3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第2课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数最值，通过沙漠气温变化曲线情境导入，结合单调性概念，引导学生从图象直观到代数定义转化，搭建从单调性到最值的学习支架，系统讲解定义、求法及应用。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如用生活情境抽象问题培养数学眼光，通过定义证明单调性发展逻辑推理，表格规范定义体现数学语言。含即时训练、实际应用等题型，助力学生提升探究能力，为教师提供严谨教学流程与丰富素材。

第三章 函数的概念与性质 3.2函数的基本性质 3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第二课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解函数单调性、最值的概念，能利用定义判断简单函数单调性，会求函数的单调区间与最值. 经历从图像直观到代数符号证明的过程，体会数形结合思想，提升逻辑推理能力. 感受数学严谨性，体会数形转化的魅力，养成严谨论证、主动探究的学习习惯. 新课引入 新课引入 情境1：科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线． (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？ (2)设该天某时刻的气温为，则在哪个范围内变化？ (3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？ 新课引入 图象最高点 函数最大值 思考1：我们如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？ 当时，取得最大值 当时，图象到达最高点 都有 形 数 你能类似的说出最小值吗？ 探究一：函数的最值 新知探究 5 思考2：你能以函数为例说明函数的最小值的含义吗？ 不是 思考3：所有的函数都有最大、最小值吗？ 二次函数的图象上有一个最低点，即都有当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数有最小值. 探究一：函数的最值 新知探究 最值 条件(是函数的定义域) 几何意义 最大值() 最小值 (m) ②对于任意，都有 ①存在，使得 函数图象上 最高点的纵坐标 ②对于任意，都有 ①存在，使得 函数图象上 最低点的纵坐标 函数最大（小）值的定义 注：最大、最小值统称最值 即时训练 辨析1：判断对错 (1) 因为不等式总成立，所以是的最小值.( ) (2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( ) 【答案】×，√ 辨析2：判断函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别为（ ） A、 B、 、 、 【答案】 对函数最大值和最小值的再理解 技巧点拨 (1)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素（要能取得到）； (2)最大(小)值定义中的(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有成立，也就是说，函数的图象不能位于直线的上(下)方． 典例精讲 例4：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位：)与时间(单位：)之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到)？ 【分析】先画出函数图象，数形结合进行求解。 解：画出函数的图象. 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度. 典例精讲 例4：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位：)与时间(单位：)之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到)？ 解：由二次函数的知识，对于函数，我们有：当时，函数有最大值 .于是，烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为. 典例精讲 例5：已知函数，求函数的最大值和最小值. 解：，且，则： 由，得，， 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减. 因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在时取得最大值，最大值是；在时取得最小值，最小值是. 问题1：你认为求函数最值的关键是什么？为此你能归纳出最值与单调性的关系吗？ 函数的最值与单调性的关系 技巧点拨 （1）若函数在闭区间上单调递减，则在上的最大值为 ，最小值为 . （2）若函数在闭区间上单调递增，则在上的最大值为 ，最小值为 . 探究一：函数的最值 新知探究 问题2：（1）二次函数的最值是什么?常用哪些方法求 二次函数的最值. 当时,;当时, .求二次函数最值的常用方法有公式法、配方法和图象法. （2）要确定在上的最值,需要先确定什么? 先判定该函数在上的单调性，即确定的正负,从而判定何时取得最大值,何时取得最小值. 即时训练 辨析3：已知函数的定义域是，. 在区间上，单调递增；在区间上，单调递减，试证明在时取得最大值. 证明：因为在区间上，单调递增， 所以对于任意，都有. 又因为在区间上，单调递减， 所以对于任意，都有. 因此，对于任意都有，即在时取得最大值. 即时训练 题型1 图象法求函数的最值 1、下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间. 解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(－1.5，－2). 因此，当时，函取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即. 函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]； 减区间为[－ 4，－1.5]，[3，5]，[6，7]. 即时训练 题型1 图象法求函数的最值 2、求下列函数的最值. （1）; （2） ,; （3） ,; （4） ,; 即时训练 题型1 图象法求函数的最值 3、已知函数 (1)在直角坐标系中画出的图象； (2)根据函数图象写出函数的单调区间和值域. 解：(1) 的图象如图所示： (2)由的图象知： 函数的单调增区间为：，; 单调减区间为： 值域为：. 求函数最值的方法 技巧点拨 1.图象法：函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标,函数最小值的几何意义是函数图象最低点的纵坐标. 2.单调性法：利用单调性求函数的最值的步骤:第一步,利用函数单调性的定义判断函数的单调性；第二步,根据单调性确定函数的最大值、最小值。 即时训练 题型2 单调性法求函数的最值 1、函数,则的最大值和最小值分别是_________. 【答案】 ， 2、设函数,则( ). .有最大值 有最小值 .既有最大值又有最小值 .既无最大值又无最小值 【答案】 即时训练 题型2 单调性法求函数的最值 3、已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； 证明：由且，有： ( 由得，所以 又，所以，所以即 所以函数在区间上单调递增. 即时训练 题型2 单调性法求函数的最值 3、已知函数. (2)求该函数在[2,4]上的最值. 解：由(1)知：函数在区间上单调递增， 因此函数在区间上单调递增. 因此，函数在区间的两个端点上分别取得最小值与最大值. 在时取得最小值，最小值是；在时取得最大值，最大值是. 即时训练 题型2 单调性法求函数的最值 4、已知函数,求函数的最大值和最小值. 解：由且，有： 由得，所以 则又，所以. 所以即 所以函数在区间上单调递增. 那么 即时训练 题型3 函数最值的实际应用 1、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加 投入100元，已知总收益（单位：元）其中是该仪 器的月产量.（总收益总成本利润） （1）将利润表示为关于月产量的函数 . （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 解：(1)当月产量为台时，总成本为 元， 故 即时训练 题型3 函数最值的实际应用 解：(2)当时，， 当时， ； 当时，单调递减， . . 即每月生产300台仪器时,公司所获利润最大，最大利润为25 000元. （1）将利润表示为关于月产量的函数 . （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 即时训练 题型4 含参数的二次函数最值问题 1、已知函数. (1)求在[0,1]上的最大值； 解：由二次函数的性质，函数开口向上，且对称轴为. 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. (1)若，即时，函数在处取到最大值， 即 若，即时，函数在处取到最大值， 即 即时训练 题型4 含参数的二次函数最值问题 1、已知函数. (2)当时，求在闭区间上的最小值. 解：(2)当时，函数，开口向上，且对称轴为. 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 若，则函数在处取到最小值，即 若，即时，函数在处取到最小值， 即 若，即时，函数在处取到最小值， 即 课堂小结 感谢聆听! $