江苏省南京市玄武区2026-2027学年七年级上学期第一次学情自测数学模拟练习卷

**基本信息** 以有理数与数轴为核心，融合科技情境（如神舟精密零件）、数学文化（高斯定义）及实际应用（外卖配送点），通过基础运算、分类讨论与新定义问题，发展抽象能力、运算能力和模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/16分|负数识别、幂运算、数轴应用|结合科技情境（如精密零件尺寸）考查基础概念| |填空题|10题/20分|绝对值、差倒数循环、数字卡片积最大|引入高斯定义、差倒数规律，渗透数学抽象| |解答题|8题/64分|数轴动态问题、“好的集合”新定义、分类讨论|设计“三倍点”“联盟点”探究及外卖配送最短路程，强化推理与模型应用|

江苏省南京市玄武区2026-2027学年七年级上学期第一次月考 数学模拟练习卷 （难度系数：0.70） 本卷满分100分，考试时间90分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共16分） 1．（本题2分）下列各数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D． 2．（本题2分）下列各组数中，数值相等的是（   ） A．和 B．与 C．与 D．和 3．（本题2分）神舟上天、嫦娥奔月、天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航，某飞行器控制设备中精密机械零件的尺寸要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（    ） A．6499.80微米 B．6499.03微米 C．6500.20微米 D．6500.03微米 4．（本题2分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）已知a，b都是有理数，若，则a，b的值分别为（    ） A．1，3 B．，3 C．1， D．， 6．（本题2分）已知，，，则的值是（   ） A．7 B． C．或 D．以上都不对 7．（本题2分）点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为，3，若，点C表示的数是（    ） A．3 B．1 C．1或5 D．2或6 8．（本题2分）按如图所示的运算程序，能使输出结果为20的是（   ） A．， B．， C．， D．， 第II卷（非选择题） 二、填空题（共20分） 9．（本题2分）绝对值大于1且不大于5.3的所有负整数之和是______． 10．（本题2分）填空:-17-________=51 11．（本题2分）绝对值等于的数是_____；平方等于的数是_____． 12．（本题2分）比较大小：﹣()2______（填“＜”、“＝”、“＞”）． 13．（本题2分）若，，则_____（此处填写x的指数）． 14．（本题2分）如图，将一刻度尺放在数轴上，若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和4，则刻度尺上对应数轴上的点表示的数是_______． 15．（本题2分）按照如图所示的步骤操作，若输入x的值为，则输出的值为 _____． 16．（本题2分）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则_________． 17．（本题2分）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是_________ 18．（本题2分）设a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如－2的差倒数是，2的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推，则的值为______．设a，b，c都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第n次变换后得到数组．若数组确定为．则的值为______． 三、解答题（共64分） 19．（本题8分）计算： (1) (2) (3) (4) 20．（本题8分）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．现已知数轴上的点A、B、O、C、D、F分别表示，6，0，，5，，运用数轴解决下面问题． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来． (2)直接写出A、F和C、F两点之间的距离． 21．（本题8分）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点5个单位长度，求点B所对应的数为_______ (2)在（1）的条件下，点A以每秒个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离为______个单位长度 (3)在（1）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动，速度不变，经过________秒A，B两点相距个单位长度． 22．（本题8分）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如、，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．如果一个集合满足∶当有理数是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称“好的集合”．例如∶集合就是一个“好的集合”． (1)集合 ___________（选填“是”或“不是”） “好的集合”； (2)请你再写出两个“好的集合” ___________ ；（不得与上面出现过的集合重复） (3)求所有“好的集合”中元素个数最少的集合． 23．（本题8分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ，，都是正数，即，，时，则； 当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知，，是有理数，当时，求的值； (3)已知，，是有理数，，，求的值． 24．（本题8分）对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点是点的“三倍点”． (1)若点表示数，点表示数，点是点的“三倍点”，且点在之间，则点表示的数为_______． (2)点表示数，点表示数，为数轴上一点． ①若点在点的左侧，且点是点的“三倍点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点中，有一个点恰好是其它两个点的“三倍点”，直接写出此时点表示的数_______． 25．（本题8分）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)的最小值是 ； (3)的最大值为 ； (4)的最小值为 ； (5)【解决问题】 有一条笔直的商业街，分布着4个商铺、、、和一个中心广场，商铺、、、分别位于中心广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该商业街上建一个外卖配送点，那么这个外卖配送点建在何处，能使到四个商铺、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 26．（本题8分）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ； (2)点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ． 数 学第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市玄武区2026-2027学年七年级上学期第一次月考 数学模拟练习卷 参考答案 1．C 【分析】本题考查的是负数的定义、绝对值及化简多重符号，通过计算每个选项的数值，判断其是否小于零，从而确定是否为负数即可． 【详解】解： A、，不是负数，故本选项不符合题意； B、0 既不是正数也不是负数，不是负数，故本选项不符合题意； C、，是负数，故本选项符合题意； D、，不是负数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了相反数，有理数的乘方和绝对值，根据相反数和有理数的定义以及绝对值的意义分别求出各组数值，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴和的数值不相等，该选项不合题意； 、∵，， ∴与的数值不相等，该选项不合题意； 、∵，， ∴与的数值不相等，该选项不合题意； 、∵ ，， ∴和的数值相等，该选项符合题意； 故选：． 3．D 【详解】解：由题意得，合格尺寸（单位：微米）满足，即， ∵，，， ∴A、B、C均不符合要求； ∵，∴D符合要求． 4．C 【分析】本题考查利用数轴判断代数式的符号，根据有理数a，b在数轴上对应点的位置逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，则A选项不符合题意； ∴，则，B选项不符合题意； ∴，则C选项符合题意； ∴，则D选项不符合题意； 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了非负数的性质，根据平方项和绝对值项均非负，且它们的和为零，则每一项必须为零，由此计算即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了绝对值与求代数式的值；由题意可求得m与n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 由于，则，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算是解题的关键．由题意知，点C表示的数是或，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，点C表示的数是或， 故选：C． 8．C 【分析】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 对每个选项分别判断大小关系，再代入对应的运算程序中计算，再根据计算结果判断即可． 【详解】解：A、，即，则输出结果是：，故本选项不符合题意； B、，即，则输出结果是：，故本选项不符合题意； C、，即，则输出结果是：，故本选项符合题意； D、，即，则输出结果是：，故本选项不符合题意； 故选：C． 9． 【分析】本题考查绝对值的概念、有理数的大小比较、有理数的加法运算，先找出绝对值大于1且不大于5.3的所有负整数，再求出它们的和即可． 【详解】解：绝对值大于1且不大于5.3的负整数有：，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 10．-68 【详解】由题意可得：-17-51=-68. 故答案是：-68. 11． ； ． 【分析】根据绝对值的定义及平方根的定义，根据绝对值等于的数是，平方等于的数是，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和平方根的意义． 【详解】解：由题意得：绝对值等于的数是，平方等于的数是， 故答案为：，． 12．＞ 【分析】先计算乘方，再根据有理数大小比较方法：两负数比较，绝对值大的反而小即可得答案． 【详解】-（）2=-， ∵＜， ∴＞ ∴﹣()2＞． 故答案为：＞ 【点睛】本题考查有理数的乘方及有理数大小比较，熟练掌握两负数比较，绝对值大的反而小是解题关键． 13． 【分析】根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14． 【分析】本题考查有理数的混合运算及数轴，由题意求得数轴的单位长度代表刻度尺上的距离是解题的关键．根据题意先求得数轴的单位长度代表刻度尺上的距离，然后确定原点，最后列式计算即可． 【详解】解：由题意可得， 即数轴的单位长度对应刻度尺上的， 则， 即原点对应刻度尺的， 则， 则刻度尺上对应数轴上的点表示的数是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式进行计算，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及有理数的加法运算，熟练掌握相关知识点，理解新定义是解题的关键； 先根据定义求出，再求的值即可． 【详解】解：不超过的最大整数是， ， ， ， ． 故答案为：． 17．120 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是利用“负负得正”的规则，选择绝对值大的负数与正数组合以得到最大积． 根据有理数乘法的符号规则，优先选取绝对值大的两个负数和一个正数，计算其乘积得到最大值． 【详解】解：要使抽取的3张卡片数字积最大，需利用“负负得正”的规则，优先选择绝对值大的负数与正数组合： 从卡片、、、、中，选择、、，其积为： ． 故答案为：120． 18． 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，代入求值，理解差倒数的计算方法，掌握有理数的混合运算，代入求值是解题的关键． 根据差倒数的计算方法即可求解；然后根据题意，分别算出的值，找出规律，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵， ∴， ∵数组确定为 ∴第1次变换后 ， 即变换后得到数组 ， 第次变换后 即变换后得到数组 第3次变换后， 即变换后得到数组 ， ， 故答案为：；． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）先算乘除，再算加减，即可求解； （3）先把除法变为乘法，再根据乘法分配律计算； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 20．(1) 用数轴上点表示有理数，如图所示： 用“”号把各数连接起来：； (2)； 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点间的距离； （1）画出数轴，将数据标注在数轴上即可；根据数轴上的点，左边的总比右边的小，即可排列出大小关系； （2）根据两点间距离公式求出结果即可． 熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：A、F和C、F两点之间的距离分别为： , ． 21．(1)3 (2)11 (3)1或9 【分析】（1）根据左减右加即可求得点所对应的数； （2）先根据“时间路程速度”求出运动时间，再根据“路程速度时间”求解即可； （3）分两种情况：运动后的点在点右边个单位长度；运动后的点在点左边个单位长度；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， 点所对应的数是3； 故答案为：3 （2）解：两点运动时间为（秒）， ，两点间距离为（个单位长度）； 故答案为：11 （3）解：分两种情况： 运动后的B点在A点右边个单位长度， 设经过x秒A，B两点相距个单位长度，依题意有： ， 解得：； 运动后的点在点左边个单位长度， 设经过秒A，B两点相距个单位长度，依题意有： ， 解得：； 经过1秒或9秒A，B两点相距个单位长度． 故答案为：1或9 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，行程问题（一元一次方程的应用），解一元一次方程等知识点，根据行程问题中的等量关系建立方程并求解是解题的关键． 22．(1)不是 (2)、（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据“好的集合”的定义，即可求解； （2）根据“好的集合”的定义，即可求解； （3）根据题意得：元素个数最少的“好的集合”是只有一个元素的集合，设其元素为x，则有，解出即可． 【详解】（1）解：因为不在集合内， 所以集合不是 “好的集合”； （2）解：、，理由： ∵，，，在集合内， ∴集合是“好的集合”； ∵， ∴集合“好的集合”； 故答案为：、（答案不唯一） （3）解：元素个数最少的“好的集合”就是只有一个元素的集合， 设其元素为x，则有， 解得， 故元素个数最少的“好的集合”是． 【点睛】本题主要考查新定义，有理数的加减运算，一元一次方程的应用，利用“好的集合”的定义，只要确定集合元素之和等于10即可． 23．(1) (2)或1 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式，有理数的乘法，代数式求值，分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）仿照题目给出的思路和方法，解决即可； （2）根据， 分 a，b，c为一负两正或三负两种情况讨论，再化简求值即可； （3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出中负数有1个，正数有2个，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】（1）解：是不为的有理数，当时，即， ∴ 或， 当时，； 当 时，． 故答案为：． （2）∵， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， 当、、都是负数，即时， 则：； 、、有一个为负数，另两个为正数时，设， 则； （3）为三个不为的有理数，且，， ∴， ∴a、、中一个为负数，另两个为正数，设， ． 24．(1)或 (2)①或或；②或或或 【分析】（）根据“三倍点”的定义解答即可； （）①根据“三倍点”的定义分点在点之间和点在点左侧两种情况解答即可；②分三种情况：点是点的“三倍点”；点是点的“三倍点”；点是点的“三倍点”，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点是点的“三倍点”， ∴或， 设点表示的数为， 则或， 解得或， ∴点表示的数为或； （2）解：①设点表示的数为， 当点在点之间时， ∵点是点的“三倍点”， ∴或， 即或， 解得或， ∴此时点表示的数为或； 当点在点左侧时， ∵点是点的“三倍点”， ∴， 即， 解得， ∴此时点表示的数为； 综上，点表示的数为或或； ②设点表示的数为， 当点是点的“三倍点”时， 则， 解得； 当点是点的“三倍点”时， 则或， 解得或； 当点是点的“三倍点”时， 则， 解得； 综上，此时点表示的数为或或或， 故答案为：或或或． 25．(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离 (2)6 (3)8 (4)7 (5) 解：设外卖配送点在数轴上表示的点处， 根据题意可得，外卖配送点到四点的距离为， 根据绝对值的几何意义，表示到和的距离和，当时，距离之和最小为；表示到和的距离和，当时，距离之和最小； ∴当时，取最小值，此时， ∴外卖配送点建在线段上，能外卖配送点到四个商铺、、、总路程最短，最短距离是12． 【分析】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键； （1）根据题意即可得出结论； （2）的最小值表示有理数的点到的点的距离与表示的点到的点的距离之和，应该在和之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是数轴上表示有理数到的距离与有理数到的距离之差，可得时取得最大值，即可求出结果； （4）的几何意义是数轴上表示的点到表示的点和到表示的点和表示6的点的距离之和，由题意即可求出结果； （5）设外卖配送点在数轴上表示的点处，由题意可得点到各点的距离之和即，根据绝对值得几何意义，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数到的距离与到的距离之和， ∴当时，取最小值， ∴； （3）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数到的距离与有理数到的距离之差， ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ∴的最大值为8； （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示的点到表示的点和到表示的点和表示6的点的距离之和， 当表示的点在表示的点到表示的点的线段上，有最小值，即， 根据绝对值的几何意义，当时，， ∴最小值为7； （5）略 26．(1)C2或C3 (2)①或或﹣50；②70或50或110 【分析】（1）根据“联盟点”的定义，分别验证C1，C2，C3三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据点P所处的位置进行分类讨论，根据“联盟点”的定义列出方程求解即可． ②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”；点B是点A、点P的“联盟点”；点P是点A、点B的“联盟点”，然后根据“联盟点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：对于表示的数是3的C1来说． ∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4， ∴AC1＝5，BC1＝1． ∵AC1和BC1不满足2倍的数量关系， ∴C1不是点A、点B的“联盟点”． 对于表示的数是2的C2来说． ∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4， ∴AC2＝4，BC2＝2． ∵，即AC2＝2BC2， ∴C2是点A、点B的“联盟点”． 对于表示的数是0的C3来说． ∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4， ∴AC3＝2，BC3＝4． ∵，即BC3＝2AC3， ∴C3是点A、点B的“联盟点”． 故答案为：C2或C3． （2）解：①设点P在数轴上所表示的数为x． 当点P在线段AB上，且PA＝2PB时． 根据题意得． 解得． 当点P在线段AB上，且2PA＝PB时． 根据题意得． 解得． 当点P在点A的左侧时，且2PA＝PB时． 根据题意得2（﹣10﹣x）＝30﹣x． 解得x＝﹣50． 综上所述，点P表示的数为或或﹣50． ②当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB． 根据题意得． 解得x＝70． 当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB． 根据题意得或． 解得x＝50或x＝110． 当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB． 根据题意得． 解得x＝70． 所以此时点P表示的数为70或50或110． 故答案为：70或50或110． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． 25．（本题8分）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)的最小值是 ； (3)的最大值为 ； (4)的最小值为 ； (5)【解决问题】 有一条笔直的商业街，分布着4个商铺、、、和一个中心广场，商铺、、、分别位于中心广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该商业街上建一个外卖配送点，那么这个外卖配送点建在何处，能使到四个商铺、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 26．（本题8分）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ； (2)点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ． 数学答案 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $