解：如果，则有，故原说法错误； 既不是正数，也不是负数，故原说法正确； 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或，故原说法错误； 有温度，温度为度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上），故原说法错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 【变式5-2】下列说法正确的有 （      ） ①0是绝对值最小的有理数；               ②－a是负数； ③任一个有理数的绝对值都是正数；       ④数轴上原点两侧的数互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据绝对值，可判断①③，根据正负数可判断②，根据相反数，可判断④． 【详解】解：①|0|=0，任何非0的绝对值都大于0，故①正确； ②当a≤0时，-a是非负数，故②错误； ③0的绝对值是0，0无正负之分，故③错误； ④数轴上原点两侧的数符号相反，但不一定是互为相反数，此结论错误 正确的结论只有1个， 故选：A 【点睛】本题主要考查数轴，有理数，相反数，解题的关键是掌握有理数的有关概念、数轴的概念等知识点． 【变式5-3】下列说法正确的有（     ） ①一个数不是正数就是负数；②海拔表示比海平面低； ③负分数不是有理数；④零是最小的数； ⑤零是整数，也是正数；⑥是最大的负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用正数和负数的定义判断即可. 【详解】解：0既不是正数也不是负数，①错误； 海拔表示比海平面低，②正确； 负分数是有理数，③错误； 负数比零小，④错误； 零是整数，不是正数，⑤错误； 是最大的负整数，⑥错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了对有理数有关内容的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，解题的关键是掌握正数和负数的定义以及注意0的特殊性． 【题型6 有理数的分类】 【例6】下列说法：①整数是正整数和负整数的统称；②一定是正数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值等于它本身的数是1，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整数的分类、绝对值的意义、相反数的定义等知识，根据相关知识逐个判断说法的正确性，即可解题． 【详解】解：∵整数包括正整数、0和负整数，故说法①不正确； ∵，当时，，这时不是正数，故说法②不正确； ∵相反数等于它本身的数只有0，故说法③正确； ∵绝对值等于它本身的数是非负数（包括0和正数），不仅是1，故说法④不正确； ∴正确的只有③，共1个． 故选：A． 【变式6-1】下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的定义，相反数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义判断各说法的正误． 【详解】解：∵ 非负数包括正数和零，故①错误； ∵ 整数和分数统称为有理数，故②正确； ∵ 0既不是正数也不是负数，故③正确； ∵ 相反数等于本身的数只有0，故④正确． ∴ 错误的说法有1个，故选A． 【变式6-2】在，0，，，5，，非负数的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的定义（包括0和正数），解题的关键是先化简各数，再判断是否为非负数． 先化简，再逐一判断：、、、是非负数，统计其个数即可． 【详解】解： 非负数包括正数和0， ，不是非负数； ，是非负数； ，不是非负数； ，是非负数； ，是非负数； ，是非负数； ，不是非负数． 非负数有、、、，共4个． 故选C． 【变式6-3】下列说法中正确的个数是（    ）． ①正整数与正分数统称为正有理数； ②正整数与负整数统称为整数； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； ④互为相反数的两个数的绝对值相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，绝对值的几何意义，熟练掌握有理数的分类及绝对值的几何意义是关键．根据有理数的分类可判断①正确；根据整数的分类可判断②错误；根据绝对值的性质可判断③和④得正误． 【详解】解：因为正有理数包括正整数和正分数，所以 ①正确； 因为整数包括正整数、0和负整数，但②只提及正整数和负整数，遗漏了0，所以 ②错误； 因为绝对值相等的两个数可能相等或互为相反数，所以 ③错误； 因为互为相反数的两个数在数轴上所表示的点到原点的距离相等，所以它们的绝对值相等，所以 ④正确； 所以正确的有①和④，共2个． 故选：C． 【题型7 带“非”字的有理数】 【例7】在，，0，，25，中，非负整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号、化简绝对值、非负整数，熟练掌握化简多重符号和化简绝对值是解题关键．先化简多重符号、化简绝对值，再根据非负整数的定义即可得． 【详解】解：，， 则在这些数中，非负整数有0，，25，共3个， 故选：C． 【变式7-1】下列各数中最小非负数是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据非负数的意义和有理数的大小比较求解． 【详解】解：∵-2、-1是负数，0、1是非负数，且0<1， ∴题中最小非负数是0， 故选C． 【点睛】本题考查非负数的应用和有理数的大小比较，熟练掌握非负数的意义是解题关键． 【变式7-2】下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误， 故（1）不符合题意； 没有最小的整数， 故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数， 故（3）符合题意； 自然数包括0， ∴自然数一定是正整数错误， 故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数， 故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数， 故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数， 故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数， 故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0， 故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【变式7-3】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 【题型8 数轴的三要素及画法数轴上两点之间的距离】 【例8】下列结论正确的有（   ） ①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 ②最小的整数是0 ③绝对值等于本身的数是正数 ④有理数都可以用数轴上的点表示 ⑤两个数比较，绝对值大的反而小 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据所学的相关知识理解解答即可． 本题考查了数轴，有理数的大小比较，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，正确； ②没有最小的整数，错误； ③绝对值等于本身的数是正数或0，错误； ④有理数都可以用数轴上的点表示，正确； ⑤两个负数比较，绝对值大的反而小，错误； 故选：B． 【变式8-1】关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 【变式8-2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【变式8-3】关于数轴下列说法最准确的是(     ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【答案】D 【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．故可知：D正确. 故选D. 【题型9 用数轴上的点表示有理数】 【例9】如图，数轴上A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c，且点 B到点A，C 的距离相等．如果有，那么该数轴的原点O 的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点B与C之间且离点B近 C．点A与B之间且离点A 近 D．点C的右边 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，绝对值的几何意义，由题意得，即可确定是负数，再由，得到，且，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，且， ∴原点O 的位置在点B与C之间且离点B近， 故选：B． 【变式9-1】有下列结论：①一定是正数；②绝对值最小的数是0；③在数轴上表示的点一定在原点的左边；④有理数分为正有理数和负有理数；其中所有正确结论的序号是（   ） A．② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的分类． 逐一判断每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：当时，，不是正数，①错误； ②：，且最小，②正确； ③：当时，，在原点左边；当时，，在原点右边；当时，，在原点，③错误； ④：有理数包括正有理数、负有理数和零，零既不是正有理数和负有理数，④错误； 只有②正确． 故选：A． 【变式9-2】下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【答案】A 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需准确理解有理数的定义和数轴表示方法； 选项A符合有理数的定义；选项B错误，因为绝对值大小与原数大小可能不一致；选项C错误，因为数轴上任意两点间有无数个有理数；选项D错误，因为所有有理数都可以用数轴上的点表示 【详解】A、∵ 有理数的定义是能写成分数形式 （、 为整数，）的数， ∴ A正确． B、∵ 取绝对值后，原数大小与绝对值大小不一定一致，例如 ，但 ， ∴ B错误． C、∵ 数轴上任意两点间都有无数个有理数， ∴ 与 之间有无数个有理数， ∴C错误． D、∵ 所有有理数都可以用数轴上的点表示， 是有理数， ∴ D错误． 故选：A． 【变式9-3】下列说法正确的个数有（    ） ①有理数可以用数轴上的点表示； ②能够写成分数（、为整数且）的数叫作有理数； ③绝对值相等的两个数相等； ④两个负有理数，绝对值大的那个数反而小． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查有理数的相关概念包括数轴表示、定义、绝对值性质、负数比较大小等．逐一分析每个说法即可判断． 【详解】有理数都可以用数轴上的点表示，故①正确； 有理数定义为可写成分数形式（、为整数且），故②正确； 绝对值相等的两个数可能相等或互为相反数，故③错误； 两个负有理数，绝对值越大，数越小，故④正确． 综上，正确的说法有①②④，共3个． 故选：D． 【题型10 利用数轴比较两个有理数的大小】 【例10】如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，相反数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，可以确定在数轴上的位置，根据在数轴上越往右的数越大判断即可． 【详解】解：∵互为相反数的两个数到原点的距离相等， ∴可以确定在数轴上的位置如图， 根据在数轴上越往右的数越大， 只有A选项正确． 故选：A． 【变式10-1】数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，根据题意把，，表示在数轴上，进而根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：如图所示，把，，表示在数轴上， ∴ 故选：B． 【变式10-2】已知有理数，，的位置如图，则下列选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值是解决本题的关键． 根据数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值解决此题． 【详解】解：根据数轴可得，， ， A、，错误，故不符合题意； B、，错误，故不符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、正确，故符合题意， 故选：D． 【变式10-3】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数和数轴，绝对值，根据点在数轴上的位置，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴， 综上：只有选项D正确； 故选D． 【题型11 数轴上点的平移（动点问题）】 【例11】点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 【变式11-1】已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 【变式11-2】数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 【变式11-3】如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 【题型12 数轴上找原点】 【例12】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 【变式12-1】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 【变式12-2】．如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等，那么可以判断点B表示的数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义、在数轴上表示点的位置、确定数轴的原点，根据相反数的定义和数轴的单位长度为1，可得数轴上的点A和点C表示的数分别为、2，再根据数轴上点B的位置求解即可． 【详解】解：∵数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等， ∴点A和点C表示的数互为相反数， ∵数轴的单位长度为1， ∴的中点是数轴的原点， ∴数轴上的点A和点C表示的数分别为、2， ∴数轴上的点B表示的数是， 故选：D． 【变式12-3】有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 【题型13 数轴上整点覆盖问题】 【例13】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这条数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数是（    ）． A．2023或2024 B．2024或2025 C．2025或2026 D．2026或2027 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，分两种情况：当线段起点在整点时覆盖2026个数，当线段起点不在整点时覆盖2025个点，可得答案． 【详解】解：当线段的起点在整点时盖住个整点； 当线段的起点不在整点时盖住个整点， 所以答案为或． 故选：C． 【变式13-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 【变式13-2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时． 【详解】解：、起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整点包括起点到终点共个； 、起点不在整点： 若线段起点在两个整点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整点从到，共个； 综上，线段盖住的整点个数为或． 故选：A． 【变式13-3】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 【题型14 数轴上的规律探究】 【例14】正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2026对应的顶点与数4对应的顶点相同，即为点． 【变式14-1】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式14-2】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 【变式14-3】如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． 【探究式学习】 1．若，则的取值范围是？小明决定利用数轴来解决这个问题． (1)如图，小明发现当时， 0； 0； 0； 0；此时，（填“＞”或“＜”）    (2)请你按照以上思路，探究的取值范围． 【答案】(1)； (2)或或 【分析】（1）根据，进行大小比较即可； （2）由可得这4个代数式中全部是正数或有两个是正数或全部是负数，据此解答即可． 【详解】（1）由题意可得：当时，；此时， 故答案为：； （2）∵， ∴这4个代数式中全部是正数或有两个是正数或全部是负数， ∴或或 【点睛】本题考查了数轴及有理数的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握通过数轴比较有理数的大小． 2．阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 【答案】(1)是 (2) (3)是，过程： 设，由，     可得：， 等式两边同乘以100，可得，     即：，     化简，得： 解方程，得：．         (4) (5)，0，，16.2 【详解】解：（1）是             （2）             设，由，得． 可知，，即， 解得：， （3）略     （4） 由（1）知： 所以． （5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2， 故答案为：，0，，16.2． 3．操作探究：小明在一张长条形的纸面上画了一条数轴（如图所示）， 操作一：折叠纸面，使1表示的点与－1表示的点重合，则－3表示的点与表示（ ）的点重合； 操作二：重新折叠纸面，使－1表示的点与5表示的点重合，请你回答以下问题： ①－3表示的点与数（    ）表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为14，其中A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，则A表示的数是（    ），B表示的数是（ ）． 【答案】操作一：3；操作二：①7；②-5，9 【分析】操作一：根据使1表示的点与－1表示的点重合，得出对称中心是0，即可得解； 操作二：①使－1表示的点与5表示的点重合，得出对称中心是2，再进行计算即可；②分点M在点A左侧和右侧分别计算即可； 【详解】解：操作一：折叠纸面，使1表示的点与－1表示的点重合，则对称中心是0，则－3表示的点与3表示的点重合； 故答案是：3． 操作二：重新折叠纸面，使－1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2， ①－3表示的点与数7表示的点重合； 故答案是：7． ②若数轴上A、B两点之间距离为14，其中A在B的左侧，且A、B两点折叠后重合，则A表示的数是，B表示的数是； 故答案是：-5，9． 【点睛】本题主要考查了数轴的有关知识点，准确计算是解题的关键． 【课后检测】 1．在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查负数的判定，绝对值，相反数的化简．对各数进行化简，再判断是否为负数即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴负数有，，，共3个． 故选：C 2．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题的关键．根据负数的定义即可得到答案． 【详解】解：负数即带有负号的数，故是负数的是， 故选：C． 3．小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数的实际意义，熟练掌握正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：依题意可得：“从学校往南走”记作， 故选D． 4．中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵红为正，黑为负，个红算筹记作， ∴个黑算筹应记作． 5．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数以及绝对值的综合应用．解题的关键是熟练掌握求正负数的绝对值，比较有理数的大小． 求出四个选项中足球上面的数的绝对值，比较大小，超过或不足标准质量克数的绝对值越小越接近标准质量，可得答案． 【详解】解：A、 B、 C、 D、． ∵， ∴与标准质量偏差最小的是C． 故选：C． 6．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 7．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 8．下列语句正确的个数是（ ） ①负数没有绝对值；②如果a是正数，那么一定是负数；③正数的相反数一定是负数；④不存在既不是正数，也不是负数的数；⑤非负数就是正数和零 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、相反数、正负数的定义. 根据绝对值、相反数、正负数的定义逐一判断各语句正误． 【详解】解：① ∵绝对值表示数到原点的距离，总是非负，负数也有绝对值（如），∴①错误； ② ∵a是正数，则表示其相反数，必为负数，∴②正确； ③ ∵正数的相反数必为负数，∴③正确； ④ ∵零既不是正数也不是负数，∴④错误； ⑤ ∵非负数指大于或等于零的数，即正数和零，∴⑤正确； 综上，正确语句为②、③、⑤，共3个． 故选：D． 9．下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括负分数、整数、非负有理数、有理数的定义以及有理数的大小．根据定义逐一判断各说法的正误． 【详解】解：① 是负分数，正确； ② 不是整数，正确； ③ 非负有理数包括，故原说法错误； ④ 有理数是整数和分数的统称，而整数包括正整数、负整数和，故原说法错误； ⑤ 没有最小的有理数，故原说法错误； ⑥ 是有限小数，是有理数，故原说法错误． ∴ 错误的有③、④、⑤、⑥，共个； 故选B 10．下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 11．下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 【答案】 1.5 【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可． 根据图示，结合数轴知识，如果A点表示0，E点表示1，则每个小格表示0.25，所以G点表示1.5；如果D点表示0，G点表示1，结合正负数知识可知A点表示． 【详解】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 12．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，则可得，，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 14．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【答案】(1) 如图，点O为原点； (2)4 (3)点B在数轴上对应的数为7 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间距离，掌握数轴相关知识是解题的关键． （1）根据点A表示的数及每个刻度的单位长度，可找出原点； （2）根据点B所在数轴位置即可求解； （3）先求出点A运动路程，根据两点运动路程相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点B表示的数是4， 故答案为：4； （3）解：由题意知，点A运动路程为：， 又A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动， 所以此时点B表示的数为：． 15．如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)B， (2)B， (3)1 (4) 有三种不同的移动方法： ①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度； ②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度； ③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． 【详解】（1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）略 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 42 页 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $