5.3 课时4 方案选择问题 （课件）2026-2027学年数学人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的方案选择问题，通过超市购物、空调选购等生活实例导入，衔接列代数式与方程解法旧知，以问题链引导学生抽象数量关系，搭建从实际到数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过分类讨论和方程思想发展数学思维，用表格与代数式精准表达数学关系。如超市购物分区间比较费用，空调案例通过方程找分界点，帮助学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学流程。

(人教版)七年上 第五章一元一次方程 5.3.4方案选择问题 学习目标 1.通过探究实际问题与一元一次方程的关系,感受一元一次方程与日常生活的 密切关系,提高分析问题、解决问题的能力. 2.根据代数式的特点,进行适当转化,选择最优解进行方案决策 3.会用数学的眼光看待生活,培养学生将实际问题转化为数学问题的抽象能力 和模型观念,体会数学在生活中的应用价值. 讲授新课 问1: 甲超市:所有商品打九折出售;乙超市:购物金额满100元, 减免20元; ③当购物花费x(x>0) 元,请用含x的代数式表示甲超市和乙超市 购物时的实际付款。 ④小明购物花费 200元,在甲超市与乙超市实际付款相等 设小明购物花费x元 当x>0 甲超市需实际付款0.9x元 当0<x<100 乙超市需实际付款x元 当x≥1 00 乙超市需实际付款(x-20) 元 当0< x<100 令0.9x=x 得x=0 无解 当x≥1 00 令0.9x=x-20 得x=200 讲授新课 x-20=0.9x+(0.1x-20)=0.9x+0.1(x-200) 问1: 甲超市:所有商品打九折出售;乙超市:购物金额满100元, 减免20元; ⑤小明购物花费x(x>0) 元,请你分析,选择哪家超市费用较低? 设小明购物花费x元 当x>0 甲超市需实际付款0.9x元 当0< x<1 00 乙超市需实际付款x元 当x>100 乙超市需实际付款(x-20) 元 购物金额x/元 甲超市实际付款/元 乙超市实际付款/元 0<x<100 0.9x 划算 X x=100 90 80 100<x<200 0.9x 0.9x+0.1(20-200) x=200 180 180 一样 x>200 0.9x 划 算 0.9x+0.1(20-200) 划算 划算 划算 购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生 产的两款空调中选购一台,下表是这两款空调的部分基本信息.如果电价 是0.5元/(kw h).请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw.h) 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 综合费用跟哪些量有关? 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw h) 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 分析: 综合费用=空调的售价+电费 确定的 与使用时间有关 电费0.5 640 使用年数元 电费0.5 800 使用年数元 售价3000元 售价2600元 1 级 3 级 购物金额x/元 甲超市实际付款/元 乙超市实际付款/元 0<x<100 0.9x 划算 X x=100 90 80 100<x<200 0.9x 0.9x+0.1(x-200) x=200 180 180 一样 x>200 0.9x 划算 0.9x+0.1(x-200) 讲授新课 x-20=0.9x+(0.1x-20)=0.9x+0.1(x-200) 问1: 甲超市:所有商品打九折出售;乙超市:购物金额满100元, 减免20元; ⑤小明购物花费x(x>0) 元,请你分析,选择哪家超市费用较低? 综合以上的分析,可以发现: 当 0<x<100 x>200,甲超市费用较低 当 100≤x<200 ,乙超市费用较低 当 x =200 ,甲乙超市费用相等 划算 划算 划算 归纳总结 问2: 本题体现了什么数学思想? 分类讨论思想、方程思想、转化思想、模型思想 问3: 本题涉及到什么知识点? 列代数式、列方程、解方程、比较大小 设空调的使用年数是t, 则1级能效空调的综合费用(单位:元)是3000+0.5 640t, 即3000+320t 3级能效空调的综合费用(单位:元)是2600+0.5 800t, 即2600+400t 售价3000元 电费0.5 640 使用年数元 售价2600元 电费0.5 800 使用年数元 1级 3级 1级:3000+320t 3级:2600+400t 问题1: t 取什么值时,两款空调的综合费用相等? 3000+320t=2600+400t 解得t =5. 归纳总结 问4: 本题关键点? 根据已知条件和方程找到分界点 列表进行分类讨论 通过转化比较两个代数式的大小 综合整理 1级:3000+320t 3级:2600+400t 问题2: 如何比较两款空调的综合费用? 即比较3000+320t 与2600+400t 的大小. 方法一:运用整式的加减 (大数-小数>0,小数-大数<0) (3000+320t)-(2600+400t) 当 t<5 时,80(5-t)>0, 3000+320t>2600+400t, 这表明3级能效空调的综合费用较低; 当t>5 时,80(5- t)<0, 3000+320t<2600+400t, 这表明1级能效空调的综合费用较低. =3000+320t-2600-400t =400-80t =80(5-t) 方法二:把表示3级能效空调的综合费用的式子2600+400t 变形为 1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和. 2600+400t=(3000+320t)+(80t-400) =(3000+320t)+80(t-5) 当t<5 时,80(5-t) 是负数, 这表明3级能效空调的综合费用较低; 当 t>5 时,80(5-t) 是正数, 这表明1级能效空调的综合费用较低. 典例精析 不同能效空调的综合费用比较1匹≈2500w 购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打 算从当年生产的两款空调中选购一台,表5.3-2是这两款空调 的部分基本信息.如果电价是0.5元/( kw h), 请你分析他 购买、使用哪款空调综合费用较低. 勾画关键信息 问5: 根据题意,如何表示综合费用? 综合费用=空调售价+电费=空调售价+单位耗电量 时间 电价 问6: 一旦选定确定的空调后,等量关系中哪些量是已知量,哪 些量未知量? 典例精析 不同能效空调的综合费用比较1匹≈2500w 购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打 算从当年生产的两款空调中选购一台,表5.3-2是这两款空调 的部分基本信息.如果电价是0.5元/( kw h), 请你分析他 购买、使用哪款空调综合费用较低. 综合费用=空调售价+电费=空调售价+单位耗电量 时间 电价 问7: 能否用含未知数的式子分别表示两款空调的综合费用? 设空调的使用年数是 t 1级能效空调的综合费用(单位:元):3000+0.5 640t, 即320t+3000 3级能效空调的综合费用(单位:元):2600+0.5 800t, 即400t+2600 当t=5 时,两款空调的综合费用相等; 当t<5 时,3级能效空调的综合费用较低; 当t>5 时,1级能效空调的综合费用较低. 由此可见,同样是1.5匹的空调,1级能效空调虽然售价高,但由 于比较省电,使用年份长(超过5年)时综合费用反而低. 根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起), 因此购买、使用1级能效空调更划算. 通常1级能效空调既节能又省钱! 1.解决费用问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“时间年限”有关. 2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点,然后建 立方程模型分类讨论,从而得出整体选择方案. 归纳总结 综合以上的分析,可以发现: 通常,1级能效空调既节能又省钱! t>5 ,1级能效的空调综合费用低 t<5 ,3级能效的空调综合费用低 当 t=5 _,1级能效和3级能效的空调费用相等 问11: 你有什么收获? 通过费用比较,让同学们进一步体会了从实际问题到数学问 题的抽象化过程,经历了从分析问题、 获取关键信息,到明 确相等关系和未知量,最后到列方程解决实际问题的过程. 最重要的是在充分分析条件的基础上找到相等关系和未知量 , 从而为列方程求解做好准备. 解决综合费用比较问题需要明确 “哪种方式更省钱”与“使用时间” 有关. 方案选择 问题 此类问题的关键是能够根据已知条 件找到合适的分段点, 然后建立方 程模型分类讨论,从而得出整体选 择方案. 关键 方法 1.通过本课的学习,你学到了哪些内容? 2.学习了本课你有何感想?请畅所欲言. 关键点: 认真审题,弄清楚题意,利用代数式表示相关未知量 根据已知条件和方程找到分界点 列表进行分类讨论 通过转化比较两个代数式的大小 综合整理 数学方法:抽象、归纳、由特殊到一般 数学思想:分类讨论思想、方程思想、转化思想、模型思想 方案决策问题的解题思路? 认真审题,弄清楚题意,利用代数式表示相关未 知量。根据已知条件和方程找到分界点,列表进 行分类讨论,通过转化比较两个代数式的大小, 综合整理,得到最优方案。 方案决策 问题 课堂小结 数学启示 方案决策问题,是实际问题中的经典问题+难题。它是 对数学知识、方法、思想的整合与应用! 它告诉我们: ①数学不仅可以计算和推理,还可以进行预测和决策。 ②数学来源于生活,并应用于生活! ③积极思考,利用数学知识,做出最优决策,会让我们 生活更加美好(省钱)! 谢谢大家聆听 $