北师大数学7年级上2026-2027第二章有理数及其运算

**基本信息** 以有理数及其运算为核心，融合抗战胜利80周年、肉夹馍销售等时代与文化情境，分层考查运算能力、推理意识与模型意识的单元复习卷。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|正负数意义、科学记数法、数轴|第4题以抗战收视数据考查科学记数法，体现时代性| |填空题|5|绝对值、乘方、新定义运算|第15题数值转换器结合循环规律，培养推理意识| |解答题|8|有理数混合运算、实际应用|第18题肉夹馍销售问题综合考查正负数运算，第23题绝对值几何意义解决运输距离问题，突出模型意识与创新应用|

北师大数学7年级上2026-2027第二章有理数及其运算 一．选择题（共10小题） 1．古代商人在货物出入库时会用到正负数．如果将“入库10担谷物”记作“+10担”，那么“出库4担谷物”记作（　　） A．﹣10担 B．﹣4担 C．+4担 D．10担 2．有理数的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 3．如图，根据机器零件的设计图纸（单位：mm），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（　　） A．0.01mm B．0.02mm C．29.99mm D．30.01mm 4．在“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”直播活动期间，实时收视的观众总人数达到了430000000人次，将数据430000000用科学记数法可记为（　　） A．4.3×109 B．4.3×108 C．43×108 D．0.43×109 5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，将a，b，﹣a，﹣b用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜﹣a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜a＜b D．b＜﹣a＜﹣b＜a 6．某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 7．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③＝﹣1；④|a+b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝﹣2c．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．定义关于有理数a，b的新运算：f（a×b）＝f（a）﹣f（b），其中a，b为整数，a≤b．例如：若f（3）＝5，f（5）＝4，则f（15）＝f（3×5）＝f（3）﹣f（5）＝5﹣4＝1．若f（4）＝1，则f（64）的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 10．如图是某个学生所在班级的识别图案．将小正方形从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以通过“a×23+b×22+c×21+d×1”转换为该生所在班级的序号．若黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，该生所在班级的序号为0×23+1×22+0×21+1×1＝5，则以下表示9班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．已知一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 　 　 mm． 12．在学校的一次游戏活动中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数”，请问：a，b，c三数之和是 　 　 ． 13．已知|a﹣3|+（b+2）2＝0，则ba＝　 　 ． 14．定义：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[﹣2.3]＝﹣3，（﹣2.3）＝﹣2．则[1.7]+（1.3）＝　 　 ． 15．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 17．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　 　 ，　 　 ； （2）你认为当输入的数等于　 　 时（写出一个即可），其输出结果为0； （3）你认为这个“数值转换机”不可能输出　 　 数． 18．肉夹馍是陕西极具特色的传统美食，深受大众喜爱．张师傅在西安的一条美食街上经营着一家肉夹馍店，他原计划每天售卖300个肉夹馍，但受客流量、食材准备等因素影响，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表记录了上周肉夹馍的销售情况（超出计划量的部分记为“+”，不足计划量的部分记为“﹣”，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +20 ﹣12 +28 ﹣8 +25 +35 ﹣15 （1）上周星期三比星期日多卖了多少个肉夹馍？ （2）上周一共卖了多少个肉夹馍？ 19．请根据如图所示的聊天记录解答下列问题． （1）求a、b、c的值； （2）求ab+c﹣8的值． 20．为保证粤海铁路的运输安全，检修小组会定期在凌晨的3个小时空窗期乘坐检修车由北向南检修线路，从A点开始检修，共检查了10个检修点（包含A点），若每个检修点检修时长基准为10分钟，超过10分钟，记为正，不足10分钟，记为负，下面是某次他们对每个检修点检修时长的记录（单位：分钟）：+12，+5，0，+11，﹣3，﹣2，+14，+2，﹣6，+5． （1）收工时，他们检修线路一共花费了多长时间？ （2）若每两个相邻检修点之间的平均距离为3千米，检修车的速度为1.5千米/分钟，那么请你计算检修小组能否在空窗期结束前回到A点？ 21．【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，…，那么： （1）根据规律可知：第6个数是 　 　 ，是第 　 　 个数； （2）根据规律填空：＝ 　 　 ； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算：． 22．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； （3）将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出一种符合要求的运算式子． 23．阅读材料： 我们知道，|a|即为|a﹣0|，其几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．进一步推广，|a﹣b|的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．例如，|x﹣5|的几何意义是数轴上表示x的点与表示5的点之间的距离，运用这一几何意义，可以巧妙地解决许多代数问题． （1）理解应用 等式|x﹣1|＝2的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数　 　 的点之间的距离为2． （2）拓展延伸 ①当x取不同的值时，代数式|x﹣2|+|x﹣3|+|x+3|的值随之变化，当x＝　 　 时、|x﹣2|+|x﹣3|+|x+3|的值最小为　 　 ． ②若使代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x+2|+|x+4|的值最小，x的值不可能是　 　 ． A.1 B.0 C．﹣3 （3）创新应用 一条生产流水线上有A，B，C三个工位，在数轴上对应的位置分别为1，2，4．现要设置一个配件库P（对应数值为x），若工位B使用频率是工位A，C的2倍，则总运输距离T可表示为：T＝|x﹣1|+2|x﹣2|+|x﹣4|． ①配件库P应设置在数轴何处，才能使总运输距离T最小？请直接在如图，数轴上表示出来； ②求出此时T的最小值． 北师大数学7年级上2026-2027第二章有理数及其运算 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．古代商人在货物出入库时会用到正负数．如果将“入库10担谷物”记作“+10担”，那么“出库4担谷物”记作（　　） A．﹣10担 B．﹣4担 C．+4担 D．10担 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【解答】解：如果将“入库10担谷物”记作“+10担”， 那么“出库4担谷物”记作﹣4担， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2．有理数的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可得解． 【解答】解：∵与﹣是只有符号不同的两个数， ∴有理数的相反数是， 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解此题的关键． 3．如图，根据机器零件的设计图纸（单位：mm），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（　　） A．0.01mm B．0.02mm C．29.99mm D．30.01mm 【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：0.01﹣（﹣0.01）＝0.01+0.01＝0.02（mm）， 即按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差0.02mm， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键． 4．在“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”直播活动期间，实时收视的观众总人数达到了430000000人次，将数据430000000用科学记数法可记为（　　） A．4.3×109 B．4.3×108 C．43×108 D．0.43×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：430000000＝4.3×108． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，将a，b，﹣a，﹣b用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜﹣a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜a＜b D．b＜﹣a＜﹣b＜a 【分析】根据数轴表示数的方法得到b＜0＜a且|b|＞|a|，则b＜﹣a＜a＜﹣b． 【解答】解：∵b＜0＜a且|b|＞|a|， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了数轴． 6．某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【分析】求出a的正确取值，代入﹣16÷a即可． 【解答】解：计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果得﹣12， 即：﹣16+a＝﹣12，则a＝4． ﹣16÷a＝﹣16÷4＝﹣4． 故选：D． 【点评】此题考查有理数的除法，求出a的正确取值是关键． 7．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合． 【解答】解：2025﹣（﹣1）＝2026， 2026÷4＝506……2， 所以数轴上表示2025的点与圆周上的数字2重合， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解答本题的关键． 8．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③＝﹣1；④|a+b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝﹣2c．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征及绝对值的性质即可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， b＜c＜0＜a且|b|＞|c|＞|a|， 所以abc＞0，a﹣b+c＝a﹣（b﹣c）＞0，＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1，|a+b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝﹣a﹣b﹣b+c+a﹣c＝﹣2b， 所以正确的结论有③，共1个． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征及绝对值的性质是解题的关键． 9．定义关于有理数a，b的新运算：f（a×b）＝f（a）﹣f（b），其中a，b为整数，a≤b．例如：若f（3）＝5，f（5）＝4，则f（15）＝f（3×5）＝f（3）﹣f（5）＝5﹣4＝1．若f（4）＝1，则f（64）的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【分析】根据f（a×b）＝f（a）﹣f（b）可推出f（16）＝0，再根据f（64）＝f（4×16），即可求解． 【解答】解：∵f（4）＝1， ∴f（64）＝f（4×16） ＝f（4）﹣f（16） ＝f（4）﹣[（f（4）﹣f（4）] ＝1﹣0 ＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． 10．如图是某个学生所在班级的识别图案．将小正方形从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以通过“a×23+b×22+c×21+d×1”转换为该生所在班级的序号．若黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，该生所在班级的序号为0×23+1×22+0×21+1×1＝5，则以下表示9班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【分析】类比题干中提供的计算方法，把9转换成含有2的n次方的形式，可得：9＝1×23+0×22+0×21+1×1，再根据黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，即可得到9班学生的识别图案． 【解答】解：将小正方形从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以通过“a×23+b×22+c×21+d×1”转换为该生所在班级的序号． A.1×23+1×22+1×21+0×1＝14，不符合题意； B.1×23+0×22+1×21+1×1＝11，不符合题意； C.1×23+0×22+0×21+1×1＝9，符合题意； D.0×23+1×22+1×21+0×1＝6，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，正确进行计算是解题关键． 二．填空题（共5小题） 11．已知一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 　5.76　 mm． 【分析】根据对折后纸的厚度变为原来的2倍，计算即可得解． 【解答】解：对折6次后的厚度为0.09×26＝5.76（mm）， 故答案为：5.76． 【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，理解对折后厚度变为原来的2倍是解题的关键． 12．在学校的一次游戏活动中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数”，请问：a，b，c三数之和是 　0　 ． 【分析】根据题意，a是最小的正整数可得a＝1，b是最大的负整数可得b＝﹣1，c是绝对值最小的有理数可得c＝0，再根据有理数的加法运算法则计算a+b+c即可． 【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝0， ∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加法运算，绝对值，掌握有理数的大小比较方法，有理数的加法运算法则，绝对值的性质是解题的关键． 13．已知|a﹣3|+（b+2）2＝0，则ba＝　﹣8　 ． 【分析】根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算． 【解答】根据题意得：a﹣3＝0，b+2＝0， 解得：a＝3，b＝﹣2． 则原式＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 14．定义：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[﹣2.3]＝﹣3，（﹣2.3）＝﹣2．则[1.7]+（1.3）＝　3　 ． 【分析】根据新定义求解即可． 【解答】解：[1.7]+（1.3）＝1+2＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了有理数的比较大小，掌握[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数是解题的关键． 15．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是　2　 ． 【分析】先根据数值转换器的规则依次计算输出结果，再观察结果找到循环周期，最后根据周期计算第2026次的输出结果． 【解答】解：根据题意可知，当开始输入x的值是5时， 第1次输入x＝5（奇数），输出值为：3×5+1＝16， 第2次输入x＝16（偶数），输出值为：， 第3次输入x＝8（偶数），输出值为：， 第4次输入x＝4（偶数），输出值为：， 第5次输入x＝2（偶数），输出值为：， 第6次输入x＝1（奇数），输出值为：3×1+1＝4， 第7次输入x＝4（偶数），输出值为：2， 第8次输入x＝2（偶数），输出值为：1， … 观察可知，从第3次开始，输出结果以“4，2，1”为一个循环周期， 先减去前2次，2026﹣2＝2024， 再计算2024÷3＝674余2，即循环了674个周期后，第2个位置的数， 循环周期“4，2，1”中第2个位置的数是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键． 三．解答题（共8小题） 16．计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）把同分母的先相加； （2）先算括号内的，把除化为乘，再约分； （3）把99变形乘100﹣，用乘法分配律计算； （4）先算括号内的和乘方运算，再算乘法，最后算加减． 【解答】解：（1）原式＝（5+4）+（﹣5﹣） ＝10﹣6 ＝4； （2）原式＝×（﹣）×× ＝﹣； （3）原式＝（100﹣）×（﹣28） ＝100×（﹣28）+×28 ＝﹣2800+ ＝﹣2799； （4）原式＝﹣4﹣×（2﹣9） ＝﹣4﹣×（﹣7） ＝﹣4+ ＝﹣． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算的法则． 17．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　1　 ，　2　 ； （2）你认为当输入的数等于　0　 时（写出一个即可），其输出结果为0； （3）你认为这个“数值转换机”不可能输出　负　 数． 【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果； （2）根据题目中的数值转换机，可以写出一个使得输出结果为0的输入数值； （3）根据题目中的数值转换机的最后一个计算步骤分析即可． 【解答】解：（1）由题意可得，4+（﹣5）＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，＝1；7+（﹣5）＝2，|﹣2|＝2． 故答案为：1，2； （2）∵|0|＝0， ∴当输入0时，输出结果为0． 故答案为：0； （3）∵这个数值转换机的最后一步是求一个数的绝对值或者是求一个正数的倒数，而任何数的绝对值不可能为负数，正数的倒数不可能是负数， ∴这个“数值转换机”不可能输出负数． 故答案为：负． 【点评】本题考查有理数的混合运算、数值转换机，解答本题的关键是明确数值转化路径，求出相应的结果和输入数值． 18．肉夹馍是陕西极具特色的传统美食，深受大众喜爱．张师傅在西安的一条美食街上经营着一家肉夹馍店，他原计划每天售卖300个肉夹馍，但受客流量、食材准备等因素影响，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表记录了上周肉夹馍的销售情况（超出计划量的部分记为“+”，不足计划量的部分记为“﹣”，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +20 ﹣12 +28 ﹣8 +25 +35 ﹣15 （1）上周星期三比星期日多卖了多少个肉夹馍？ （2）上周一共卖了多少个肉夹馍？ 【分析】（1）根据上周三和周日与计划值的差值相减即可求解； （2）先计算上周原计划一周的销售量，再计算实际与计划量的差值和，然后再相加即可求解． 【解答】解：（1）根据上周三和周日与计划值的差值相减可得： 28﹣（﹣15）＝28+15＝43， 答：上周星期三比星期日多卖了43个肉夹馍； （2）先计算上周原计划一周的销售量，再计算实际与计划量的差值和，然后再相加可得： （+20﹣12+28﹣8+25+35﹣15）+300×7＝2173（个）， 答：上周一共卖了2173个肉夹馍． 【点评】本题考查了正负数的意义，有理数加减混合运算和乘法运算的应用，正确理解题意是解题的关键． 19．请根据如图所示的聊天记录解答下列问题． （1）求a、b、c的值； （2）求ab+c﹣8的值． 【分析】（1）根据相反数的定义求出a的值，根据绝对值的定义及b＜a求出b的值，再根据c与b的和是﹣8求出c的值即可； （2）把（1）中a、b、c的值代入计算即可． 【解答】解：（1）∵a的相反数是3， ∴a＝﹣3， ∵b的绝对值是6， ∴b＝±6， ∵b＜a， ∴b＝﹣6， ∵c与b的和是﹣8， ∴c＝﹣8﹣（﹣6）＝﹣8+6＝﹣2； （2）由（1）知a＝﹣3，b＝﹣6，c＝﹣2， ∴ab+c﹣8＝﹣3×（﹣6）+（﹣2）﹣8＝18﹣2﹣8＝8． 【点评】本题考查了相反数，绝对值，正确计算是解题的关键． 20．为保证粤海铁路的运输安全，检修小组会定期在凌晨的3个小时空窗期乘坐检修车由北向南检修线路，从A点开始检修，共检查了10个检修点（包含A点），若每个检修点检修时长基准为10分钟，超过10分钟，记为正，不足10分钟，记为负，下面是某次他们对每个检修点检修时长的记录（单位：分钟）：+12，+5，0，+11，﹣3，﹣2，+14，+2，﹣6，+5． （1）收工时，他们检修线路一共花费了多长时间？ （2）若每两个相邻检修点之间的平均距离为3千米，检修车的速度为1.5千米/分钟，那么请你计算检修小组能否在空窗期结束前回到A点？ 【分析】（1）用10个检修点的基准总时间加上每个检修点超过或不足的时间即可得答案； （2）先计算10个检修点之间的距离，即可得出检修车在路上需要的时间，加上检修时间，得出总时间，与180分钟比较，即可得答案． 【解答】解：（1）10×10+12+5+0+11+（﹣3）+（﹣2）+14+2+（﹣6）+5＝100+12+5+11﹣3﹣2+14+2﹣6+5＝138（分钟）， 答：收工时，他们检修线路花费了138分钟； （2）10个检修点来回共需行驶2×9×3＝18×3＝54（千米）， ∵检修车的速度为1.5千米/分钟， ∴检修车在路上需要行驶54÷1.5＝36（分钟）， ∴本次检修所需要的总时间为138+36＝174（分钟）， ∵检修空窗期为3×60＝180（分钟），174分钟＜180分钟， ∴检修小组能在空窗期结束前回到A点． 【点评】本题考查正负数的应用及有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 21．【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，…，那么： （1）根据规律可知：第6个数是 　　 ，是第 　11　 个数； （2）根据规律填空：＝ 　﹣　 ； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算：． 【分析】（1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）观察数字的变化寻找规律即可求得结果． 【解答】解：（1）第6等式：＝＝； ＝＝﹣， 故答案为：，11； （2）＝﹣； （3）原式＝（1﹣﹣﹣+...+﹣ ＝×（1﹣） ＝× ＝． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 22．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； （3）将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出一种符合要求的运算式子． 【分析】（1）根据题意可知，当抽到数字5和1时，和最大，然后列出算式求值即可； （2）根据题意可知，当取到数字5和1时，乘积最大，然后列出算式求值即可； （3）根据题意，写出一个结果为24的算式即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为5+1＝6； （2）由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， ∴当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为5×1＝5； （3）∵[5﹣（﹣1）]×[1﹣（﹣3）] ＝（5+1）×（1+3） ＝6×4 ＝24， ∴运算结果为24的算式为[5﹣（﹣1）]×[1﹣（﹣3）]（答案不唯一）． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 23．阅读材料： 我们知道，|a|即为|a﹣0|，其几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．进一步推广，|a﹣b|的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．例如，|x﹣5|的几何意义是数轴上表示x的点与表示5的点之间的距离，运用这一几何意义，可以巧妙地解决许多代数问题． （1）理解应用 等式|x﹣1|＝2的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数　1　 的点之间的距离为2． （2）拓展延伸 ①当x取不同的值时，代数式|x﹣2|+|x﹣3|+|x+3|的值随之变化，当x＝　2　 时、|x﹣2|+|x﹣3|+|x+3|的值最小为　6　 ． ②若使代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x+2|+|x+4|的值最小，x的值不可能是C ． A.1 B.0 C．﹣3 （3）创新应用 一条生产流水线上有A，B，C三个工位，在数轴上对应的位置分别为1，2，4．现要设置一个配件库P（对应数值为x），若工位B使用频率是工位A，C的2倍，则总运输距离T可表示为：T＝|x﹣1|+2|x﹣2|+|x﹣4|． ①配件库P应设置在数轴何处，才能使总运输距离T最小？请直接在如图，数轴上表示出来； ②求出此时T的最小值． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义（数轴上两点间距离），|x﹣1|对应x到1的距离，故等式中横线处填1； （2）①当绝对值个数为奇数时，x取中间点（中位数）时和最小，将点2、3、﹣3排序为﹣3、2、3，中间点为2，计算得和为6； ②当绝对值个数为偶数时，x取中间两个点之间的区间时和最小，将点1、2、﹣2、﹣4 排序为﹣4、﹣2、1、2，中间区间为﹣2到1，选项中C﹣3不在该区间，故x取﹣3时和不可能最小； （3）因工位B使用频率高（2倍），总运输距离T取最小值时，P应选权重高的B点（x＝2），代入得T＝|2﹣1|+2|2﹣2|+|2﹣4|＝3． 【解答】（1）解：|x﹣1|表示数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离， 故答案为：1； （2）①|x﹣2|+|x﹣3|+|x+3|表示数轴上点x到点2、3、﹣3 的距离之和， 将点按从小到大排列为﹣3、2、3，中间的点为2， 当x＝2时，距离之和为|2﹣2|+|2﹣3|+|2+3|＝0+1+5＝6，此时值最小， 故答案为：2，6； ②|x﹣1|+|x﹣2|+|x+2|+|x+4|表示数轴上点x到点1、2、﹣2、﹣4 的距离之和， 将点按从小到大排列为﹣4、﹣2、1、2，中间两个点之间的区间为﹣2到1，此时距离之和最小， 选项中A.1、B.0在区间内，C．﹣3不在区间内，故x的值不可能是C． 故答案为：C； （3）配件库P应设置在数轴上的2处（即工位B的位置）， 在数轴上表示如下： ， ②当x＝2时，计算T的值：T＝|2﹣1|+2×|2﹣2|+|2﹣4|＝1+2×0+2＝3， 所以，此时T的最小值为3． 【点评】本题考查绝对值和数轴，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/14 22:07:50；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $