2.1 等式性质与不等式性质2 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，通过回顾实数大小关系基本事实及作差法，衔接初中实数知识，类比等式性质的探究方法，引导学生逐步构建不等式性质的知识框架，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以类比推理培养数学思维，如用数轴移动的图形语言解释可加性，结合作差法证明不等式（如例1证\frac{c}{a}＞\frac{c}{b}），体现数学语言表达。课堂小结引导知识结构化，助力学生形成逻辑联系，教师可依托此提升教学效率。

2.1 等式性质与不等式性质 引入 前面我们提到，要解决不等式的有关问题，需要探究不等式的性质。而上一节我们已经学习了两个实数大小关系的基本事实： 还进一步利用这个事实采取作差法对一些代数式的大小进行了比较： 作差→变形→定号→作结论 这就为研究不等式的性质奠定了基础。那么不等式到底有哪一些性质呢？ 这就是本节课要解决的问题。 引入 在本节中，除了会用到两个实数大小关系的基本事实外，还可能会涉及到初中学过的关于实数的这些基本事实，你还清楚吗？ (1)正数大于0，负数小于0；正数大于负数，负数小于正数； (2)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0； (3)两个正数的和是正数，两个负数的和是负数； (4)同号两数相乘，积为正数，异号两数相乘，积为负数； (5)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 问题与探究 不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以要研究不等式的性质，我们看能否从等式的性质及其研究方法上得到启示。 性质1、若a＝b，则 b＝a； 性质2、若a＝b，b＝c，则a＝c； 性质3、若a＝b， 则a±c＝b±c； 性质4、若a＝b， 则ac＝bc； 性质5、若a＝b，c≠0，则 问题1：请大家回顾一下等式的基本性质？ 思考(1)：请观察以上性质，说说是如何发现这些性质的？ 性质1，2是反映了相等关系本身的特性； 性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性。 思考(2)：类比等式的基本性质和发现方法，你能猜想出不等式的基本性质，并加以证明吗？ 问题与探究 类比等式“性质1、若a＝b，则 b＝a；性质2、若a＝b，b＝c，则a＝c；”得 思考(2)：类比等式的基本性质和发现方法，你能猜想出不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质1：如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a. 即 a＞b⇔b＜a. 性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 即 a＞b，b＞c⇒a＞c. 证明：由两个实数大小关系的基本事实知 对称性 传递性 问题与探究 类比等式“性质3、若a＝b， 则a±c＝b±c；”得 思考(2)：类比等式的基本性质和发现方法，你能猜想出不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. 即 a＞b⇔a＋c＞b＋c. 可加性 思考(3)：①用自然语言和图形语言对性质3进行表述吗？ 不等式两边都加上同一个数，所得的不等式与原不等式同向； 如图，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点A1与B1，A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变. a b c＞0 B A a+c b+c B1 A1 a+c b+c B1 A1 c＜0 a b B A 问题与探究 类比等式“性质3、若a＝b， 则a±c＝b±c；”得 思考(2)：类比等式的基本性质和发现方法，你能猜想出不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. 即 a＞b⇔a＋c＞b＋c. 可加性 思考(3)：②由性质3你能得出不等式移项的方法吗？ 由性质3可得，a＋b＞c⇔(a＋b)＋(－b)＞c＋(－b) ⇔a＞c－b. 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边。即 a＋b＞c⇔a＞c－b. 问题与探究 类比等式“性质4、若a＝b， 则ac＝bc；性质5、若a＝b，c≠0，则 ”得 思考(2)：类比等式的基本性质和发现方法，你能猜想出不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；即 a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc. 可乘性(乘正保序，乘负反序) 同向可加性 这就是说，不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向; 不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向。 性质1~4是不等式的基本性质，由这些基本性质还可以推出不等式的一些常用性质.例如 性质5：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d. 即 问题与探究 同向可加性 性质5：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d. 即 问题2：你能证明吗？ 证明： 另证： 问题与探究 性质1~4是不等式的基本性质，由这些基本性质还可以推出不等式的一些常用性质.例如 性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 即 同正同向可乘性 同正可乘方性 性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2). 即 证明： a>b>0⇒an>bn(n∈N，且n≥2) 基本性质 不等式的性质 性质1(对称性): 性质2(传递性): 性质3(可加性): 性质4(可乘性) (乘正保序, 乘负反序): 性质5(同向可加性)： 性质6(同正同向可乘性)： 性质7(同正可乘方性)： a＞b⇔b＜a a＞b，b＞c⇒a＞c a＞b⇔a＋c＞b＋c a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc. a>b>0⇒an>bn(n∈N，且n≥2) 注：①性质1，3可逆； ②性质5，6可推广到多个同向不等式; ③性质5，6，7可将“同正”扩大到“同为非负数”。 典例解析 用不等式的性质证明不等式 例1、已知a＞b＞0，c＜0，求证： 法2：(作差) 证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0， 分析：要证 ，因为c＜0，所以只需证明 ， 利用a＞b＞0和性质4，即可证明 典例解析 用不等式的性质证明不等式 例1、已知a＞b＞0，c＜0，求证： 练习1、若a＜b＜0， 的大小关系如何？ 结论：同号的两实数，它们倒数的大小与原实数的大小相反。 证明：因为a＜b＜0，所以 典例解析 用不等式的性质证明不等式 例2、已知 ，x＞y＞0，求证： 分析：因为x＞y＞0，所以要证 只需证 而要证 只需证 x＋b＞y＋b，且x＋b，y＋b同号 由 ，x＞y＞0，得 b＞a＞0，得 x＋b＞y＋b＞0 ∴原不等式成立. 典例解析 用不等式的性质证明不等式 例2、已知 ，x＞y＞0，求证： 证明：因为 ， 所以 因为x＞y＞0， 所以b＞a＞0， 所以x＋b＞y＋b＞0 又因为x＞y＞0， 问题3：通过以上两个例题，你能说说证明不等式的一般思路吗？ 转化结论，发展条件，寻求联系。 即从结论出发，结合已知条件，寻求使结论成立的充分条件，而这一个充分条件又恰好可由已知条件推导出来的。 跟踪训练 练习2、(P42T2)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c_____b－d； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac_____bd； (3)如果a＞b＞0，那么 ； (4)如果a＞b＞c＞0，那么 ＞ ＜ ＜ ＜ 简析：a＞b，d＞c⇒a＋d＞b＋c⇒a－c＞b－d； 简析：a＞b＞0，－c＞－d＞0⇒－ac＞－bd⇒ac＜bd； 简析：a＞b＞0，a2＞b2＞0，⇒ 简析：a＞b＞0⇒ 跟踪训练 用不等式的性质证明不等式 练习3、(P43T7)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： 解析∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， 又∵a＞b＞0， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即a－c＞b－d＞0， 课堂小结 1、我们是如何类比等式基本性质得到不等式的性质的？你能画出本节的知识结构图吗？ 相等关系 等式 等式的基本性质 相等关系自身的特性 等式在运算中的性质 不等关系 不等式 不等式的基本性质 不等关系自身的特性 不等式在运算中的性质 两个实数大小关系的基本事实及其它事实 其它性质 课堂小结 2、不等式的性质有哪一些？哪一些有条件?条件是可以适当哪些性质是可逆的？ 对称性；传递性；可加性；可乘性；同向可加性；同正同向可乘性；同正可乘方性 3、同号的两实数，它们倒数的大小与原实数的大小有何关系？ 同号的两实数，它们倒数的大小与原实数的大小相反。 4、证明不等式的一般思路 转化结论，发展条件，寻求联系。 作业： 1、金版P34-36页 2、预习新课2.2 $