第15章轴对称图形与等腰三角形教学设计+导学案2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦轴对称图形与等腰三角形核心知识，通过预习铺垫概念，课堂探究深化性质（如轴对称与成轴对称的区别、三线合一），分层小测巩固应用，构建“概念-性质-应用”连贯知识链，形成学习支架。 资料以分层设计（基础到拓展）和情境化探究（如将军饮马、合肥天鹅湖最短路径）为特色，易错警示强化几何直观，培养推理能力与应用意识。助力学生分层巩固，教师对标段考，提升教学效率与学生数学素养。

沪科版（2024）八年级数学上册第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计 （配套2024版新教材 · 全章9课时 · 含配图与场景化教学流程 · 对标合肥段考） 一、教材分析 本章是沪科版（2024）八年级上册第15章，属于“图形与几何”领域中“图形的性质”与“图形的变化”两个主题。全章以轴对称为主线，依次安排15.1轴对称图形（轴对称概念、轴对称性质、平面直角坐标系中的轴对称）、15.2线段的垂直平分线、15.3等腰三角形（性质、判定、等边三角形及含30°角的直角三角形）、15.4角的平分线（性质、判定）四节内容。 从知识结构看，本章是在学生已经学习了相交线与平行线、三角形中的边角关系、全等三角形的基础上展开的：轴对称既是一种基本的图形变换，又是研究线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的统一工具；线段垂直平分线和角平分线的性质与判定互为逆定理，等腰三角形的性质与判定也互为逆定理，全章渗透“互逆”思想与轴对称思想。本章既为后续学习特殊四边形、圆的对称性积累经验，也为几何证明中“作辅助线、分类讨论、方程思想”提供重要载体。 2024版新教材更加突出几何直观与推理能力的协同发展，注重从生活实例抽象数学模型，注重在平面直角坐标系中用坐标刻画轴对称，体现数形结合；例题、习题强调真实情境与跨节综合。教学时应充分让学生经历“操作—观察—猜想—证明—应用”的完整过程。 二、全章知识结构 轴对称（概念、性质、作图、坐标规律） 　├─ 轴对称图形与两个图形成轴对称（对称轴、对应点） 　├─ 轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等 　└─ 坐标规律：关于x轴（x，−y）、关于y轴（−x，y）；应用：最短路径（将军饮马） 线段的垂直平分线 　├─ 性质：中垂线上的点到线段两端距离相等 　├─ 判定：到两端距离相等的点在中垂线上 　└─ 三角形三边中垂线共点（外心），到三个顶点距离相等 等腰三角形 　├─ 性质：等边对等角；三线合一 　├─ 判定：等角对等边；角平分线＋平行线⇒等腰 　├─ 等边三角形：性质（三角皆60°、三条对称轴）与判定（含“一个角为60°的等腰”） 　└─ 含30°角的直角三角形：30°角所对直角边等于斜边的一半 角的平分线 　├─ 性质：角平分线上的点到角两边距离相等 　├─ 判定：角内到两边距离相等的点在角平分线上 　└─ 三角形三角平分线共点（内心），到三边距离相等 图15-0　全章知识结构 三、课标要求与核心素养 课标要求：（1）通过具体实例认识轴对称，探索并掌握轴对称的基本性质，能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形；（2）在平面直角坐标系中，探索并掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律；（3）探索并证明线段垂直平分线、角平分线的性质定理与判定定理；（4）探索并证明等腰（等边）三角形的性质定理与判定定理，掌握含30°角的直角三角形的性质；（5）会利用轴对称解决简单的最短路径等实际问题。 核心素养：借助折纸、作图发展几何直观与空间观念；经历性质、判定的探索与证明发展推理能力；通过坐标系中的轴对称发展数形结合与模型观念；通过最短路径、生活选址等问题发展应用意识与创新意识。 四、学情分析 学生在小学已直观认识轴对称现象，在七年级学习了相交线与平行线，在本章之前又学习了三角形的边角关系和全等三角形，具备一定的识图能力和初步的演绎推理基础，对“折叠重合”有丰富的生活经验，这是学习本章的有利条件。 困难主要在于：（1）由直观“重合”上升到“对应点连线被对称轴垂直平分”的抽象性质需要过程；（2）等腰三角形已知一角求其余角、腰上的高等问题需要分类讨论，学生易漏解；（3）线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的“性质—判定”方向相反，学生容易混用；（4）综合题中辅助线（作垂线段、倍长、截长补短、构造对称）的添加对合肥地区学生是拉开差距的关键，教学需由易到难、分层递进。 五、教学目标 1．理解轴对称图形与成轴对称的概念，掌握轴对称的性质，会作简单图形的轴对称图形，掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律。 2．探索并证明线段垂直平分线、角平分线的性质定理与判定定理，理解三角形外心、内心的意义，会用尺规作线段的垂直平分线和角的平分线。 3．探索并证明等腰三角形、等边三角形的性质与判定，掌握“三线合一”和含30°角直角三角形的性质，能规范地进行相关计算与证明。 4．会用轴对称解决将军饮马型最短路径与生活选址问题，在综合运用中体会分类讨论、方程思想、转化思想和模型思想，提升几何推理素养。 六、教学重难点 教学重点：轴对称的性质与坐标规律；线段垂直平分线、角平分线的性质与判定；等腰（等边）三角形的性质与判定；三线合一。 教学难点：对应点连线被对称轴垂直平分的理解；等腰三角形中的分类讨论与方程思想；性质与判定的互逆运用；最短路径问题中“作对称点”的转化；跨节综合题辅助线的添加。 七、课时安排 全章共安排9课时：第1课时15.1.1轴对称图形；第2课时15.1.2轴对称的性质与画轴对称图形（含最短路径）；第3课时15.1.3平面直角坐标系中的轴对称；第4课时15.2线段的垂直平分线；第5课时15.3.1等腰三角形的性质；第6课时15.3.2等腰三角形的判定；第7课时15.3.3等边三角形（含含30°角的直角三角形）；第8课时15.4.1角的平分线（性质）；第9课时15.4.2角的平分线（判定）与全章小结。另安排单元测试与讲评2课时（详见配套A、B卷）。 八、分课时教学设计 第1课时　15.1.1 轴对称图形 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）认识轴对称图形和对称轴，会判断轴对称图形并数出对称轴条数；（2）理解“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的区别与联系；（3）在辨识生活图案中发展几何直观与审美意识。 2．教学重难点 重点：轴对称图形的概念与对称轴的确定。难点：“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的辨析。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：展示合肥地标建筑、剪纸、京剧脸谱、车标等对称图案，让学生对折课前准备的剪纸作品，观察“折痕两侧完全重合”的共同特征，引出轴对称图形。 （2）探究新知（16分钟） 探究1（轴对称图形）：归纳概念——一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能互相重合，即为轴对称图形，这条直线叫对称轴。强调对称轴是直线。 探究2（两种对称对比）：结合下图，左图是“一个图形自身重合”，右图是“两个图形折叠后重合”，引导学生归纳区别与联系。 图15-1　轴对称图形（左）与两个图形成轴对称（右） 探究3（数对称轴）：折一折线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆，填写对称轴条数表，发现正n边形有n条对称轴。 （3）例题精讲（12分钟） 例1　写出下列图形对称轴的条数：①线段；②角；③等边三角形；④正方形；⑤正六边形；⑥圆。 解析：①2条（线段所在直线与其中垂线）；②1条；③3条；④4条；⑤6条；⑥无数条。 设计意图：通过常见图形建立“对称轴可能不止一条、圆有无数条”的完整表象。 例2　判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）轴对称图形至少有一条对称轴；（2）两个全等的图形一定关于某直线成轴对称。 解析：（1）正确；（2）错误，全等只保证形状大小相同，位置上未必能沿某条直线折叠重合。 设计意图：在辨析中厘清“全等”与“成轴对称”的关系。 （4）变式巩固（8分钟） 变式1　在0～9中，找出所有轴对称图形（0、1、3、8）。 变式2　正三角形、正五边形、正八边形各有几条对称轴？由此猜想正n边形的对称轴条数。 （5）课堂小结（4分钟） 轴对称图形的“一个图形、自身重合”与成轴对称的“两个图形、折叠重合”；常见图形对称轴条数；正n边形有n条对称轴。 4．作业布置 必做：教材本节练习；选做：收集3个生活中的轴对称图案并指出对称轴，思考对应点连线与对称轴的位置关系（为下一课时铺垫）。 第2课时　15.1.2 轴对称的性质与画轴对称图形 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）探索并掌握轴对称的性质；（2）会画简单图形关于给定直线的对称图形；（3）会用轴对称解决将军饮马型最短路径问题。 2．教学重难点 重点：对应点连线被对称轴垂直平分；画轴对称图形。难点：最短路径中“作对称点”的转化与说理。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：校园里两栋教学楼A、B在笔直主干道同侧，要在主干道上设一个快递柜，使从A到快递柜再到B的路程最短，引发认知冲突：直接连接AB并不经过主干道，怎么办？ （2）探究新知（18分钟） 探究1（性质）：在方格纸上给出△ABC和对称轴l，作出对称图形并度量AA′与l的夹角、AA′被l分成的两段，归纳“对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”。 图15-2　对应点连线被对称轴垂直平分 探究2（画对称图形）：归纳“找关键点—作对称点（垂直、等距）—顺次连接”三步法，强调多边形只需确定顶点。 探究3（最短路径）：把A“翻折”到直线另一侧A′，连接A′B与l交于P，借助两点之间线段最短说明PA＋PB最小。 图15-3　将军饮马：作A的对称点A′，A′B与l交于P （3）例题精讲（12分钟） 例1　△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若AB＝5，∠A＝70°，∠C＝45°，求A′B′的长与∠B′的度数。 解析：成轴对称的两图形全等，故A′B′＝AB＝5，∠B′＝∠B＝180°−70°−45°＝65°。 设计意图：直接巩固“对应线段相等、对应角相等”。 例2　如图，A、B在直线l同侧，用尺规在l上确定点P使PA＋PB最小，并写出已知、求证思路证明其最小性。 解析：作A关于l的对称点A′，连A′B交l于P。任取l上异于P的点P′，由对称P′A＝P′A′、PA＝PA′，则P′A＋P′B＝P′A′＋P′B＞A′B＝PA′＋PB＝PA＋PB（三角形两边之和大于第三边），故P使PA＋PB最小。 设计意图：把“折线最短”转化为“两点之间线段最短”，渗透转化思想与规范说理。 （4）变式巩固（8分钟） 变式1（两次对称）　如图，∠MON内一点P，在OM、ON上分别找点A、B使△PAB周长最小，写出作法并指出最小值等于哪条线段。 图15-4　角内一点的三角形周长最小（两次对称） 解析：分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，连P1P2交OM、ON于A、B，最小周长等于P1P2。 （5）课堂小结（4分钟） 轴对称三条性质；画对称图形三步法；将军饮马“同侧作对称、连线找交点、两点之间线段最短”。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：测量并设计一条从家到两个定点、途经某条直线路径的最短路线图。 第3课时　15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标规律；（2）能在坐标系中画出对称图形并写出坐标；（3）了解连续对称与关于平行于坐标轴直线对称的规律。 2．教学重难点 重点：关于坐标轴对称的点的坐标规律。难点：规律的逆向运用与连续对称。 3．教学过程 （1）情境导入（5分钟） 情境：在方格地图上，某共享单车停放点A(1，1)要在y轴另一侧设置对称点位B，怎样由坐标快速确定B？引出坐标规律。 （2）探究新知（16分钟） 探究1：在坐标系中描出若干点及其关于y轴的对称点，填表比较横、纵坐标，归纳“关于y轴对称：纵不变、横变号”。 探究2：同理探究关于x轴对称，归纳“横不变、纵变号”。 图15-5　△ABC关于y轴对称 探究3：点P先关于x轴、再关于y轴对称，观察所得点与P关于原点对称。 （3）例题精讲（14分钟） 例1　写出点(−2，3)、(4，−1)分别关于x轴、y轴的对称点坐标。 解析：(−2，3)→关于x轴(−2，−3)、关于y轴(2，3)；(4，−1)→关于x轴(4，1)、关于y轴(−4，−1)。 例2　已知点M(2a−b，5)与点N(4，b＋3)关于x轴对称，求a、b的值。 解析：关于x轴对称则横坐标相同、纵坐标互为相反数：2a−b＝4，5＝−(b＋3)，解得b＝−8，代回得a＝−2。 设计意图：训练规律的逆向运用与方程（组）思想。 例3　如图，△ABC顶点A(1，1)、B(2，3)、C(4，1)，画出它关于y轴的对称图形并写坐标。 解析：A′(−1，1)、B′(−2，3)、C′(−4，1)，描点顺次连接。 （4）变式巩固（9分钟） 变式1　点Q(2，5)关于直线x＝−1的对称点坐标。（横坐标2×(−1)−2＝−4，得(−4，5)） 变式2　点P(3，−2)连续关于x轴、y轴对称后所得点的坐标，并指出它与P的对称关系。 （5）课堂小结（4分钟） 关于x轴“横同纵反”、关于y轴“纵同横反”；作对称图形先求顶点坐标再连线；连续两次关于坐标轴对称等价于关于原点对称。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：在坐标系中设计一个简单图案并画出它关于两条坐标轴的对称图案。 第4课时　15.2 线段的垂直平分线 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）理解垂直平分线概念，探索并证明其性质与判定；（2）会用尺规作线段的垂直平分线；（3）理解三边中垂线共点（外心）并解决等距选址问题。 2．教学重难点 重点：中垂线性质与判定。难点：性质与判定的互逆运用及周长等量代换。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：三个不共线的小区要建一座到三个小区距离相等的社区书房，引导学生发现“到两点等距的点在两点连线的中垂线上”，为共点作铺垫。 （2）探究新知（18分钟） 探究1（性质证明）：如图，l垂直平分AB于M，P在l上，用SAS证明△PMA≌△PMB，得PA＝PB。 图15-6　中垂线上的点到两端等距 探究2（判定与共点）：写出判定定理；设AB、BC的中垂线交于P，由PA＝PB、PB＝PC得PA＝PB＝PC，再由判定知P在AC中垂线上，故三线共点（外心）。 图15-7　三边中垂线共点（外心） 探究3（尺规作图）：示范以A、B为圆心、同半径（大于½AB）画弧得两交点连线，并说明依据。 （3）例题精讲（12分钟） 例1　如图，DE垂直平分AC，分别交AC、BC于E、D，若AE＝3，△ABD的周长为13，求△ABC的周长。 图15-8　例1图 解析：DE垂直平分AC，故AE＝EC＝3，AC＝6，且DA＝DC。△ABD周长＝AB＋BD＋DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13，所以△ABC周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19。 设计意图：用中垂线等量代换把未知周长转化为已知量，是合肥段考高频套路。 例2　如图，△ABC中AB、BC的垂直平分线交于P。求证PA＝PB＝PC，并判断P与AC的位置关系。 解析：由性质PA＝PB、PB＝PC，故PA＝PB＝PC；由PA＝PC及判定，P在AC的垂直平分线上。 （4）变式巩固（8分钟） 变式1　AC的中垂线交BC于E，AE＝4，BC＝7，求BE。（EC＝EA＝4，BE＝3） 变式2　用尺规作出到三个不共线定点距离相等的点，并说明这样的点为何唯一。 （5）课堂小结（4分钟） 性质“线上→等距”、判定“等距→线上”；三角形外心到三个顶点等距；周长问题用等量代换。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：调查校园中利用“到两点等距”原理设计的设施并作图说明。 第5课时　15.3.1 等腰三角形的性质 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）探索并证明“等边对等角”和“三线合一”；（2）会用性质进行角度、线段计算；（3）会用分类讨论与方程思想解决等腰角度问题。 2．教学重难点 重点：等边对等角、三线合一。难点：分类讨论不漏解、设未知数列方程求角。 3．教学过程 （1）情境导入（5分钟） 情境：把一张长方形纸条对折后沿斜线剪开，展开得到一个等腰三角形，让学生指出相等的边和角，引入新课。 （2）探究新知（18分钟） 探究1（等边对等角）：沿顶角平分线对折使两腰重合，发现两底角重合；作顶角平分线AD用SAS证△ABD≌△ACD，得到∠B＝∠C。 图15-9　三线合一示意 探究2（三线合一）：由上面的全等同时得到BD＝CD、AD⊥BC，归纳顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。 探究3（方程思想）：如图，AB＝AC，D在AC上且AD＝BD＝BC，设∠A＝x，用x表示各角并列方程。 图15-10　等腰三角形中的角度方程 （3）例题精讲（13分钟） 例1　等腰三角形中一个角是另一个角的2倍，求三个内角。 解析：分两种情形。①若顶角x、底角2x：x＋2×2x＝180°，x＝36°，得36°、72°、72°；②若底角x、顶角2x：2x＋2x＝180°，x＝45°，得90°、45°、45°。 设计意图：强化“谁是谁的2倍”不确定时必须分类。 例2　如图，AB＝AC，AD⊥BC于D，∠BAC＝100°，BC＝8，求∠BAD、∠B、BD。 解析：三线合一，∠BAD＝½∠BAC＝50°，BD＝½BC＝4；∠B＝(180°−100°)÷2＝40°。 例3　如图，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，且AD＝BD，求各内角。 解析：设∠A＝x，AD＝BD得∠ABD＝x；BD平分得∠ABC＝2x；AB＝AC得∠C＝2x；x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，故∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°。 （4）变式巩固（8分钟） 变式1　等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为25°，求顶角（高在形内65°、形外115°，两解）。 图15-11　钝角等腰腰上的高在形外 变式2　等腰三角形一个内角为80°，求顶角。（80°或20°） （5）课堂小结（4分钟） 等边对等角；三线合一仅限“顶角平分线、底边上的中线与高”；角度问题先分类、再设x用内角和列方程。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：整理等腰三角形角度计算的两类典型（分类型、方程型）错题卡。 第6课时　15.3.2 等腰三角形的判定 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）探索并证明“等角对等边”；（2）理清性质与判定的互逆关系；（3）掌握“角平分线＋平行线”模型并综合全等证明。 2．教学重难点 重点：等角对等边。难点：角平分线＋平行线模型的识别与辅助线表述。 3．教学过程 （1）情境导入（5分钟） 情境：航海中如何不直接测量也能判断船到灯塔的距离？通过“两个观测角相等”推测“两条距离相等”，引出判定。 （2）探究新知（16分钟） 探究1（判定证明）：△ABC中∠B＝∠C，作AD⊥BC，用AAS证△ABD≌△ACD，得AB＝AC，归纳等角对等边。 探究2（角平分线＋平行线）：如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，由内错角与角平分线得∠EDB＝∠EBD，故EB＝ED。 图15-12　角平分线＋平行线得到等腰三角形 （3）例题精讲（14分钟） 例1　如图，△ABC中∠ABC、∠ACB的平分线交于I，过I作MN∥BC分别交AB、AC于M、N。求证MN＝BM＋CN。 图15-13　过内心作平行线 解析：MN∥BC、BI平分∠ABC，得∠MIB＝∠IBC＝∠MBI，故MI＝MB；同理NI＝NC。所以MN＝MI＋IN＝BM＋CN。 设计意图：把“角平分线＋平行线”模型用两次，得到两条线段相等后拼接线段，是合肥常考结论。 例2（航海测距）　如图，船在A处测得灯塔C在北偏东40°方向，以20海里/时向正东航行2小时到B，在B测得C在北偏西40°方向，已知AC＝40海里，求BC。 图15-14　方位角测距 解析：∠CAB＝90°−40°＝50°，∠CBA＝90°−40°＝50°，故∠CAB＝∠CBA，等角对等边BC＝AC＝40海里。 （4）变式巩固（9分钟） 变式1　如图，AB＝AC，D、E在BC上且BD＝CE，求证AD＝AE并判断△ADE形状。（SAS证△ABD≌△ACE，△ADE等腰） 图15-15　等腰底边上的两点 变式2　△ABC中∠B＝∠C，AD平分∠BAC交BC于D，求证AD⊥BC且D为BC中点。（先等角对等边，再三线合一） （5）课堂小结（4分钟） 等角对等边与等边对等角互逆；角平分线＋平行线⇒等腰，关键是把角转移到同一三角形中。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：自编一道“角平分线＋平行线”的证明题并写出完整过程。 第7课时　15.3.3 等边三角形（含含30°角的直角三角形） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）掌握等边三角形的性质与三种判定；（2）探索并掌握含30°角直角三角形的性质；（3）会综合等边与全等进行计算证明。 2．教学重难点 重点：等边三角形判定与30°性质。难点：30°性质的证明（补成等边）与等边中的导角。 3．教学过程 （1）情境导入（5分钟） 情境：用两块全等的含30°角三角板拼摆，让学生猜想30°所对直角边与斜边的数量关系，引入探究。 （2）探究新知（18分钟） 探究1（等边性质与判定）：由等边对等角得三角皆60°；归纳判定：三边相等、三角相等、有一个角为60°的等腰三角形。 图15-16　等边三角形 探究2（30°性质）：如图，延长BC到B′使CB′＝CB，连AB′，用SAS证△ACB≌△ACB′，结合∠B＝60°得△ABB′为等边，从而BC＝½AB。 图15-17　补成等边三角形证明30°性质 （3）例题精讲（13分钟） 例1　如图，等边△ABC中，点D在BC上、点E在AC上，AE＝CD，AD、BE交于F。（1）求证△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数。 图15-18　等边三角形中的相交线段 解析：（1）AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，AE＝CD，故△ABE≌△CAD（SAS）；（2）∠BFD是△ABF的外角，∠BFD＝∠ABE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°。 设计意图：等边为全等提供60°角与等边，再用外角转移角，是综合题常见结构。 例2　Rt△ABC中∠C＝90°、∠A＝30°、AB＝12，CD⊥AB于D，求BC、AD。 解析：30°对直角边BC＝½AB＝6；∠B＝60°，Rt△BCD中∠BCD＝30°，BD＝½BC＝3，AD＝AB−BD＝9。 （4）变式巩固（8分钟） 变式1　判断下列是否为等边三角形：①三个外角都相等；②有一个角60°的等腰；③一腰上的中线也是该腰上高的等腰。（均是） 变式2　等边△ABC中D是AC中点，E在BC延长线上且DB＝DE，求∠E并判断CE、CD关系。（∠E＝30°，CE＝CD） （5）课堂小结（4分钟） 等边三角皆60°、三种判定；30°所对直角边等于斜边一半，注意必须在直角三角形中且找准对应边。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：用两种方法证明“直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半”。 第8课时　15.4.1 角的平分线（性质） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）探索并证明角平分线性质定理；（2）会用尺规作角平分线；（3）理解内心，会用性质计算与证明。 2．教学重难点 重点：角平分线上的点到两边距离相等。难点：“距离”必须是垂线段及面积分割。 3．教学过程 （1）情境导入（5分钟） 情境：三角形地块内建垃圾分类中转站，要求到三条道路距离相等，引发“角平分线上的点到两边距离相等”的探究。 （2）探究新知（17分钟） 探究1（性质证明）：如图，OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA、PE⊥OB，用AAS证△DOP≌△EOP，得PD＝PE。 图15-19　角平分线的性质 探究2（尺规作图）：示范作图并用SSS说明两三角形全等从而角相等。 探究3（内心）：画出三条角平分线，发现共点I，且I到三边距离相等。 图15-20　三角形的内心 （3）例题精讲（13分钟） 例1　如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA、PE⊥OB，若PD＝3x−2、PE＝x＋4，求x与PD。 解析：由性质PD＝PE，3x−2＝x＋4，x＝3，PD＝7。 例2　△ABC三条角平分线交于I，I到一边的距离为4，△ABC周长为30，求△ABC的面积。 解析：内心到三边距离都为4，S△ABC＝½·4·AB＋½·4·BC＋½·4·CA＝½×4×30＝60。 设计意图：用“分割成三个小三角形”求面积，体现整体与部分的转化。 例3　△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC＝15，BD∶DC＝3∶2，求D到AB的距离。 解析：DC＝15×2/(3＋2)＝6；AD平分∠BAC，D到AB的距离等于D到AC的距离DC＝6。 （4）变式巩固（9分钟） 变式1　OP平分∠AOB，PC⊥OA、PD⊥OB，PC＝4，则PD＝？（4） 变式2　证明：角平分线上一点P与角两边上两垂足D、E的连线DE被OP垂直平分。 （5）课堂小结（4分钟） 性质“在角平分线上→到两边距离相等”，距离必须是垂线段；内心到三边等距，可用分割法求面积。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：用尺规作出一个钝角的角平分线，并在平分线上取一点作出它到角两边的垂线段，验证两条垂线段相等。 第9课时　15.4.2 角的平分线（判定）与全章小结 【课型】新授课＋复习课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）探索并证明角平分线判定定理，会综合性质与判定；（2）掌握“作垂线段、证距离相等”的证角平分线方法；（3）形成全章知识网络，会解跨节综合题。 2．教学重难点 重点：角平分线判定与全章知识结构化。难点：中垂线、角平分线、等腰判定的综合运用。 3．教学过程 （1）情境导入（5分钟） 情境：反过来提出问题——如果一点到角两边的垂线段相等，它是否一定在角平分线上？由性质的逆命题引入判定。 （2）探究新知（16分钟） 探究1（判定证明）：如图，P在∠AOB内，PD⊥OA、PE⊥OB且PD＝PE，用HL证Rt△DOP≌Rt△EOP，得∠DOP＝∠EOP，即OP平分∠AOB。 图15-21　角平分线的判定 探究2（综合）：D是BC中点，DE⊥AB、DF⊥AC且DE＝DF，用HL证△BDE≌△CDF得∠B＝∠C，再等角对等边得AB＝AC。 探究3（全章网络）：以轴对称为主线串联中垂线、等腰、角平分线，比较外心（中垂线交点、到顶点等距）与内心（角平分线交点、到边等距）。 （3）例题精讲（14分钟） 例1（全章综合）　如图，△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于D、交AC于E。（1）若∠A＝40°，求∠EBC；（2）若BE＝BC，求∠A。 图15-22　中垂线与等腰综合 解析：（1）DE垂直平分AB，故AE＝BE，∠ABE＝∠A＝40°；AB＝AC，∠ABC＝∠C＝(180°−40°)÷2＝70°，∠EBC＝∠ABC−∠ABE＝30°。（2）设∠A＝x，则∠ABE＝x，∠BEC是△ABE外角，∠BEC＝2x；BE＝BC得∠C＝∠BEC＝2x；AB＝AC得∠ABC＝∠C＝2x；由x＋2x＋2x＝180°得x＝36°，即∠A＝36°。 设计意图：一题串联中垂线、等腰性质与判定、外角、方程思想，是本章压轴题的缩影。 例2　点P在∠AOB内部，P到两边距离相等，∠AOB＝80°，求OP与OA所成的角。（判定OP平分，角为40°） （4）变式巩固（9分钟） 变式1　三角形内一点P到三边距离相等且PA＝PB＝PC，判断△ABC形状并说明理由。（内心外心重合，等边三角形） 变式2　D在BC上，DE⊥AB、DF⊥AC且DE＝DF，求证AD平分∠BAC。（直接用判定） （5）课堂小结（4分钟） 判定“角内到两边等距→在角平分线上”；证角平分线常作两条垂线段；以轴对称为主线把性质—判定、外心—内心、等腰—等边系统梳理。 4．作业布置 必做：教材复习题；选做：绘制一张本章思维导图，并各选一道“分类讨论、方程思想、最短路径、综合证明”代表题整理到错题本。 九、教学评价设计 1．过程性评价：关注折纸、作图、猜想、证明各环节的参与度与表达规范，重点评价推理过程是否“步步有据”，辅助线表述是否清楚。 2．分层作业评价：每课时按★基础、★★提升、★★★拓展分层布置（详见配套导学案与分层训练），基础题面向全体过关，拓展题对接合肥段考压轴。 3．单元评价：使用配套单元测试A卷（基础达标）与B卷（能力提升）进行诊断，A卷重概念与基本性质，B卷重跨节综合、动点与最短路径、手拉手等模型；针对错题进行二次过关。 4．表现性评价：结合最短路径设计、生活选址、图案设计等任务，评价学生用数学解决真实问题的能力与几何直观。 十、教学资源与准备 教具学具：剪刀、彩纸、方格纸、直尺圆规、量角器；可折叠的等腰三角形纸片。 信息技术：几何画板动态演示轴对称、对应点连线与对称轴关系、将军饮马取点过程；平面直角坐标系课件。 配套资源：本章配套导学案（9课时）、分层训练、单元测试A/B卷（均为原创、分层、配规范几何图），教师可结合合肥历年期中期末与联考题进行二次组卷。 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版（2024）八年级数学上册第15章 《轴对称图形与等腰三角形》导学案 （配套2024新教材 · 全章9课时 · 预习＋探究＋分层小测 · 对标合肥段考） 使用说明：课前独立完成【课前自主预习】；课上随教学完成【课堂合作探究】；课后按层次完成【分层小测】（★基础、★★提升、★★★拓展）。每课时末附参考答案与易错警示，建议先独立完成再核对。 课时1　15.1.1 轴对称图形 【学习目标】 1．认识轴对称图形和对称轴，会判断一个图形是否为轴对称图形并数出对称轴条数；2．理解“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的区别与联系；3．会找对应点、对应线段、对应角。 【知识梳理】 1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 2．两个图形成轴对称：把两个图形沿某一条直线折叠，如果它们能够重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称；折叠后重合的点叫对应点（对称点）。 3．区别与联系：轴对称图形描述“一个图形自身”的对称，成轴对称描述“两个图形”之间的关系；若把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 4．常见轴对称图形及对称轴条数：线段（线段所在直线及其中垂线，共2条）、角（1条）、等腰三角形（1条）、等边三角形（3条）、长方形（2条）、正方形（4条）、圆（过圆心的任意直线，无数条）。 【课前自主预习】（★基础） 1．一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相＿＿＿，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫＿＿＿。 2．把两个图形沿某条直线折叠后能够重合，就说这两个图形关于这条直线＿＿＿，重合的点叫＿＿＿。 3．轴对称图形的对称轴＿＿＿（填“一定”或“不一定”）只有一条；圆有＿＿＿条对称轴。 【课堂合作探究】 探究1（辨一辨）：下列图形哪些是轴对称图形？若是，说出对称轴的条数：①等边三角形；②一般平行四边形；③正方形；④角；⑤内角分别为30°、60°、90°的直角三角形。 探究2（比一比）：观察上图，左图“一个等腰三角形沿虚线折叠自身重合”，右图“两个三角形沿虚线 l 折叠后重合”。分别说明它们属于哪种对称，对称轴两侧的对应点、对应线段有什么关系。 探究3（做一做）：取一张纸对折，在折好的一侧画出半只蝴蝶的轮廓并剪下，展开后得到什么图形？折痕是它的什么？连接任意一对对应点，猜一猜对应点连线与折痕有怎样的位置关系（为下一课时作铺垫）。 【分层小测】 1．★ 下列图形中是轴对称图形的是（　） A．三个内角为40°、60°、80°的三角形　　B．等边三角形　　C．三边长为3、4、5的直角三角形　　D．一般平行四边形 2．★ 下列图形中，对称轴恰好有2条的是（　） A．等边三角形　　B．正方形　　C．长方形　　D．圆 3．★★ 电子计算器七段数码屏显示的数字0～9中，是轴对称图形的数字共有（　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 4．★★ 观察规律：正三角形有3条对称轴、正方形有4条、正五边形有5条，则正十二边形有＿＿＿条对称轴；一般地，正n边形有＿＿＿条对称轴。 5．★★★ 将一张正方形纸片沿一条对角线对折得到等腰直角三角形，再沿该三角形斜边上的高对折一次，在得到的小三角形上剪去一个不经过顶点的小等腰三角形后展开，原正方形纸片上留下的图案至少有＿＿＿条对称轴，请说明理由。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．互相重合；对称轴。2．成轴对称；对应点（对称点）。3．不一定；无数。探究1：①③④是轴对称图形，对称轴分别为3条、4条、1条；②⑤不是。探究2：左图是轴对称图形（一个图形自身对称），右图是两个图形成轴对称；对应点连线、对应线段都关于折痕对称。探究3：得到轴对称图形（蝴蝶），折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分（下节验证）。小测：1．B。2．C。3．C（0、1、3、8）。4．12；n。5．2；两次都沿对称轴对折，剪口展开后关于两条互相垂直的直线对称，故至少有2条对称轴。 ★易错警示：一般平行四边形（非菱形、非矩形）不是轴对称图形，不要被“中心对称”误导；对称轴是一条直线，不是线段或折痕线段；“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的对象个数不同，答题时看清问的是一个图形还是两个图形。 课时2　15.1.2 轴对称的性质与画轴对称图形 【学习目标】 1．掌握轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分；2．会画一个简单图形关于某直线的轴对称图形；3．会用轴对称解决“将军饮马”型最短路径问题。 【知识梳理】 1．轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形全等；对应线段相等、对应角相等；对应点的连线被对称轴垂直平分。 2．对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 3．画图形关于直线 l 的对称图形：①找出图形的关键点（顶点）；②分别作出各关键点关于 l 的对称点（过点作 l 的垂线并延长，使对称点到 l 的距离等于原点到 l 的距离）；③按原图形顺序顺次连接各对称点。 4．将军饮马（直线同侧两定点的最短路径）：点 A、B 在直线 l 同侧，作点 A 关于 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于点 P，则 PA＋PB 最小，最小值等于线段 A′B 的长。依据：轴对称 PA＝PA′，再由“两点之间线段最短”。 【课前自主预习】（★基础） 1．关于某直线成轴对称的两个图形，对应线段＿＿＿，对应角＿＿＿。 2．对应点的连线被对称轴＿＿＿。 3．将军饮马问题中，PA＋PB 的最小值等于线段＿＿＿的长。 【课堂合作探究】 探究1（性质）：如图，△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 l 对称。指出图中相等的线段、相等的角；线段 AA′、BB′、CC′ 与直线 l 分别有什么位置和数量关系？ 探究2（作图）：在方格纸中给出△ABC 和直线 l，请口述作△ABC 关于 l 的对称图形△A′B′C′ 的步骤，并说明为什么只要确定顶点的对称点就能确定整个图形。 探究3（将军饮马·生活情境）：如图，合肥天鹅湖一段笔直的环湖步道记为直线 l，两处打卡点 A、B 在步道同侧。现要在步道上设一个直饮水补给点 P，使游客从 A 走到 P 取水再走到 B 的总路程最短。请确定 P 的位置，并证明你的结论。 【分层小测】 1．★ 若△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 l 对称，下列结论错误的是（　） A．△ABC≌△A′B′C′　　B．对应点的连线被 l 垂直平分　　C．对应线段相等、对应角相等　　D．直线 l 垂直平分边 AB 2．★★ 作点 P 关于直线 l 的对称点时，先过 P 作 l 的＿＿＿，垂足为 O，再在该垂线上截取＿＿＿＝OP，即得到对称点。 3．★★ 将军饮马问题中，作 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于 P，即得 PA＋PB 最小，其最直接的几何依据是（　） A．垂线段最短　　B．两点之间线段最短　　C．角平分线上的点到两边距离相等　　D．中垂线上的点到两端距离相等 4．★★★ 如图，A、B 两个村庄在笔直天然气主管道 l 的同侧。请用直尺作图在 l 上确定调压站 P，使 PA＋PB 最小；若在 l 上另取一点 P′（异于 P），请利用三角形三边关系证明 PA＋PB＜P′A＋P′B。 5．★★★（两次对称）如图，∠MON 内有一点 P，试分别在边 OM、ON 上确定点 A、B，使△PAB 的周长最小。写出作法，并指出周长的最小值等于哪条线段的长。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．相等；相等。2．垂直平分。3．A′B。探究1：对应边 AB＝A′B′、BC＝B′C′、CA＝C′A′，对应角相等；AA′、BB′、CC′ 都被 l 垂直平分。探究2：作各顶点对称点再顺次连接，因为多边形由顶点唯一确定。探究3：作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P 即可（见图）。小测：1．D（l 垂直平分的是 AA′、BB′ 等对应点连线，不是边 AB）。2．垂线（垂线段）；OP′。3．B。4．作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P；由对称 P′A＝P′A′、PA＝PA′，故 P′A＋P′B＝P′A′＋P′B＞A′B＝PA′＋PB＝PA＋PB（三角形两边之和大于第三边），等号仅当 P′＝P 时成立。5．分别作 P 关于 OM、ON 的对称点 P1、P2，连接 P1P2，分别交 OM、ON 于 A、B，则最小周长 PA＋AB＋BP＝P1A＋AB＋BP2＝P1P2，即最小值等于线段 P1P2 的长。 ★易错警示：将军饮马只在“两定点在直线同侧”时需要作对称，异侧时直接连线与直线相交即可；最短路径的依据是“两点之间线段最短”，不是“垂线段最短”；对称轴垂直平分的是“对应点连线”，不要写成垂直平分原图形的边。 课时3　15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称 【学习目标】 1．掌握关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律；2．能在平面直角坐标系中画出一个图形关于坐标轴对称的图形；3．了解关于平行于坐标轴的直线对称及连续两次对称的坐标规律。 【知识梳理】 1．关于 x 轴对称：点 P(x，y) 关于 x 轴的对称点为 P1(x，−y)——横坐标不变，纵坐标互为相反数。 2．关于 y 轴对称：点 P(x，y) 关于 y 轴的对称点为 P2(−x，y)——纵坐标不变，横坐标互为相反数。 3．在坐标系中作对称图形：先求出各顶点的对称点坐标，再描点、顺次连接。 4．拓展：点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a−x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x，2b−y)；先关于 x 轴、再关于 y 轴连续对称两次，得到的点与原点关于原点对称。 【课前自主预习】（★基础） 1．点 P(−3，5) 关于 x 轴的对称点坐标为＿＿＿，关于 y 轴的对称点坐标为＿＿＿。 2．关于 x 轴对称的两点，横坐标＿＿＿，纵坐标＿＿＿。 3．若点 A(2，a) 与点 B(b，−4) 关于 x 轴对称，则 a＝＿＿＿，b＝＿＿＿。 【课堂合作探究】 探究1（y轴对称）：如图，在平面直角坐标系中△ABC 的顶点为 A(1，1)、B(2，3)、C(4，1)。画出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′，并写出三个对称点的坐标，归纳关于 y 轴对称点的坐标规律。 探究2（x轴对称）：仍用上题△ABC，画出它关于 x 轴对称的△A1B1C1 并写坐标，比较关于 x 轴、y 轴对称时坐标变化的不同。 探究3（连续对称）：把点 P(3，−2) 先关于 x 轴对称得到 P1，再把 P1 关于 y 轴对称得到 P2，写出 P1、P2 坐标，并说明 P2 与 P 的位置关系。 【分层小测】 1．★ 点 M(−2，−3) 关于 y 轴的对称点坐标是（　） A．(2，−3)　　B．(−2，3)　　C．(2，3)　　D．(−3，−2) 2．★★ 已知点 A(a−1，3) 与点 B(2，b＋1) 关于 y 轴对称，求 a、b 的值。 3．★★ 点 P(3，−2) 先关于 x 轴对称得 P1，P1 再关于 y 轴对称得 P2，则 P2 的坐标为＿＿＿；P2 与点 P 关于＿＿＿对称。 4．★★★ 点 Q(2，5) 关于直线 x＝−1 的对称点 Q′ 的坐标为＿＿＿。 5．★★★ 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点为 A(1，1)、B(3，2)、C(2，4)。（1）写出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 各顶点坐标；（2）若△ABC 经一次轴对称后点 A 的对应点为 A2(1，−1)，判断对称轴是哪条坐标轴，并写出 B2、C2 的坐标。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．(−3，−5)；(3，5)。2．不变；互为相反数。3．a＝4；b＝2。探究1：A′(−1，1)、B′(−2，3)、C′(−4，1)，关于 y 轴对称时纵坐标不变、横坐标互为相反数。探究2：A1(1，−1)、B1(2，−3)、C1(4，−1)，关于 x 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数。探究3：P1(3，2)、P2(−3，2)，P2 与 P 关于原点对称。小测：1．A。2．关于 y 轴对称则纵坐标相等、横坐标互为相反数：a−1＝−2，b＋1＝3，得 a＝−1，b＝2。3．(−3，2)；原点。4．(−4，5)（横坐标 2×(−1)−2＝−4，纵坐标不变）。5．（1）A1(1，−1)、B1(3，−2)、C1(2，−4)；（2）A(1，1)→A2(1，−1)横坐标不变、纵坐标互为相反数，故对称轴为 x 轴，B2(3，−2)、C2(2，−4)。 ★易错警示：记牢“关于哪条轴对称，哪个坐标不变”：关于 x 轴对称则横坐标 x 不变；连续两次关于坐标轴对称等价于关于原点对称，横、纵坐标都要变号；求关于直线 x＝a 的对称点用 2a−x，不要直接写成 −x。 课时4　15.2 线段的垂直平分线 【学习目标】 1．理解线段垂直平分线的概念；2．掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理并会互逆运用；3．知道三角形三边垂直平分线共点（外心），会用尺规作线段的垂直平分线。 【知识梳理】 1．垂直平分线（中垂线）：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。 2．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。性质与判定互为逆定理。 4．三角形三边的垂直平分线相交于一点（外心），这个点到三角形三个顶点的距离相等。 5．尺规作中垂线：分别以线段两端点为圆心、以大于线段一半的相同长度为半径画弧，两弧在线段两侧各交于一点，过这两点作直线即为中垂线。 【课前自主预习】（★基础） 1．经过线段＿＿＿并且＿＿＿于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线。 2．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离＿＿＿。 3．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的＿＿＿上。 【课堂合作探究】 探究1（性质的证明）：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，垂足为 M，点 P 在 l 上。求证 PA＝PB。（提示：用 SAS 证明△PMA≌△PMB） 探究2（三线共点）：如图，△ABC 中边 AB、BC 的垂直平分线相交于点 P。求证 PA＝PB＝PC，并判断点 P 是否在 AC 的垂直平分线上。 探究3（尺规作图）：已知线段 AB，用尺规作出它的垂直平分线，并说明为什么“两弧半径要相等且大于 AB 的一半”。 【分层小测】 1．★ 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P 在 l 上，若 PA＝6，则 PB＝（　） A．3　　B．6　　C．12　　D．无法确定 2．★★ 如图，△ABC 中 AC 的垂直平分线交 AC 于 D、交 BC 于 E，若 AE＝4，BC＝7，则 BE＝＿＿＿。 3．★★ △ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB、AC 于 D、E，若△BCE 的周长为17，AC＝10，则 BC＝＿＿＿。 4．★★★ 如图，在△ABC 中 AB＝AC＝13，BC＝10，AB 的垂直平分线交 AB 于 D、交 AC 于 E。（1）求△BCE 的周长；（2）若再作 BC 的垂直平分线，它与直线 DE 是否交于一定点？说明这个点到 A、B、C 三点的距离关系。 5．★★★（生活选址）合肥某新区有三个不共线的居民小区 A、B、C，现要建一座社区医疗站，使它到三个小区的距离相等。医疗站应建在何处？请用尺规作图确定，并说明这样的点共有几个。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．中点；垂直。2．相等。3．垂直平分线。探究1：l⊥AB 于 M，故∠PMA＝∠PMB＝90°，又 AM＝BM、PM 公共，△PMA≌△PMB（SAS），PA＝PB。探究2：P 在 AB 中垂线上 PA＝PB，在 BC 中垂线上 PB＝PC，故 PA＝PB＝PC；由 PA＝PC 及判定，P 在 AC 的垂直平分线上。探究3：半径相等保证两交点到 A、B 等距，从而连线为中垂线；半径须大于 AB 的一半，两弧才能在线段两侧相交。小测：1．B。2．E 在 AC 中垂线上，EC＝EA＝4，BE＝BC−EC＝7−4＝3。3．EA＝EB，△BCE 周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋BC＝17，BC＝7。4．（1）EA＝EB，△BCE 周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝13＋10＝23；（2）三角形三边中垂线共点，BC 的中垂线与 DE（AB 的中垂线）交于外心 P，且 PA＝PB＝PC。5．作 AB、BC 的垂直平分线交于点 P，P 即所求（外心）；三边中垂线共点，故这样的点只有1个。 ★易错警示：性质（在线上→到两端等距）与判定（到两端等距→在线上）方向相反，证明时不要混用；外心是三边“垂直平分线”的交点，它到三个“顶点”等距，注意与后面角平分线交点（到三边等距）区分；用中垂线求周长时，常用“等量代换”把所求周长转化为已知两边之和。 课时5　15.3.1 等腰三角形的性质 【学习目标】 1．掌握等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质；2．会用性质进行角度、线段的计算与证明；3．会用分类讨论和方程思想解决等腰三角形中的角度问题。 【知识梳理】 1．等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 2．三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（即顶角平分线所在直线），只有1条。 4．已知等腰三角形一个内角求其余角时要分类（已知角为顶角或底角），并用内角和检验；等腰三角形一腰上的高可能在三角形内（锐角等腰）或形外（钝角等腰）。 【课前自主预习】（★基础） 1．等腰三角形的两个＿＿＿相等（简写为“等边对等角”）。 2．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高＿＿＿。 3．若等腰三角形的一个底角是50°，则它的顶角是＿＿＿。 【课堂合作探究】 探究1（折纸发现）：把等腰三角形纸片沿顶角平分线对折使两腰重合，观察两个底角是否重合，折痕同时具有哪三种身份？ 探究2（性质证明）：如图，△ABC 中 AB＝AC，作顶角平分线 AD。用全等三角形证明：∠B＝∠C，且 BD＝CD、AD⊥BC。 探究3（方程思想）：如图，△ABC 中 AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 AD＝BD＝BC。设∠A＝x，用含 x 的式子表示其余各角并求△ABC 三个内角。 【分层小测】 1．★ 等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角为（　） A．55°　　B．70°　　C．110°　　D．40° 2．★★ 若等腰三角形的一个内角为80°，则它的顶角为（　） A．80°　　B．20°　　C．80°或20°　　D．50° 3．★★ 如图，△ABC 中 AB＝AC，AD⊥BC 于 D，BC＝10，∠BAC＝80°，则 BD＝＿＿＿，∠BAD＝＿＿＿。 4．★★★ 如图，△ABC 中 AB＝AC，点 D 在 AC 上，BD＝BC，∠ABD＝24°，求△ABC 三个内角的度数。 5．★★★（分类讨论）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，求这个等腰三角形顶角的度数（考虑高在形内、形外两种情形）。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．底角。2．互相重合（三线合一）。3．80°。探究1：两底角重合相等；折痕同时是顶角平分线、底边中线、底边高。探究2：AD 平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD，又 AB＝AC、AD 公共，△ABD≌△ACD（SAS），得∠B＝∠C、BD＝CD、∠ADB＝∠ADC＝90°即 AD⊥BC。探究3：AD＝BD 得∠ABD＝∠A＝x；∠BDC 是△ABD 外角，∠BDC＝2x；BD＝BC 得∠C＝∠BDC＝2x；AB＝AC 得∠ABC＝∠C＝2x；x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，故∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°。小测：1．A（(180−70)÷2＝55）。2．C（80°为顶角时顶80°；80°为底角时顶角＝180−2×80＝20°）。3．三线合一：BD＝½BC＝5；∠BAD＝½∠BAC＝40°。4．设∠A＝x、∠DBC＝y；BD＝BC 得∠C＝∠BDC，而∠BDC＝∠A＋∠ABD＝x＋24°，∠ABC＝24°＋y；AB＝AC 得∠ABC＝∠C，即24°＋y＝x＋24°，y＝x；由内角和 x＋2(x＋24°)＝180°，x＝44°，故∠A＝44°，∠ABC＝∠C＝68°。5．高在形内（锐角等腰）时顶角＝90°−35°＝55°；高在形外（钝角等腰）时顶角＝90°＋35°＝125°，故顶角为55°或125°。 ★易错警示：“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是“顶角”的平分线与“底边”上的中线、高，腰上的不适用；已知一个内角求其余角必须分类并检验；涉及“一腰上的高”时，锐角等腰高在形内、钝角等腰高在形外，常得两解，切勿漏解。 课时6　15.3.2 等腰三角形的判定 【学习目标】 1．掌握等腰三角形的判定定理“等角对等边”；2．理清等腰三角形性质与判定的互逆关系；3．掌握“角平分线＋平行线”得到等腰三角形的常见模型，会综合全等进行证明。 【知识梳理】 1．判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边），这个三角形是等腰三角形。 2．“等边对等角”是性质，“等角对等边”是判定，二者互为逆定理。 3．常见模型：角平分线＋平行线 ⇒ 等腰三角形（由内错角相等、角平分线分得的角相等，推出两底角相等）。 4．判定等腰三角形的两条途径：①用定义证明两边相等；②用判定定理证明两角相等。 【课前自主预习】（★基础） 1．有两个角＿＿＿的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。 2．“等边对等角”是性质定理，“等角对等边”是＿＿＿定理，二者互为＿＿＿。 3．△ABC 中若∠B＝∠C，且 AB＝5，则 AC＝＿＿＿。 【课堂合作探究】 探究1（判定的证明）：△ABC 中∠B＝∠C，过 A 作 AD⊥BC 于 D，用全等三角形证明 AB＝AC，从而得到判定定理。 探究2（角平分线＋平行线模型）：如图，△ABC 中 BD 平分∠ABC，过 D 作 DE∥BC 交 AB 于 E。找出图中的等腰三角形并证明 EB＝ED。 探究3（测距情境）：一艘船在海面上利用“等角对等边”估测到灯塔的距离，体会判定定理在实际测量中的应用（见分层小测第4题）。 【分层小测】 1．★ 下列条件中，能判定△ABC 是等腰三角形的是（　） A．∠A＝40°，∠B＝60°　　B．∠A＝70°，∠B＝40°　　C．∠A＝50°，∠B＝60°　　D．∠A＝100°，∠B＝30° 2．★★ 如图，△ABC 中 BD 平分∠ABC，DE∥BC，点 E 在 AB 上、点 D 在 AC 上。（1）求证△EBD 是等腰三角形；（2）若 EB＝6，求 ED 的长。 3．★★ 已知△ABC 中∠B＝∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D。求证：AD⊥BC，且 D 是 BC 的中点。 4．★★★（航海测距）如图，一艘船上午9:00在 A 处测得灯塔 C 在北偏东40°方向，随后以20海里/时的速度向正东航行，11:00到达 B 处，在 B 处测得灯塔 C 在北偏西40°方向，又知 AC＝40海里，求 B 处到灯塔 C 的距离。 5．★★★ 如图，△ABC 中 AB＝AC，点 D、E 在边 BC 上（D 靠近 B、E 靠近 C），且 BD＝CE。求证 AD＝AE，并判断△ADE 的形状。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．相等。2．判定；逆定理。3．5。探究1：AD⊥BC 得∠ADB＝∠ADC＝90°，又∠B＝∠C、AD 公共，△ABD≌△ACD（AAS），AB＝AC。探究2：DE∥BC 得∠EDB＝∠DBC（内错角）；BD 平分∠ABC 得∠EBD＝∠DBC，故∠EDB＝∠EBD，EB＝ED，△EBD 是等腰三角形。探究3：见小测4。小测：1．B（B 中∠C＝180−70−40＝70°＝∠A，等角对等边）。2．（1）由 DE∥BC、BD 平分，同探究2得∠EDB＝∠EBD，故 EB＝ED，△EBD 等腰；（2）ED＝EB＝6。3．∠B＝∠C 得 AB＝AC（等角对等边），△ABC 等腰；AD 是顶角平分线，由三线合一得 AD⊥BC 且 D 为 BC 中点。4．由方位角，∠CAB＝90°−40°＝50°，∠CBA＝90°−40°＝50°，故∠CAB＝∠CBA，等角对等边 BC＝AC＝40海里。5．AB＝AC 得∠B＝∠C，又 BD＝CE，△ABD≌△ACE（SAS），AD＝AE，故△ADE 是等腰三角形。 ★易错警示：“等角对等边”必须在同一个三角形中使用，相等的两个角所对的边才相等；“角平分线＋平行线”模型的关键是借助内错角把角转移到同一个三角形中；证明题中往往先用判定得到等腰，再用三线合一，注意书写顺序。 课时7　15.3.3 等边三角形（含含30°角的直角三角形） 【学习目标】 1．掌握等边三角形的性质和判定；2．掌握“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半”并会运用；3．会综合等边三角形与全等进行计算和证明。 【知识梳理】 1．等边三角形的性质：三边相等；三个内角都相等，且每个内角都等于60°；有3条对称轴；每条边上都有三线合一。 2．等边三角形的判定：①三条边都相等；②三个内角都相等；③有一个角是60°的等腰三角形。 3．含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 4．证明30°性质的常用拼法：延长较短直角边一倍，补成一个等边三角形。 【课前自主预习】（★基础） 1．等边三角形的每个内角都等于＿＿＿，它共有＿＿＿条对称轴。 2．有一个角是＿＿＿的＿＿＿三角形是等边三角形。 3．在直角三角形中，30°角所对的＿＿＿等于斜边的一半。 【课堂合作探究】 探究1（性质与判定）：由等边对等角说明等边三角形三个内角都是60°；归纳判定等边三角形的三种方法。 探究2（30°性质的证明）：如图，Rt△ABC 中∠C＝90°、∠BAC＝30°，延长 BC 到 B′使 CB′＝CB，连接 AB′。求证 BC＝½AB。 探究3（等边与全等）：两个等边三角形共顶点时，常能用 SAS 证出一对全等三角形（手拉手模型），写出对应边、对应角。 【分层小测】 1．★ 等边三角形两条中线相交所成的钝角为（　） A．60°　　B．90°　　C．120°　　D．150° 2．★★ 下列三角形：①三个外角都相等的三角形；②有一个角为60°的等腰三角形；③一腰上的中线同时也是这条腰上的高的等腰三角形。其中一定是等边三角形的有＿＿＿（填序号）。 3．★★ 如图，Rt△ABC 中∠C＝90°、∠A＝30°、AB＝10，CD⊥AB 于 D。求 BC 与 BD 的长。 4．★★★ 如图，等边△ABC 中 D 是 AC 的中点，点 E 在 BC 的延长线上，且 DB＝DE。求∠E 的度数，并判断 CE 与 CD 的数量关系。 5．★★★（定理证明）如图，已知 Rt△ABC 中∠ACB＝90°、∠BAC＝30°，延长 BC 到 B′使 CB′＝CB，连接 AB′。请补全证明 BC＝½AB 的全过程。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．60°；3。2．60°；等腰。3．直角边。探究1：等边对等角且三角和为180°，每个角60°；判定见知识梳理三种方法。探究2：∠ACB＝90°得 AC⊥BB′，又 CB＝CB′、AC 公共，△ACB≌△ACB′（SAS），AB＝AB′；∠B＝90°−30°＝60°，等腰△ABB′有一个角60°故为等边三角形，BB′＝AB，而 BC＝½BB′，所以 BC＝½AB。探究3：共顶点的两等边三角形，由“60°加公共角”得到夹角相等，用 SAS 证全等。小测：1．C（中线也是角平分线，交点处两夹角分别为60°、120°，钝角为120°）。2．①②③。3．30°对直角边 BC＝½AB＝5；∠B＝60°，Rt△BCD 中∠BCD＝30°，BD＝½BC＝2.5。4．等边三角形中 D 是 AC 中点，BD 是中线也是角平分线，∠DBC＝½∠ABC＝30°；DB＝DE 得∠E＝∠DBE＝30°；∠ACB＝60°是△DCE 的外角，∠CDE＝60°−∠E＝30°＝∠E，故 CD＝CE。5．证明同探究2。 ★易错警示：30°性质只在直角三角形中成立，且必须是“30°角所对”的那条直角边，不能张冠李戴；判定等边时“等腰＋一个60°角”无论60°是顶角还是底角都成立；等边三角形的中线同时是角平分线和高，导角时要主动使用。 课时8　15.4.1 角的平分线（性质） 【学习目标】 1．掌握角平分线的性质定理；2．会用尺规作一个角的平分线；3．知道三角形三条角平分线共点（内心），会用性质进行计算与证明。 【知识梳理】 1．角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等（“距离”指该点到两边所在直线的垂线段的长）。 2．尺规作角平分线：以顶点为圆心画弧交角两边于两点，再分别以这两点为圆心、以相同适当长度为半径画弧，两弧在角内交于一点，连接顶点与该点的射线即为角平分线。 3．三角形三条角平分线相交于一点（内心），这个点到三角形三边的距离相等。 4．用性质证线段相等时，必须先具备“角平分线”和“两条垂线段（距离）”两个条件。 【课前自主预习】（★基础） 1．角平分线上的点到角两边的＿＿＿相等。 2．点到直线的距离，是指这点到这条直线的＿＿＿的长度。 3．三角形三条角平分线交于一点，这个点到三角形＿＿＿的距离相等。 【课堂合作探究】 探究1（性质证明）：如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。求证 PD＝PE。（提示：AAS） 探究2（尺规作图）：已知∠AOB，用尺规作出它的平分线，并结合 SSS 全等说明这样作图的道理。 探究3（内心）：如图，画出三角形三条角平分线，你有什么发现？这个交点到三边的距离有什么关系？ 【分层小测】 1．★ 如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，若 PC＝4，则 PD＝（　） A．2　　B．4　　C．8　　D．无法确定 2．★★ △ABC 中∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，BC＝12，且 BD∶DC＝2∶1，则点 D 到 AB 的距离为＿＿＿。 3．★★ 如图，△ABC 三条角平分线交于点 I，点 I 到边 BC 的距离为3，△ABC 的周长为24，则△ABC 的面积为＿＿＿。 4．★★★ 如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，连接 DE。求证：直线 OP 垂直平分线段 DE。 5．★★★（生活选址）一块三角形地块由三条笔直道路围成，现要在地块内建一座垃圾分类中转站，使它到三条道路的距离相等。（1）中转站应建在何处？用尺规作图确定；（2）这样的点有几个？它与“到三个路口（顶点）距离相等”的点是否为同一个点？ 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．距离。2．垂线段。3．三边。探究1：∠PDO＝∠PEO＝90°，∠DOP＝∠EOP，OP 公共，△DOP≌△EOP（AAS），PD＝PE。探究2：由作图得两组边对应相等、公共边相等，用 SSS 证两三角形全等从而角相等。探究3：三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等。小测：1．B。2．DC＝12×1/(2＋1)＝4；AD 平分∠BAC，D 到 AB 的距离等于 D 到 AC 的距离 DC＝4。3．内心到三边距离都为3，S＝½×3×AB＋½×3×BC＋½×3×CA＝½×3×(AB＋BC＋CA)＝½×3×24＝36。4．由性质 PD＝PE，且△DOP≌△EOP（AAS）得 OD＝OE；于是 O、P 到 D、E 的距离都分别相等，O、P 都在 DE 的垂直平分线上，两点确定一条直线，故 OP 垂直平分 DE。5．（1）作任意两个角的平分线，其交点（内心）即所求；（2）三角形内只有1个；到三个顶点等距的是三边中垂线交点（外心），二者一般不是同一点，只有等边三角形时重合。 ★易错警示：角平分线性质中的“距离”必须是垂线段的长，若图中连的不是垂线就不能直接套用；内心到“三边”等距，外心到“三个顶点”等距，二者切勿混淆；求内心相关面积时，常把大三角形拆成以内心为公共顶点的三个小三角形之和。 课时9　15.4.2 角的平分线（判定）与全章小结 【学习目标】 1．掌握角平分线的判定定理，会区分并综合运用性质与判定；2．会通过“作垂线段、证距离相等”证明一条射线是角平分线；3．构建“轴对称—垂直平分线—等腰三角形—角平分线”全章知识网络。 【知识梳理】 1．角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2．性质是“在角平分线上 ⇒ 到两边距离相等”，判定是“到两边距离相等 ⇒ 在角平分线上”，二者互为逆定理。 3．证明某点在角平分线上（某射线平分某角）的常用方法：过该点向角两边作垂线段，证明两条垂线段相等。 4．全章主线：轴对称（性质、作图、坐标规律）→ 线段垂直平分线（性质、判定、外心）→ 等腰三角形（性质、判定、等边、含30°直角三角形）→ 角平分线（性质、判定、内心），各部分都以“轴对称”为主线串联。 【课前自主预习】（★基础） 1．角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的＿＿＿上。 2．要证明一条射线是角平分线，常过射线上一点向角的两边作＿＿＿，并证明它们相等。 3．角平分线的性质定理与判定定理互为＿＿＿。 【课堂合作探究】 探究1（判定证明）：如图，点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD＝PE。求证 OP 平分∠AOB。 探究2（性质判定综合）：△ABC 中 D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 DE＝DF。求证 AB＝AC。 探究3（构建网络）：以“轴对称”为主线，画一张全章知识结构图，把垂直平分线、等腰（等边）三角形、角平分线的性质与判定串联起来，并比较“外心”和“内心”的区别。 【分层小测】 1．★ 点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD＝PE，若∠AOB＝70°，则∠AOP＝（　） A．35°　　B．45°　　C．55°　　D．70° 2．★★ 若点 P 到△ABC 三边 AB、BC、CA 所在直线的距离都相等，则点 P 是△ABC 的（　） A．三条中线的交点　　B．三条高的交点　　C．三条角平分线的交点　　D．三边垂直平分线的交点 3．★★★ 如图，△ABC 中点 D 在 BC 上，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 DE＝DF。求证：AD 平分∠BAC。 4．★★★ 一块三角形钢板 ABC 内有一点 P，工人从 P 向三边所在直线作垂线段，量得三条垂线段长度相等。（1）判断点 P 的位置；（2）若又测得 PA＝PB＝PC，试判断△ABC 的形状并说明理由。 5．★★★（全章综合）如图，△ABC 中 AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 D、交 AC 于 E，且 BE 恰好平分∠ABC。（1）求∠A 的度数；（2）求证 AE＝BE＝BC。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．平分线。2．垂线段。3．逆定理。探究1：∠PDO＝∠PEO＝90°，PD＝PE、OP 公共，Rt△DOP≌Rt△EOP（HL），∠DOP＝∠EOP，OP 平分∠AOB。探究2：D 是 BC 中点 BD＝CD，又 DE＝DF、两直角，Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∠B＝∠C，等角对等边 AB＝AC。探究3：结构图略；外心是中垂线交点、到顶点等距，内心是角平分线交点、到边等距。小测：1．A（判定 OP 平分，70÷2＝35）。2．C。3．DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝DF，且 D 在∠BAC 内部，由判定定理 D 在∠BAC 的平分线上，即 AD 平分∠BAC。4．（1）P 到三边距离相等，P 是三条角平分线交点（内心）；（2）PA＝PB＝PC 说明 P 同时是三边中垂线交点（外心），内心与外心重合，△ABC 为等边三角形。5．（1）设∠A＝x；DE 垂直平分 AB 得 AE＝BE，∠ABE＝∠A＝x；BE 平分∠ABC 得∠ABC＝2x；AB＝AC 得∠C＝∠ABC＝2x；x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，即∠A＝36°。（2）由中垂线 AE＝BE；∠BEC 是△ABE 的外角，∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2x＝72°，∠C＝2x＝72°，故∠BEC＝∠C，等角对等边 BE＝BC；于是 AE＝BE＝BC。 ★易错警示：使用判定定理时，点必须在“角的内部”（顶点处除外）；证角平分线优先考虑“作两条垂线段并证相等”；内心与外心重合可推出等边三角形，但要会用等腰、对称知识说明理由；全章综合题常把中垂线、角平分线、等腰判定结合，先把相等的角逐一标出，再用方程思想设未知数列式。 学科网（北京）股份有限公司 $