福建厦门外国语学校2026-2027学年第一学期高三9月阶段性测试数学试题

**基本信息** 厦门外国语学校高三9月数学月考卷，覆盖函数、几何、概率等核心模块，解答题如“性质P”新定义探究（19题）、正方形迭代面积问题（16题），体现创新应用与综合能力考查，适配高三一轮复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|幂函数性质、集合运算、充分必要条件|基础概念辨析，如第3题结合函数单调性考充要条件| |多选题|3/18|概率全概率公式、数列与函数对称性|跨模块综合，如第10题结合数列与函数中心对称| |填空题|3/15|空间距离、函数奇偶性与周期性、映射计数|抽象思维考查，如第14题映射计数结合容斥原理| |解答题|5/77|导数极值、数列应用题、立体几何翻折、椭圆综合、新定义函数|分层设计，如19题“性质P”探究考逻辑推理，16题正方形迭代考数学建模|

厦门外国语学校2026-2027学年第一学期高三9月阶段性测试 数学学科试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 3．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（ ） （参考数据：，） A． B． C． D． 6．已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A． B． C． 2 D． 7．若三次函数有极值点、且，设是的导函数，那么关于的方程的不同实数根的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．设，，若，，互不相等，则下列选项中不正确的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（    ） A． B． C． D． 10．若数列的前项和为，，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． 数列是等差数列 C． 曲线关于点中心对称 D． 11．设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线的方向向量为，，则空间一点到直线的距离为_____ 13．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则_________ 14．已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数 共有____个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 16．如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为．已知，． （1）求，； （2）记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值． 17．如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 18．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆上两点（均在轴上方），且． ①已知直线的斜率为，求直线的斜率； ②求四边形面积的最大值． 19．设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； （3）证明：函数具有性质的充要条件是． 厦门外国语学校2026-2027学年第一学期高三9月阶段性测试 数学学科试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：​，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误． 2．已知集合，，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：， ①若 时， ，此时，，满足 ，符合题意； ②若 时， 集合，不满足集合元素互异性，故舍去； ③若 时，则有 ，解得  或 ， 当 时，， ，满足 ，符合题意； 当 时，集合，不满足集合元素互异性，故舍去． 综上，实数 的取值集合为 ． 故选：B 3．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件． 4．已知实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号，故选：． 5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（ ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得， 则， 所以， 所以污染物减少50%需要花的时间约为． 6．已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A． B． C． 2 D． 【答案】B 【详解】 在中，而，则， 所以，故， 所以． 故选：B 7．若三次函数有极值点、且，设是的导函数，那么关于的方程的不同实数根的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：因为，所以， 由题意可得有两个不同的实数根、， 其中， 则或，据此分类讨论： ①若，当时，或，当时， 此时共有三个不同的实数根． ②若，当时，或，当时，， 此时共有三个不同的实数根． ②若，没有极值点，不合题意． 综上可得，方程的不同实数根的个数为． 故选：D   8．设，，若，，互不相等，则下列选项中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，因为，所以，故A正确； 当时，，若，则， 故，不满足a，b，c互不相等，所以，故B正确， 因为，， 可将看成函数与图象的交点横坐标， 当时，图象如下图， 可得：，此时． 当时，图象如下图， 可得：，此时，所以C不正确，D正确． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得：，，，． 对于A：表示任取一个零件是第1台车床加工的条件下为次品的概率，即第一台车床的次品率，为，故A正确； 对于B：由乘法公式可得，故B错误； 对于C：由全概率公式可得，故C正确； 对于D：由条件概率公式可得，，显然，故D错误． 10．若数列的前项和为，，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． 数列是等差数列 C． 曲线关于点中心对称 D． 【答案】BCD 【详解】C选项，令，解得， 故的定义域为， 其中， 所以 ， 所以曲线关于点中心对称，C正确； A选项，，所以，， 故，，即，， 所以，， 中，令得， 又，所以， 故，所以，故，，A错误； B选项，当时，， 所以数列是等差数列，B正确； D选项，由知，， 因为，，曲线关于点中心对称， 所以，，又， 所以 ，D正确． 故选：BCD 11．设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【答案】ABD 【详解】由，得该圆心为，半径为， 易知该圆过原点，由，当时， 得，作出函数图象，如图， 由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点， 当时，圆与函数的图象有1个交点， 当时，圆与函数的图象有2个交点， 当时，圆与函数的图象有4个交点， 根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线的方向向量为，，则空间一点到直线的距离为_____ 【答案】 【详解】由，，则， 所以，，而， 则点到直线的距离为． 13．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则_________ 【答案】 【分析】先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求的值，进而可得的值． 【详解】因为，所以， 用代替可得：， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数． 所以． 令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以． 因为，所以，解得． 所以． 所以． 14．已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数 共有____个． 【答案】 1024 570 【详解】空一：函数，集合有5个元素，集合有4个元素， 则每个自变量都有4种取值可能，因此总个数为 空二：条件，使得． 由于，差为3的唯一可能是， 因此必须有某个自变量取值为9，另一个自变量取值为6，即函数值域中必须同时包含6和9． 计算满足“值域同时包含6和9”的函数个数，函数总个数为，用容斥原理： 函数值域中不含6：每个自变量只能取，共个； 函数值域中不含9：每个自变量只能取，共个； 函数值域中既不含6也不含9：只能取 ，共个． 由容斥原理，函数值域中同时含有6和9的函数个数为 ． 因此符合该条件的函数 共有个． 备选：已知，若存在常数使得对于，都有满足关系，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图像，数形结合，对进行分类讨论，求出相应的值域，结合存在常数使得，得到不等式，求出的取值范围． 【详解】由题意得：， 令，画出图象如下： 因为，当时， ，， 要想存在常数使得， 则，解得； 当时，，， 要想存在常数使得， 则，解得：， 结合可得：， 当时，，， 要想存在常数使得， 则，解得：， 与取交集得：， 当时，， ， 要想存在常数使得， 则，解得：， 与取交集得：， 当时，， ， 要想存在常数使得， 则，解得：， 与取交集得， 综上：． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得， 因为为函数的极值点，所以，解得， 经检验，当时，为函数的极值点，所以． （2）因为的定义域为，， 设在单调， ①函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， ②函数在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立，矛盾 所以若在单调，则， 故若在定义域上不单调，则的取值范围为． 16．如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为．已知，． （1）求，； （2）记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值． 【小问1详解】由题意，，即， 所以为等比数列，公比为，，所以． 所以，，． 【小问2详解】由题意，， ， ，设，则为单调递减数列， 且，又，所以．的最小值是5． 17．如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【详解】（1）(1)在平行四边形中，因为是的中点， 所以． 又，则，， 所以，． 又，则，即． 又平面平面，平面平面， 所以平面． （2）分别取，的中点，，连接，． 由（1）知，． 因为，分别为，的中点，所以，则． 因为，所以，， 所以为二面角的平面角，则． 由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， ，，． 设平面的法向量为，所以 令，则． 设平面的法向量为，所以 令，则． 所以， 所以二面角的余弦值为． 18．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆上两点（均在轴上方），且． ①已知直线的斜率为，求直线的斜率； ②求四边形面积的最大值． 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以椭圆的标准方程． 【小问2详解】 ①延长交椭圆于点，延长交椭圆于点， 由对称性可知，所以四边形为平行四边形， 因为关于原点对称，所以关于原点对称， 设，则， 所以， 又为椭圆上两点，可得，， 所以，化简得，故， 又因为，所以，故； ②由①可知，在平行四边形中，， 从而， 因为构成四边形，所以的斜率必不为0，设的方程为， ，由得， ， ，， 因为， 点O到直线的距离为， 所以， 令，则， 所以当，即时，有最大值为， 所以四边形面积的最大值为． 19．设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； (3)证明：函数具有性质的充要条件是． 【答案】(1)具有性质，理由为： 由得，.设，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得，即， 故函数具有性质. （2）解：.由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得 即，即 由已知方程有三个不相等的实数根. 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值0 ↘ 极小值 ↗ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的a的取值范围是. (3)证明：由得，，由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值0， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，由函数的性质可得，即， 且当时，，，，则， 则存在满足，即成立，所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则， 由得， 若，则，与已知矛盾. 若，设，则， 即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 先证明， 令，，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾. 综上，函数具有性质的充要条件为. 20 学科网（北京）股份有限公司 $