12.1.1函数的概念（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件围绕函数概念，以热气球上升、汽车制动距离等现实情境为导入，通过表格、公式、图像多元表征，逐步抽象变量与常量、自变量与因变量，建立函数“唯一对应”核心定义，形成从具体到抽象的学习支架。 亮点在于融合跨学科（如语文“白毛浮绿水”水波问题）与新情境（如AI数智员工处理文件），以数学眼光观察现实，通过辨析“一对多”是否为函数培养数学思维，用表格、图像表达关系强化数学语言。助力学生提升应用意识，为教师提供丰富教学资源。

12.1.1 函数的概念 专项练习（沪科版八年级上册） 一、核心知识点梳理 1. 变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。变量是动态变化的，常量是固定不变的，二者是相对某一变化过程而言的。 2. 自变量与因变量：在变化过程中，主动发生变化、可以自主取值的变量称为自变量；随着自变量的变化而随之变化的变量，称为因变量。因变量的取值完全由自变量决定。 3. 函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。函数的核心判定标准为“一个自变量对应唯一因变量”。 4. 函数值：当自变量x取某一个确定数值时，代入对应关系式求出的y的唯一值，叫做这个自变量对应的函数值。 5. 函数的核心特征：一是存在两个相互关联的变量；二是自变量每取一个确定值，因变量有且只有一个值与之对应，一对多不属于函数关系。 二、基础专项练习题 选择题 1. 在圆的周长公式C=2πR中，常量是（） A. C B. R C. 2π D. 2、π、C 2. 下列关于函数的说法正确的是（） A. 一个自变量x只能对应一个y值 B. 一个y值只能对应一个x值 C. 变量就是函数 D. 常量也可以作为自变量 3. 下列关系式中，y不是x的函数的是（） A. y=3x+1 B. y=x² C. y²=x D. y=−2x 填空题 4. 在路程公式s=vt（速度v恒定）中，自变量是______，因变量是______，常量是______。 5. 已知函数y=2x−5，当x=3时，对应的函数值y=______。 6. 若对于自变量x的任意取值，y都有唯一值对应，则y是x的______。 三、能力提升练习题 解答题 7. 指出下列各变化过程中的常量与变量：(1)正方形周长C=4a；(2)匀速行驶的汽车路程s=60t。 8. 判断下列关系式中，y是否为x的函数，并说明理由：(1)y=|x|；(2)y=±x。 9. 已知函数y=3x²−2x+1，分别求出x=0、x=2、x=−1时对应的函数值。 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. C 解析：公式中2、π为固定不变的数值，合并为常量2π；C、R数值随条件变化，属于变量。 2. A 解析：函数核心定义为x每一个确定值对应唯一y值，一个y值可对应多个x值，常量不能作为自变量。 3. C 解析：y²=x中，一个正数x对应两个互为相反数的y值，不满足“唯一对应”，不是函数关系。 填空题解析 4. t、s、v 解析：速度v恒定为常量，时间t主动变化为自变量，路程s随时间变化为因变量。 5. 1 解析：将x=3代入式子，y=2×3−5=1。 6. 函数 解析：符合函数的定义判定条件。 解答题解析 7. (1)常量：4；变量：正方形边长a、周长C；(2)常量：60；变量：行驶时间t、路程s。 8. (1)是函数，对于x任意确定值，y都有唯一绝对值对应；(2)不是函数，一个x值对应两个y值，不满足唯一对应原则。 9. 当x=0时，y=1；当x=2时，y=3×4−4+1=9；当x=−1时，y=3×1+2+1=6。 易错总结：易错点集中在函数定义判定，容易混淆“x对应唯一y”和“y对应唯一x”；误将变化式子直接判定为函数，忽略一对多的无效关系；同时易混淆常量与变量，忽略常量、变量随变化过程改变的相对性，计算函数值时容易出现运算失误。 沪科版（新教材）数学八年级上册 12.1.1函数的概念 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/15 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 函数与一次函数 热气球上升过程中所到达的海拔高度随着上升时间的变化而变化 汽车行驶的路程随时间的变化而变化 有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化. 情境导入 如何研究两个变化的量之间的对应关系？ 推进新课 用热气球探测高空气象. 设热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升. 它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表： t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … h/m 1800 1830  1860  1890 1920  1950 1980 2010 … 当t=0时 h为1800 当t=1时 h为1830 当t=2时 h为1860 当t=3时 h为1890 用热气球探测高空气象. 设热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升. 它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表： t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … h/m 1800 1830  1860  1890 1920  1950 1980 2010 … (1)这个问题中，涉及哪几个量？ (2)热气球上升3min和6min时到达的海拔高度分别是多少米？ (3)热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？ 热气球的上升时间 t 上升到达的海拔高度 h 初始海拔高度1800m 热气球上升速度 30 m 热气球在上升过程中哪些量是变化的？哪些量始终保持不变？ 发生变化的量： 热气球的上升时间 t 上升到达的海拔高度 h 某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量. 保持不变的量： 初始海拔高度1800m 热气球上升的速度 30m/min 某一变化过程中保持不变的量叫作常量. 练一练 七年级某班有 n 名学生，每名学生购买一本数学课本，单价是 14.69 元，总金额为 y 元. 在这个问题中，变量是________，常量是________. n，y 14.69 判断常量和变量的方法： (1)看它是否在同一个变化过程中； (2)看它在这个变化过程中的取值是否改变. 汽车在行驶过程中，制动后由于惯性仍将滑行一 段距离才能停住，这段距离称为制动距离. 某型号的汽车在路面上的制动距离s m与车速v km/h之间有经验公式: (1)这个公式中涉及哪几个量？ (2)制动时，当车速是40 km/h时，相应的制动距离是多少米？若车速是80 km/h时呢？ (3) 制动时，对于车速 v 的每一个值，相应的制动距离 s 的值都是唯一确定的吗？ 制动距离s 车速v 变量 变量 常量 当v=40 km/h时，s=6.25m； 当v=80 km/h时，s=25m 唯一确定 S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图所示. GW表示“吉瓦”，是电功率的单位. 1GW=109W. (1)这个问题中，涉及哪几个量？ (2) 给出这天中的某一时刻，如4.5时，能找到这一时刻的用电负荷是多少吗？你是怎么找到的？找到的值是唯一确定的吗？20时呢？ 时间 t 、用电负荷 y y=10 y=16 S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图所示. GW表示“吉瓦”，是电功率的单位. 1GW=109W. (3)在这天中，对于时间 t 的每一个值，相应的用电负荷 y 的值都是唯一确定的吗？ (4) 在这一天中，用电负荷最高和最低各是多少？它们是在什么时刻达到的？ 唯一确定 用电负荷最高 用电负荷最低 在上述三个问题中，每个变化过程都只涉及两个变量，两个变量之间有一种对应关系，当其中某个变量取定一个值时，根据此对应关系就唯一确定了另一个变量的值。 问题1中，t＝3时，h＝1890；t＝6时，h＝1980. 问题2中，v＝40时，s＝6.25；v＝80时，s＝25. 问题3中，t＝4.5时，y＝10；t＝20时， y＝16. 一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x，y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 当 x = a 时，y=b，则 b 叫作当自变量 x 取 a 时的函数值. 说一说：问题1、问题2、问题3中，什么量是自变量，什么量是函数？ 函数的概念注意把握 ①变化过程； ②两个变量x与y； ③对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应. 核心必知 变化 不变 唯一 a 函数值 举一反三 1．在学校读书打卡活动中，每读1本积3分，读m本积n分，则3和n分别是(　　) A．常量，常量 B．变量，常量 C．变量，变量 D．常量，变量 1星题 基础练 D 举一反三 2.【跨学科·语文】“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周长C与半径R之间的关系为C＝2πR，则下列说法正确的是(　　) A．C，π，R是变量 B．C是变量，2，π，R是常量 C．R是变量，2，π，C是常量 D．C，R是变量，2，π是常量 D 举一反三 3. 【新情境】深圳首批“AI数智员工”上岗，每小时可自动处理30份文件．在工作时间t(h)内处理的文件数量为N，其关系为N＝30t，则变量是________，常量是________． t，N 30 举一反三 练一练 如图是某市某一天的气温变化曲线，则气温 T ____(填“是”或“不是”)时间 t 的函数，理由是时间 t 在取值范围内的每一个值，气温 T 都有___________的值与它对应。 是 唯一确定 判断两个变量间的关系是不是函数关系，要把握以下三点： 1.是不是同一个变化过程中的两个变量. 2.一个变量的数值是否随着另一个变量的数值的变化而变化. 3.对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应，也就是说，可以是“多对一”，但不可以是“一对多”. 4．下列所述不属于函数关系的是(　　) A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x＋2与x的关系 C．匀速行驶的火车行驶的时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 D 举一反三 5. 【新情境】小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示．根据函数定义，h ________ t的函数(填“是”或“不是”)． 是 【思路引导】对于摆动时间t的每一个值，相应的h的值都是唯一确定的吗？ 举一反三 6.橘子的价格为5元/kg，买x kg橘子的总价为y元，则y与x之间的函数关系是__________，其中自变量是______． 【补充设问】当x＝2时，函数值y＝________． y＝5x x　 10 举一反三 (1)这个表格反映了__________随________的变化而变化的函数关系，自变量是________； 7. 【新情境】[杭州月考]祝融火星车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率K[W/(m·℃)]与温度T(℃)之间的关系如下表： 导热率 T/℃ 100 150 200 250 300 K/[W/(m·℃)] 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 温度 温度 举一反三 (2)当温度每增加50℃时，导热率是怎样变化的？ (3)当T＝350℃时，K＝________W/(m·℃)； (4)当该材料导热率为0.50 W/(m·℃)时，温度是多少？ 解：温度每增加50 ℃，导热率增加0.05 W/(m·℃)． 0.40 解：当该材料导热率为0.50 W/(m·℃)时，温度为300＋(0.50－0.35)÷0.05×50＝450(℃)． 举一反三 8．某智能设备输入值x与输出值y的对应关系如图所示，则y不是x的函数的是(　　) 2星题 中档练 D 举一反三 9．[太原模拟]小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是(　　) A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．数量是自变量 D 举一反三 10.【立德树人·健康意识】德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x(h)，记忆留存率记为y(%)，则根据实验数据可绘制出曲线(如图所示)，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． (1)这个曲线表示的是哪两个变量之间的关系？ 解：学习后的时间和记忆留存率． 举一反三 (2)y是关于x的函数吗？为什么？ (3)请说明点D的实际意义． 解：是．理由：根据题图知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，所以y是关于x的函数． 解：点D的实际意义是学习后第24小时，记忆留存率为33.7%. 举一反三 (4)根据图中信息，对学习新事物提出一条合理的建议． 解：(答案不唯一)由题图知，知识记忆遗忘先快后慢，故建议学习新事物后要及时复习，做到温故而知新． 举一反三 11.【跨学科·物理】[芜湖期末]小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受25 kg的物体，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值： 3星题 提升练 所挂物体的质量/kg 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度/cm 15 18 21 24 27 30 举一反三 (1)在这个变化过程中，______________是自变量； (2)从表中数据可知，不挂物体时，弹簧的长度为________cm，所挂物体的质量每增加1 kg，弹簧伸长________cm； (3)设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm，则y与x之间的函数关系为______________；(不用写自变量的取值范围) 所挂物体的质量 15 1.5 y＝1.5x＋15 举一反三 (4)当弹簧的长度为42 cm时，求所挂物体的质量为多少千克． 解：将y＝42代入y＝1.5x＋15，得1.5x＋15＝42，解得x＝18.故当弹簧的长度为42 cm时，所挂物体的质量为18 kg. 举一反三 课堂小结 变量与常量的概念 我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量. 自变量、函数、函数值的概念 设在一个变化过程中有两个变量 x，y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.当 x = a 时，y=b，则 b 叫作当自变量 x 取 a 时的函数值. 谢谢观看 THANKS $