第1章 第4讲 基本不等式(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，通过配凑、常数代换等四种方法构建求最值体系，知识逻辑从概念到应用层层递进，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点一：求最值|4角度典例+3对点练|配凑法、常数代换法、消元法、换元法|从基本不等式定义到求最值条件，结合变式训练深化应用| |考点二：求参数|2典例+2对点练|分离参数法、不等式恒成立转化|衔接最值求法，强化参数范围的逻辑推理| |考点三：实际问题|1典例+1对点练|建模-求最值-验证|体现数学语言描述现实问题，培养应用意识|

课时分层测评4　 基本不等式 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.已知x，y都是正数，且x≠y，则下列选项不恒成立的是(　　) A．＞ B．＋＞2 C．＜ D．xy＋＞2 答案：D 解析：x，y都是正数，由基本不等式，可得≥，＋≥2，≤＝，这三个不等式都是当且仅当x＝y时等号成立，而题中x≠y，因此等号都取不到，所以A、B、C三个不等式恒成立；xy＋≥2中当且仅当xy＝1时取等号，如x＝，y＝2即可取等号，D中不等式不恒成立.故选D. 2.(2025·山东菏泽二模)已知a＞1，b＞1，且ab＝4，则log2alog2b的最大值为(　　) A． B．1 C．4 D．16 答案：B 解析：因为a＞1，b＞1，且ab＝4，所以log2(ab)＝2，所以log2alog2b≤()2＝1，当且仅当log2a＝log2b＝1，即a＝b＝2时取等号．故选B． 【教师备选】　已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A． B．4 C． D．2 答案：D 解析：由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，所以ab的最大值为2.故选D． 3.(2026·江苏常州模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则＋＋2的最小值为(　　) A． B． C． D．5 答案：A 解析：x＞0，y＞0，且x＋y＝2，所以＋＋2＝＋＝＋＝＋)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立.故选A. 【教师备选】　设实数x，y满足x＋y＝1，y＞0，x≠0，则＋的最小值为(　　) A．2－1 B．2＋1 C．－1 D．＋1 答案：A 解析：当x＞0时，＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当，即x＝－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x＜0时，－1≥2－1＝2－1，当且仅当，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1.所以的最小值为2－1.故选A． 4.已知a＞b，且ab＝8，则－2的最小值为(　　) A．6 B．8 C．14 D．16 答案：A 解析：因为ab＝8，所以＝a－b＋．因为a＞b，所以a－b＞0，所以a－b＋≥2＝8，即≥8，当且仅当a－b＝4时，等号成立，故－2的最小值为6.故选A． 5.(2026·广东揭阳模拟)在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位：米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)满足v2＝，则该类昆虫的最大跳跃高度为(　　) A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 答案：A 解析：由v2＝可知v2－Hv4＝4H，且v＞0，故H＝，当且仅当v2＝2即v＝时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．故选A． 6.(2026·江西赣州模拟)若x，y∈，且2x－y＝4－xy，则＋的最小值为(　　) A．2 B．2 C． D． 答案：B 解析：由2x－y＝4－xy，得x＝＝＋1，即x－1＝，所以＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即y＝0时，等号成立.故选B. 7.(多选)(2026·陕西咸阳模拟)下列与基本不等式有关的命题中正确的是(　　) A．若a＞0，b＞0，3a＋b＝1，则ab的最大值为 B．若a＞0，b＞0，＋＝1，则a＋2b的最小值为3＋2 C．若a＞0，b＞0，则≥4 D．若a＞0，b＞0，＋b＝2，则＋的最小值为 答案：BCD 解析：对于A，因为a＞0，b＞0，所以3a＋b＝1≥2，所以≥，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝时，取等号，则ab的最大值为，故A错误；对于B，因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋2b＝＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝1＋，a＝＋1时，a＋2b的最小值为3＋2，故B正确；对于C，因为a＞0，b＞0，则＝ab＋＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故C正确；对于D，因为a＞0，b＞0，＋b＝2，所以＝2－b，所以a＝(0＜b＜2)，所以＋＝＋＝＋＝＋＝＝－＝－＝≥，当且仅当b＝，a＝2时取等号，所以＋的最小值为，故D正确.故选BCD. 8.(多选)(2026·山东临沂模拟)若ab＞0，a＋2b＝4，则(　　) A．ab≤2 B．a2＋4b2≥8 C．＋的最小值为 D．＋的最小值为 答案：ABD 解析：因为ab＞0，a＋2b＝4，所以有a＞0，b＞0.对于A，因为a＞0，b＞0，a＋2b＝4，所以·a·≤×⇒ab≤2，当且仅当a＝2b时，取等号，即当a＝2，b＝1时，取等号，故A正确；对于B，因为a＞0，b＞0，a＋2b＝4，所以有≤⇒a2＋4b2≥8，当且仅当a＝2b时，取等号，即当a＝2，b＝1时，取等号，故B正确；对于C，因为a＞0，b＞0，a＋2b＝4，所以＋＝＋＝·(＋＝·≥·(5＋2)，即＋≥，当且仅当＝时取等号，即当且仅当a＝b＝时取等号，故C不正确；对于D，令a＋1＝x＞0，2b＋1＝y＞0，所以a＝x－1，2b＝y－1，且x＋y＝6，于是＋＝＋＝x＋y＋＋－4＝＋＋2，＋＝＝≥，即＋≥，当且仅当＝时取等号，即x＝y＝3时取等号，因此＋≥＋2＝，即a＝2，b＝1时取等号，故D正确.故选ABD. 9.(2026·浙江杭州模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示，对称轴方程为x＝1，则－2b的最小值为　　　　． 答案：8 解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴方程x＝－＝1，即b＝－2a.由图知a＞0，则b＜0，所以4－2b＞0，所以－2b＝＋4－2b－4≥2－4＝12－4＝8，当且仅当＝4－2b，即b＝－1时等号成立，所以－2b的最小值为8. 10.(开放题)写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为　　． 答案：a2＋b2＝1(答案不唯一) 解析：该等式可为a2＋b2＝1，证明如下：＋＝＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(多选)(2026·福建三明模拟)以下结论正确的是(　　) A．若a2＋b2＝1，则a＋b的最大值为 B．若＝4，则a＋b≥2 C．若a＞0，b＞0，则a2＋b2＋的最小值为2 D．若θ∈，则＋≥2 答案：ACD 解析：对于A，＝a2＋b2＋2ab＝1＋2ab≤1＋＝2，当且仅当a＝b＝±时等号成立，所以－≤a＋b≤，故A正确；对于B，(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝4，所以ab＝3－(a＋b)≤，即＋4－12≥0，解得a＋b≥2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)或a＋b≤－6(当且仅当a＝b＝－3时等号成立)，故B错误；对于C，因为a＞0，b＞0，所以a2＋b2＋≥2ab＋≥2，当且仅当即a2＝b2＝时等号成立，故C正确；对于D，＋＝＝(1＋＋＋1)≥＝2，当且仅当＝，即cos θ＝0，sin θ＝1，即θ＝时等号成立，故D正确.故选ACD. 12.(2026·江西南昌模拟)若关于x的不等式＋≥4对任意x＞2恒成立，则正实数a的取值范围是　　　． 答案： 解析：因为＋≥4，则＋≥4－，原题意等价于＋≥4－对任意x＞2恒成立，由a＞0，x＞2，则＞0，＞0，可得＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝2＋时取得等号，所以解得0＜a≤4. 13.(15分)(一题多问)已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2. (1)(一题多解)求＋的最小值； (2)求＋的最小值； (3)求4a2＋6ab＋b2的最大值． 解：(1)法一：≥2， 当且仅当时取等号， 所以＝. 法二：＋＝＋＝＋－2＝＋)(2a＋b)－2＝－2≥－2＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时取等号， 所以＝. (2)因为2a＋b＝2，所以2a＋(b＋1)＝3，所以＋＝[2a＋(b＋1)]＝(4＋＋)≥(4＋2)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 所以＝. (3)由2＝2a＋b≥2得2ab≤1，所以4a2＋6ab＋b2＝(2a＋b)2＋2ab＝4＋2ab≤5， 当且仅当2a＝b，即b＝2a＝1时取等号，所以(4a2＋6ab＋b2)max＝5. (每小题5分，共10分) 14.(多选)(2026·江苏淮安模拟)若x，y∈R满足x2＋4y2－2xy＝1，则(　　) A．x2＋4y2≤2 B．－≤x≤ C．x＋2y≤1 D．x＋2y≥－2 答案：ABD 解析：对于A，由≥0可得x2＋4y2≥4xy，因此x2＋4y2＝2xy＋1≤＋1，可得x2＋4y2≤2，当且仅当x＝2y时，等号成立，故A正确；对于B，将表达式x2＋4y2－2xy＝1化简可得＋3y2＝1，将方程参数化可知x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，θ∈；所以x＝cos θ＋sin θ＝sin ＝sin ，其中tan φ＝；又－1≤sin ≤1，所以－≤x＝sin ≤，故B正确；对于C、D，由x2＋4y2－2xy＝1可得x2＋4y2＋4xy＝6xy＋1，即＝6xy＋1≤3×＋1，因此≤4，解得－2≤x＋2y≤2，当且仅当x＝2y时，等号成立，故C错误，D正确.故选ABD. 15.(2026·江苏江阴模拟)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足＋≥，当且仅当＝时，等号成立，则函数f(x)＝＋的最小值为　　． 答案：49 解析：因为正数a，b，x，y，满足＋≥，当且仅当＝时，等号成立，所以f(x)＝＋＝＋＝＋≥＝49，当且仅当＝即x＝时，等号成立，此时f(x)的最小值为49. 学生用书⬇第12页 学科网（北京）股份有限公司 $