专题02 相似三角形重难点题型专训（2个知识点+14大题型+自我检测）重难点专题提升精讲精练2026-2027学年九年级数学上册（沪教五四版）

该初中数学讲义通过表格系统梳理相似三角形的性质与判定知识点，构建“性质-判定-应用”的逻辑体系，清晰呈现对应边成比例、对应角相等等核心要点及内在联系，突出判定定理的重难点分布。 讲义亮点在于分层设计14类基础题型与3类提高题型，如动点问题、折叠问题及测量树高的实际应用，培养推理意识与应用意识。自我检测模块助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学，提升不同层次学生的解题能力。

专题02 相似三角形重难点题型专训（2个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、相似图形 1 题型二、利用平行判定相似 2 题型三、利用两角对应相等判定相似 3 题型四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 4 题型五、利用三边对应成比例判定相似 5 题型六、相似三角形的判定综合 6 题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 7 题型八、利用相似三角形的性质求解 8 题型九、证明三角形的对应线段成比例 9 题型十、利用相似求坐标 10 题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 11 题型十二、相似三角形——动点问题 12 题型十三、相似三角形实际应用 13 题型十四、相似三角形的判定与性质综合 14 第二部分·练提高题型 题型一、相似三角形最值问题 1 题型二、相似三角形中折叠问题 2 题型三、相似三角形判定证明问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【即时训练】 1．（2026·云南怒江·模拟预测）已知与是位似图形，位似比是，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用位似图形的性质求解，位似图形是相似图形，面积比等于位似比的平方，代入计算即可得到结果． 【详解】与是位似图形，位似比为， ，相似比为， 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 与的面积比为． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若两个相似三角形的周长比是，则这两个三角形的对应边之比是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似对应边之比等于周长比是解题的关键． 相似三角形的周长比等于相似比，因此对应边之比等于周长比，据此即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的边长比是． 故答案为． 知识点02 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·周测）条件补充题如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是_____________（不添加辅助线和字母）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∵时，， ∴添加时，使， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【基础题型一 相似图形】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ） A．相似形一定是全等形 B．不全等的图形不是相似形 C．全等形一定是相似形 D．不相似的图形可能是全等形 【答案】C 【详解】A．相似形不一定是全等形，故结论错误； B．不全等的图形可能是相似形，故结论错误； C．全等形一定是相似形，故结论正确； D．不相似的图形一定不是全等形，故结论错误． 【例2】（2025九年级·全国·专题练习）观察下列各组中的两个图形，是相似图形的是______________，不是相似图形的是______________．（填序号） 【答案】 ③⑤ ①②④⑥ 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析即可． 【详解】解：①两个图形形状不相同，不是相似图形； ②两个图形形状不相同，不是相似图形； ③两个图形形状相同，大小不同，是相似图形； ④两个图形形状不相同，不是相似图形； ⑤两个图形形状相同，大小不同，是相似图形； ⑥两个图形形状不相同，不是相似图形； 故答案为：③⑤，①②④⑥． 1．（26-27九年级上·山东聊城·期中）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比值是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的两个四边形相似，则角α的度数是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据相似的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得： 角α的度数， 则角α的度数为． 【基础题型二 利用平行判定相似】 【例1】（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 【例2】（2026·宁夏银川·一模）已知：如图，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设直尺上表示数字1的点为B，表示数字3的点为A，表示数字10 的点为C，如图，∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴点P表示的数是， 故选：C． 2．（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 【基础题型三 利用两角对应相等判定相似】 【例1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 2．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 【基础题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】明确公共角是和的公共内角，这是判断相似的基础条件．逐个分析给出的条件：如果条件能得到两个三角形另一组对应角相等，或者得到夹的两组对应边成比例，那么可根据相似三角形的判定定理判断两个三角形相似．对应边成比例的条件需注意匹配的对应顶点关系，对应边需满足对应、对应的比例关系． 【详解】解：①由，则可判断； ②，则有，则可判断， 故不能确定； ③，，则可判断； ④，可化为，此时不确定，故不能确定； ⑤由，则可判断； 所以能满足的条件是：①③⑤，共3个， 故选C． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 2．（26-27九年级·上海·期中）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 3．（2026·湖北襄阳·二模）在矩形中，将绕点A逆时针旋转到位置，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点E恰好落在对角线上时，若，，求的长； (3)如图3，直线分别交于点G，交于点M，且，． ①求证：； ②设的面积为，的面积为，直接写出的值． 【答案】(1)证明：由旋转的性质可知：，，， ∴． 在和中， ∵，且， ∴． (2) (3)①证明：连接，由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ② 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，即可证明相似． （2）过点C作于点G，由折叠知和矩形性质证，得，得，，由，得，所以． （3）①连接，由旋转性质得，可得，又，得，所以． ②以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设，则， ∴，∴，∴，求出直线的解析式为；直线的解析式为．联立解得，设与交于点N，则，得，，可得，得，所以，得,∴．由，得​，所以​． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作于点G， 由折叠知，， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． （3）①略 ②解：∵矩形中，，， ∴以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设，则，． ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． 联立， 解得， 设与交于点N， 则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， , ， ∴， ∴． 由（1）知， ∵​， ∴​． 【基础题型五 利用三边对应成比例判定相似】 【例1】（26-27九年级·浙江·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知．求证：． 【答案】 证明：， ， ． ． 即． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的对应角相等得到即可求解． 【详解】略 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【答案】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； (2)， 【分析】（1）设每小格的长度为，勾股定理求出的长，进而得到，即可得出结论； （2）根据网格特点和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 【基础题型六 相似三角形的判定综合】 【例1】（2026·河北石家庄·模拟预测）已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：在图1中，三角形内角和为， ∴左三角形的第三个角：， ∴三个角为； 右三角形的第三个角：， ∴三个角为； 两个三角形只有一个角相等，三个角不对应相等， ∴图1的两个三角形不相似； 图2中和，和是对顶角， ∴； 夹对应角的边满足：，， 即， ∴图2的两个三角形相似． 【例2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，点E是边上的中点，G为线段上一动点，连接，交于点F，若，则的值为__． 【答案】 【分析】过作，交于，根据相似三角形的判定得出，，根据相似得出比例式，求出和，再求出，即可求出答案． 【详解】如图，过作，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 【详解】略 2．（26-27九年级·上海·期中）如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 【详解】略 3．（2026·吉林长春·模拟预测）在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E． (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形； (2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F． ①求证：； ②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围； ③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似． 【答案】(1) (2) ①证明: ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②   ③或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，可证,可得可证； （2）①由外角的性质可证，可得； ②由特殊位置可求即可求解； ③由等腰三角形的性质可求由相似三角形的性质可求解. 【详解】（1）∵， 是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①略 ②如图，初始位置时，如图，当过点时， ， 是边的中点， ， 由①知 ， ，即 解得 ， ∴ 的取值范围为； ③当旋转角或时, 与相似, ∵， ∴ ， ∴, ∵是的中点， ∴ , 当时, 旋转角为， 当时, 旋转角为， 综上所述: 当旋转角为或时, 与相似． 【基础题型七 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A、，根据比例的性质可得，，且， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； B、，这个比例式中的两边与、与，其夹角分别是和，而和并不是这两组边的夹角， ∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意； C、，， ∴根据两角分别相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； D、， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是________． 【答案】或或（任选一个） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 3．（25-26九年级下·广东云浮·阶段检测）如图，在中，，，，、分别为，上的两动点，从点开始以的速度向点运动，从点开始以的速度向点运动，当一点到达终点时，、两点就同时停止运动．设运动时间为．    (1)用的代数式分别表示__________；__________． (2)当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)， (2)为秒或 【分析】本题考查相似三角形的性质, 列代数式，三角形的面积公式； （1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据相似三角形的性质与判定，分，，分别列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，以点、、为顶点的三角形与相似． 分为以下两种情况， ①当 ∴，即， ∴； ②当， ∴，即， ∴； 综上所述，当为秒或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【基础题型八 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴对应边上的中线之比为． 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知条件列比例式求解对应边的长度即可． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴， ∵三角形边长为正数， ∴， ∵， ∴． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 2．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）在四边形中，对角线、相交于点O，设锐角，将按逆时针方向旋转得到（旋转角），连接，与相交于点M． (1)当四边形是矩形时，如图1，请猜想与的数量关系以及与的大小关系，并证明你的猜想． (2)当四边形是平行四边形时，如图2，已知，请猜想此时与'的数量关系以及与的大小关系，并证明你的猜想． (3)当四边形是等腰梯形时，如图3，，此时（1）中与的数量关系是否成立?与的大小关系是否成立?不必证明，直接写出结论． 【答案】(1)， 证明：∵四边形为矩形，且对角线、相交于点O ， ∴，， ∵由旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴，即 ∴在和中， ∵ ∴， ∴， 记与交于点K， ∴有， ∴， 综上所述，． (2)，． 证明：∵四边形为平行四边形，且对角线、相交于点O ， ∴，，， ∵由旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴即， 又∵，即 ∴， ∴， ∵即， ∴，即， 记与交于点K， ∴有， ∴， 综上所述，． (3)成立，不成立． 【分析】（1）根据旋转的性质和矩形的性质找出全等三角形，通过全等得到，再进行角度转化即可． （2）根据旋转的性质和平行四边形的性质找出相似三角形，通过比例代换得到，再进行角度转化即可． （3）根据旋转的性质和等腰梯形的性质找出全等三角形，通过全等得到，通过全等得到的信息进一步进行角度转化，判断是否成立． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：成立，不成立． 证明：∵四边形为等腰梯形，， ∴，， ∴在和中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵由旋转得到， ∴，，，又， ∴，，， ∴，， ∴在和中， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 记与交于点K， ∴有， ∴， 综上所述，成立，不成立． 【基础题型九 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为_______．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 2．（2026·四川自贡·一模）如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 【答案】 【分析】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时可以转化为，三点共线取到最小值． 【详解】解：如图，延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小， ， ，， ， ， 为公共边， ， ， ， 当三点共线时取到最小值， ， ， 即,解得：， 又， ， 即， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了最短路径问题和平行线分线段成比例问题，解题的关键是：利用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，根据对应边相等，进行等量代换，再利用三点共线时距离最短来求解． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形为矩形， ， ． ， ， ． ． (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，然后可证； （2）由勾股定理得，，，由（1），则，可得． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理得， ， ． 在中，根据勾股定理得， ， 由（1）知， ， 即， ． 【基础题型十 利用相似求坐标】 【例1】 （2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两点间距离公式求出两个三角形的位似比，过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，易证明，则，据此求出、长，从而求出点的坐标． 【详解】解：、、， 、， ， 即与的位似比为， 过点D作轴于点E，过点B作轴于点F， ， ， ， ， 、， 、， ， 解得：、， ， 点D的坐标为． 【例2】（2026·山西运城·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 【答案】 【分析】由题可知，，，，再根据与是位似图形，此时，则，求出可得答案． 【详解】解：由题可知，，， ∴． ∵与是位似图形，只有一种情况， 此时， ∴， ∴， 即， ∴， 所以点D的横坐标为． 1．（2026·浙江温州·二模）如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质．根据位似图形的对应边成比例，利用点和点的坐标求出位似比，进而求出的长． 【详解】解：矩形与矩形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ． 点的坐标为，点的坐标为 ， ， ． ， ， ． 2．（2026·辽宁营口·模拟预测）如图，直线y=﹣x+2与x轴y轴分别交于A、C两点，以AC为对角线作第一个矩形ABCO，对角线交点为A1，再以CA1为对角线作第二个矩形A1B1CO1，对角线交点为A2，同法作第三个矩形A2B2CO2对角线交点为A3，…以此类推，则第2020个矩形对角线交点A2020的坐标为_____． 【答案】(2﹣，) 【分析】先根据矩形的性质以及相似三角形的判定定理证得：，且相似比是（）n，即可求得AnOn，OOn的长，进而确定An的坐标，即可求得A2020的坐标． 【详解】解：在y=﹣x+2中 令x=0，解得：y=2；令y=0，解得：x=2. ∴则OC=2,OA=2. ∵A1是矩形ABCO的对角线的交点，O1A1//OA， ∴，相似比为， 同理：，相似比是（ ）n； ∴ ∴ ∴An的坐标为 ∴A2020的坐标为(2﹣，) 【点睛】本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，证得且确定相似比（ ）n是解答本题的关键． 3．（25-26九年级上·广东河源·期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，的顶点坐标分别为． (1)请结合图形，判断与是否为一对位似图形，若是，请在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标；若不是，请说明理由； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，请直接写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1) 如图，与是一对位似图形， 点为所求作的位似中心， 点的坐标为． (2) 如图，为所作，点的坐标为． (3)点在中的对应点的坐标为 【分析】本题考查位似图形及位似变换． （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：根据相似比，可知点在中的对应点的坐标为． 【基础题型十一 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 【例2】（2026·上海长宁·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 【答案】A 【分析】根据题意可得，在正六边形网格找与相似的三角形，即找三边的比值为的直角三角形，分析图形可得共三种情况，即可解答． 【详解】解：∵的边长分别为1，，2，即，，， ∴，即 ∴为直角三角形， ∵ ∴，． 在正六边形网格中作出三边比为的直角三角形，如图所示： 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； ∴k可取，，． 综上所述，嘉嘉正确，佳佳不正确． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的________． 【答案】丙 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 令每个小正方形的边长为1，分别求出的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置． 【详解】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 【基础题型十二 相似三角形——动点问题】 【例1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 【例2】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 【基础题型十三 相似三角形实际应用】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 【答案】B 【分析】如图，证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯A的高度等于米． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 【基础题型十四 相似三角形的判定与性质综合 】 【例1】（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【答案】 【分析】如图：设交于点M．由矩形的性质可证明，即，设，则有，，再代入得到比例式求解即可． 【详解】解：如图：设交于点M． ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则有，， ，解得：， ∴． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 2．（25-26九年级·浙江温州·期中）如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的水泥砂浆通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米），滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点，则的长度至少保持_____米． 【答案】 【分析】延长交于点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，可得米，米，连接，延长交于点W，设与半圆的切点为J，则，米，根据，可得米，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O， ∵米，米， ∴米， ∴（米）， 连接，延长交于点W，设与半圆的切点为J，则，米， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， 设米，则米， ∴米， ∵米， ∴， 解得：， 则要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C ，则米， 即的长度至少保持米． 3．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 【答案】(1)矩形；相等且互相平分 (2) 点即为所求． (3)； 【分析】 （1）利用矩形的判定和性质即可得到结论． （2）利用矩形的对角线相等，可得当时，长度最短，作，垂足即为所求． （3）①过点作，垂足为，证明得、，证明得，设，把用含的代数式表示出来，再利用三角形相似求出的长，然后用勾股定理求出的长，进而求出的值； ②过点作，垂足为，证明得，证明得，设，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：、、， 四边形是矩形， 、与互相平分． （2）略 （3）解：当点落在线段上时，如图 过点作，垂足为， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 同理：， 设， 则、， ， ， ， 、， ， ， ， ． 过点作，垂足为， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 与重叠部分的面积，恰好是面积的， ， ， 设， 则，， 、， ， ， ， ， ， ， ． 【提高题型一 相似三角形最值问题】 【例1】（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了点到圆的最值，勾股定理，解直角三角形，三角形边长关系，相似三角形的判定和性质，运用上述性质逐一判断即可，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，作于点， ，当点，，共线时，的值最小， 点到直线距离的最小值为2，选项A正确； 如图，连接，， 当点，，共线时，的值最小，长度的最小值，选项B正确； 当角度最大时，的值最大， 当与相切时，最大， 的最大值为，选项C正确； 如图，在上取点，使，连接，， ， ， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，，选项D错误． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为______，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 要使与相似，那么分两种情况： ①，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ②，则， 即， 解得或， 经检验，或是分式方程的解且符合题意， 综上，的长为或或， ， 的最大值为，最小值为． 故答案为：，． 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，，点D，E分别是边上的动点，且满足，与交于点F，连接，则下列结论中，错误的是（     ） A．面积的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为3 【答案】C 【分析】先求解，，，结合垂线段最短可得当时，最小，证明，作的外接圆，连接，记的交点为，再进一步分析即可. 【详解】解：如图，∵，，， ∴，，， 当时，最小， ∴，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，记的交点为， 当的面积最大，则， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴的最大面积为，故A正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴当共线时，最小，如图： ∵ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：；故B正确，不符合题意； ∵的运动轨迹是， ∴当重合时，最大，最大值为，故C错误，符合题意． 2．（25-26九年级·全国·课后作业）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论中：①m＞AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．正确的结论序号是_____．﹙直角填写正确的结论的序号﹚． 【答案】①③④ 【分析】由当AB与光线BC垂直时，m最大即可判断①②，由最小值为AB与底面重合可判断③，点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化过程可判断④． 【详解】解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m最大，则m＞AC，①成立； ①成立，那么②不成立； 最小值为AB与底面重合，故n=AB，故③成立； 由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立． 故答案为：①③④． 3．（2026·江西九江·模拟预测）如图： (1)问题发现： 如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为 　 　，AC的最大值为 　 　； (2)轻松尝试： 如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　 　． (3)方法运用： 在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m． ①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值． ②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值． 【答案】(1)a－c，a＋c； (2)8 (3)①，② 【分析】（1）根据当点A在线段BC上时，AC有最小值，点A在CB的延长线上时，AC有最大值可得答案； （2）由题意得出点B'的运动轨迹是以点E为圆心，5为半径的圆弧，当点E、B'、D共线时，B'D取最小值，求出ED可得答案； （3）①如图3，以BC为直角边作等腰直角△BCM，证明△ABC≌△DBM，可得当DM取最大值时，AC最大，而D、C、M共线时，DM最大，求出DM的最大值即可； ②如图4，作BN⊥BC，且BN＝4m，证明△ABC∽△DBN，可得当DN取最大值时，AC最大，即当D、C、N共线时，DN最大，求出DN的最大值然后计算AC即可． 【详解】（1）解：∵点A为平面内一动点，BC＝a，AB＝c（a＞c）， ∴当点A在线段BC上时，AC有最小值a－c， 当点A在CB的延长线上时，AC有最大值a＋c， 故答案为：a－c，a＋c； （2）∵E为AB边的中点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'， ∴EB＝EB'＝AB＝5，点B'的运动轨迹是以点E为圆心，5为半径的圆弧， ∴当点E、B'、D共线时，B'D取最小值， ∵    ， ∴B'D最小＝ED－EB'＝13－5＝8， 故答案为：8； （3）①如图3，以BC为直角边作等腰直角△BCM，则BC＝BM， ∵∠ABD＝∠CBM＝90°，＝m＝1， ∴∠ABC＝∠DBM，AB＝BD， ∴△ABC≌△DBM（SAS）， ∴AC＝DM， ∴当DM取最大值时，AC最大， 即当D、C、M共线时，DM最大，如图，D′M为最大值， ∵，， ∴， ∴当m＝1时，线段AC的最大值为； ②如图4，作BN⊥BC，且BN＝4m，即， ∵∠ABD＝∠CBN＝90°，＝m， ∴∠ABC＝∠DBN，， ∴△ABC∽△DBN， ∴， ∴， ∴当DN取最大值时，AC最大， 即当D、C、N共线时，DN最大，如图，D′N为最大值， ∵BC＝4，， ∴，， ∴， ∴AC最大． 【点睛】本题考查圆的综合应用，翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、相似三角形来解决问题，综合性较强． 【提高题型二 相似三角形中折叠问题】 【例1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，点分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形是矩形，得，，，，所以，然后通过折叠的性质可得，，，，，，，，，，，，，从而得出，然后证明，所以，则，设，，得到，再证明，所以，即，联立，解得或，最后又，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点， ∴，，，，，， ∴， ∵将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（2026·安徽合肥·一模）如图1，在矩形纸片中，，，点是中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点与点重合，如图，折痕为，连接、；第二次折叠纸片使点与点重合，如图，点落到处，折痕为，连接．完成下面的探究： （1）线段的长是______； （2）______． 【答案】 / 【分析】如图中，作于．设，则，利用勾股定理求出，再利用，得，求出，，求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：如图中，作于． 设，则， ，， ， 在中， ， ， 解得， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图中， ，， ， ， ，， ， ． 故答案为:；． 【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明是关键． 1．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（    ）    A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点，    在和中， 设，则， ，即：， 解得：， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键． 2．（2026·山东济南·一模）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，连接HE，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线 ∴， ∴ ∴是的中点 ∴是斜边上的中线 ∴ ∴ 设，则 在中，由勾股定理得即 解得 ∴ 如图，作 ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴ ∴ ∴即 解得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，三角形相似，正切等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期末）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1) ，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）略 （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 【提高题型三 相似三角形判定证明问题】 【例1】（2026·河北邯郸·三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案： 甲 乙 如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CF均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明． 如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明． 对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对 【答案】A 【分析】甲的方案用四个三角板的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积验证；乙的方案中，，利用三角板的角度证明，通过对应边成比例求出CG，进而求出GE，可推导出，即可证明方案正确． 【详解】解：设两个方案中所用直角三角形的边长从短到长都依次为a，b，c， 甲的方案如图所示， ， ， 因此，即甲设计的方案正确； 乙的方案如图所示， ， ∵ 和是直角三角板， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即乙设计的方案正确． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，验证乙的方案有一定难度，先证明，通过对应边成比例求出CG是解题的关键． 【例2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 首先根据可推出，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定即可得到答案． 【详解】解：①添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ③添加， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤； 【详解】证明：②， ④， ①又， ③， ． 故选：B． 2．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）赵爽弦图是由标号为①、②、③、④的四个全等的直角三角形和标号为⑤的正方形构造而成，如图1，利用此图可以证明勾股定理． （1）在图1中，，则的长是______； （2）将图1的四个直角三角形进行变形，使③、④的三角形是等腰直角三角形，，如图2．若，则的值是______． 【答案】 6 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质等知识利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （2）设，进而表示出，证明，得到，进而求出，即可得到的值． 【详解】解：（1）设，则， 在中，， 即， 解得（舍去）， ； （2）， 设，则， 都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， （负值舍去）， ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）【问题】如图①，某数学兴趣小组在学习等腰三角形的相关知识时发现在等边中，平分，易得．（不需要证明）． 【探究】如图②，该数学兴趣小组将图①的等边改为任意平分，通过观察、测量，猜想仍然成立．为了证明提出的猜想，通过交流讨论，得到了如下证明方法：过点作交延长线于点，利用与相似证明结论．请你参考上面的方法，帮助该数学兴趣小组完成证明． 【应用】如图③，在中，和是的角平分线，相交于点，则的值为______． 【答案】 【探究】证明：如图，过点作交延长线于点， 则； ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 【应用】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形角平分线，构造平行线得到相似三角形是解题的关键． 【探究】过点作交延长线于点，利用与相似即可证明结论． 【应用】应用【探究】中的结论，可求得，再利用即可求解． 【详解】【探究】略 【应用】解：∵平分， ∴由【探究】中的结论知：， 即， 解得：； ∵平分， ∴， 即， 故答案为． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明即可判定A、B、C正确，D错误． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ，，故B、C正确，D错误． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出相似比，再计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是，（答案不唯一）． 故答案为：，（答案不唯一）． 8．（第三十一章相似2相似三角形）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 9．（2026·四川南充·二模）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 10．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 11．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，证得，再根据相似比求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，三个边长为的正方形拼成一个矩形．求证： (1)． (2)． 【答案】(1) 证明：边长为的三个正方形拼成一个矩形， ，， ， ， ． (2) 证明：在正方形中，， ， ， ， 则， ． 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据勾股定理推导出，进而根据相似三角形的判定定理可得结论； （2）先根据网格特点得到，利用三角形的外角性质得到，然后利用相似三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，，，．过点B作，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，然后根据，即可得到两三角形相似； （2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 14．（2025·四川广元·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 【答案】(1) 解：选择①或③均正确． 选择①证明如下： ∵， ， ∵， ∴， 即， ∴； 选择③证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）选择①，根据对应边成比例且夹角相等证明相似；选择③，根据对应两角相等证明相似； （2）先根据相似的性质得，再由，证明，得，再代入已知的值计算，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ． 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得， 则， 则； ，，， ， 解得； （2），， ， ∵反射角等于入射角， ， ， ，                                         ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形重难点题型专训（2个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、相似图形 1 题型二、利用平行判定相似 2 题型三、利用两角对应相等判定相似 3 题型四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 4 题型五、利用三边对应成比例判定相似 5 题型六、相似三角形的判定综合 6 题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 7 题型八、利用相似三角形的性质求解 8 题型九、证明三角形的对应线段成比例 9 题型十、利用相似求坐标 10 题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 11 题型十二、相似三角形——动点问题 12 题型十三、相似三角形实际应用 13 题型十四、相似三角形的判定与性质综合 14 第二部分·练提高题型 题型一、相似三角形最值问题 1 题型二、相似三角形中折叠问题 2 题型三、相似三角形判定证明问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【即时训练】 1．（2026·云南怒江·模拟预测）已知与是位似图形，位似比是，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若两个相似三角形的周长比是，则这两个三角形的对应边之比是___________． 知识点02 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（25-26九年级上·全国·周测）条件补充题如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是_____________（不添加辅助线和字母）． 【基础题型一 相似图形】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ） A．相似形一定是全等形 B．不全等的图形不是相似形 C．全等形一定是相似形 D．不相似的图形可能是全等形 【例2】（2025九年级·全国·专题练习）观察下列各组中的两个图形，是相似图形的是______________，不是相似图形的是______________．（填序号） 1．（26-27九年级上·山东聊城·期中）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的两个四边形相似，则角α的度数是多少？ 【基础题型二 利用平行判定相似】 【例1】（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·宁夏银川·一模）已知：如图，，，则________． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 2．（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 3．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【基础题型三 利用两角对应相等判定相似】 【例1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，如图，四边形中，，，．求证：． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【基础题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 2．（26-27九年级·上海·期中）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 3．（2026·湖北襄阳·二模）在矩形中，将绕点A逆时针旋转到位置，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点E恰好落在对角线上时，若，，求的长； (3)如图3，直线分别交于点G，交于点M，且，． ①求证：； ②设的面积为，的面积为，直接写出的值． 【基础题型五 利用三边对应成比例判定相似】 【例1】（26-27九年级·浙江·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知．求证：． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【基础题型六 相似三角形的判定综合】 【例1】（2026·河北石家庄·模拟预测）已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【例2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，点E是边上的中点，G为线段上一动点，连接，交于点F，若，则的值为__． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 2．（26-27九年级·上海·期中）如图，已知：在与中，，．求证：． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E． (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形； (2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F． ①求证：； ②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围； ③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似． 【基础题型七 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是________． 3．（25-26九年级下·广东云浮·阶段检测）如图，在中，，，，、分别为，上的两动点，从点开始以的速度向点运动，从点开始以的速度向点运动，当一点到达终点时，、两点就同时停止运动．设运动时间为．    (1)用的代数式分别表示__________；__________． (2)当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【基础题型八 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）在四边形中，对角线、相交于点O，设锐角，将按逆时针方向旋转得到（旋转角），连接，与相交于点M． (1)当四边形是矩形时，如图1，请猜想与的数量关系以及与的大小关系，并证明你的猜想． (2)当四边形是平行四边形时，如图2，已知，请猜想此时与'的数量关系以及与的大小关系，并证明你的猜想． (3)当四边形是等腰梯形时，如图3，，此时（1）中与的数量关系是否成立?与的大小关系是否成立?不必证明，直接写出结论． 【基础题型九 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为_______．    1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·四川自贡·一模）如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【基础题型十 利用相似求坐标】 【例1】 （2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山西运城·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 1．（2026·浙江温州·二模）如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 2．（2026·辽宁营口·模拟预测）如图，直线y=﹣x+2与x轴y轴分别交于A、C两点，以AC为对角线作第一个矩形ABCO，对角线交点为A1，再以CA1为对角线作第二个矩形A1B1CO1，对角线交点为A2，同法作第三个矩形A2B2CO2对角线交点为A3，…以此类推，则第2020个矩形对角线交点A2020的坐标为_____． 3．（25-26九年级上·广东河源·期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，的顶点坐标分别为． (1)请结合图形，判断与是否为一对位似图形，若是，请在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标；若不是，请说明理由； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，请直接写出在中的对应点的坐标． 【基础题型十一 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【例2】（2026·上海长宁·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 1．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的________． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【基础题型十二 相似三角形——动点问题】 【例1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【例2】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【基础题型十三 相似三角形实际应用】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【基础题型十四 相似三角形的判定与性质综合 】 【例1】（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 2．（25-26九年级·浙江温州·期中）如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的水泥砂浆通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米），滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点，则的长度至少保持_____米． 3．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 【提高题型一 相似三角形最值问题】 【例1】（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【例2】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为______，最小值为______． 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，，点D，E分别是边上的动点，且满足，与交于点F，连接，则下列结论中，错误的是（     ） A．面积的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为3 2．（25-26九年级·全国·课后作业）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论中：①m＞AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．正确的结论序号是_____．﹙直角填写正确的结论的序号﹚． 3．（2026·江西九江·模拟预测）如图： (1)问题发现： 如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为 　 　，AC的最大值为 　 　； (2)轻松尝试： 如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　 　． (3)方法运用： 在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m． ①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值． ②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值． 【提高题型二 相似三角形中折叠问题】 【例1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，点分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·安徽合肥·一模）如图1，在矩形纸片中，，，点是中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点与点重合，如图，折痕为，连接、；第二次折叠纸片使点与点重合，如图，点落到处，折痕为，连接．完成下面的探究： （1）线段的长是______； （2）______． 1．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（    ）    A．3 B． C．2 D．1 2．（2026·山东济南·一模）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，连接HE，则______． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期末）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【提高题型三 相似三角形判定证明问题】 【例1】（2026·河北邯郸·三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案： 甲 乙 如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CF均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明． 如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明． 对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对 【例2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 2．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）赵爽弦图是由标号为①、②、③、④的四个全等的直角三角形和标号为⑤的正方形构造而成，如图1，利用此图可以证明勾股定理． （1）在图1中，，则的长是______； （2）将图1的四个直角三角形进行变形，使③、④的三角形是等腰直角三角形，，如图2．若，则的值是______． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）【问题】如图①，某数学兴趣小组在学习等腰三角形的相关知识时发现在等边中，平分，易得．（不需要证明）． 【探究】如图②，该数学兴趣小组将图①的等边改为任意平分，通过观察、测量，猜想仍然成立．为了证明提出的猜想，通过交流讨论，得到了如下证明方法：过点作交延长线于点，利用与相似证明结论．请你参考上面的方法，帮助该数学兴趣小组完成证明． 【应用】如图③，在中，和是的角平分线，相交于点，则的值为______． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，的周长为的周长为________． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 8．（第三十一章相似2相似三角形）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 9．（2026·四川南充·二模）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 10．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    11．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，三个边长为的正方形拼成一个矩形．求证： (1)． (2)． 13．（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，，，．过点B作，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．（2025·四川广元·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度．                                          学科网（北京）股份有限公司 $