第四单元 三角形的边与角（期中知识清单）数学西南大学版五年级上册（新教材）

第四单元 三角形的边与角 单元知识清单讲义 知识点一：三角形三边的关系 1. 核心结论：三角形任意两边之和大于第三边 简便判断：较短两条边的和 ＞ 最长边，即可围成三角形。 2. 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 知识点二：三角形内角和 1. 三角形内角和 =180°，与三角形大小、形状无关。 2. 求未知角：∠3=180°-∠1-∠2 知识点 三：三类特殊三角形边角特征 1. 等腰三角形 边：有两条边相等；相等的两边叫腰，另一边叫底。 角：两个底角相等。 分类：等腰锐角三角形、等腰直角三角形、等腰钝角三角形。 2. 等边三角形（正三角形） 边：三条边长度都相等，是特殊的等腰三角形。 角：三个内角相等，每个角都是60°，一定是锐角三角形。 3. 直角三角形 边：互相垂直的两条边叫直角边，最长边叫斜边；斜边大于任意一条直角边。 角：有 1 个角是90°； ✅ 直角三角形两个锐角之和等于90° 知识点 四：多边形的内角和 1.公式：n边形内角和=(n一2)×180°(n≥3) 2.原理：从多边形一个顶点引出对角线，可以分割出(n一2)个三角形。 3.举例： 四边形内角和(4-2)×180°=360° 五边形内角和(5-2)×180°=540° 4.规律：多边形每增加1条边，内角和增加180° 题型1：三角形三边的关系（重点） 【例1】下面的几组线段，（    ）可以拼成一个三角形。 A．4cm、3cm、4cm B．4cm、6cm、10cm C．7cm、2cm、12cm 【答案】A 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。 【详解】A．4＋3＞4，可以组成三角形； B．4＋6＝10，不能组成三角形； C．7＋2＜12，不能组成三角形。 故答案为：A 【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用。 【练1】下面哪组线段能围成一个三角形？ (1)在能围成三角形的线段下面画“√”。 (2)在三角形中，任意两边的长度之和一定要( )第三边。 【答案】(1) (2)大于 【解析】略 题型2：三角形的内角和有关的计算题（常考+重点） 【例2】计算下列各角的度数。       【答案】；； 【分析】三角形的内角和为，用内角和减去已知的两个角，就可以求出剩余角的度数。其中图三有一个直角符号，表示为。 【详解】 【练2】寻找下面三角形丢失的角，连一连。 【答案】见详解 【分析】三角形三个内角的和等于180°；根据三角形内角和的知识，已知三角形中两个角的度数，求另一个角，用减法计算；平角为180°，要求其中一个角，用180°减去140°，据此即可解答问题。 【详解】 ， 题型3：多边形的内角和（重点 ） 【例3】计算下列未知角的度数。 【答案】∠1＝35°； ∠2＝105°； ∠3＝130°； ∠4＝165° 【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，减去图中已知的55°和90°，即可求解； （2）根据三角形的内角和是180°，减去图中已知的45°和30°，即可求解； （3）四边形的内角和是360°，减去已知的三个角，即可求解； （4）由图可知，用180°乘3即可求出多边形的内角和，减去已知4个角的度数，即可求解。 【详解】∠1＝180°－90°－55°＝35°； ∠2＝180°－45°－30°＝105°； ∠3＝360°－60°－120°－50°＝130°； ∠4＝180°×（5－2）－105°－90°－60°－120° ＝180°×3－105°－90°－60°－120° ＝540°－105°－90°－60°－120° ＝165° 【练 3】等腰三角形ABC的一个底角是70°，顶角是（     ）°。根据三角形的内角和，推算出五边形的内角和，在下图中画出你的想法，算式是（     ）。 【答案】；； 【分析】等腰三角形两个底角度数相等，三角形内角和，用减去两个底角得到顶角； 五边形从一个顶点出发连接不相邻顶点，可分成个三角形，五边形内角和＝三角形个数×。 【详解】 任选五边形一个顶点，向不相邻的两个顶点连线，分成个三角形，如图： 1．下面每组中的三条线段，能围成三角形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】三角形三条边的关系为：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。据此可判断各选项，进而得出答案。 【详解】A．两边之和，与第三边相等，不能围成三角形； B．两边之和，即两边之和小于第三边，不能围成三角形； C．两边之和，即两边之和大于第三边；两边之差，小于第三边，能围成三角形。 故答案为：C 2．下面（    ）组的三条线段能围成周长为10厘米的三角形。 A．2厘米 3厘米 5厘米 B．3厘米 3厘米 4厘米 C．2厘米 2厘米 6厘米 【答案】B 【解析】略 3．如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 【答案】A 【分析】如图，在三角形ABC中，∠B＝70˚，根据三角形内角和为180˚，用180˚减去∠B即可求出∠A和∠C的和；再根据四边形内角和为360°，用360˚减去∠A和∠C的和，即可得到∠1＋∠2的度数。 【详解】∠A＋∠C： ∠1＋∠2： 故答案为：A 4．1下面的三角形纸片都被园园的妹妹撕去了一个角，你知道撕去的角是多少度吗？填一填。 （    ）° （    ）° （    ）° 【答案】90；81；133 【解析】略 5．在直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是( )。 【答案】55° 【分析】先明确直角三角形内角和为180°，其中一个角是90°，用内角和减去直角和已知锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数。 【详解】由分析可知， 因此，在直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是55°。 6．下面各组线段能围成一个三角形吗？（在括号里填“能”或“不能”） （1）3厘米、2厘米、5厘米。( ) （2）4厘米、3厘米、6厘米。( ) （3）6厘米、7厘米、12厘米。( ) （4）15厘米、1厘米、12厘米。( ) 【答案】 不能 能 能 不能 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】（1）3+2=5，不能围成三角形； （2）4+3=7＞6，能围成三角形； （3）6+7=13＞12，能围成三角形； （4）1+12=13＜15，不能围成三角形。 【点睛】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。 7．如图：一副三角板叠放在一起，＝( )°，＝( )°。 【答案】 15 120 【分析】根据对三角板的了解，其中一个三角板的度数分别是60°、30°、90°，另一个三角板的度数分别是45°、45°、90°，∠1是45°和30°角的夹角，用45°－30°即可求出∠1的度数；四边形可以分成两个三角形，三角形内角和为180°，180°×2＝360°，所以四边形的内角和是360°，∠2和60°的角还有两个直角组成一个平行四边形，用360°减去两个90°再减去一个60°，即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＝45°－30°＝15° ∠2＝360°－90°－90°－60° ＝270°－90°－60° ＝180°－60° ＝120° 如图：一副三角板叠放在一起，∠1＝15°，∠2＝120°。 8．一个等腰三角形，如果它的顶角是40°，那么它的一个底角是( )°；如果它的一个底角是40°，那么它的顶角是( )°。 【答案】 70 100 【解析】略 9．两根小棒分别长5厘米、10厘米，再有一根最短为( )厘米的小棒就可以围成一个三角形。（填整数） 【答案】6 【分析】三角形的任意两个之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答。 【详解】5+10=15（厘米），10-5=5（厘米） 第三条边大于5厘米小于15厘米，所以第三条边最小是6厘米。 故答案为：6 【点睛】本题重点考查三角形的三边关系。 10．两根小棒分别长4厘米和7厘米。第三根小棒的长要小于( )厘米且大于( )厘米，才能围成一个三角形。 【答案】 11 3 【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。据此解答 【详解】4＋7＝11（厘米） 7－4＝3（厘米） 3厘米＜第三边＜11厘米 所以第三根小棒的长要小于11厘米且大于3厘米， 【点睛】本题的解题关键是掌握三角形三边关系。 11．如果一个三角形中的两个锐角和大于90°，这个三角形是( )三角形，如果两个锐角和小于90°，这个三角形是( )三角形。 【答案】 锐角 钝角 【分析】三角形的内角和为180°。如果一个三角形中的两个锐角和大于90°，则第三个角也为锐角，这个三角形是锐角三角形；如果两个锐角和小于90°，则第三个角为钝角，这个三角形是钝角三角形。 【详解】如果一个三角形中的两个锐角和大于90°，这个三角形是（锐角）三角形，如果两个锐角和小于90°，这个三角形是（钝角）三角形。 【点睛】三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 12．以AB为一条边，画一个∠A＝50°的三角形。 【答案】见详解 【分析】利用量角器以点A为顶点，AB为一边画出50°的角，再确定三角形的第三个顶点，从而画出三角形。将量角器的中心与点A重合，0刻度线与AB重合，在量角器50°的刻度线的地方点一个点，记为点C；连接点A和刚才所点的点C，此时∠BAC的度数为50°；连接点B和点C，这样就以AB为一条边，∠A为50°，据此画出三角形ABC。 【详解】如图所示：（答案不唯一，只要是以AB为一边且∠A为50°的三角形即可） 13．计算图中，，的度数。 【答案】； ； 【解析】略 14．图是由一副三角尺拼成的，求的度数。 【答案】105° 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。图中∠1与一个45°角、一个30°角在同一个三角形内，根据三角形的内角和是180°，用180°减去45°再减去30°即可求解。 【详解】180°－45°－30° ＝135°－30° ＝105° ∠1的度数为105°。 15．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，，，是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】 是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【详解】由题意知，大三角形是等边三角形，它的每个内角都是60°，和都是大三角形一个内角的一半，所以和都是30°，所以，因此这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 16．为了给乐乐做一个三角形的风筝，爸爸准备了三根竹条，竹条的长度分别是65厘米、65厘米、130厘米。 (1)爸爸用这三根竹条首尾相接做风筝框架，能做成吗？为什么？ (2)如果把130厘米长的竹条截掉10厘米，那么这时能做成吗？ 【答案】(1)（厘米） 不能做成。 (2)（厘米） （厘米） 能做成。 【解析】略 17．一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 【答案】可以在7厘米处或8厘米处或9厘米处剪一刀 【分析】已知条件可求出其余两条线段的长度之和即为（厘米）；找出和为8的两个非零自然数，继而得出其余两条线段的长度；接下来找出能与4厘米围成三角形的一组线段长，由此可求出答案。 【详解】（厘米）    ，，不能围成三角形。 ，，不能围成三角形。 能围成三角形的三段可以是4厘米、3厘米和5厘米或4厘米、4厘米和4厘米，所以可以在7厘米或8厘米或9厘米处剪一刀。 【点睛】本题考查的是三角形边的关系，解题的关键是明白两边之和大于第三边。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 三角形的边与角 单元知识清单讲义 知识点一：三角形三边的关系 1. 核心结论：三角形任意两边之和大于第三边 简便判断：较短两条边的和 ＞ 最长边，即可围成三角形。 2. 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 知识点二：三角形内角和 1. 三角形内角和 =180°，与三角形大小、形状无关。 2. 求未知角：∠3=180°-∠1-∠2 知识点 三：三类特殊三角形边角特征 1. 等腰三角形 边：有两条边相等；相等的两边叫腰，另一边叫底。 角：两个底角相等。 分类：等腰锐角三角形、等腰直角三角形、等腰钝角三角形。 2. 等边三角形（正三角形） 边：三条边长度都相等，是特殊的等腰三角形。 角：三个内角相等，每个角都是60°，一定是锐角三角形。 3. 直角三角形 边：互相垂直的两条边叫直角边，最长边叫斜边；斜边大于任意一条直角边。 角：有 1 个角是90°； ✅ 直角三角形两个锐角之和等于90° 知识点 四：多边形的内角和 1.公式：n边形内角和=(n一2)×180°(n≥3) 2.原理：从多边形一个顶点引出对角线，可以分割出(n一2)个三角形。 3.举例： 四边形内角和(4-2)×180°=360° 五边形内角和(5-2)×180°=540° 4.规律：多边形每增加1条边，内角和增加180° 题型1：三角形三边的关系（重点） 【例1】下面的几组线段，（    ）可以拼成一个三角形。 A．4cm、3cm、4cm B．4cm、6cm、10cm C．7cm、2cm、12cm 【练1】下面哪组线段能围成一个三角形？ (1)在能围成三角形的线段下面画“√”。 (2)在三角形中，任意两边的长度之和一定要( )第三边。 题型2：三角形的内角和有关的计算题（常考+重点） 【例2】计算下列各角的度数。       【练2】寻找下面三角形丢失的角，连一连。 题型3：多边形的内角和（重点 ） 【例3】计算下列未知角的度数。 【练 3】等腰三角形ABC的一个底角是70°，顶角是（     ）°。根据三角形的内角和，推算出五边形的内角和，在下图中画出你的想法，算式是（      ）。 1．下面每组中的三条线段，能围成三角形的是（    ）。 A． B． C． 2．下面（    ）组的三条线段能围成周长为10厘米的三角形。 A．2厘米 3厘米 5厘米 B．3厘米 3厘米 4厘米 C．2厘米 2厘米 6厘米 3．如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 4．下面的三角形纸片都被园园的妹妹撕去了一个角，你知道撕去的角是多少度吗？填一填。 （    ）° （    ）° （    ）° 5．在直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是( )。 6．下面各组线段能围成一个三角形吗？（在括号里填“能”或“不能”） （1）3厘米、2厘米、5厘米。( ) （2）4厘米、3厘米、6厘米。( ) （3）6厘米、7厘米、12厘米。( ) （4）15厘米、1厘米、12厘米。( ) 7．如图：一副三角板叠放在一起，＝( )°，＝( )°。 8．一个等腰三角形，如果它的顶角是40°，那么它的一个底角是( )°；如果它的一个底角是40°，那么它的顶角是( )°。 9．两根小棒分别长5厘米、10厘米，再有一根最短为( )厘米的小棒就可以围成一个三角形。（填整数） 10．两根小棒分别长4厘米和7厘米。第三根小棒的长要小于( )厘米且大于( )厘米，才能围成一个三角形。 11．如果一个三角形中的两个锐角和大于90°，这个三角形是( )三角形，如果两个锐角和小于90°，这个三角形是( )三角形。 12．以AB为一条边，画一个∠A＝50°的三角形。 13．计算图中，，的度数。 14．图是由一副三角尺拼成的，求的度数。 15．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，，，是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 16．为了给乐乐做一个三角形的风筝，爸爸准备了三根竹条，竹条的长度分别是65厘米、65厘米、130厘米。 (1)爸爸用这三根竹条首尾相接做风筝框架，能做成吗？为什么？ (2)如果把130厘米长的竹条截掉10厘米，那么这时能做成吗？ 17．一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $