精品解析：安徽潜山市源潭中学2027届高三上学期9月教学质量调研数学试题

2027届高三教学质量调研 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数 的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则 C. 与同向的单位向量为 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 10. 已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（ ） A. 的周长为 B. 的面积为 C. 若是上的动点，则 D. 若是上的动点，则 11. 已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 在 上有个零点 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数（i为虚数单位），则______． 13. 已知函数，，，若函数与其导函数的图象如图所示，则的最小值为______． 14. 若中，，点满足且，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. （1）在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; （2）在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 16. 已知抛物线，焦点为.过点的直线交抛物线于两点，过抛物线上一点作切线，且. （1）当，直线斜率为时，求弦的长； （2）当，且（为原点）的面积等于2时，求此时直线的方程. 17. 如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列满足，记． （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知函数设是函数图象上一点，在点处的切线为，且与轴的交点为，若是公差为的等差数列. （1）求的解析式； （2）若 （i）若对任意，，求的值； （ii）求证：且， 有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三教学质量调研 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的取值范围进行讨论，即可得出答案. 【详解】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意； 综上所述，a的取值范围是． 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3. 已知函数 的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式及二倍角公式对函数进行化简，再结合余弦型函数的性质求解即可. 【详解】 . 由题意知，，因为，所以. 4. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 5. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 【答案】C 【解析】 【分析】由间接法，求得恰有3对和4对的情况，即可求解； 【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：, 有4对相同的字母相邻的排法有：, 8个字母的全排列为：, 所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：， 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：B 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数式可确定函数奇偶性，可排除C选项，再根据，，时值可排除B,D选项. 【详解】由题意知，且， 则，所以为奇函数，关于原点对称，可排除C选项， 又因当时，则，故可排除B选项， 当时，则，可排除D选项， 故选：A 8. 已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设在底面内的投影为，连接，交平面于点，通过正四面体的结构特点求得，再由，即可求解. 【详解】正三棱台中，，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥为正四面体， 设在底面内的投影为，连接，交平面于点，连接，， 则球心在上，连接，， 则，， ，， 设球的半径为，则， 解得，， 所以球的表面积为． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则 C. 与同向的单位向量为 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A正确． 对于B，因为，所以，解得，故B错误． 对于C，与同向的单位向量是，故C正确． 对于D，若，则， 所以向量在向量上的投影向量是，故D正确． 10. 已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（ ） A. 的周长为 B. 的面积为 C. 若是上的动点，则 D. 若是上的动点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】应用椭圆定义得出周长判断A，应用焦点三角形计算求解判断B，应用两角差正切公式结合不等式判断C，应用点到直线距离计算判断D. 【详解】的周长为，A正确； 根据椭圆的光学性质，与直线所成角的大小也是，从而，则的面积为，B错误； 设在第一象限，则，由得，于是，得， 设，当时，，则，当且仅当时取最大角，C错误； 由C选项，根据点到直线的距离公式，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 在 上有个零点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数关于点对称可知函数为奇函数，然后再由可知，图象关于对称，则可推出函数的周期为，然后根据，时，可知在上递增，利用以上性质分析所给选项是否正确即可. 【详解】由题意可知函数图象关于对称，即函数为奇函数，故A正确； 又，则函数图象关于直线对称， 所以函数为周期函数，且周期为， 又，时，都有， 所以函数在上递增，则函数在上也递增， 根据函数的周期为可知函数在上递增，则B正确； 又，图象关于对称，则， 则，共个零点，故C错误； 而， 所以， 故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的四大性质的综合运用，常用结论如下： （1）若函数图象满足对任意的都有，或则函数图象关于对称； （2）若函数的图象关于直线对称，关于点中心对称，则函数为周期函数，最小正周期为. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得. 13. 已知函数，，，若函数与其导函数的图象如图所示，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过两个函数图象，确定，再结合特殊点求得，结合辅助角公式可求解. 【详解】解：由函数，得， 结合函数的图象知，，，所以， 所以，由的图象过点， 得， 所以，；解得，； 又因为，所以，所以，， 所以 ，其中； 所以的最小值为． 14. 若中，，点满足且，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，由及向量数量积的运算律得，应用余弦定理得，进而有，分离常数法求范围. 【详解】由题设， 所以， 令，则，且， 由， 所以， 令，， 令，， 由在上单调递减，则， 所以，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. （1）在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; （2）在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】（1） 0 1 2 （2）66 【解析】 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. 【小问2详解】 由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则 个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当 时，，所以​在 时取得最大值. 故取得最大值时 的值为66. 16. 已知抛物线，焦点为.过点的直线交抛物线于两点，过抛物线上一点作切线，且. （1）当，直线斜率为时，求弦的长； （2）当，且（为原点）的面积等于2时，求此时直线的方程. 【答案】（1）20 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得直线的方程为，与抛物线联立后结合韦达定理与弦长公式即可求得弦的长； （2）当直线斜率存在时，设直线，交抛物线于，由抛物线的定义得，由题意可得，联立得，设，，因为与抛物线相切，将直线代入到抛物线后只有一个根，则可得，易得，点，因为，结合点到直线的距离公式可得，与即可解得的值，进而求得直线的方程，当直线斜率不存在时，易得不符合题意. 【小问1详解】 若，直线斜率为时，直线的方程为，交抛物线于， 联立得，则， 则. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设，交抛物线于， 易得，由抛物线的定义得， 易得，所以，因为，所以， 且，即，且满足，， 联立得， 设，， 联立得， 由题意得，整理得， 由两边同时乘以得， 联立得，即点处切线的斜率，即， 代入，则，即， 易得，则点到的距离， 则， 即，联立，解得， 故直线的方程为或， 当直线斜率不存在时，点与点重合，不符合题意，故舍， 综上，直线的方程为或. 17. 如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接与交于点，连接，如图所示： 因为 ，所以 ，又， 所以，又 ，所以， 所以 ，又，故， 所以，又 平面 ，平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件先求出，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，从而得出相应向量的坐标，求出平面 的法向量，最后利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 底面，， 所以 两两互相垂直， 故以点为坐标原点， 分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 则， 又，所以， 即，故， 由已知得，， 设平面 的一个法向量， 则 ， 令 ，则，，故， 设直线 与平面 所成的角为， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 18. 已知数列满足，记． （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） 因为 ， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 当为偶数时，； 当为奇数且时， ，也符合上式． 综上所述， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件推出与的关系，结合，确定是等比数列，进而求出的通项公式. 再根据与的关系，分为偶数和奇数两种情况求出的通项公式.  （2）由（1）结果得到的表达式. 采用错位相减法求，先写出和的表达式，然后两式相减，通过等比数列求和公式化简得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 则， 所以， 两式相减得 ， 故． 19. 已知函数设是函数图象上一点，在点处的切线为，且与轴的交点为，若是公差为的等差数列. （1）求的解析式； （2）若 （i）若对任意，，求的值； （ii）求证：且， 有. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）由（i）知，因为， 所以，即，当且仅当时等号成立， 当时，， ，，有， 所以. 【解析】 【分析】（1）先求出在点处的切线方程，根据题意得出，代入计算出，故得解析式； （2）（i）通过导数得出，根据题意，设，根据导数得出，得出， （ⅱ）由（i）得出，当时，，则有，，有，故得证. 【小问1详解】 因为，所以， 在点处的切线为， 又与轴的交点为，所以， 因为是公差为的等差数列，所以， 所以，故，即， 故， 【小问2详解】 （i），， ， 则时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以， 因为， ① 设，则， 令时，， 时，，单调递减；时，，单调递增. ，所以，所以 ② 由①②知，所以，故， （ⅱ）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $