27.1 反比例函数的概念 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的概念这一核心知识点，衔接已学的一次函数、正比例函数，通过京沪高铁速度与时间等实际情境抽象等量关系，归纳出y=k/x（k≠0）的定义及三种表达形式，构建函数知识体系的学习支架。 该资料以实际情境培养抽象能力（数学眼光），通过辨析三步法、找错活动发展推理意识（数学思维），分层训练和自查要点强化模型应用（数学语言）。课中助教师引导探究，课后助学生查漏补缺，提升学习效果。

人教版数学九年级上册 · 第二十七章 反比例函数 · 27.1 反比例函数的概念(教师讲义) 27.1 反比例函数的概念 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学九年级上册(2024版) 第二十七章 反比例函数 · 1课时 · 本书配套《学生用书》使用 一 教学导航 【教材分析】 27.1 反比例函数的概念是人教版(2024)九年级上册第二十七章"反比例函数"的第一节(课本 P64-P66), 共 1 课时。本章的章首(课本 P63)先给出一个情境: 同一条铁路线上, 由于不同车次列车的运行时间有长有短, 所以它们的平均速度有快有慢; 在路程一定的前提下, 平均速度与运行时间成反比例, 由 vt = S 可得 v = 。章首同时点明了本章的研究路径: 先认识反比例函数的概念, 再研究它的图象和性质, 最后用反比例函数解决实际问题。本节完成第一步 —— 概念。教材从三个真实情境出发: 京沪高铁全程 1318 km 时列车平均速度与全程运行时间的关系、面积为 1000 的矩形草坪相邻两边长的关系、5 GB 手机流量平均每天使用量与使用总天数的关系, 引导学生先用函数的眼光分析变量之间的对应关系, 再写出 v = 、y = 、Q = 三个解析式, 进而观察它们的共同特点, 概括出反比例函数的概念与一般形式 y = (k 为常数, k ≠ 0); 接着讨论解析式的另外两种表达形式 xy = k 与 y = , 并明确自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数; 最后用待定系数法求反比例函数的解析式。教材把反比例函数从原来的九年级下册移到九年级上册、与二次函数集中安排, 目的正是让学生把"概念 — 图象和性质 — 实际问题"这条研究路径完整迁移到第三类特殊函数上, 因此本节既是新知识的起点, 也是函数研究方法的一次总结。 【学情分析】 学生已经完整经历过一次函数与二次函数的研究过程, 会用"实际问题 — 列解析式 — 归纳定义"的方式认识新函数; 小学阶段也学过"两种相关联的量, 一种量变化, 另一种量也随着变化, 如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定, 这两种量就叫做成反比例的量"。本节的主要困难有四个: 一是把生活语言翻译成函数语言时找不到两个变量, 例如把"平均速度随全程运行时间的变化而变化"读成"v 越大 t 越小"这样的日常说法, 却写不出 vt = 1318; 二是只会照 y = 的样子判断, 遇到 = 3、xy = 5、y = 、y = 就无从下手; 三是忽略 k ≠ 0 与 x ≠ 0 两个限制条件, 尤其在含字母系数的问题中漏掉 k ≠ 0; 四是分不清"两个量成反比例"与"y 是 x 的反比例函数"。教学中要抓住"乘积为定值"这个本质, 并把"先化成 y = 的样子"作为一句可操作的判断口诀反复使用。 【教学目标】 1. 经历从三个实际情境抽象出反比例函数概念的过程, 能说出反比例函数的定义, 并写出它的一般形式 y = (k 为常数, k ≠ 0)。2. 掌握反比例函数的三种表达形式 y = 、xy = k、y = (k 为常数, k ≠ 0), 并能把一个关系式在三种形式之间互相转化。3. 会判断给定的关系式中的 y 是否为 x 的反比例函数, 并指出比例系数。4. 知道反比例函数中自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数, 实际问题中还要结合实际意义确定取值范围。5. 会用待定系数法求反比例函数的解析式, 并由解析式求函数值或自变量的值。6. 能把实际问题中的反比例关系转化为反比例函数模型, 体会函数是刻画变量之间关系的数学模型, 发展抽象能力与模型观念。 【教学重点】 反比例函数的概念与三种表达形式; 判断一个关系式中的 y 是否为 x 的反比例函数并指出比例系数; 用待定系数法求反比例函数的解析式。 【教学难点】 从实际问题中抽象出反比例函数概念, 理解"两个变量的乘积为定值"这一本质; 理解 k ≠ 0 与 x ≠ 0 两个限制条件的必要性。 【课时安排】 本节共 1 课时(课本 P64-P66)。 【教学准备】 教师: 课本、课件(含三个情境的示意图与三个解析式的对照)、坐标纸、磁性小黑板、彩色粉笔; 学生: 课本、练习本、计算器(处理手机流量的小数运算)。 环节 内容 课本页码 要固定下来的动作 环节一至二 复习三个已学函数 + 章首情境引入 P63-P64 把生活语言翻译成两个变量和等量关系 环节三 三个实际情境到三个解析式再到概念 P64 先写解析式, 再看"乘积为定值" 环节四至六 辨析、找错、例题、课堂练习 P64-P65 判断时先化成 y = 的样子 环节七 归纳整理与课堂小结 P65-P66 记牢 k ≠ 0 与 x ≠ 0 二 教学过程 环节一 复习回顾: 函数家族的两位老朋友 【教师活动】 先提问: 我们已经学过哪两类特殊函数? 请分别写出它们的一般形式, 并指出当 b = 0 时一次函数变成了什么。接着追问: 回想一下, 我们研究一次函数和二次函数的顺序是一样的吗? 请按顺序说出来。 【学生活动】 学生口答并板演, 教师同步板书。 学生板演一: 一次函数 y = kx + b(k, b 是常数, k ≠ 0); 当 b = 0 时得 y = kx(k ≠ 0), 叫做正比例函数。 学生板演二: 二次函数 y = + bx + c(a, b, c 是常数, a ≠ 0), 其中 a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项。 学生归纳研究路径: 实际问题 → 列解析式 → 归纳定义 → 求解析式 → 研究图象和性质 → 解决实际问题。 【预备板书】 研究路径: 实际问题 → 列解析式 → 归纳定义 → 求解析式 → 研究图象和性质 → 解决实际问题。本节课要走这条路的第 1 步到第 4 步; 第 5、6 步放到本章后面两节去走。 【设计意图】 用一个"回头望"的问题把函数研究的方法框架重新激活。学生一旦意识到"套路是一样的, 只是研究对象换了", 面对新函数时的陌生感就会明显降低, 这也是本节最想传递的思想方法。 环节二 情境导入: 章首情境中的"反比例" 【情境】 同一条铁路线上, 由于不同车次列车的运行时间有长有短, 所以它们的平均速度有快有慢。京沪高铁全程为 1318 km, 某次列车的平均速度 v(单位: km/h)随此次列车的全程运行时间 t(单位: h)的变化而变化。 【教师活动】 用三个问题把这句生活语言"翻译"成函数语言: 第一, 这段行程中涉及哪几个量? 哪些量是变化的? 第二, 路程、速度、时间之间满足什么关系式? 第三, 这两个变量之间有函数关系吗? 为什么? 【学生活动】 学生分析: 路程固定为 1318 km, 平均速度 v 与运行时间 t 都是变化的量, 由"路程 = 速度 × 时间"得 vt = 1318, 即 v = ; 对于 t 的每一个确定的值, v 都有唯一确定的值与它对应, 所以 v 是 t 的函数。 图27.1-1 路程一定时, 平均速度 v 与全程运行时间 t 成反比例(课本 P63 章首情境) 【教师活动】 追问: 当 t 取 2 时 v 是多少? t 取 4 时 v 是多少? v 随 t 的变化有什么规律? 引导学生算出 v 分别为 659 与 329.5, 并说出"t 越大, v 越小, 而且 vt 始终等于 1318"。 【预设与对策】 学生很容易说出"速度越大, 时间越短"这种生活化的表述, 甚至直接抢答"成反比例"。此时不要急着下结论, 而要追问一句: "你是怎么判断的?" 把学生的注意力从"一个大一个小"引到"乘积是不是定值"上来, 并板书 vt = 1318。这个"乘积为定值"正是本节概念的落点, 后面三个情境都要回到这一句上来。 环节三 观察归纳: 从三个解析式到一个定义 【教师活动】 出示课本 P64 思考中的三个问题, 让学生独立写出解析式, 再同桌互查。 【情境一】 某住宅小区要种植一块面积为 1000 的矩形草坪, 草坪相邻两边的一边长 y(单位: m)随另一边长 x(单位: m)的变化而变化。 图27.1-2 面积一定时, 草坪的一边长 y 与另一边长 x 成反比例(课本 P64 思考) 【情境二】 李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量, 平均每天使用的流量 Q(单位: GB)随使用完流量的总时间 t(单位: 天)的变化而变化。 图27.1-3 总量一定时, 平均每天使用的流量 Q 与使用总时间 t 成反比例(课本 P64 思考) 【学生活动】 三名学生上黑板分别写出三个解析式, 其余学生在练习本上完成, 并写出每个情境中"乘积为定值"的那个定值。三个解析式是: 由 vt = 1318 得 v = ; 由 xy = 1000 得 y = ; 由 Qt = 5 得 Q = 。三个定值分别是 1318、1000、5。 图27.1-4 三个解析式的共同结构(课本 P64 观察) 【观察与归纳】 追问: 这三个解析式在形式上有什么共同特点? 引导学生逐条说出来: 第一, 它们都是分式的形式; 第二, 分子都是常数, 分别是 1318、1000、5; 第三, 分母都只含一个字母, 而且这个字母正是自变量。教师顺势点出: 三个式子都可以写成"一个常数除以自变量"的样子。 【概念】 一般地, 形如 y = (k 为常数, k ≠ 0)的函数叫做反比例函数, 其中 x 是自变量, y 是 x 的函数, 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。 【教师活动】 逐字读定义, 并在黑板上把三个要点圈出来: 一是形如 y = 的样子; 二是 k 必须是常数且 k ≠ 0; 三是自变量 x 在分母上, 所以 x ≠ 0。接着追问两个"为什么": 如果 k = 0, y = 会变成什么? 那还是反比例函数吗? 如果 x = 0 呢? 【预设与对策】 由 k = 0 得 y = 0(x ≠ 0), 无论 x 取什么值函数值都是 0, 谈不上"两个变量的乘积为定值", 所以定义里必须写 k ≠ 0。由 x = 0 得分母为 0、式子没有意义, 所以自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。这两条都要求学生用自己的话说一遍, 不能只记结论。 图27.1-5 反比例函数的三种表达形式(课本 P64-P65 思考) 【教师活动】 追问: 反比例函数除了 y = 这一种写法, 还能写成别的样子吗? 引导学生把 y = 的两边同乘 x, 得 xy = k; 再由分式与负整数指数幂的关系, 又可写成 y = (即 y 等于 k 乘 x 的 -1 次幂)。指出这三种形式是同一个函数的三种"外衣", 判断时常常要先把式子化成 y = 的样子。 【预设与对策】 学生容易把 y = 与 y = kx 混为一谈。对策是同时写出 y = kx(k ≠ 0)与 y = (k ≠ 0), 让学生指出两者的差别: 前者的自变量在分子上、指数是 1, 是正比例函数; 后者的自变量在分母上、指数是 -1, 是反比例函数。 环节四 辨析: 判断并指出比例系数 【课堂练习·课本 P65 练习 判断关系式】 下列关系式中的 y 是 x 的反比例函数吗? 若是, 请指出比例系数。给出的关系式有: y = 4x; = 3; y = -; y = 6x + 1; y = - 1; xy = 123。 图27.1-6 正比例函数与反比例函数的对比(判断时先化成 y = 的样子) 【学生活动】 学生逐条判断并说明理由, 教师同步板书。 y = 4x: 自变量 x 在分子上, 属于正比例函数, y 不是 x 的反比例函数。 = 3: 两边同乘 x 得 y = 3x, 也是正比例函数(比值 3 一定), y 不是 x 的反比例函数。 y = -: 已经是 y = 的样子, 所以 y 是 x 的反比例函数, 比例系数是 -2。 y = 6x + 1: 这是一次函数, y 不是 x 的反比例函数。 y = - 1: 这是二次函数, y 不是 x 的反比例函数。 xy = 123: 两边同除以 x 得 y = , 所以 y 是 x 的反比例函数, 比例系数是 123。 【判断三步】 第一步, 把式子化成 y = 的样子; 第二步, 看分子是否为非零常数; 第三步, 看分母是否只含 x 本身(不能含 、x + 1 之类)。三步都通过, y 才是 x 的反比例函数。 环节五 找错活动(补充) 【教师活动】 出示三条错例, 请学生当"小老师"逐条批改, 说明错在哪里、怎样改正。 错例一: 判断 y = 是反比例函数。错因: 分母上是 而不是 x, 自变量 x 的次数是 -2 而不是 -1, 不符合定义。改正: y 不是 x 的反比例函数; 只能说 y 与 成反比例。 错例二: 判断 y = 是反比例函数。错因: 分母是 (x + 1), 不是单独的 x, 不满足"分母只含 x"这一条。改正: y 不是 x 的反比例函数, 它是 y 与 (x + 1) 之间的反比例关系。 错例三: 已知反比例函数 y = 中当 x = 2 时 y = 3, 求 k。有学生写成 k = 。错因: 把 y = 当成 y = 用了, 代入时代反了。改正: 由 3 = 解得 k = 6。 【预设与对策】 错例三暴露的是"代入时把 k 的位置搞反"这个高频错误。应对的办法是把 y = 改写成 xy = k, 再说一句"把 x 与 y 乘起来就是 k", 学生就不容易算反。这一句也要写进板书。 环节六 例题: 用待定系数法求反比例函数的解析式(课本 P65 例) 【情境】 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 2 时, y = 6。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 当 x = 4 时, 求 y 的值。 图27.1-7 用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤(课本 P65 例) 【教师活动】 先让学生说说"已知 y 是 x 的反比例函数"这句话能派上什么用场, 引导他们想到"可以设 y = ", 再按四个步骤示范。 【板演】 (1) 因为 y 是 x 的反比例函数, 所以设 y = (k ≠ 0)。把 x = 2、y = 6 代入, 得 6 = , 解得 k = 12。因此 y 关于 x 的函数解析式是 y = 。(2) 把 x = 4 代入 y = , 得 y = = 3。 【追问】 如果只给出一个条件(一组 x、y 的对应值), 能不能确定反比例函数的解析式? 为什么? 引导学生发现: 反比例函数中只有一个待定系数 k, 所以只要有一组对应值(或一个条件)就够了。 【课堂练习·课本 P65 练习】 已知 y 是 x 的反比例函数, 当 x = -2 时, y = 4。求这个函数的解析式和自变量的取值范围。 【学生活动】 学生独立完成后同桌互查。设 y = (k ≠ 0), 把 x = -2、y = 4 代入得 4 = , 解得 k = -8, 所以解析式为 y = -; 因为自变量在分母上, 所以自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0。 【预设与对策】 有的学生会把"自变量的取值范围"写成"全体实数", 也有的会把范围漏掉。应对的办法是回到定义: x 在分母上, x = 0 时式子没有意义, 所以取值范围是不等于 0 的一切实数; 如果情境中给的是"天数""班级个数"这样有实际意义的量, 还要进一步限制为正整数。 环节七 归纳整理与课堂小结 图27.1-8 自变量 x 的取值范围: 不等于 0 的一切实数 【教师活动】 出示以下三道填空式小结题, 请学生口答: (1) 形如 ________ 的函数叫做反比例函数, 其中 k 是 ________, 且 k ________。 (2) 反比例函数的三种表达形式是 ________、________、________。 (3) 反比例函数中自变量 x 的取值范围是 ________。 【本课"三句话"】 第一句: 反比例函数的本质是两个变量的乘积为定值, 即 xy = k(k ≠ 0)。第二句: 判断时先化成 y = 的样子。第三句: 别忘了 k ≠ 0 和 x ≠ 0 这两个限制。 【课堂练习·课本 P65 练习 第 1 题】 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系: (1) 一个游泳池的容积为 2000 , 游泳池注满水所用时间 t(单位: h)随注水速度 v(单位: /h)的变化而变化; (2) 学校准备将 1000 实践田平均划分给一些班级, 每班分得的实践田面积 y(单位: )随班级个数 x 的变化而变化; (3) 在某次物理实验中, 电路中的电压 U 为 3 V, 则该电路中的电流 I(单位: A)随电阻 R(单位: Ω)的变化而变化。 【学生活动】 三名学生板演, 教师强调书写与单位。答案依次是: t = (v > 0); y = (x 为正整数); I = (R > 0)。三个式子都是反比例函数, 比例系数分别是 2000、1000、3。 【设计意图】 环节四到环节七反复围绕"判断"与"求解析式"这两项基本技能展开, 一节课里学生要动笔的机会有四次以上; 最后一题把三个情境换成"游泳池、实践田、电路", 让学生在新的实际问题中再走一遍"找两个变量、写等量关系、化成 y = "的过程, 实现对概念的当堂巩固。 三 联系梳理与易错辨析 (一) 正比例函数与反比例函数对照 项目 正比例函数 反比例函数 一般形式 y = kx (k ≠ 0) y = (k ≠ 0) 另外的表达形式 没有别的等价写法 xy = k; y = (k ≠ 0) 两个变量的关系 y 与 x 的比值一定, = k x 与 y 的乘积一定, xy = k 自变量 x 的次数 1 -1 自变量 x 的取值范围 全体实数 不等于 0 的一切实数 函数 y 的取值范围 全体实数 不等于 0 的一切实数 常见实例 速度一定时路程与时间; 单价一定时总价与数量 路程一定时速度与时间; 面积一定时长与宽; 总量一定时每日用量与天数 (二) 易错清单 易错一: 只看"一个大一个小"就说是反比例, 不检验乘积是否为定值。纠正: 先写等量关系, 再看两个变量的乘积是不是常数。 易错二: 忘记 k ≠ 0。如"若 y = 是反比例函数, 求 m 的范围"时, 必须由 m - 2 ≠ 0 得 m ≠ 2; 又如"若 y = (m - 1) 是反比例函数", 要同时满足 - 5 = -1 与 m - 1 ≠ 0, 得 m = -2。 易错三: 忘记 x ≠ 0。反比例函数中自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数; 实际问题中还要结合实际意义, 例如天数取正整数、边长取正数。 易错四: 分母不是单独的 x 也当成反比例函数。y = 、y = 都不是反比例函数。 易错五: 求解析式时代入算反。用 xy = k 的形式, 把一组 x 与 y 乘起来即得 k, 可以避免算反。 易错六: 把"两个量成反比例"与"反比例函数"混为一谈。前者说的是两个量之间的关系, 后者说的是函数; 只有当其中一个变量是另一个变量的函数时, 才能叫做反比例函数。 (三) 概念辨析的三种说法 说法 判断 理由 y 是 x 的反比例函数 可以这样说 符合 y = (k ≠ 0)的形式 y 与 x 成反比例 可以这样说 表示 x 与 y 的乘积为定值 y 与 x 成反比例函数 不这样说 "成反比例"与"反比例函数"是两件事, 不能叠在一起说 四 分层巩固训练 下面十四个小题都是原创题, 与课本上的例题、练习、《习题27.1》不重复, 供课堂分层使用: A 组(第 1 至 6 题)面向全体学生, B 组(第 7 至 11 题)面向中等偏上的学生, C 组(第 12 至 14 题)面向学有余力的学生。 A 组 基础过关 题号 题目 A1 下列函数中, y 是 x 的反比例函数的是( ) A. y = 5x B. y = - C. y = 3x - 2 D. y = A2 写出下列各题中 y 与 x 的函数解析式, 并指出其中哪些是反比例函数: (1) 一个面积为 60 的三角形, 它的一条边长 y(单位: cm)与这条边上的高 x(单位: cm); (2) 单价为 6 元的笔记本, 购买 x 本的总价 y(单位: 元)。 A3 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 3 时 y = -4。求 y 关于 x 的函数解析式, 并求当 x = 6 时 y 的值。 A4 把下列各式改写成 y = (k ≠ 0)的形式, 并写出 k 的值: (1) xy = -18; (2) y = ; (3) 3y = 。 A5 若函数 y = 是反比例函数, 求 a 的取值范围。 A6 小明家计划用 300 元购买大米, 购买数量 y(单位: kg)随每千克大米的价格 x(单位: 元)的变化而变化。写出 y 关于 x 的函数解析式, 并指出自变量的取值范围。 B 组 能力提升 题号 题目 B7 判断下列各式中的 y 是否为 x 的反比例函数, 并说明理由: (1) y = -; (2) 2y = ; (3) xy = -7; (4) y = 。 B8 若函数 y = (m + 2) 是反比例函数, 求 m 的值, 并写出此时的函数解析式。 B9 已知 y 与 x - 3 成反比例, 且当 x = 5 时 y = 6。求 y 关于 x 的函数解析式, 并求当 x = 8 时 y 的值。 B10 一个长方体的体积是 240 , 底面积为 S(单位: ), 高为 h(单位: cm)。(1) 写出 h 关于 S 的函数解析式, 并说明 h 是 S 的什么函数; (2) 当 S = 40 时, 求 h; (3) 当 h = 5 时, 求 S。 B11 已知 y = y1 + y2, 其中 y1 与 x 成正比例, y2 与 x 成反比例, 且当 x = 1 时 y = 5, 当 x = 2 时 y = 7。求 y 关于 x 的函数解析式。 C 组 拓展探究 题号 题目 C12 若函数 y = (m - 3) 是反比例函数, 求 m 的值, 并写出这个函数的解析式。 C13 一个矩形的面积为 24 , 相邻两边的长分别为 x(单位: cm)和 y(单位: cm)。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式, 并说明 y 是 x 的什么函数; (2) 当 x 从 3 变到 6 时, y 的值从多少变到多少? (3) 若这个矩形的周长为 20 cm, 求 x 的值, 并说明此时矩形的形状。 C14 某工厂要加工 1200 个零件, 每天加工的零件数为 x(单位: 个), 完成全部任务所需的天数为 y(单位: 天)。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式, 并说明 y 是 x 的什么函数; (2) 若每天加工 150 个, 需要多少天完成? (3) 若想比 150 个更快地完成任务, 每天加工的零件数应该比 150 多还是少? 请用函数的观点说明理由。 五 课堂小结 【教师提问】 本节我们认识了一类新的函数, 请三位同学分别回答三个问题: 它的定义是什么? 它有几种写法? 判断时最容易错在哪里? 学生甲: 形如 y = (k 为常数, k ≠ 0)的函数叫做反比例函数, 其中 x 是自变量, y 是 x 的函数, 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。 学生乙: 有三种写法, 分别是 y = 、xy = k、y = , 其中 k 都是非零常数, 三种写法可以互相转化。 学生丙: 最容易错在把 y = 、y = 当成反比例函数, 还有求解析式时把 k 的位置代反。 【教师补充】 教师把三句话写在主板书上作为本节口诀: 反比例函数积为定, x 在分母负一次; 化成 y = 再判断, k 不为零 x 不为零。并追问: 学习中用得最多的是哪一种写法? 回答是 y = (判断与求解析式都用它)和 xy = k(求 k 时最省事)。 【现场检验】 请学生在一分钟内完成三道口头填空: 一是写出反比例函数的一般形式并说出两个限制; 二是说出它的另外两种表达形式; 三是说出一个生活中的反比例函数实例并写出解析式。教师对"实例"的答案进行点评, 强调解析式里必须写清哪一个是自变量、哪一个是函数。 六 板书设计 主板书(左) 27.1 反比例函数的概念 ① 三个情境与三个解析式: v = (定值 1318); y = (定值 1000); Q = (定值 5) ② 共同特点: 都是分式; 分子是常数; 分母只含自变量 ③ 定义: 形如 y = (k 为常数, k ≠ 0)的函数叫做反比例函数 ④ 三种表达形式: y = ; xy = k; y = (k ≠ 0) ⑤ 两个限制: k ≠ 0(否则 y 恒等于 0); x ≠ 0(否则分母为零) ⑥ 例(课本 P65): 设 y = , 由 x = 2、y = 6 得 k = 12, 所以 y = ; x = 4 时 y = 3 副板书(右) 易错与对比 · 判断三步: 化成 y = 的样子; 看分子是不是非零常数; 看分母是不是只含 x · 正比例 y = kx: 比值一定, x 的次数是 1; 反比例 y = : 乘积一定, x 的次数是 -1 · 求 k 的口诀: 把 x 与 y 乘起来就是 k(用 xy = k 最不容易算反) · 反例区: y = (次数是 -2); y = (分母不是单独的 x) · 学生板演区(留白): 课本 P65 练习第 1 题三小题 / 求解析式一题 七 作业布置(真实还原课本习题) 【必做】 《习题27.1》(课本 P66)复习巩固、综合运用、拓广探索各栏全部题目。由于该节习题的公开题面暂不可得, 请以课本原文为准, 在此按栏目留位, 待题面到齐后逐题补全。 栏目 题号 安排 复习巩固 第 1 题 ~ 第 3 题 《习题27.1》题面留位(以课本 P66 原文为准) 综合运用 第 4 题 ~ 第 5 题 《习题27.1》题面留位(以课本 P66 原文为准) 拓广探索 第 6 题 《习题27.1》题面留位(以课本 P66 原文为准) 【课时配套巩固】 以下八题按课时编排, 用于当堂检测或课后巩固, 与本节例题、练习不重复。 1. 下列各式中, y 是 x 的反比例函数吗? 是的要求出比例系数: (1) y = -; (2) y = 9x; (3) xy = -4; (4) y = 。 2. 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 5 时 y = -2。求 y 关于 x 的函数解析式, 并求当 x = -4 时 y 的值。 3. 若函数 y = 是反比例函数, 求 n 的取值范围。 4. 把 xy = -20 改写成 y = 的形式, 并写出 k 的值。 5. 已知 y 与 x 成反比例, 且当 x = -6 时 y = 2。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 求当 y = -3 时 x 的值。 6. 一个圆柱的体积是 100 , 底面积为 S(单位: ), 高为 h(单位: cm)。(1) 写出 S 关于 h 的函数解析式; (2) 当 h = 4 时, 求 S; (3) 当 S = 25 时, 求 h。 7. 某小区要修一块面积为 800 的矩形绿地, 长为 y(单位: m), 宽为 x(单位: m)。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若宽为 20 m, 求长; (3) 若要求长不超过 40 m, 宽至少是多少米? 8. 下列三个关系中, 哪些量成反比例关系? 请说明理由。(1) 路程一定时, 速度与时间; (2) 面积一定时, 长方形的长与宽; (3) 周长一定时, 长方形的长与宽。 【学法提示】 做作业前先在草稿上写两句话: 这道题里哪两个量在变化? 它们的乘积是不是定值? 做完之后再查三处: k 是不是非零常数、自变量有没有写在分母上、实际问题里的取值范围有没有结合实际意义。 八 教学反思 本节最有效的地方, 是把概念课的重心放在"翻译"上。学生从京沪高铁这条情境出发, 先找两个变量, 再写等量关系, 最后才谈定义, 整个过程走的是"实际情境 — 变量关系 — 式子表示 — 概括特征"的顺序。与过去直接给出 y = 再举例的方式相比, 学生对新函数不再有"空降"的感觉, 在后面的辨析环节里, 他们能主动说出"要看看乘积是不是定值", 说明本质特征已经落到了学生自己嘴里。 第二个有效处理是把三种表达形式并排呈现。把 y = 、xy = k、y = 写在同一块板面上, 并配上 y = kx 作对比, 学生一眼就看清"自变量在分子还是分母""指数是 1 还是 -1"这两处差别, 后面判断与求 k 的正确率明显提高。用"把 x 与 y 乘起来就是 k"来概括 xy = k, 也解决了代入时常算反的老问题。 不足之处主要有三点。一是三个情境的处理时间偏长, 最后一道课堂练习只剩几分钟, 部分学生没写完。今后可以把第三个情境(手机流量)改为口答, 把时间匀给练习。二是含字母系数的判断学生仍有畏难情绪, 尤其当指数上也含字母时, 他们不知道要同时抓两个条件。这一点在易错清单里已经写清, 但还需要在下一节课的起始环节再复现一次。三是"成反比例"与"反比例函数"的区别, 课堂上只做了一次口头强调, 缺少书面对照。今后可以在小结环节加一张两列对照的小表, 让学生自己填。 后续安排上, 本节只完成了本章研究路径的第一步。接下来将沿着同一条路径继续研究这类函数的图象和性质, 再走向实际应用; 到了章末的小结课, 还要带着学生用一节课把三类特殊函数放在一起对比, 从研究方法的一致性去理解它们的区别与联系。 九 参考答案 (一) 分层巩固训练 A 组 题号 参考答案 A1 选 B。y = - 符合 y = (k ≠ 0)的形式, k = -4; A 是正比例函数, C 是一次函数, D 的分母是 而不是 x, 都不是反比例函数 A2 (1) 由三角形的面积公式得 = 60, 即 xy = 120, 所以 y = (x > 0), 是反比例函数, k = 120; (2) y = 6x, 是正比例函数, 不是反比例函数 A3 设 y = (k ≠ 0)。把 x = 3、y = -4 代入得 -4 = , 解得 k = -12, 所以 y = -; 当 x = 6 时 y = - = -2 A4 (1) 两边同除以 x 得 y = -, k = -18; (2) y = 即 y = , k = 5; (3) 两边同除以 3 得 y = , k = A5 由反比例函数的比例系数不能为 0 得 a + 3 ≠ 0, 所以 a ≠ -3 A6 由"总价 = 单价 × 数量"得 xy = 300, 所以 y = ; 因为数量与单价都是正数, 所以自变量 x 的取值范围是 x > 0 (二) 分层巩固训练 B 组 题号 参考答案 B7 (1) y = - 可化为 y = -, 是反比例函数, k = -1; (2) 两边同除以 2 得 y = , 是反比例函数, k = ; (3) 两边同除以 x 得 y = -, 是反比例函数, k = -7; (4) y = , 是反比例函数, k = B8 由 y = (m + 2) 是反比例函数, 得自变量 x 的次数 - 5 = -1, 所以 = 4, m = 2 或 m = -2; 又比例系数 m + 2 ≠ 0, 即 m ≠ -2, 所以 m = 2。此时解析式为 y = , 即 y = B9 因为 y 与 x - 3 成反比例, 所以设 y = (k ≠ 0)。把 x = 5、y = 6 代入得 6 = , 解得 k = 12, 所以 y = ; 当 x = 8 时 y = B10 (1) 由"体积 = 底面积 × 高"得 Sh = 240, 所以 h = , h 是 S 的反比例函数; (2) 当 S = 40 时 h = = 6; (3) 当 h = 5 时由 5 = 得 S = 48 B11 设 y1 = k1 x, y2 = (k1 ≠ 0, k2 ≠ 0), 则 y = k1 x + 。把 x = 1、y = 5 与 x = 2、y = 7 分别代入, 得 k1 + k2 = 5 与 4k1 + k2 = 14, 解得 k1 = 3, k2 = 2, 所以 y = 3x + (三) 分层巩固训练 C 组 题号 参考答案 C12 由 y = (m - 3) 是反比例函数, 得 - 10 = -1, 所以 = 9, m = 3 或 m = -3; 又比例系数 m - 3 ≠ 0, 即 m ≠ 3, 所以 m = -3。此时比例系数为 -3 - 3 = -6, 解析式为 y = -, 即 y = - C13 (1) 由矩形面积公式得 xy = 24, 所以 y = (x > 0), y 是 x 的反比例函数; (2) 当 x = 3 时 y = = 8, 当 x = 6 时 y = = 4, 所以 y 的值从 8 变到 4; (3) 由周长为 20 cm 得 2 = 20, 即 x + = 10, 两边同乘 x 得 - 10x + 24 = 0, 解得 x = 4 或 x = 6。当 x = 4 时 y = 6, 当 x = 6 时 y = 4, 两种情况都是长 6 cm、宽 4 cm 的矩形 C14 (1) 由"每天加工的零件数 × 天数 = 总任务量"得 xy = 1200, 所以 y = (x 为正整数), y 是 x 的反比例函数; (2) 当 x = 150 时 y = = 8, 即需要 8 天完成; (3) 应该比 150 多。因为总任务量 1200 固定, 所以 x 与 y 的乘积是定值, x 越大 y 就越小, 每天加工得越多, 所需天数就越少 (四) 课时配套巩固 题号 参考答案 第 1 题 (1) y = - 是反比例函数, k = -6; (2) y = 9x 是正比例函数, 不是反比例函数; (3) xy = -4 两边同除以 x 得 y = -, 是反比例函数, k = -4; (4) y = 的分母是 x - 1, 不是单独的 x, 不是反比例函数 第 2 题 设 y = (k ≠ 0)。把 x = 5、y = -2 代入得 -2 = , 解得 k = -10, 所以 y = -; 当 x = -4 时 y = - = 第 3 题 由反比例函数的比例系数不能为 0 得 n + 4 ≠ 0, 所以 n ≠ -4 第 4 题 两边同除以 x 得 y = -, 所以 k = -20 第 5 题 (1) 因为 y 与 x 成反比例, 所以设 y = (k ≠ 0)。把 x = -6、y = 2 代入得 2 = , 解得 k = -12, 所以 y = -; (2) 当 y = -3 时, 由 -3 = - 得 x = 4 第 6 题 (1) 由"体积 = 底面积 × 高"得 Sh = 100, 所以 S = (h > 0); (2) 当 h = 4 时 S = = 25; (3) 当 S = 25 时由 25 = 得 h = 4 第 7 题 (1) 由矩形面积公式得 xy = 800, 所以 y = (x > 0); (2) 当 x = 20 时 y = = 40, 即长为 40 m; (3) 由长不超过 40 m 得 ≤ 40, 因为 x > 0, 两边同乘 x 得 800 ≤ 40x, 所以 x ≥ 20, 即宽至少是 20 m 第 8 题 (1) 路程一定时, 速度与时间的乘积等于路程(定值), 成反比例关系; (2) 面积一定时, 长与宽的乘积等于面积(定值), 成反比例关系; (3) 周长一定时, 长与宽的和一定, 但乘积不一定, 所以不成反比例关系 《习题27.1》 【留位】 题面待按课本 P66 原文补入后再逐题写出解答 【自查要点】 ① 每一道题的解析式是否都写成了 y 关于 x 的函数(不是只有等量关系)? ② 求解析式时是否先设 y = (k ≠ 0), 再代入求 k? ③ 含字母系数的问题是否同时用上了两个条件(次数为 -1、系数不为 0)? ④ 实际问题里的自变量取值范围是否结合实际意义(正数、正整数)? ⑤ 判断类题目是否写出了"化成 y = 的样子"这一步, 而不是只写结论? ⑥ 由 y 的值求 x 的值的题目, 是否把 y 的值代入解析式解方程而不是反过来代 x? ⑦ 成反比例与反比例函数是否区分清楚, 说理时是否提到了"乘积为定值"? ⑧ 答句是否写清了所问的量与单位? 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 · 第二十七章 反比例函数 · 27.1 反比例函数的概念(学生用书) 27.1 反比例函数的概念 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学九年级上册(2024版) 姓名: ____________ 班级: ____________ 学号: ____________ 第二十七章 反比例函数 · 1课时 · 配套《教师讲义》使用 一、学习目标 1. 我能从实际情境中找到两个变量, 写出它们的等量关系, 并把关系式化成 y = 的样子。 2. 我能说出反比例函数的定义: 一般地, 形如 y = (k 为常数, k ≠ 0)的函数叫做反比例函数, 其中 x 是自变量, 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。 3. 我能写出反比例函数的三种表达形式 y = 、xy = k、y = , 并在三种形式之间互相转化。 4. 我会判断一个关系式中的 y 是否为 x 的反比例函数, 并指出比例系数。 5. 我会用待定系数法求反比例函数的解析式, 并会由解析式求函数值或自变量的值。 6. 我会在解决实际问题时结合实际意义写出自变量的取值范围。 7. 我能分清"两个量成反比例"与"反比例函数"这两件事。 8. 我会主动自查: 有没有化成 y = 的样子、k 是不是非零常数、自变量有没有写在分母上。 【学习重点】 反比例函数的概念与三种表达形式; 判断一个关系式中的 y 是否为 x 的反比例函数并指出比例系数; 用待定系数法求反比例函数的解析式。 【学习难点】 从实际问题中抽象出反比例函数概念, 理解"两个变量的乘积为定值"这一本质; 理解 k ≠ 0 与 x ≠ 0 两个限制条件的必要性。 二、预习导航(先通读课本 P63-P66, 再填空) 1. 我们已经学过的两类特殊函数是________函数和________函数; 其中当 b = 0 时, 一次函数 y = kx + b 变成 y = kx, 叫做________函数。 2. 研究一个函数通常要走这样的路径: 实际问题 → 列________ → 归纳________ → 求解析式 → 研究图象和性质 → 解决实际问题。 3. 京沪高铁全程为 1318 km, 列车的平均速度 v 与全程运行时间 t 满足 vt = 1318, 所以 v = ________; 这里的定值是________。 4. 面积为 1000 的矩形草坪, 相邻两边长 y 与 x 满足 xy = 1000, 所以 y = ________; 这里的定值是________。 5. 5 GB 手机流量平均每天使用 Q GB, 使用总时间为 t 天, 则 Q = ________; 这里的定值是________。 6. 一般地, 形如 y = (k 为常数, k ________ 0)的函数叫做________函数, 其中 x 是自变量。 7. 反比例函数的三种表达形式是 ________、________、________(其中 k 都是非零常数)。 8. 反比例函数中自变量 x 的取值范围是________, 因为 x 在分母上, 当 x = 0 时式子________。 9. 求反比例函数的解析式, 一般用________法: 先设 y = (k ≠ 0), 再把一组对应值代入求出________的值。 10. 实际问题中, 自变量的取值范围还要结合________来确定, 例如天数取________数, 边长取________数。 我的作答: 三、课内探究 活动一 三个实际情境与三个解析式(课本 P63-P64) 情境一(课本 P63 章首): 同一条铁路线上, 由于不同车次列车的运行时间有长有短, 所以它们的平均速度有快有慢。京沪高铁全程为 1318 km, 某次列车的平均速度 v(单位: km/h)随此次列车的全程运行时间 t(单位: h)的变化而变化。 情境二(课本 P64 思考): 某住宅小区要种植一块面积为 1000 的矩形草坪, 草坪相邻两边的一边长 y(单位: m)随另一边长 x(单位: m)的变化而变化。 情境三(课本 P64 思考): 李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量, 平均每天使用的流量 Q(单位: GB)随使用完流量的总时间 t(单位: 天)的变化而变化。 图27.1-1 路程一定时, 平均速度 v 与全程运行时间 t 成反比例(课本 P63 章首情境) 11. 观察情境一: 这段行程中路程固定为 1318 km, 平均速度 v 与运行时间 t 成________关系, 由 vt = 1318 得 v = ________, 这里的定值是________。 12. 当 t = 2 时, v = ________; 当 t = 4 时, v = ________。可见 t 越大 v 越________, 而 vt 始终等于________。 图27.1-2 面积一定时, 草坪的一边长 y 与另一边长 x 成反比例(课本 P64 思考) 图27.1-3 总量一定时, 平均每天使用的流量 Q 与使用总时间 t 成反比例(课本 P64 思考) 13. 请分别写出上面三个情境中的两个变量、等量关系、解析式与定值, 完成下表: 情境 两个变量 等量关系 解析式 定值 京沪高铁 1318 km t 与 v vt = 1318 v = 1318 矩形草坪 1000 x 与 y xy = 1000 y = 1000 5 GB 手机流量 t 与 Q Qt = 5 Q = 5 14. 这三个解析式的共同点是: 都是________的形式; 分子都是________; 分母都只含________。 我的作答: 【提示】 判断"是不是反比例"的第一步, 永远是先写出等量关系, 再看看两个变量的乘积是不是一个定值。 活动二 观察归纳: 反比例函数的概念(课本 P64) 图27.1-4 三个解析式的共同结构(课本 P64 观察) 15. 三个解析式都可以写成"________除以________"的样子, 这个共同的式子就是 y = 。 【概念】 一般地, 形如 y = (k 为常数, k ≠ 0)的函数叫做反比例函数, 其中 x 是自变量, y 是 x 的函数, 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。这里的常数 k 叫做比例系数。 16. 定义中有三个要点, 请补齐: 一是形如________的样子; 二是 k 是常数且 k ________ 0; 三是自变量 x 在________上, 所以 x ________ 0。 17. 想一想: 如果 k = 0, 那么 y = 就变成 y = 0, 这时 y 的值与 x 无关, 所以它________反比例函数(填"是"或"不是")。 图27.1-5 反比例函数的三种表达形式(课本 P64-P65 思考) 18. 反比例函数的另外两种表达形式: 把 y = 的两边同乘 x, 得________; 由分式与负整数指数幂的关系, 得 y = ________。 19. 试一试: 把 xy = -15 改写成 y = 的形式是________, 比例系数 k = ________; 把 y = 改写成 y = 的形式是________, 比例系数 k = ________。 我的作答: 活动三 辨析: 判断并指出比例系数(课本 P65 练习) 图27.1-6 正比例函数与反比例函数的对比(判断时先化成 y = 的样子) 20. 判断下面各式中的 y 是否为 x 的反比例函数: 是的请在"是/不是"一栏写"是", 写出比例系数, 并把理由写在最后一栏。 关系式 是/不是 比例系数 k 理由 y = 4x = 3 y = - y = 6x + 1 y = - 1 xy = 123 【判断三步】 第一步, 把式子化成 y = 的样子; 第二步, 看分子是不是非零常数; 第三步, 看分母是不是只含 x 本身(不能含 、x + 1 之类)。三步都通过, y 才是 x 的反比例函数。 21. 反比例函数中自变量 x 的次数是________; 正比例函数 y = kx 中自变量 x 的次数是________。正比例函数两个变量的比值是定值, 而反比例函数两个变量的________是定值。 我的作答: 活动四 例题: 用待定系数法求解析式(课本 P65 例) 图27.1-7 用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤(课本 P65 例) 例(课本 P65): 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 2 时, y = 6。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 当 x = 4 时, 求 y 的值。 22. 请按"设、代、求、写"四个步骤在下面作答区完成这道题(注意"设"的一步要写成 y = 并注明 k ≠ 0): 我的作答: 23. 追问: 因为反比例函数中只有一个待定系数 k, 所以只要给出________组对应值, 就能确定它的解析式。 活动五 课堂练习(课本 P65 练习) 24. 已知 y 是 x 的反比例函数, 当 x = -2 时, y = 4。求这个函数的解析式和自变量的取值范围。 我的作答: 25. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系(课本 P65 练习第 1 题): (1) 一个游泳池的容积为 2000 , 游泳池注满水所用时间 t(单位: h)随注水速度 v(单位: /h)的变化而变化; (2) 学校准备将 1000 实践田平均划分给一些班级, 每班分得的实践田面积 y(单位: )随班级个数 x 的变化而变化; (3) 在某次物理实验中, 电路中的电压 U 为 3 V, 则该电路中的电流 I(单位: A)随电阻 R(单位: Ω)的变化而变化。 我的作答: 活动六 找错活动(补充) 26. 下面是三位同学的做法, 请判断对错, 并把正确的结论写在作答区: 错例一: 判断 y = 是反比例函数。 错例二: 判断 y = 是反比例函数。 错例三: 已知反比例函数 y = 中当 x = 2 时 y = 3, 有同学求得 k = 。 我的作答: 【提示】 求 k 的时候, 把 y = 改写成 xy = k, 再默念一句"把 x 与 y 乘起来就是 k", 就不容易算反。 活动七 归纳整理与课堂小结(课本 P65-P66) 图27.1-8 自变量 x 的取值范围: 不等于 0 的一切实数 27. 填空: 形如________的函数叫做反比例函数, 其中 k 是________, 且 k ________ 0; 自变量 x 的取值范围是________, 函数值 y 的取值范围也是________。 28. 三种表达形式是 ________、________、________(其中 k 都是非零常数)。 29. 判断一个函数是否为反比例函数的三步是: 先________, 再看________, 最后看________。 30. 用待定系数法求解析式的四步是: 设、________、________、写, 其中"设"的一步要写成 y = 并注明________。 我的作答: 四、分层巩固训练 A 组面向全体学生, B 组面向中等偏上的学生, C 组面向学有余力的学生。题目与《教师讲义》完全一致, 请独立完成后对照最后的参考答案。 A 组 基础过关 题号 题目 A1 下列函数中, y 是 x 的反比例函数的是( ) A. y = 5x B. y = - C. y = 3x - 2 D. y = A2 写出下列各题中 y 与 x 的函数解析式, 并指出其中哪些是反比例函数: (1) 一个面积为 60 的三角形, 它的一条边长 y(单位: cm)与这条边上的高 x(单位: cm); (2) 单价为 6 元的笔记本, 购买 x 本的总价 y(单位: 元)。 A3 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 3 时 y = -4。求 y 关于 x 的函数解析式, 并求当 x = 6 时 y 的值。 A4 把下列各式改写成 y = (k ≠ 0)的形式, 并写出 k 的值: (1) xy = -18; (2) y = ; (3) 3y = 。 A5 若函数 y = 是反比例函数, 求 a 的取值范围。 A6 小明家计划用 300 元购买大米, 购买数量 y(单位: kg)随每千克大米的价格 x(单位: 元)的变化而变化。写出 y 关于 x 的函数解析式, 并指出自变量的取值范围。 我的作答: B 组 能力提升 题号 题目 B7 判断下列各式中的 y 是否为 x 的反比例函数, 并说明理由: (1) y = -; (2) 2y = ; (3) xy = -7; (4) y = 。 B8 若函数 y = (m + 2) 是反比例函数, 求 m 的值, 并写出此时的函数解析式。 B9 已知 y 与 x - 3 成反比例, 且当 x = 5 时 y = 6。求 y 关于 x 的函数解析式, 并求当 x = 8 时 y 的值。 B10 一个长方体的体积是 240 , 底面积为 S(单位: ), 高为 h(单位: cm)。(1) 写出 h 关于 S 的函数解析式, 并说明 h 是 S 的什么函数; (2) 当 S = 40 时, 求 h; (3) 当 h = 5 时, 求 S。 B11 已知 y = y1 + y2, 其中 y1 与 x 成正比例, y2 与 x 成反比例, 且当 x = 1 时 y = 5, 当 x = 2 时 y = 7。求 y 关于 x 的函数解析式。 我的作答: C 组 拓展探究 题号 题目 C12 若函数 y = (m - 3) 是反比例函数, 求 m 的值, 并写出这个函数的解析式。 C13 一个矩形的面积为 24 , 相邻两边的长分别为 x(单位: cm)和 y(单位: cm)。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式, 并说明 y 是 x 的什么函数; (2) 当 x 从 3 变到 6 时, y 的值从多少变到多少? (3) 若这个矩形的周长为 20 cm, 求 x 的值, 并说明此时矩形的形状。 C14 某工厂要加工 1200 个零件, 每天加工的零件数为 x(单位: 个), 完成全部任务所需的天数为 y(单位: 天)。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式, 并说明 y 是 x 的什么函数; (2) 若每天加工 150 个, 需要多少天完成? (3) 若想比 150 个更快地完成任务, 每天加工的零件数应该比 150 多还是少? 请用函数的观点说明理由。 我的作答: 五、课堂小结(先自己填, 再和同伴对一对) 1. 反比例函数的定义: 一般地, 形如________(k 为常数, k ________ 0)的函数叫做反比例函数。 2. 三种表达形式: ________、________、________(k 都是非零常数)。 3. 两个限制: 比例系数 k ________ 0; 自变量 x ________。 4. 判断方法: 先________, 再看________, 最后看________。 5. 求解析式的四步是: 设、代、________、写; 其中求 k 时用________的形式最不容易算反。 6. 我在本节最容易出错的一处是________, 我的提醒办法是________。 我的作答: 六、课后作业(真实还原课本习题) 【必做】 《习题27.1》(课本 P66)复习巩固、综合运用、拓广探索各栏全部题目。该节习题的公开题面暂不可得, 请对照课本原文完成, 下面按栏目留位。 栏目 题号 安排 复习巩固 第 1 题 ~ 第 3 题 《习题27.1》题面留位(以课本 P66 原文为准) 综合运用 第 4 题 ~ 第 5 题 《习题27.1》题面留位(以课本 P66 原文为准) 拓广探索 第 6 题 《习题27.1》题面留位(以课本 P66 原文为准) 课时配套巩固(八题, 与本节例题、练习不重复) 1. 下列各式中, y 是 x 的反比例函数吗? 是的要求出比例系数: (1) y = -; (2) y = 9x; (3) xy = -4; (4) y = 。 2. 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 5 时 y = -2。求 y 关于 x 的函数解析式, 并求当 x = -4 时 y 的值。 3. 若函数 y = 是反比例函数, 求 n 的取值范围。 4. 把 xy = -20 改写成 y = 的形式, 并写出 k 的值。 5. 已知 y 与 x 成反比例, 且当 x = -6 时 y = 2。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 求当 y = -3 时 x 的值。 6. 一个圆柱的体积是 100 , 底面积为 S(单位: ), 高为 h(单位: cm)。(1) 写出 S 关于 h 的函数解析式; (2) 当 h = 4 时, 求 S; (3) 当 S = 25 时, 求 h。 7. 某小区要修一块面积为 800 的矩形绿地, 长为 y(单位: m), 宽为 x(单位: m)。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若宽为 20 m, 求长; (3) 若要求长不超过 40 m, 宽至少是多少米? 8. 下列三个关系中, 哪些量成反比例关系? 请说明理由。(1) 路程一定时, 速度与时间; (2) 面积一定时, 长方形的长与宽; (3) 周长一定时, 长方形的长与宽。 我的作答: 七、参考答案 【填空类】预习导航 题号 参考答案 1 一次; 二次; 正比例 2 解析式; 定义 3 v = ; 1318 4 y = ; 1000 5 Q = ; 5 6 ≠(不等于); 反比例 7 y = ; xy = k; y = 8 不等于 0 的一切实数; 没有意义 9 待定系数(法); k 10 实际意义; 正整; 正 【填空类】课内探究 题号 参考答案 11 反比例; v = ; 1318 12 659; 329.5; 小; 1318 13 三行依次为: t 与 v、vt = 1318、v = 、1318; x 与 y、xy = 1000、y = 、1000; t 与 Q、Qt = 5、Q = 、5 14 分式; 常数; 一个字母(自变量) 15 常数(非零常数); 自变量 16 y = ; ≠(不等于); 分母; ≠(不等于) 17 不是 18 xy = k; y = 19 y = -, k = -15; y = , k = 8 20 y = 4x: 不是(自变量在分子上, 是正比例函数); = 3: 不是(两边同乘 x 得 y = 3x, 是正比例函数); y = -: 是, k = -2(符合 y = 的形式); y = 6x + 1: 不是(一次函数); y = - 1: 不是(二次函数); xy = 123: 是, k = 123(两边同除以 x 得 y = ) 21 -1; 1; 乘积 22 设 y = (k ≠ 0)。把 x = 2, y = 6 代入, 得 6 = , 解得 k = 12, 所以 y = ; 当 x = 4 时 y = = 3 23 一(1) 24 设 y = (k ≠ 0)。把 x = -2, y = 4 代入, 得 4 = , 解得 k = -8, 所以 y = -; 自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 25 (1) t = (v > 0); (2) y = (x 为正整数); (3) I = (R > 0)。三个式子都是反比例函数, 比例系数分别是 2000、1000、3 26 错例一: 错。分母是 而不是 x, 自变量 x 的次数是 -2 而不是 -1, 所以 y 不是 x 的反比例函数; 错例二: 错。分母是 (x + 1) 而不是单独的 x, 所以 y 不是 x 的反比例函数; 错例三: 错。由 3 = 解得 k = 6(也就是把 x 与 y 相乘: 2 × 3 = 6) 27 y = (k 为常数, k ≠ 0); 比例系数; ≠(不等于); 不等于 0 的一切实数; 不等于 0 的一切实数 28 y = ; xy = k; y = 29 化成 y = 的样子; 分子是不是非零常数; 分母是不是只含 x 本身 30 代; 求; k ≠ 0 【填空类】课堂小结 题号 参考答案 1 y = ; ≠(不等于) 2 y = ; xy = k; y = 3 ≠(不等于); ≠ 0(不等于 0) 4 化成 y = 的样子; 分子是不是非零常数; 分母是不是只含 x 本身 5 求; xy = k 6 开放性答案。例如: 最容易出错的一处是求 k 时代入算反; 提醒的办法是先把 y = 改写成 xy = k, 把 x 与 y 乘起来 【练习类】分层巩固训练(A 组) 题号 参考答案 A1 选 B。y = - 符合 y = (k ≠ 0)的形式, k = -4; A 是正比例函数, C 是一次函数, D 的分母是 而不是 x, 都不是反比例函数 A2 (1) 由三角形的面积公式得 = 60, 即 xy = 120, 所以 y = (x > 0), 是反比例函数, k = 120; (2) y = 6x, 是正比例函数, 不是反比例函数 A3 设 y = (k ≠ 0)。把 x = 3、y = -4 代入得 -4 = , 解得 k = -12, 所以 y = -; 当 x = 6 时 y = - = -2 A4 (1) 两边同除以 x 得 y = -, k = -18; (2) y = 即 y = , k = 5; (3) 两边同除以 3 得 y = , k = A5 由反比例函数的比例系数不能为 0 得 a + 3 ≠ 0, 所以 a ≠ -3 A6 由"总价 = 单价 × 数量"得 xy = 300, 所以 y = ; 因为数量与单价都是正数, 所以自变量 x 的取值范围是 x > 0 【练习类】分层巩固训练(B 组) 题号 参考答案 B7 (1) y = - 可化为 y = -, 是反比例函数, k = -1; (2) 两边同除以 2 得 y = , 是反比例函数, k = ; (3) 两边同除以 x 得 y = -, 是反比例函数, k = -7; (4) y = , 是反比例函数, k = B8 由 y = (m + 2) 是反比例函数, 得自变量 x 的次数 - 5 = -1, 所以 = 4, m = 2 或 m = -2; 又比例系数 m + 2 ≠ 0, 即 m ≠ -2, 所以 m = 2。此时解析式为 y = , 即 y = B9 因为 y 与 x - 3 成反比例, 所以设 y = (k ≠ 0)。把 x = 5、y = 6 代入得 6 = , 解得 k = 12, 所以 y = ; 当 x = 8 时 y = B10 (1) 由"体积 = 底面积 × 高"得 Sh = 240, 所以 h = , h 是 S 的反比例函数; (2) 当 S = 40 时 h = = 6; (3) 当 h = 5 时由 5 = 得 S = 48 B11 设 y1 = k1 x, y2 = (k1 ≠ 0, k2 ≠ 0), 则 y = k1 x + 。把 x = 1、y = 5 与 x = 2、y = 7 分别代入, 得 k1 + k2 = 5 与 4k1 + k2 = 14, 解得 k1 = 3, k2 = 2, 所以 y = 3x + 【练习类】分层巩固训练(C 组) 题号 参考答案 C12 由 y = (m - 3) 是反比例函数, 得 - 10 = -1, 所以 = 9, m = 3 或 m = -3; 又比例系数 m - 3 ≠ 0, 即 m ≠ 3, 所以 m = -3。此时比例系数为 -3 - 3 = -6, 解析式为 y = -, 即 y = - C13 (1) 由矩形面积公式得 xy = 24, 所以 y = (x > 0), y 是 x 的反比例函数; (2) 当 x = 3 时 y = = 8, 当 x = 6 时 y = = 4, 所以 y 的值从 8 变到 4; (3) 由周长为 20 cm 得 2 = 20, 即 x + = 10, 两边同乘 x 得 - 10x + 24 = 0, 解得 x = 4 或 x = 6。当 x = 4 时 y = 6, 当 x = 6 时 y = 4, 两种情况都是长 6 cm、宽 4 cm 的矩形 C14 (1) 由"每天加工的零件数 × 天数 = 总任务量"得 xy = 1200, 所以 y = (x 为正整数), y 是 x 的反比例函数; (2) 当 x = 150 时 y = = 8, 即需要 8 天完成; (3) 应该比 150 多。因为总任务量 1200 固定, 所以 x 与 y 的乘积是定值, x 越大 y 就越小, 每天加工得越多, 所需天数就越少 【练习类】课后作业(《习题27.1》待补; 课时配套巩固) 题号 参考答案 第 1 题 (1) y = - 是反比例函数, k = -6; (2) y = 9x 是正比例函数, 不是反比例函数; (3) xy = -4 两边同除以 x 得 y = -, 是反比例函数, k = -4; (4) y = 的分母是 x - 1, 不是单独的 x, 不是反比例函数 第 2 题 设 y = (k ≠ 0)。把 x = 5、y = -2 代入得 -2 = , 解得 k = -10, 所以 y = -; 当 x = -4 时 y = - = 第 3 题 由反比例函数的比例系数不能为 0 得 n + 4 ≠ 0, 所以 n ≠ -4 第 4 题 两边同除以 x 得 y = -, 所以 k = -20 第 5 题 (1) 因为 y 与 x 成反比例, 所以设 y = (k ≠ 0)。把 x = -6、y = 2 代入得 2 = , 解得 k = -12, 所以 y = -; (2) 当 y = -3 时, 由 -3 = - 得 x = 4 第 6 题 (1) 由"体积 = 底面积 × 高"得 Sh = 100, 所以 S = (h > 0); (2) 当 h = 4 时 S = = 25; (3) 当 S = 25 时由 25 = 得 h = 4 第 7 题 (1) 由矩形面积公式得 xy = 800, 所以 y = (x > 0); (2) 当 x = 20 时 y = = 40, 即长为 40 m; (3) 由长不超过 40 m 得 ≤ 40, 因为 x > 0, 两边同乘 x 得 800 ≤ 40x, 所以 x ≥ 20, 即宽至少是 20 m 第 8 题 (1) 路程一定时, 速度与时间的乘积等于路程(定值), 成反比例关系; (2) 面积一定时, 长与宽的乘积等于面积(定值), 成反比例关系; (3) 周长一定时, 长与宽的和一定, 但乘积不一定, 所以不成反比例关系 《习题27.1》 【留位】 题面待按课本 P66 原文补入后, 再逐题写出解答 【自查要点】 ① 每一道题的解析式是否都写成了 y 关于 x 的函数, 而不是只写等量关系? ② 求解析式时是否先设 y = (k ≠ 0)再代入求 k? ③ 含字母系数的问题是否同时用上了两个条件(次数为 -1、系数不为 0)? ④ 实际问题里的自变量取值范围是否结合实际意义(正数、正整数)? ⑤ 判断类题目是否写出了"化成 y = 的样子"这一步, 而不是只写结论? ⑥ 由 y 的值求 x 的值的题目, 是否把 y 代入解析式解方程, 而不是反过来代 x? ⑦ 成反比例与反比例函数是否区分清楚, 说理时是否提到了"乘积为定值"? ⑧ 答句是否写清了所问的量与单位? 学科网（北京）股份有限公司 $