综合总复习（培优讲义）2026-2027学年数学九年级上册人教版

综合总复习 核心素养与总复习目标 1 核心素养 1 总复习目标 1 第一部分 全册核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 3 第二部分 核心考点精讲与题型突破 4 模块一 代数综合 4 模块二 几何综合 9 第三部分 综合实践与数学活动 15 活动一 高铁列车运行中的数量关系 15 活动二 生活中的优化问题 15 活动三 几何探究活动 16 第四部分 全册易错避坑指南 17 代数易错点 17 几何易错点 17 第五部分 全册分层进阶达标自测 18 一、基础夯实篇 18 二、能力进阶篇 18 三、思维跃迁篇 20 第六部分 达标自测精准解析 21 学科网（北京）股份有限公司 核心素养与总复习目标 核心素养 运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识。 总复习目标 1. 知识技能：系统梳理全册代数、几何两大板块知识体系，巩固一元二次方程、二次函数、反比例函数的概念、性质与运算；掌握旋转、圆、直线与圆的位置关系的核心定理与性质；能熟练运用方程、函数、几何定理解决综合问题。 2. 数学思考：体会数形结合、分类讨论、转化、整体代入等核心数学思想；能在代数与几何综合问题中，实现条件的相互转化，发展逻辑推理与综合分析能力。 3. 问题解决：能建立方程模型、函数模型、几何模型解决实际问题；掌握压轴题的辅助线构造、参数分类讨论、最值分析等培优方法；提升综合解题与应试能力。 4. 情感态度：通过综合复习，建立知识网络，体会数学知识的内在联系；感受数学在生活、工程中的应用价值，提升应试信心与探究兴趣。 第一部分 全册核心方法论与知识体系构建 本学年上册内容分为代数核心与几何综合两大板块，代数板块以“方程→函数”为主线，几何板块以“图形变换→圆的性质→直线与圆”为主线，是初中数学中考核心重难点，也是衔接高中数学的关键过渡。 一、知识体系全景梳理 代数板块 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 一元二次方程 概念与一般形式；配方法、公式法、因式分解法；根的判别式；根与系数的关系；实际应用 降次转化法、待定系数法、建模法 忽略；配方法常数项错误；公式法符号错误；实际问题不验根 二次函数 概念与三种解析式；图象与性质；与一元二次方程的联系；最值、拱桥、利润等实际应用 配方法、待定系数法、数形结合法、区间最值法 顶点式符号错误；忽略自变量范围直接用顶点；开口方向与不等式区间搞反 反比例函数 概念与三种形式；图象与性质；的几何意义；行程、杠杆、压强、电路等实际应用 待定系数法、面积法、建模法 增减性遗漏“在每个象限内”；几何意义忽略绝对值；混淆正比例与反比例 几何板块 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 图形的旋转 旋转三要素；旋转性质；中心对称与中心对称图形；原点对称点坐标；图案设计 旋转作图法、对称点坐标法、图案拆解法 旋转方向不分类；混淆中心对称与中心对称图形；三类对称坐标记混 圆 圆的概念；点与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦关系；圆周角定理；圆内接四边形；弧长、扇形面积、圆锥侧面积 直角三角形构造法、等弧等角转化法、割补法 三点定圆忽略“不共线”；垂径定理用整条弦长；圆周角倍数关系搞反 直线与圆的位置关系 三种位置关系；切线的性质与判定；切线长定理；三角形内切圆；正多边形与圆 位置判定法、切线连半径法、内切圆面积法 切线判定条件不全；混淆内心与外心；正多边形中心角与内角混淆 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 配方法 一元二次方程、二次函数配方 ①二次项系数化为1；②加一次项系数一半的平方；③恒等变形整理 一移二化三配方，两边同步加常数 公式法 一元二次方程求解、根的判别 ①化为一般式；②计算判别式；③代入求根公式 确定，算判别式，代入公式得根 待定系数法 求函数解析式、几何计算 ①设解析式/未知数；②代入条件列方程；③求解回代 选对形式，代入求解，回代检验 垂径定理计算法 圆中弦长、半径、弦心距互求 ①过圆心作弦的垂线；②连半径构造直角三角形；③勾股定理列方程 半弦半径弦心距，勾股定理来相聚 切线性质应用法 切线相关计算与证明 ①连接圆心与切点；②得到垂直关系；③构造直角三角形求解 见切线，连半径，垂直出直角 数形结合法 函数图象、几何图形综合题 ①由式想图，由图列式；②转化条件；③求解验证 数与形，互转化，看图象，定范围 分类讨论法 含参数问题、位置不确定问题 ①确定分类标准；②逐类讨论；③综合结论 不重不漏，先分后合 三、奥数思维提升 1. 分类讨论思想：参数、位置不确定的多解问题 核心要点：二次函数对称轴、直线与圆的位置、弦的位置、旋转方向不确定时，按标准分类，做到不重不漏。 示例：动轴定区间二次函数最值、圆内两平行弦距离、直线与圆公共点个数等。 2. 数形结合思想：代数问题几何化，几何问题代数化 核心要点：函数问题结合图象分析；几何问题转化为方程、不等式求解；实现数与形的双向转化。 示例：二次函数不等式、抛物线与直线交点、圆的位置关系判定。 3. 转化思想：复杂问题简单化，高次问题低次化 核心要点：一元二次方程降次为一元一次；高次代数式利用方程降次；圆的问题转化为三角形问题；复杂图形割补为规则图形。 示例：高次代数式求值、圆的证明转化为三角形全等。 4. 模型思想：实际问题抽象数学模型 核心要点：从实际问题中抽象出方程模型、函数模型、几何模型，利用数学知识求解，再回归实际检验。 示例：传播、增长率、利润、拱桥、杠杆、压强等问题。 5. 整体思想：整体代入、整体割补 核心要点：根与系数的关系整体代入；图形面积整体割补；多条切线周长整体转化，避免分步计算的复杂与错误。 示例：代数式整体求值、阴影面积割补、切线长定理求周长。 第二部分 核心考点精讲与题型突破 模块一 代数综合 考点一 一元二次方程 典型例题1（基础型） 题目：用配方法解方程：。 解题步骤： ① 移项，将常数项移到右边：； ② 配方，两边加上一次项系数一半的平方，即：； ③ 写成完全平方形式：；开方得；解得，。 【答案】， 【知识点睛】 ① 考点定位：配方法解一元二次方程； ② 解题方法：配方法四步：移项、二次项系数化为1、配方、开方求解；配方时等式两边同时加常数； ③ 易错提醒：只给左边加常数，右边漏加；开方漏掉负根。 典型例题2（提高型） 题目：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。 解题步骤： ① 方程是一元二次方程，所以二次项系数； ② 方程有两个不相等的实数根，所以判别式； ③ 计算，解得； 综上，的取值范围是且。 【答案】且 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式与参数问题； ② 解题方法：一元二次方程有两个不相等实数根的两个条件：二次项系数不为0、，缺一不可； ③ 易错提醒：忽略“一元二次方程”的前提，漏掉的条件。 典型例题3（奥数型） 题目：已知方程的两根为，，求的值。 解题步骤： ① 由根与系数的关系得：，； ② 变形代数式：； ③ 代入计算：。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：根与系数的关系与代数式求值； ② 解题方法：将所求代数式变形为只含两根之和、两根之积的形式，整体代入；常用变形：平方和、倒数和、两根差的绝对值； ③ 易错提醒：平方和公式符号记错，两根之积的符号处理错误。 考点二 二次函数 典型例题1（基础型） 题目：将二次函数化为顶点式，写出顶点坐标与对称轴。 解题步骤： ① 提取二次项系数：； ② 括号内配方：； ③ 整理得：；顶点，对称轴直线。 【答案】顶点式，顶点，对称轴直线 【知识点睛】 ① 考点定位：配方法化顶点式； ② 解题方法：提取二次项系数，括号内配方，新增常数要乘括号外系数再与外部常数合并； ③ 易错提醒：括号内配的常数不乘外面的系数，导致恒等变形错误。 典型例题2（提高型） 题目：某商品每件进价40元，售价每件元，每月销售量件，其中，求每月最大利润。 解题步骤： ① 设每月利润为元，单件利润为元； ② 总利润，整理得； ③ 配方得，对称轴，在范围内； ④ ，当时，取得最大值4000元。 【答案】每月最大利润4000元 【知识点睛】 ① 考点定位：二次函数利润最值实际应用； ② 解题方法：总利润=单件利润×销量；写出解析式后先确定自变量取值范围，再判断对称轴是否在区间内，最后求最值； ③ 易错提醒：不考虑自变量范围，直接用顶点作为实际最值。 典型例题3（奥数型） 题目：二次函数，在范围内，求函数的最小值。 解题步骤： ① 配方得，开口向上，对称轴直线； ② 当时，区间在对称轴右侧，函数单调递增，时取最小值； ③ 当时，对称轴在区间内，顶点取最小值； ④ 当时，区间在对称轴左侧，函数单调递减，时取最小值。 【答案】分三类，见解析 【知识点睛】 ① 考点定位：动轴定区间分类讨论求最值； ② 解题方法：开口向上，顶点是全局最小值；对称轴在区间内，顶点参与；对称轴在区间外，最值在端点； ③ 易错提醒：不分类讨论，直接用顶点纵坐标当作最小值。 考点三 反比例函数 典型例题1（基础型） 题目：反比例函数经过点，求函数解析式，并判断图象所在象限。 解题步骤： ① 将点代入解析式：，解得； ② 函数解析式为； ③ ，图象位于第二、四象限。 【答案】，第二、四象限 【知识点睛】 ① 考点定位：待定系数法求反比例函数解析式； ② 解题方法：一点求；一、三象限，二、四象限； ③ 易错提醒：代入点坐标时符号计算错误。 典型例题2（提高型） 题目：点在反比例函数上，轴于，的面积为4，求的值。 解题步骤： ① 设点，则，，的面积； ② 因为点在双曲线上，所以，； ③ 代入，得；图象在第一象限，，所以。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：的几何意义； ② 解题方法：过双曲线上一点作轴垂线，连接原点，直角三角形面积为；矩形面积为； ③ 易错提醒：忽略面积是绝对值，直接写成。 典型例题3（奥数型） 题目：点，，都在反比例函数上，且，比较，，的大小。 解题步骤： ① ，图象位于第二、四象限； ② ，点在第二象限，； ③ ，点、在第四象限，，；第四象限内随增大而增大，所以； ④ 综上： 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数增减性与跨象限比较； ② 解题方法：先分象限，再比较；第二象限函数值恒正，第四象限恒负；同一象限内用增减性； ③ 易错提醒：直接按大小排序，忽略象限差异。 模块二 几何综合 考点四 图形的旋转 典型例题1（基础型） 题目：点关于原点对称的点的坐标是？ 解题步骤： ① 关于原点对称的点，横纵坐标都变为相反数； ② 横坐标：；纵坐标：； ③ 对称点坐标为。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：原点对称点的坐标特征； ② 解题方法：原点对称全变号；轴对称纵变号，轴对称横变号； ③ 易错提醒：只改变一个坐标的符号。 典型例题2（提高型） 题目：如图，绕点逆时针旋转得到，若，求的长度，并写出一对旋转角。 解题步骤： ① 旋转前后图形全等，对应边相等，所以； ② 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角； ③ 旋转角：（或、）。 【答案】，旋转角如 【知识点睛】 ① 考点定位：旋转的性质； ② 解题方法：旋转前后图形全等，对应边、对应角相等；对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角； ③ 易错提醒：把图形内部的角当作旋转角。 典型例题3（奥数型） 题目：如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求的长度与的度数。 解题步骤： ① 旋转前后图形全等，对应边相等，所以； ② 旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，所以。 【答案】， 【知识点睛】 ① 考点定位：旋转性质的综合应用； ② 解题方法：旋转实现线段与角的转移，对应边、对应角相等，旋转角等于对应连线夹角； ③ 易错提醒：找不准对应点，对应关系出错。 考点五 圆的基本性质 典型例题1（基础型） 题目：在中，直径弦于点，半径为，，求的长。 解题步骤： ① 连接，半径； ② 由垂径定理，； ③ 在中，由勾股定理： 。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：垂径定理； ② 解题方法：连半径，作弦心距，构造直角三角形，勾股定理求解； ③ 易错提醒：用整条弦长计算，忘记除以2。 典型例题2（提高型） 题目：如图，是的直径，点在圆上，，求的度数。 解题步骤： ① 是直径，直径所对的圆周角是直角，所以； ② 直角三角形两锐角互余，； ③ 代入得。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理推论（直径对直角）； ② 解题方法：看到直径，优先构造直径所对的圆周角，得到直角三角形； ③ 易错提醒：直接用圆周角等于圆心角，角度计算错误。 典型例题3（奥数型） 题目：圆内接四边形中，，求的度数。 解题步骤： ① 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，； ② 圆内接四边形对角互补，； ③ 所以。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理、圆内接四边形性质； ② 解题方法：同弧所对圆周角是圆心角的一半；圆内接四边形对角互补； ③ 易错提醒：圆周角与圆心角的倍数关系搞反。 考点六 直线与圆的位置关系 典型例题1（基础型） 题目：如图，是的切线，为切点，交圆于，，，求圆的半径。 解题步骤： ① 连接，是切线，所以，； ② 在中，，对边是斜边的一半； ③ 所以，即半径为。 【答案】半径为 【知识点睛】 ① 考点定位：切线的性质； ② 解题方法：见切线，连半径，得垂直，构造直角三角形求解； ③ 易错提醒：不连半径辅助线，直接计算角度。 典型例题2（提高型） 题目：的三边分别与相切于、、，，，，求的长。 解题步骤： ① 设，，； ② 根据题意列方程组： ③ 三式相加得，；分别减得，即。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理； ② 解题方法：从同一点出发的两条切线长相等，设未知数列方程组求解； ③ 易错提醒：边与切线长对应错误。 典型例题3（奥数型） 题目：如图，、是的切线，、为切点，切圆于，交、于、，若，求的周长。 解题步骤： ① 由切线长定理：，，； ② 的周长； ③ 代入，得周长。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理的整体应用； ② 解题方法：多条切线的周长问题，利用切线长相等，将周长整体转化为两条切线长的和； ③ 易错提醒：分段计算，过程复杂易出错。 第三部分 综合实践与数学活动 活动一 高铁列车运行中的数量关系 活动主题：探究高铁运行中的函数模型，体会一次函数、二次函数、反比例函数的综合应用。 活动目标： 1. 能从实际问题中抽象出不同的函数模型，提升建模能力； 2. 经历“实际问题→抽象模型→求解验证”的过程，体会函数模型的实用价值。 活动内容： 1. 路程一定时，速度与时间成反比例函数关系； 2. 匀变速运动中，路程关于时间是二次函数关系； 3. 匀速运动中，路程关于时间是一次函数关系； 4. 结合高铁时刻表，估算路程、平均速度，分析运行状态。 活动二 生活中的优化问题 活动主题：探究最短路径、最省用料、最大面积等优化问题。 活动目标： 1. 能建立二次函数、圆、正多边形模型解决最值问题； 2. 体会数学在生活、工程中的应用价值。 活动内容： 1. 一面靠墙围矩形，求最大面积； 2. 周长相等的正三角形、正方形、正六边形、圆，比较面积大小，理解“周长相等，圆面积最大”； 3. 最短路径问题，转化为切线、垂线段模型。 活动三 几何探究活动 1. 四等分圆周：作两条互相垂直的直径，将圆四等分； 2. 探究四点共圆的条件：对角互补的四边形四个顶点共圆； 3. 等宽曲线、圆周率计算拓展。 第四部分 全册易错避坑指南 代数易错点 1. 忽略二次项系数不为0：一元二次方程、二次函数、反比例函数，都要注意比例系数不为0的前提条件。 2. 配方法常数项不同步：二次项系数不为1时，括号内配的常数要乘外面的系数，再与外部常数合并。 3. 实际问题忽略自变量范围：方程、函数实际问题，必须先确定自变量取值范围，再求解，最后检验实际意义。 4. 反比例增减性不分象限：反比例函数增减性必须限定“在每个象限内”，跨象限不能直接用增减性。 5. 根与系数关系忽略判别式前提：应用根与系数的关系前，先确认。 6. 函数不等式区间搞反：结合开口方向和交点，画草图判断不等式解集，不要直接写反。 几何易错点 1. 三点定圆忽略不共线：不在同一直线上的三点确定一个圆，共线三点不能作圆。 2. 垂径定理用整条弦长：垂径定理中，垂直于弦的直径平分弦，得到的是半弦长，计算时要除以2。 3. 圆周角倍数关系搞反：同弧所对圆周角是圆心角的一半，不是两倍。 4. 切线判定条件不全：切线判定必须同时满足“经过半径外端”“垂直于半径”，缺一不可。 5. 混淆内心与外心：内心是角平分线交点，到三边距离相等；外心是垂直平分线交点，到顶点距离相等。 6. 正多边形中心角与内角混淆：中心角，内角。 7. 旋转方向不分类：题目没有说明旋转方向时，要分顺时针、逆时针两种情况。 第五部分 全册分层进阶达标自测 一、基础夯实篇 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. D. ， 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数，当时，下列说法正确的是（ ） A. 随增大而增大 B. 随增大而减小 C. 图象在第二象限 D. 恒大于0 4. 点关于原点对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 6. 正六边形的外接圆半径为，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 方程的两根为，则________。 8. 扇形圆心角为，半径为，则弧长为________。 二、能力进阶篇 9. 用公式法解方程：。 10. 已知二次函数图象顶点为，且过点，求抛物线解析式。 11. 反比例函数的图象经过点，点在图象上且横坐标为，求点的坐标。 12. 如图，中，，，，求它的内切圆半径。 13. 如图，是的直径，是圆上一点，过的切线交延长线于，。求证：。 14. 某商店销售商品，每件成本30元，售价每涨1元，销量减少5件；原价40元时每周售200件。设涨价元，求周利润的最大值。 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，，求的长。 三、思维跃迁篇 16. 已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围。 17. 二次函数，在上，求函数的最小值。 18. 已知抛物线与直线有两个不同交点，求的取值范围。 19. 如图，、切于、，，，求阴影部分的面积。 20. 某商品进价50元，售价元，销量，售价不低于成本，且单件利润不超过成本的80%，求最大利润。 第六部分 达标自测精准解析 一、基础夯实篇解析 第1题 【答案】B 解题步骤： ① 因式分解得； ② 解得，。 【知识点睛】 ① 考点定位：因式分解法解方程； ② 解题方法：提取公因式分解； ③ 易错提醒：两边除以漏根。 第2题 【答案】B 解题步骤： ① 顶点式，顶点； ② ，，顶点。 【知识点睛】 ① 考点定位：顶点式读取顶点； ② 解题方法：括号内为，注意符号； ③ 易错提醒：符号搞反。 第3题 【答案】B 解题步骤： ① ，第一象限内随增大而减小； ② 时图象在第一象限，，但增减性是核心。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数的性质； ② 解题方法：，每个象限内随增大而减小； ③ 易错提醒：增减性不写范围。 第4题 【答案】A 解题步骤： ① 原点对称，横纵坐标都变号； ② 变，变，得。 【知识点睛】 ① 考点定位：原点对称坐标； ② 解题方法：全变号； ③ 易错提醒：只变一个坐标。 第5题 【答案】C 解题步骤： ① 圆心到直线距离，半径； ② ，直线与圆相交。 【知识点睛】 ① 考点定位：直线与圆位置关系； ② 解题方法：相离，相切，相交； ③ 易错提醒：大小关系搞反。 第6题 【答案】B 解题步骤： ① 正六边形边长等于外接圆半径； ② 半径为，边长为。 【知识点睛】 ① 考点定位：正六边形与圆； ② 解题方法：正六边形边长等于外接圆半径； ③ 易错提醒：混淆边心距与半径。 第7题 【答案】 解题步骤： ① 根与系数的关系，； ② 代入得。 【知识点睛】 ① 考点定位：根与系数的关系； ② 解题方法：直接代入公式； ③ 易错提醒：漏掉负号。 第8题 【答案】 解题步骤： ① 弧长公式； ② 代入得。 【知识点睛】 ① 考点定位：弧长公式； ② 解题方法：代入公式计算； ③ 易错提醒：公式记错。 二、能力进阶篇解析 第9题 【答案】， 解题步骤： ① ，，； ② 判别式； ③ 代入求根公式：。 【知识点睛】 ① 考点定位：公式法解方程； ② 解题方法：先确定系数，算判别式，再代入公式； ③ 易错提醒：符号处理错误。 第10题 【答案】（或） 解题步骤： ① 设顶点式； ② 代入点：，解得； ③ 解析式为。 【知识点睛】 ① 考点定位：待定系数法求二次函数解析式； ② 解题方法：已知顶点优先顶点式； ③ 易错提醒：顶点坐标代入错误。 第11题 【答案】 解题步骤： ① 代入：，解得，解析式； ② 当时，，点。 【知识点睛】 ① 考点定位：待定系数法与求值； ② 解题方法：先求，再代入求值； ③ 易错提醒：符号计算错误。 第12题 【答案】 解题步骤： ① 斜边； ② 直角三角形内切圆半径。 【知识点睛】 ① 考点定位：直角三角形内切圆半径； ② 解题方法：公式，或面积法； ③ 易错提醒：公式记错。 第13题 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 连接，是切线，，； ② ，，； ③ ，； ④ ，，。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线性质、圆周角定理综合； ② 解题方法：切线连半径，结合等腰、外角性质推导角相等； ③ 易错提醒：不会构造辅助线。 第14题 【答案】最大周利润3125元 解题步骤： ① 单件利润元，销量件； ② ； ③ 对称轴，在取值范围内；时，元。 【知识点睛】 ① 考点定位：二次函数利润最值； ② 解题方法：利润=单件利润×销量，确定自变量范围，求顶点； ③ 易错提醒：忽略自变量范围。 第15题 【答案】 解题步骤： ① 由旋转性质得：，； ② 是等腰直角三角形，由勾股定理： 。 【知识点睛】 ① 考点定位：旋转的性质； ② 解题方法：旋转得等腰直角三角形，勾股定理求斜边； ③ 易错提醒：旋转角计算错误。 三、思维跃迁篇解析 第16题 【答案】且 解题步骤： ① 一元二次方程，二次项系数，即； ② 有实数根，，，解得； ③ 综上且。 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式与参数； ② 解题方法：两个条件：二次项系数不为0、； ③ 易错提醒：漏掉。 第17题 【答案】 当时，最小值为； 当时，最小值为； 当时，最小值为。 解题步骤： ① 配方，开口向上，对称轴； ② 分三类：对称轴在区间左侧、内部、右侧，分别求最小值。 【知识点睛】 ① 考点定位：动轴定区间分类讨论； ② 解题方法：开口向上，顶点最小，分情况讨论； ③ 易错提醒：不分类，直接用顶点。 第18题 【答案】 解题步骤： ① 联立方程：，整理得； ② 两个不同交点，； ③ ，解得。 【知识点睛】 ① 考点定位：抛物线与直线交点； ② 解题方法：联立方程，对应两个交点； ③ 易错提醒：联立后整理错误。 第19题 【答案】 解题步骤： ① 连接、。 、是的切线，、为切点， ，，； ② 平分，。 在中，， 由勾股定理得，， ； ③ 阴影面积四边形面积扇形面积： 。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理、扇形面积、割补法； ② 解题方法：阴影面积=四边形面积-扇形面积； ③ 易错提醒：扇形面积公式错误。 第20题 【答案】最大利润24500元 解题步骤： ① 单件利润元，销量件； ② 约束：，，即； ③ ，对称轴，在范围内； ④ 时，元。 【知识点睛】 ① 考点定位：带约束的利润最值； ② 解题方法：挖掘所有约束条件，确定自变量范围，再求最值； ③ 易错提醒：漏掉利润上限条件。 1 学科网（北京）股份有限公司 $